河北省石家莊市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題（含答案）

石家莊市2023屆高中畢業(yè)年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（三）

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

,（g"）c8表示的區(qū)域?yàn)椋ǎ?/p>

C.IIID.IV

2.已知函數(shù)“X）同時(shí)滿足性質(zhì)：①/（—X）=—/（無）；②對(duì)于VAPX2€（0,1），/（%）一/（七）>0,則

X\~x2

函數(shù)“X）可能是（）

A./(x)=ej-e-Xb?∕ω=[∣]

C./(x)=sin4xD./(x)=X2

3.觀察下列四幅殘差圖，滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定的是（）

八殘差力殘差

4

100-3

2

50-1

?-0-?b--?

-2

-50-3

-100-40100200300400500600700800900IOOOx

02040608010。觀測(cè)時(shí)間觀測(cè)時(shí)間

八殘差個(gè)殘差

1500?7左200?歡左

1000\150-??

100-..?,???β

500?-V.50-?.V,".:"y

C.0?%D.0??∕?Y??:'.I，'：..

-50-***?：?????J：

500

?Λ√,≈>-100-

-1000??；????-150-

■15001，，，，，>?200∣......................................I——?

。20406080100觀測(cè)時(shí)間0102030405060708090100觀測(cè)時(shí)間

4.18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉研究調(diào)和級(jí)數(shù)得到了以下的結(jié)果：當(dāng)〃很大時(shí)，1+,+工++~=?nn+χ（常數(shù)

23n

7=0.577）.利用以上公式，可以估計(jì)------+------++的值為（）

200012000230000

A.InlO4B.In3+ln2C.In3-ln2D.1∏2

5.已知函數(shù)/（x）=2sin（dυx+e）（0>O,Ow<π）的部分圖象如圖所示，則/（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是

()

6.已知〃〃是兩條不同的直線，名萬是兩個(gè)不同的平面，其中下列命題正確的是（）

A.若ml∕n,nua,則m//ɑ

B,若相<=￡。<''1夕=〃,/〃_1〃，則〃2_1_4

C若根Ua,m_!_/?,則a_L/?

D,若a_L/?,根_La,則根//6

7.已知直線2x+3y-1=。經(jīng)過圓（X-m產(chǎn)+（y一〃）2=1的圓心，其中〃2>0且〃∈（T,0）,則

---------的最小值為（）

m+2∏n

A.9B.5+2√5C.1D.5+√5

8.中國結(jié)是一種盛傳于民間的手工編織工藝品，它原本是舊石器時(shí)代的縫衣打結(jié)，后推展至漢朝的儀禮記

事，再演變成今日的裝飾手藝.中國結(jié)顯示的精致與智慧正是中華民族古老文明中的一個(gè)側(cè)面.已知某個(gè)中

國結(jié)的主體部分可近似地視為由一個(gè)大正方形（內(nèi)部是16個(gè)邊長為2的小正方形）和16個(gè)半圓所組成，

如圖，AC是中國結(jié)主體部分上的定點(diǎn)，點(diǎn)B是16個(gè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，則AcAB的最大值為（）

B

W

1

A.66+6√ΠB.66+4√ΠC.66+2√T7D.18√∏

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分

9.已知復(fù)數(shù)z∣=l+2i,復(fù)數(shù)Z滿足IZ-ZlI=2,則()

A.zl?z1=5

B.√5-2<∣z∣<√5+2

C,復(fù)數(shù)4在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,2)

D.復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(x,y),則(χ-iy+(y-2)2=4

10.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,XO(ΛONO)是/(x)的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是()

A.Vx∈R,∕(%)≤f(x0)B.-Xo是/(-X)極大值點(diǎn)

C%是-√(x)的極小值點(diǎn)D.一玉)是一/(一司的極大值點(diǎn)

11.已知函數(shù)/(X)圖象上的點(diǎn)(XM都滿足卜3—5x+j)2°23+x2023=4x-y-x3,則下列說法中正確的

有()

A./(x)=-χ3+4X

B.若直線/與函數(shù)/(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)A,5,c,且滿足IAM=忸C=Ji5,則直線Ae的斜率為3.

C.若函數(shù)g(x)=/(X)-OX2-4x+α(αHθ)在X=Xo處取極小值0,則」=￡!L

D.存在四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)/(x)圖象上的正方形，且這樣的正方形有兩個(gè).

12.已知曲線C:XW-4yN=4,P(%,%)為C上一點(diǎn)，則()

A.?neR,x—2y+，〃=0與曲線C有四個(gè)交點(diǎn)

B.?o+Jo的最小值為1

∣?-2%+√3∣的取值范圍為（瓜2√2+√3]

D.過點(diǎn)(-2√5,-2√Σ)的直線與曲線C有三個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率k∈

三,填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

5

13.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

14.已知數(shù)列｛α,,｝的通項(xiàng)公式為4="-1,數(shù)列｛"｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則

%+電++%=?

15.已知正四面體A-BS的棱長為6,尸是外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，。是四面體A-BCD內(nèi)切球球面上

的動(dòng)點(diǎn)，則IPQl的取值范圍是.

16.我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如1()35=1X1O3+OX1()2+3X1O∣+5X1O°,表示十進(jìn)制的數(shù)要用0~9這

IO個(gè)數(shù)字.而電子計(jì)算機(jī)用的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，只需。和1兩個(gè)數(shù)字，如四位一進(jìn)制的數(shù)

IOol(2)=1x23+0x22+0χ2∣+1x2°,等于十進(jìn)制的數(shù)9,現(xiàn)有一組十進(jìn)制表示的數(shù)列

xx,定義即(口％表示

v2,X2023,(XZ∈N*,Z=1,2,,2023),"=n%+n〃=1，2,,2022

Z=Ij=n+?A=I

a↑,a2,H的乘積)，若將偽,打，，Hg表示成二進(jìn)制數(shù)，其中有IOll個(gè)數(shù)末位是0，若將

不蒞，了2023表示成二進(jìn)制數(shù)，則末位是0的數(shù)至多有個(gè).

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知一ABC中，角A,B,C的對(duì)邊長分別是“，b,c,sinA=4sinCcosB,且C=2.

(1)證明：tanB=3tanC;

(2)若b=2^，求一ABC外接圓的面積

18.如圖，在JIQB中，ZAOB=-,OB=^3,OA=I,C為。B的中點(diǎn)，將以4。8繞OB所在的直線逆

2

9Jr

時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQD形成如圖所示的幾何體「，^AOD=y.

B

(1)求幾何體「的體積；

(2)求直線AB與平面AC。所成角的正弦值.

19.已知M,N為拋物線C：y2=2pχ(p>0)上不同兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OMLON,過。作陽，,物V

于H,且點(diǎn)H(2,2).

(1)求直線用N的方程及拋物線。的方程；

(2)若直線/與直線MN關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，。為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，求。到直線/的距離最短時(shí)，。點(diǎn)的

坐標(biāo).

20.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝滿足4=3,%+%=36,數(shù)列??｝的前〃項(xiàng)和S,,,滿足

2

3S+/I?=3必+n,b.=一.

”ll"13

(1)求數(shù)列｛α,,｝和｛4｝通項(xiàng)公式；

(2)若存在正整數(shù)〃，使得27。%8M420成立，求實(shí)數(shù)M的取值范圍.(出=L4,In3=1.1).

21.肝臟疾病是各種原因引起的肝臟損傷，是一種常見的危害性極大的疾病，研究表明有八成以上的肝

病，是由乙肝發(fā)展而來，身體感染乙肝病毒后，病毒會(huì)在體內(nèi)持續(xù)復(fù)制，肝細(xì)胞修復(fù)過程中形成纖維化，

最后發(fā)展成肝病.因感染乙肝病毒后身體初期沒有任何癥狀，因此忽視治療，等到病情十分嚴(yán)重時(shí)，患者才

會(huì)出現(xiàn)痛感，但已經(jīng)錯(cuò)過了最佳治療時(shí)機(jī)，對(duì)乙肝病毒應(yīng)以積極預(yù)防為主，通過接種乙肝疫苗可以預(yù)防感

染乙肝病毒、體檢是篩查乙肝病毒攜帶者最好的方法，國家在《中小學(xué)生健康體檢管理辦法》中規(guī)定：中

小學(xué)校每年組織一次在校學(xué)生健康體檢，現(xiàn)某學(xué)校有4000名學(xué)生，假設(shè)攜帶乙肝病毒的學(xué)生占膽％,某體

檢機(jī)構(gòu)通過抽血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐?化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)次數(shù)4000次.為

減輕化驗(yàn)工作量，統(tǒng)計(jì)專家給出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)按照A個(gè)人進(jìn)行分組，將各組Z個(gè)人的血樣混合再

化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，說明這k個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣

呈陽性，就需對(duì)該組每個(gè)人血樣再分別化驗(yàn)一次.假設(shè)每人血樣化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽性相互獨(dú)立.

(1)若m=0.4,記每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為X,當(dāng)“取何值時(shí)，X的數(shù)學(xué)期望最小，并求化驗(yàn)總次數(shù)；

(2)若加=0.8,設(shè)每人血樣單獨(dú)化驗(yàn)一次費(fèi)用5元，?個(gè)人混合化驗(yàn)一次費(fèi)用Z+4元.求當(dāng)k取何值時(shí)，

每人血樣化驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望最小，并求化驗(yàn)總費(fèi)用.

參考數(shù)據(jù)及公式：√10≈3.16,(l+x)n≈1+nx(n∈N*,n>2,∣x∣≤0.01).

22.若定義在區(qū)間/上的函數(shù)y=/(x),其圖象上存在不同兩點(diǎn)處的切線相互平行，則稱函數(shù)y=/(x)

為區(qū)間/上的“曲折函數(shù)”，“現(xiàn)已知函數(shù)/(x)=2β2Inx+√(α>0).

(1)證明:y=f(x)是(0,+∞)上的“曲折函數(shù)”;

設(shè)證明：使得對(duì)于均有

(2)O<Λo<a,3xi∈(x0√z),Vx∈(%,α),

(β-?)∕,W-∕(fl)+∕(?)<θ?

石家莊市2023屆高中畢業(yè)年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(三)

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

,(6A)C8表示的區(qū)域?yàn)?)

C.IIID.IV

【解析】由補(bǔ)集的概念，Q/A表示的區(qū)域如下圖所示陰影區(qū)域,

故選：D.

2.已知函數(shù)/(x)同時(shí)滿足性質(zhì)：Φ∕(-Λ)=-∕(X);②對(duì)于VΛ1,We(0,l),

/(%)T(X2)>0,則函數(shù)“X)可能是()

%一%

-Xfl

A.f(x)=ex-eB/(?)=

5

C./(x)=Sin4xD./(x)=χ2

【答案】A

【解析】由函數(shù)奇偶性的定義，若函數(shù)“X)滿足/(-χ)=-∕(χ),則函數(shù)“X)為奇函數(shù),

/?/?/(x1)-/(x2)

由函數(shù)單調(diào)性的定義，若函數(shù)/(x)滿足?王,Λ2∈(0,1),八"八2'>o,則函數(shù)

Xy一/

/(x)在區(qū)間((U)上單調(diào)遞增，選項(xiàng)中四個(gè)函數(shù)定義域均為R,VxeR,都有一XGR

對(duì)于A,〃—x)=eT-e'=—⑹一eτ)=-"x),故〃x)為奇函數(shù)，滿足性質(zhì)①，

?.?y=e，與y=γr=—Q)均在R上單調(diào)遞增，.../(X)=e*-e7在R上單調(diào)遞增，

滿足性質(zhì)②；

對(duì)于B,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，/(χ)=(g］為非奇非偶函數(shù)，在R上單調(diào)遞減，性質(zhì)①，

②均不滿足；

對(duì)于C,/(-x)=Sin(-4X)=-Sin4x=-∕(x),故/(x)為奇函數(shù)，滿足性質(zhì)①，

A兀...TT—,/DTrkiιTC攵兀

々---F2Aτι≤4?x≤—F2女f兀，左∈Z,斛τ1得----1-----≤x≤—I------,攵∈Z,

228282

TrJCrLJTκ,TT

.?./(χ)的單調(diào)遞增區(qū)間為—三+?=+?,kwZ,故/(χ)在((U)不單調(diào)，不滿

o2o2

足性質(zhì)②；

對(duì)于D,由事函數(shù)的性質(zhì)，/(x)=f為偶函數(shù)，在區(qū)間［0,+8)單調(diào)遞增，不滿足性質(zhì)

①，滿足性質(zhì)②.

故選：A.

3.觀察下列四幅殘差圖，滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定的是()

f殘差

100-

-100----1------1-----1-----1-----1---->

°20406080100觀測(cè)時(shí)間

產(chǎn)差

^401002003004005006007008009001000*

觀測(cè)時(shí)間

八殘差

1500?7左

1000\

500??V

C.0-D.

-500-

-1000-

1500*l——2*'——~'——?——*—

020406080100充測(cè)時(shí)間

0O:殘差

5

HO.?

H0O

5O??,?V?.??

O????????

O??de.”..

≡5

0O-????：?；??.??.?、

-H

I5O

-J0O

■

1102030405060708090100觀測(cè)時(shí)間

【答案】B

【解析】根據(jù)一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差e的假定，殘差應(yīng)是均值為0、方差為的隨

機(jī)變量的觀測(cè)值.對(duì)于A選項(xiàng)，殘差與觀測(cè)時(shí)間有線性關(guān)系，故A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)；故B

正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，殘差與觀測(cè)時(shí)間有非線性關(guān)系，故C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨著觀測(cè)時(shí)間變大而變大，故D錯(cuò).

故選：B.

4.18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉研究調(diào)和級(jí)數(shù)得到了以下的結(jié)果：當(dāng)〃很大時(shí)，

1+1+1++L=ln"+y(常數(shù)/=0.577).利用以上公式，可以估計(jì)

23n

----------1------------HH的值為()

2000120002---------30000

A.InlO4B.In3÷ln2C.In3-ln2D.1∏2

【答案】C

【解析】由題意1+,+,++—5—=ln3000+7,l+,+!+?+—!—=ln2000+y

233000232000

1

所以------+-------+?.-+=In3000-In2000=3+In3-(3+In2)=ln3Tn2,

200012000230000

故選：C.

5.已知函數(shù)/(x)=2sin(s+e)3>0,0w<τr)的部分圖象如圖所示，則/(x)圖象的一

個(gè)對(duì)稱中心是()

,0C.D.

【答案】D

T兀ππ

【解析】(法一)設(shè)/(x)的最小正周期為T，由函數(shù)圖象可知，-=-

32

7=2兀，

2兀

T=一=2π,.*.6>=1,Λ/(x)=2sin(x÷^),

又當(dāng)X=—'時(shí)，/(x)取最大值，；?----卜φ=—F2E,keZ,：?φ=---卜2kτι,

3326

Z∈Z,

5兀5π)

?.?0<9<兀,:,φ=—,Λ/(?)=2sinΛ+-6^)

6

5K5兀

令XH......-kτι,Z∈Z,解得X—-----+ku,Z∈Z,

66

.*.F(X)的對(duì)稱中心為(--—+ku,0j,攵∈Z,

當(dāng)人=—1時(shí)，f

(法二)設(shè)/(X)的最小正周期為T，由函數(shù)圖象可知,

T

-=π,

2

由圖象可知，/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為［g,θj,/(x)的對(duì)稱中心為仁+E,θJ,

6

左∈Z,

當(dāng)我=—2時(shí),,0,故選：D.

6.已知以〃是兩條不同的直線，久僅是兩個(gè)不同的平面，其中下列命題正確的是（）

A.若加//”,〃Uα,則加//&

B若TnUa,αc月=〃,，〃J_〃，則相_L4

C.若〃ZUa,根J_4，則a_1_￡

D若αm-La,則〃?///?

【答案】C

【解析】若根/∕%"ua,則機(jī)//ɑ或muα,A錯(cuò)；

若加匚。℃萬=〃,m_1_〃，α與夕不一定垂直，因此加_1■月不正確，B錯(cuò)誤；

由面面垂直的判定定理知C正確；若a_L/?,〃Z_Le,則根//戶或加U尸，D錯(cuò)誤.故

選：C.

7.已知直線2x+3y-1=0經(jīng)過圓（xτ〃）2+（y—〃）2=1的圓心，其中相＞（）且

21

n∈（-l,0）.則----------的最小值為（）

m+2nn

A9B.5+2√5C.1D.

5+√5

【答案】A

31

【解析】圓（X）2+（y-〃）2=1的圓心為（根,〃），依題意，2m+3〃=1,即加+萬〃=5,

由〃∈(-l,0),知加+2〃—+—n>0,令Q=An+2凡力=-?-n,則

222

a>Q,b>O,a+b--

2

1

1

2

-?，、/22、c/52ba、

因此----------b2(α+6)(一+多=2(-+—+—)

m+2nnab2a2b

。/1

'W+?欄2b琮aA，當(dāng)且僅當(dāng)一=8，即Q=2〃=—時(shí)取等號(hào),

aIb3

121

所以當(dāng)根=1"=一一時(shí)，----------取得最小值9,故選：A

3m+2〃n

8.中國結(jié)是一種盛傳于民間的手工編織工藝品，它原本是舊石器時(shí)代的縫衣打結(jié)，后推展

至漢朝的儀禮記事，再演變成今日的裝飾手藝.中國結(jié)顯示的精致與智慧正是中華民族古老

文明中的一個(gè)側(cè)面己知某個(gè)中國結(jié)的主體部分可近似地視為由一個(gè)大正方形(內(nèi)部是16

個(gè)邊長為2的小正方形)和16個(gè)半圓所組成，如圖，AC是中國結(jié)主體部分上的定點(diǎn)，

點(diǎn)B是16個(gè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，則AC?AB的最大值為()

A.66+6√17B.66+4√Γ7C.66+2√Γ7D.18√∏

【答案】C

【思路分析】建立坐標(biāo)系，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求解，

AC-AB=IAC∣IΛB∣cosNBAC=∣AC∣∣AD∣,只要∣A”最大即可.

【解析】抽取其中部分圖形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

作Bo_LAC于￡>,則==IAChAO],

因此只要IAu最大，則AcAB取得最大值，由圖知當(dāng)B點(diǎn)是靠近點(diǎn)C上方的半圓E與

AC垂直的切線的切點(diǎn)ACAB取得最大值.圖中點(diǎn)C上方最靠近C點(diǎn)的圓E的方程為

U-D2+(y-8)2=l,

Q11

C(2,8),kλc=-=4f因此原。=一工，設(shè)圓E的斜率為一I的切線方程為

1

y=——x+m,

4+8^∏

即W1+y=0，由1＞解得根=——±----,

44

133√∏

由圖可知圖形中半圓石的切線方程為y=尤+寧+

33√∏

+

^T~T~33√∏1IaI33√∏,

A點(diǎn)到它的距離為d—/]=~——+1,所以卜回的最大值為----------F1，

17

√16+1

所以（AB?AC）maχ=標(biāo)157x（也叵+l）=66+2j∏^,故選：c?

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分

9.已知復(fù)數(shù)z∣=l+2i,復(fù)數(shù)Z滿足IZ-ZII=2,則（）

A.zl?zj=5

B.√5-2<∣z∣<√5+2

C.復(fù)數(shù)4在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,2)

D.復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(x,y),則(x—l)2+(y—2)2=4

【答案】AD

【解析】由已知Z=l-2i,其對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(1,一2),C錯(cuò)誤；z∣?[=F+22=5,A正確；

由IZ-ZJ=2知Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以Z1對(duì)應(yīng)點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，IZIl=JL

因此逐—2≤∣Z∣≤6+2,B錯(cuò)誤；Zl對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),因此D正確.故選：AD.

10?設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,XO(XOHO)是/(x)的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是

()

A.VXWRJ(X)≤/(/)B.一與是/(r)的極大值點(diǎn)

C.X。是一/⑺的極小值點(diǎn)D.-Xo是-/(-6的極大值點(diǎn)

【答案】BC

【解析】X。是/(X)的極大值點(diǎn).則存在區(qū)間(。,〃)，％∈(α,0),對(duì)任意xe(α,勿有

f(x)<f(x0),/(%)不一定是最大值，A錯(cuò)誤；

/(-X)的圖象與/(X)的圖象關(guān)于N軸對(duì)稱，因此一XoG(一人,一。)，對(duì)任意xe(-b,-α)有

/(?)≤/(-x0),-%是/(-x)的極大值點(diǎn),B正確；

F*)的圖象與一/(x)的圖象關(guān)于X軸對(duì)稱，因此對(duì)任意x∈(α,與有一/(x)≥-/(/)，C

正確；

由BC的推理可知-%是一/(一力的極小值點(diǎn)，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.已知函數(shù)/(力圖象上的點(diǎn)(XM都滿足卜3一5χ+y廣"+X2023=4x-y-x3,則下列

說法中正確的有()

A./(x)=-x3+4%

B.若直線/與函數(shù)/(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)A,B,C,且滿足∣A8∣=忸Cl=Ji5,則直線

AC的斜率為3.

C.若函數(shù)g(x)=/(X)-OX2-4x+α(α∕0)在X=XO處取極小值0,則°=之’.

D.存在四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)/(x)的圖象上的正方形，且這樣的正方形有兩個(gè).

【答案】ACD

【思路分析】由已知條件化同構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)后求出/(x)的解析式，可判斷選項(xiàng)A,分類討

論函數(shù)的極值情況，可判斷選項(xiàng)C,由過原點(diǎn)的直線和/(X)的對(duì)稱性，可判斷選項(xiàng)B,選

項(xiàng)D.

【解析】由(/-5x+y)-°"+f°23=4X-y-Λ?得，

3

卜3_5χ+y廣3+χ2O23+χ-4χ+y=0.

注意到兩個(gè)高次項(xiàng)的底數(shù)Y-5x+y與X恰好滿足(χ3-5χ+y)+χ=χ3-4χ+y,

故一5χ+y)~°”+(χ3-5χ+y)+χ2O23+χ=o,令R(X)=X箋"十%，χ∈R,

則(X3一5χ+yy°'+(χ3一5了+?+工2023+》=0等價(jià)于f(χ3一5χ+y)+R(X)=0,

即∕7(x)=—F(X3—5x+y)

?.?F(-x)=(-x)2023-??-%2023-X=-(x2023+%)=-F(x),F(x)奇函數(shù)，

.^.∕7(X)=-F(X3—5x+y)=尸(-χ3+5χ-y),

又?.?F,(X)=2023X2022+1>0,.?.尸(X)在R上單調(diào)遞增,

由E(X)=F(—丁+5x-y)得X=-X3+5χ-y,即y=-V+4χ,

由題意，即函數(shù)/(x)圖象上的點(diǎn)(χ,y)都滿足y=-d+4χ,.?./(X)=-X3+4%,故選

項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,Y/(X)=-X'+4x,χ∈R,

.*./(-x)=-(-x)3+4-(-%)=X3-4x=-(-x3+4x)=-∕(x),

.?.∕(χ)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

當(dāng)直線/過原點(diǎn)且斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=H,

由直線/和/(χ)的對(duì)稱性知，若直線/與函數(shù)/(χ)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)AB,C,且滿足

∣A^=∣BCj=√iδ，

則B為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0),不妨設(shè)/(儲(chǔ)，匚)，C(XC,及)，(%λ<0<xc),

則由<)='(")=一1+4λ,消去y,整理得d+(左一4)x=0,即X(X2+左—4)=0,

y=kx

.*.x；+k-4=x[+k—4=(),=—4—k,

.?.∣AB∣2=/+找=/+公尺=0+々2)(4—攵)=10,即爐一4公+女+6=0，

.?.K+1—4/+女+5=(女+1乂公—女+])_(左+])(4女一5)=(女+])(公—5女+6)=o,

解得Z=T或2或3,即滿足題意的直線AC的斜率有-1,2,3,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,,：/(X)=~X3+4X,

.*.g(x)=-x3+4x-0x2-4x+a=-x^-ax2+α(α≠0),

Λg,(x)=-3X2-2ax(^a≠0),令g'(x)=-3x之-2ar=θ(α≠θ),則X=O或

當(dāng)0>0時(shí)，式，g'(x)，g(x)變化情況如下:

co2a

X(^)^τ)0(o,+∞)

"T寧。)

g'(x)—0+0—

心)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

(2ɑY^^f

—即］+。=—M+α=o,

當(dāng)X=—彳時(shí)，g(χ)取極小值g一絲=------Q

3??>k?/\3)27

解得a=0(舍)或a=3，5；

2

當(dāng)α<0時(shí)，X,g'(x),g(x)變化情況如下:

2a

X0

(-∞,o)^T(0,+∞)

g'(x)—0+0—

g(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

當(dāng)X=O時(shí)，g(x)取極小值g(0)=α=0(舍)，

綜上所述，若函數(shù)g(x)在X=Xo處取極小值。，則α=半，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,由正方形和/(x)的對(duì)稱性知，設(shè)正方形MNPQ四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)/(x)的圖象

上，

則正方形的對(duì)角線MP與NQ所在直線均過原點(diǎn)，斜率存在且不為0,且MPJ_NQ,

IMH=INQI,

不妨設(shè)MP所在直線為N=依，則與選項(xiàng)B判斷過程同理，IMa2=(1+公)(4一外，

4

設(shè)NQ所在直線為y=-LX,同理百「得即f=(ι+!)(+J,

k

.?.(1+切(4T)=(I+卻4+￡|,

???MP?=?N^,：.\MOf=?Nθf,

即(1+匯)(4一&)=勺^(4+；),

KyKJ

414J+—,.."(*卜*+/=0,

Λ--4+-+/:=0,，——4%+-

k2k3k

1(1A2

2\+%2-2=/，.?.J+%2=r+2,

令—-k=19則kI=t,?*?^y

k?k)/c2kz

一左]+J7+公=O等價(jià)于r+4.+2=0，

?κJκ^

?.?△=16-8=8>0,/有兩解，即有兩組斜率，=

k

INQI，

故存在四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)/(x)圖象上的正方形，且這樣的正方形有兩個(gè)，選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是“同構(gòu)”，通過“同構(gòu)”構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)確定

/(x)解析式.選項(xiàng)B和選項(xiàng)D的辨析，要利用好三次函數(shù)的對(duì)稱性.

12.已知曲線C:XW-4引乂=4,尸(七,為)為C上一點(diǎn)，則()

A.口〃€口,%—2卜+〃?=。與曲線。有四個(gè)交點(diǎn)

B.考+$的最小值為1

C,0-2%+Gl的取值范圍為(6,2√Σ+K]

D.過點(diǎn)(-20,-20)的直線與曲線C有三個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率AGlg,土丁)

【答案】BCD

【思路分析】分象限討論得出曲線圖象，數(shù)形結(jié)合判斷A,根據(jù)圖象及橢圓、雙曲線性質(zhì)可

知離原點(diǎn)最近的點(diǎn)判斷B,利用平行線間的距離可判斷C,求切線斜率結(jié)合圖象判斷D.

【解析】當(dāng)x≥0,y≥。時(shí)，曲線方程為/-4y2=4,即上一y2=ι,曲線為雙曲線一部

4

分，

當(dāng)x<O,y>O,曲線方程為一/一4y2=4,曲線不存在，

2

當(dāng)x<0,y<0,曲線方程為一/+4y2=4,即/_￡_=],曲線為雙曲線一部分，

4

2

當(dāng)x>0,y<0,曲線方程為/+4y2=4,即二+y2=],曲線為橢圓一部分，

4

綜上，作曲線圖象，如圖,

對(duì)A,由雙曲線方程可知I,漸近線方程為y=直線x-2y+m=0與漸近線平行或重

合，作漸近線的平行線，由圖象可知，直線x-2y+m=0與曲線不存在四個(gè)交點(diǎn)，故A

錯(cuò)誤；

對(duì)B,由雙曲線、橢圓頂點(diǎn)性質(zhì)可知，曲線上與原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)為8,由曲線方程知

8(O,-l),所以焉+巾的最小值為1,故B正確；

對(duì)C,卜。-2)'。+3|表示曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線χ-2y+百=O的距離,可轉(zhuǎn)化為兩平行

線工一2)，+百=0與直線工―2^+”=0間的距離，且x-2y+〃=0與曲線有交點(diǎn)，

x-2γ÷π=O

聯(lián)立《X221可得2xz+2nx+∕72—4=0,

—+V=1

14

由A=4"2-8("2-4)=0,可解得“=—20或”=20(舍去)，

結(jié)合圖象可知，IY冏<卜?。叫」干一回即

√i?√i?√i?

6-2y0+6∣≤2>∕Σ+百，故C正確；

對(duì)D,由Λ∕(-2√Σ,-2√Σ)在曲線的切線x-2y-2√Σ=0上,

設(shè)過點(diǎn)M與土一y=1相切的直線方程為y+2y∕2=k(x+2√2),

4

γ+2√2=?(x+2√2)

聯(lián)立《尤2,,消元得：

-----=1

I4，

(1一4^)χ2一(16上公_16岳)x-32Z2+64%—36=0,

222

所以A=(16√2)(P-k)-4(1-4k)(-32〃+64%-36)=0,

化簡可得4公—162+9=0,解得火=2-立或&=2+也(與雙曲線左支相切，不滿足

22

題意,舍去)，

由圖象可知，當(dāng)直線斜率滿足!<后<士亞時(shí)，直線與曲線有3個(gè)交點(diǎn)，故D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一個(gè)難點(diǎn)在于通過分象限討論，去掉絕對(duì)值得出曲線方程，再

由曲線方程畫出曲線圖象；第二個(gè)難點(diǎn)在于解題中充分應(yīng)用曲線在第一象限及第三象限的

圖象為雙曲線部分，且具有相同的漸近線；第三個(gè)難點(diǎn)在于求過點(diǎn)(-2√Σ,-20)與第一

象限雙曲線相切時(shí)，計(jì)算量繁瑣，基本不能完成.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

【答案】80

【解析】的展開式的通項(xiàng)為

C(X2)[N[2)"c"2>k=0,1,2,L,5.

令10---=O,貝IJ女=4,的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

2

加=(—2)4C"=16x5=80.

14.已知數(shù)列｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式為4=〃-1,數(shù)列｛2｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)

列，則%+?++%=.

【答案】502

【解析】由題意可得：an=n-↑,bn=2'-',%,=2-1=2"T-1.

81><(12)

所以t?+4,+L+al^=(l+2+L+2)-9=--9=502

1—2

15.已知正四面體A—BCD的棱長為6,P是心ABC外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，。是四面體

A-BCD內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，則IPQl的取值范圍是.

【答案】[√6,2√β]

【解析】如圖，AE是正四面體ABcD的高，由對(duì)稱性知其外接球與內(nèi)切球球心重合為。

且在AE上，E是底面正ABCD中心，BF=-×-×6=2√3,

32

AE=762-(2√3)2=2√6>

設(shè)外接球半徑為A,即GW=OB=R,

由OB?=OE2+BE2得斤=Q遙-R)2+Q百)2,解得R=1叵,因此內(nèi)切球半徑為

2

瓜

r=OnEp=—，

2

顯然有IIOPlTOQIl≤IPQl≤IOP∣+1OQ∣,即R—廠≤IP@≤火+r，

7?+r=2-?∕6>R-r=?/e>所以≤∣PQ∣≤2^/^,

16.我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，?1()35=IxlO3+0×102+3×10'+5×lOo.表示十進(jìn)制

的數(shù)要用0~9這10個(gè)數(shù)字.而電子計(jì)算機(jī)用的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，只需O和1兩個(gè)數(shù)字，如四

位一進(jìn)制的數(shù)IOOI⑵=1x23+0x2?+0χ2∣+1x2°,等于十進(jìn)制的數(shù)%現(xiàn)有一組十進(jìn)

制表示的數(shù)列玉,工2，、工2023,(XieN*/=1,2,,2023),定義

n2023ft∣

a=n%+n%,?=1,2,,2022(口％表示《,a?，,a,”的乘積)，若將

/=1y=∕f+ιk=?

乙,4,■*2022表示成二進(jìn)制數(shù)，其中有IOll個(gè)數(shù)末位是0，若將玉,工2，，工2023表示成二

進(jìn)制數(shù)，則末位是0的數(shù)至多有個(gè).

【答案】1012

【思路點(diǎn)撥】先找到外表示的二進(jìn)制數(shù)，然后結(jié)合題意利用組合極值分析即可得到.

l

【解析】對(duì)于d=町x2'+∕∏2x2*τ++tns×2+ms+i×2°,且

犯,m2,,ms,ms+l∈{θ,l},SeN,

mm

bk表示的二進(jìn)制數(shù)為町根2ss+?，

當(dāng)加用=0時(shí)，Μ?2',根2?2'T,,sx2∣均為偶數(shù)，所以4為偶數(shù)，

要使X”/，，々023中偶數(shù)最多，只需前面的偶數(shù)連續(xù)，

例如取玉,工2，均為偶數(shù)，XIoI3，，1014，，*2023均為奇數(shù)，

則偽也,…,4oι∣均為偶數(shù),a012，4013,…，%23均為奇數(shù)，

此時(shí)自也,…,即22中有ion個(gè)數(shù)的末位為O

此時(shí)X∣,Λ2,X2023表示成二進(jìn)制至多有1012個(gè)末位是0,

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步

驟.

17.已知；ABC中，角A,B,C