數(shù)學(xué)-專項(xiàng)9.12因式分解的應(yīng)用及閱讀問題大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題七下蘇科）-【】2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題（帶答案）【蘇科版】

【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題【蘇科版】專題9.12因式分解的應(yīng)用及閱讀問題大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷試題解答30道，共分成三個(gè)層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個(gè)題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一．解答題（共30小題）1．（2021秋?崇川區(qū)校級月考）已知△ABC三邊長a，b，c滿足a2+b2+c2﹣6a﹣6b﹣10c+43＝0，試判斷△ABC的形狀．【分析】由a2+b2+c2﹣6a﹣6b﹣10c+43＝0整理可得：（a﹣3）2+（b﹣3）2+（c﹣5）2＝0，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a、b、c的值，可判斷出三角形的形狀．【解答】解：∵a2+b2+c2﹣6a﹣6b﹣10c+43＝a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+c2﹣10c+25＝（a﹣3）2+（b﹣3）2+（c﹣5）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣3＝0，c﹣5＝0，∴a＝3，b＝3，c＝5，∴△ABC為等腰三角形．2．（2019春?徐州期中）已知x+y＝7，xy＝6．試求：（1）x﹣y的值；（2）x3y+xy3的值．【分析】（1）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，將已知代入即可；（2）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝37，x3y+xy3＝xy（x2+y2），代入即可；【解答】解：（1）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∵x+y＝7，xy＝6，∴（x﹣y）2＝25，∴x﹣y＝±5；（2）x3y+xy3＝xy（x2+y2），∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，∴x2+y2＝37，

∴x3y+xy3＝xy（x2+y2）＝222；3．（2019春?邗江區(qū)校級期中）定義：任意兩個(gè)數(shù)a，b，按規(guī)則c＝b2+ab﹣a+7擴(kuò)充得到一個(gè)新數(shù)c，稱所得的新數(shù)c為“如意數(shù)”．（1）若a＝2，b＝﹣1，直接寫出a，b的“如意數(shù)”c；（2）如果a＝3+m，b＝m﹣2，試說明“如意數(shù)”c為非負(fù)數(shù)．【分析】（1）本題是一道自定義運(yùn)算題型，根據(jù)題中給的如意數(shù)的概念，代入即可得出結(jié)果（2）根據(jù)如意數(shù)的定義，求出代數(shù)式，分析取值范圍即可【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣1∴c＝b2+ab﹣a+7＝1+（﹣2）﹣2+7＝4（2）∵a＝3+m，b＝m﹣2∴c＝b2+ab﹣a+7＝（m﹣2）2+（3+m）（m﹣2）﹣（3+m）+7＝2m2﹣4m+2＝2（m﹣1）2∵（m﹣1）2≥0∴“如意數(shù)”c為非負(fù)數(shù)4．（2022秋?大豐區(qū)期中）我們用xyz表示一個(gè)三位數(shù)，其中x表示百位上的數(shù)，y表示十位上的數(shù)，z表示個(gè)位上的數(shù)，即xyz=100x+10y+z（1）說明abc+（2）①寫出一組a、b、c的取值，使abc+bca+cab能被11整除，這組值可以是a＝2，b＝5，c＝4；②若abc+bca+cab能被11整除，則a、b、c三個(gè)數(shù)必須滿足的數(shù)量關(guān)系是【分析】（1）將abc+（2）①根據(jù)能被11整除的定義即可求解；②表示，再根據(jù)abc+bca+cab能被11整除，找到a、【解答】解：（1）abc＝100a+10b+c+100b+10c+a+110c+10a+b

＝111a+111b+111c＝111（a+b+c），故abc+（2）①∵一組a、b、c的取值，使abc+abc+bca+cab=111（a+b+c），0＜a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a∴a+b+c＝11，∴這組數(shù)可以是a＝2，b＝5，c＝4，故答案為：2，5，4（答案不唯一）；②∵abc+bca+cab=111（a+b∴a+b+c能被11整除，即a+b+c是11的倍數(shù)，∵0＜a+b+c≤9+9+9＝27，∴a，b，c必須滿足的關(guān)系是a+b+c＝11或22，故答案為：a+b+c＝11或22．5．（2021春?鼓樓區(qū)期末）對任意一個(gè)三位數(shù)n，如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)數(shù)為“相異數(shù)”．將一個(gè)“相異數(shù)”任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個(gè)不同的新三位數(shù)，把這三個(gè)新三位數(shù)的和與111的商記為F（n）．例如n＝123，對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對調(diào)百位與個(gè)位上的數(shù)字得到321，對調(diào)十位與個(gè)位上的數(shù)字得到132，這三個(gè)新三位數(shù)的和為213+321+132＝666，666÷111＝6，所以，F(xiàn)（123）＝6．（1）計(jì)算：F（243），F(xiàn)（761）的值；（2）已知一個(gè)相異數(shù)p，且p＝100a+10b+c，（其中a，b，c均為小于10的正整數(shù)），則F（p）＝a+b+c，（3）若m，n都是“相異數(shù)”，其中m＝100x+23，n＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整數(shù)），若k=F(m)F(n)，當(dāng)F（m）+F（n）＝16時(shí)，求【分析】（1）利用已知條件及方法代數(shù)求解（2）百位數(shù)的表示方法（3）利用前兩問的方法表示F（m），F(xiàn)（n）．利用F（m）+F（n）＝16，求解不定等式中x與y的值．進(jìn)而求出F（m），F(xiàn)（n）的值．【解答】解：（1）F（243）＝（423+342+234）÷111＝9，F(xiàn)（761）＝（671+167+716）÷111＝14．

（2）∵相異數(shù)p＝100a+10b+c，（其中a，b，c均為小于10的正整數(shù)），∴F（p）＝[100（a+b+c）+10（a+b+c）+（a+b+c）]÷111＝a+b+c故答案為：a+b+c（3）∵m，n都是“相異數(shù)”，且m＝100x+23，n＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整數(shù)），∴F（m）＝[100（x+2+3）+10（x+2+3）+（x+2+3）]÷111＝x+5，F(xiàn)（n）＝（51y+y51+1y5）＝[100（1+5+y）+10（1+5+y）+（1+5+y）]÷111＝6+y又∵F（m）+F（n）＝16∴x+y＝5．又∵1≤x≤9，1≤y≤9∴當(dāng)x＝1，y＝4當(dāng)x＝2，y＝3當(dāng)x＝3，y＝2當(dāng)x＝4，y＝1．又∵m，n都是“相異數(shù)”，∴x≠2，x≠3，y≠1∴x＝1，y＝4∴F（m）＝6，F(xiàn)（n）＝10∴k＝6÷10＝0.6故k＝0.66．（2021春?鎮(zhèn)江期中）【活動材料】若干個(gè)如圖1所示的長方形和正方形硬紙片【活動要求】用若干塊這樣的長方形和正方形硬紙片拼成一個(gè)新的長方形，通過不同的方法計(jì)算面積，探求相應(yīng)的等式．例如，由圖2，我們可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．【問題解決】（1）選取正方形、長方形硬紙片共8塊，拼出如圖3的長方形，直接寫出相應(yīng)的3b2+4ab+a2＝（a+b）（3b+a）；（2）嘗試借助拼圖的方法，把二次三項(xiàng)式2a2+3ab+b2

分解因式，并把所拼的圖形畫在圖4的虛線方框內(nèi)；（3）將2b2﹣3ab+a2分解因式：2b2﹣3ab+a2＝（b﹣a）（2b﹣a）（直接寫出結(jié)果，不需要畫圖）．【分析】運(yùn)用不同方法求解矩形面積：分割法求解、公式法求解，所得的結(jié)果是一樣的，由此可得出答案．【解答】解：（1）如圖3，用分割法求解圖3的矩形，可發(fā)現(xiàn)是由3個(gè)邊長為b的正方形和1個(gè)邊長為a的正方形以及4個(gè)長寬分別為b、a的長方形組成，所以矩形面積可為（3b2+4ab+a2），矩形面積求解還可以用長乘寬計(jì)算，長為（3b+a），寬為（a+b），所以矩形面積可為（3b+a）（a+b），面積相等，即：3b2+4ab+a2＝（a+b）（3b+a）．（2）如圖所示，2a2+3ab+b2可看作由2個(gè)邊長為a的正方形，1個(gè)邊長為b的正方莆，3個(gè)長宙斯分別為b、a的長方形組成的矩形的面積，所以可畫圖．由（1）的方法可得2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．（3）由幾何思想可利用已有圖形拼湊，拼湊成2個(gè)邊長為b的正方形減去3個(gè)長寬分別為b、a的矩形，再加上一個(gè)邊長為a的正方形即可，再用公式法算出剩下圖形的面積，即可得到式子：2b2﹣3ab+a2＝（b﹣a）（2b﹣a）．7．（2022秋?大興區(qū)期中）設(shè)ab是一個(gè)兩位數(shù)，如果a+b可以被9整除，則這個(gè)兩位數(shù)可以被9整除嗎？為什么？【分析】首先將這個(gè)兩位數(shù)表示出來，再將其變形得9a+（a+b），由已知條件可得9a及a+b均能被9整除，從而證得這個(gè)兩位數(shù)也能被9整除．【解答】解：可以，理由如下：∵ab是一個(gè)兩位數(shù)，∴這個(gè)兩位數(shù)為10a+b，即10a+b＝9a+（a+b），∵9a能被9整除，a+b可以被9整除，

∴9a+（a+b）能被9整除，即ab能被9整除．8．（2022春?郫都區(qū)校級月考）我們知道，分解因式與整式乘法是互逆的運(yùn)算．在分解因式的練習(xí)中我們也會遇到下面的問題，請你根據(jù)情況解答：（1）已知a，b，c是△ABC的三邊且滿足a2+2b2＝2b（a+c）﹣c2.判斷△ABC的形狀；（2）兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式時(shí)，其中一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成3（x﹣1）（x+2），另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)而分解成3（x+2）（x﹣3）．請你求出原來的多項(xiàng)式并將原式分解因式．【分析】（1）先根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式把原式化簡，再根據(jù)完全平方公式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性得到a＝b，b＝c，根據(jù)等邊三角形的概念求解；（2）由于含字母x的二次三項(xiàng)式的一般形式為ax2+bx+c（其中a、b、c均為常數(shù)，且abc≠0），所以可設(shè)原多項(xiàng)式為ax2+bx+c．看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)即b值看錯(cuò)而a與c的值正確，根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算，可將3（x﹣1）（x+2）運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則展開求出a與c的值；同樣，看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)即c值看錯(cuò)而a與b的值正確，可將3（x+2）（x﹣3）運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則展開求出b的值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，∴a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a＝b，b＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC為等邊三角形；（2）設(shè)原多項(xiàng)式為ax2+bx+c（其中a、b、c均為常數(shù)，且abc≠0）．∵3（x﹣1）（x+2）＝3（x2+x﹣2）＝3x2+3x﹣6，∴a＝3，c＝﹣6；又∵3（x+2）（x﹣3）＝3（x2﹣x﹣6）＝3x2﹣3x﹣18，∴b＝﹣3．∴原多項(xiàng)式為3x2﹣3x﹣6，將它分解因式，得3x2﹣3x﹣6＝3（x2﹣x﹣2）＝3（x﹣2）（x+1）．

9．（2022春?招遠(yuǎn)市期末）【閱讀材料】把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值問題中都有著廣泛的應(yīng)用．例如：請根據(jù)上述材料解決下列問題：（1）在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：a2+4a+4．（2）利用上述方法進(jìn)行因式分解：a2﹣10a+21．（3）求4x2+4x+5的最小值．【分析】（1）根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)的一半進(jìn)行配方即可；（2）將21化成25﹣4，前三項(xiàng)配成完全平方式，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解；（3）將式子進(jìn)行配方，利用偶次方的非負(fù)性可得即可得解．【解答】解：（1）在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：a2+4a+4．故答案為：4；（2）a2﹣10a+21＝a2﹣10a+25﹣4＝（a﹣5）2﹣4＝（a﹣5+2）（a﹣5﹣2）＝（a﹣3）（a﹣7）；（3）4x2+4x+5＝4x2+4x+1+4＝（2x+1）2+4，∵（2x+1）2≥0，∴（2x+1）2+4≥4，∴4x2+4x+5的最小值為4．10．（2022春?江津區(qū)期末）一個(gè)三位正整數(shù)，百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為a、b、c，如果滿足a＝

b+c，那么稱這個(gè)三位數(shù)為“開心數(shù)”．（1）三位正整數(shù)中，最小的“開心數(shù)”為101，最大的“開心數(shù)”為990．（2）如果一個(gè)“開心數(shù)”滿足百位為6，且能被6整除，那么稱這個(gè)“開心數(shù)”為“順利開心數(shù)”，請求出所有的“順利開心數(shù)”．【分析】（1）利用題中新定義求解‘（2）利用題中新定義，先求“開心數(shù)”，再求“順利開心數(shù)”．【解答】解：（1）因?yàn)槿粩?shù)的百位數(shù)字最小是1，所以最小的“開心數(shù)”為101，因?yàn)槿粩?shù)的百位數(shù)字最大是9，所以最大的“開心數(shù)”為990；故答案為：101，990；（2）由題意得：百位為6“開心數(shù)“為：606，660，615，651，642，624，633，其中能被6整除的有：606，660，642，624，所以所有的“順利開心數(shù)”為：606，660，642，624，11．（2022秋?玄武區(qū)期中）一個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)為a，個(gè)位上的數(shù)為b，這個(gè)兩位數(shù)記作ab；一個(gè)三位數(shù)的百位上的數(shù)為x，十位上的數(shù)為y，個(gè)位上的數(shù)為z，這個(gè)三位數(shù)記作xyz．小明的證明思路因?yàn)閤yz=_①100x+10y+z＝②9（11x+y）+（x+y+z），又因?yàn)榇鷶?shù)式②，（x+y+z）都能被3整除，所以xyz能被3整除．（1）（ab+（2）小明發(fā)現(xiàn)：如果（x+y+z）能被3整除，那么xyz就能被3整除．請補(bǔ)全小明的證明思路．【分析】（1）根據(jù)給定的運(yùn)算可表示出ab+ba=11（a（2）根據(jù)xyz=100x+10y+z＝9（11x+y）+（x+y+z），因?yàn)?（11x+y），（x+y+z【解答】解：（1）ab+根據(jù)題意，ab+ba=10a+b+10b+a＝11a+11b＝11（a∴ab+

（2）∵xyz=100x+10y+＝99x+x+9y+y+z＝（99x+9y）+（x+y+z）＝9（11x+y）+（x+y+z），∵9（11x+y），（x+y+z）都能被3整除，∴xyz就能被3整除，故答案為：100x+10y+z，9（11x+y）．12．（2022春?建鄴區(qū)校級期末）（1）問題探究：已知a、b是實(shí)數(shù)，求證：a2+b2≥2ab．（2）結(jié)論應(yīng)用：已知m、n是實(shí)數(shù)，且mn＝2，求3m2+3n2﹣1的最小值．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式即可證明；（2）根據(jù)m2+n2≥2mn，依此可求3m2+3n2﹣1的最小值．【解答】（1）證明：∵（a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab；（2）解：∵m、n是實(shí)數(shù)，且mn＝2，∴3m2+3n2﹣1＝3（m2+n2）﹣1≥3×2mn﹣1＝6mn﹣1＝12﹣1＝11．故3m2+3n2﹣1的最小值是11．13．（2022春?丹陽市期中）閱讀下列材料：教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．即將多項(xiàng)式x2+bx+c（b、c為常數(shù)）寫成（x+h）2+k（h、k為常數(shù)）的形式．配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問題的方法，不僅可以將有些看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題及求代數(shù)式最大、最小值等問題．【知識理解】（1）若多項(xiàng)式x2+kx+16是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)k的值為C；A．4B．8C．±8D．±16

（2）若多項(xiàng)式x2+4x+m是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)m的值為4；（3）配方：x2﹣6x﹣10＝（x﹣3）2﹣19；x2+2x+4＝（x+1）2+3；【知識運(yùn)用】（4）通過配方發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式x2﹣4x+7有最小值，則最小值為3；（5）利用配方法因式分解：a2+2a﹣3＝a2+2a+1﹣4＝（a+1）2﹣4＝（a+5）（a﹣1）；（6）已知m2+2mn+2n2﹣8n+16＝0，則m＝﹣4，n＝4；（7）若M＝（a+1）（a﹣3），N＝2（a﹣1）（a﹣2），則M＜N（用“＜、＞”號填空）．【分析】（1）利用完全平方公式得出答案．（2）利用完全平方公式得出答案．（3）利用配方法即可得出答案．（4）將代數(shù)式配方為（x﹣2）2+3，可得出答案．（5）利用完全平方公式配方即可得出答案．（6）利用配方法將等式變形為（m+n）2+（n﹣4）2＝0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得m+n=0n?4=0，解方程組可得出m，n（7）計(jì)算N﹣M可得a2﹣4a+7＝（a﹣2）2+3＞0，即可得出答案．【解答】解：（1）∵x2+kx+16＝x2+kx+42是一個(gè)完全平方式，∴由kx＝±2x?4，解得k＝±8．故選：C．（2）∵x2+4x+m是一個(gè)完全平方式，∴m＝22＝4．故答案為：4．（3）x2﹣6x﹣10＝x2﹣6x+9﹣9﹣10＝（x﹣3）2﹣19．x2+2x+4＝x2+2x+1﹣1+4＝（x+1）2+3．故答案為：19；（x+1）2+3．（4）x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4﹣4+7＝（x﹣2）2+3，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+3≥3，∴x2﹣4x+7的最小值為3．

故答案為：3．（5）a2+2a﹣3＝a2+2a+1﹣1﹣3＝a2+2a+1﹣4＝（a+1）2﹣4＝（a+1+2）（a+1﹣2）＝（a+3）（a﹣1）．故答案為：1；（a+3）（a﹣1）．（6）∵m2+2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m+n）2+（n﹣4）2＝0，∴m+n=0n?4=0解得m=?4n=4故答案為：﹣4；4．（7）∵M(jìn)＝（a+1）（a﹣3）＝a2﹣2a﹣3，N＝2（a﹣1）（a﹣2）＝2（a2﹣3a+2）＝2a2﹣6a+4，∴N﹣M＝a2﹣4a+7＝（a﹣2）2+3＞0，∴N＞M，即M＜N．故答案為：＜．14．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，這個(gè)三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（a+b）n（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)（a+b）2＝a2+2ab+b2展開式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著（a+b）3＝a3+3a﹣b+3ab2+b2展開式中的系數(shù)……這就是著名的楊輝三角：（1）（a+b）n的展開式共有（n+1）項(xiàng)，系數(shù)和為2n．（2）根據(jù)上面的規(guī)律，則（a﹣b）4的展開式＝a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．

（3）利用上面的規(guī)律計(jì)算：35﹣5×34+10×33﹣10×32+5×3﹣1．【分析】（1）根據(jù)展開式的系數(shù)規(guī)律可得答案；（2）根據(jù)規(guī)律寫出（a﹣b）4即可；（3）根據(jù)前面的規(guī)律可得原式等于（3﹣1）5，再計(jì)算即可．【解答】解：（1）由楊輝三角的系數(shù)規(guī)律可得：（a+b）n的展開式共有（n+1）項(xiàng)，系數(shù)和為2n．故答案為：（n+1），2n；（2）由楊輝三角的系數(shù)規(guī)律可得：（a﹣b）4＝a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．故答案為：a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4；（3）35﹣5×34+10×33﹣10×32+5×3﹣1＝（3﹣1）5＝25＝32．15．（2021秋?崇川區(qū)期末）（閱讀材料）我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n＝p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q）．在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解，并規(guī)定當(dāng)p×q是n的最佳分解時(shí)，F(xiàn)（n）=p例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因?yàn)?8﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，從而F（18）=3（探索規(guī)律）（1）F（15）＝35，F(xiàn)（24）＝23（2）F（4）＝1，F(xiàn)（9）＝1，F(xiàn)（25）＝1，…；猜想：F（x2）＝1（x是正整數(shù)）．（應(yīng)用規(guī)律）（3）若F（x2+x）=89，且x是正整數(shù)，求（4）若F（x2﹣11）＝1，請直接寫出x的值．

【分析】（1）由信息可知15的最佳分解是3×5，24的最佳分解是4×6，代入F（n）=p（2）由完全平方數(shù)的特點(diǎn)可知結(jié)果為1；（3）把x2+x化為x（x+1）即可得出結(jié)果；（4）把（x2﹣11）寫成完全平方數(shù)的形式即可得出x．【解答】解：（1）∵3×5＝15，∴F（15）=3∵4×6＝24，∴F（24）=4故答案為：35；2（2）∵4，9，25都是平方數(shù)，∴F（25）＝1，F(xiàn)（X2）＝1，故答案為：1；1；（3）∵F（x2+x）=89，且x2+x＝x（∴x（x+1）＝8×9，∴x＝8，即x的值為8；（4）∵F（x2﹣11）＝1，∴（x2﹣11）是一個(gè)完全平方數(shù)，∴x2﹣11＝x2﹣12+1，∴2x＝±12，∴x＝±6，即x的值為±6．16．（2021秋?興化市校級月考）在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數(shù)充滿好奇，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)一種特殊的自然數(shù)——“好數(shù)”．定義：對于三位自然數(shù)n，各位數(shù)字都不為0，且百位數(shù)字與十位數(shù)字之和恰好能被個(gè)位數(shù)字整除，則稱這個(gè)自然數(shù)n

為“好數(shù)”．例如：426是“好數(shù)”，因?yàn)?，2，6都不為0，且4+2＝6，6能被6整除；643不是“好數(shù)”，因?yàn)?+4＝10，10不能被3整除．（1）判斷674，243是否是“好數(shù)”？并說明理由；（2）求出百位數(shù)字比十位數(shù)字小7的所有“好數(shù)”的個(gè)數(shù)，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)“好數(shù)”的定義判斷；（2）根據(jù)“好數(shù)”的定義及“百位數(shù)字比十位數(shù)字小7”，進(jìn)行推理求解．【解答】解：（1）674不是“好數(shù)”，243是“好數(shù)”．理由如下：因?yàn)?、7、4都不為0，且6+7＝13，13不能被4整除，所以674不是“好數(shù)”，因?yàn)?、4、3都不為0，且2+4＝6，6能被3整除，所以243是“好數(shù)”；（2）設(shè)十位數(shù)字為a，則百位數(shù)字為a﹣7（7＜a≤9，且a是整數(shù)），所以a+a﹣7＝2a﹣7，當(dāng)a＝8時(shí)，2a﹣7＝9，因?yàn)?能被1、3、9整除，所以滿足條件的三位數(shù)有181、183、189．當(dāng)a＝9時(shí)，2a﹣7＝11，因?yàn)?1能被1整除，所以滿足條件的三位數(shù)有291．綜上所述，滿足條件的三位自然數(shù)有181、183、189、291共4個(gè)．17．（2021春?丹陽市期中）著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個(gè)數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則．”恒等變形是代數(shù)式求值的一個(gè)很重要的方法，利用恒等變形，可以把無理數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運(yùn)算，可以把次數(shù)較高的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為次數(shù)較低的代數(shù)式例如：當(dāng)x=3+1時(shí)，求12x3﹣x2為解答這題，若直接把x=3方法一：將條件變形，因x=3+1，得x﹣1=3．再把所求的代數(shù)式變形為關(guān)于（x﹣1）的表達(dá)式，可得原式=12（x3﹣2x2﹣2x）+2=12[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2=12[x（x﹣1）2

方法二：先將條件化成整式，再把等式兩邊同時(shí)平方，把無理數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運(yùn)算．由x﹣1=3，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x原式=12x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣請參照以上的解決問題的思路和方法，解決以下問題：（1）當(dāng)x2+x﹣1＝0時(shí)，求x4﹣3x2+1的值；（2）當(dāng)x=2?1時(shí)，求x3+2x2﹣【分析】（1）先由x2+x﹣1＝0變形為x2+x＝1，然后將x4﹣3x2+1不斷拼湊出x2+x的式子即可得出答案；（2）先將x=2?1變形為x+1【解答】解：（1）∵x2+x﹣1＝0，∴x2+x＝1，∴x4﹣3x2+1＝x4+x3﹣x3﹣3x2+1＝x2（x2+x）﹣x3﹣3x2+1＝x2﹣x3﹣3x2+1＝﹣x3﹣2x2+1＝﹣x3﹣x2﹣x2+1＝﹣x（x2+x）﹣x2+1＝﹣x﹣x2+1＝﹣（x2+x）+1＝﹣1+1＝0，（2）∵x=2∴x+1=2∴（x+1）2＝2，∴x2+2x＝1，∴x3+2x2﹣x+1＝x（x2+2x）﹣x+1＝x﹣x+1＝1．

18．（2021春?淮安區(qū)期中）數(shù)學(xué)中，常對同一個(gè)量（圖形的面積、點(diǎn)的個(gè)數(shù)、三角形的內(nèi)角和等）用兩種不同的方法計(jì)算，從而建立相等關(guān)系，我們把這一思想稱為“算兩次”．“算兩次”也稱做富比尼原理，是一種重要的數(shù)學(xué)思想．（1）選擇題：圖1是一個(gè)長2a、寬2b（a＞b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形．然后，按圖2那樣拼成一個(gè)（中間空的）正方形，則中間空的部分面積是C（填序號）．A．2abB．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a(chǎn)2﹣b2（2）如圖3，是將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長方形拼成一個(gè)邊長為a+b+c的正方形，試用不同的方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積．據(jù)此，你能發(fā)現(xiàn)（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（3）如圖4，兩個(gè)邊長為a，b，c的直角三角形硬紙板和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三角形硬紙板拼成圖4，用不同的方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積．你能發(fā)現(xiàn)a，b，c之間具有怎樣的相等關(guān)系？（用最簡形式表示）【分析】（1）用兩種方法表示圖2的面積，即可求出中間空的部分的面積；（2）用兩種方法表示圖3的面積，即可得等式；（3）用兩種方法表示圖形的面積，即可得到等式，化簡即可．【解答】解：（1）設(shè)中間空的部分面積為S，∵圖2的面積＝（a+b）2，圖2的面積＝4ab+S，∴S＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，故選：C．（2）圖3的面積＝（a+b+c）2，又∵圖3的面積＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，

故答案為：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（3）∵圖4的面積=1圖4的面積=1∴12即a2+b2＝c2．19．（2021春?梁溪區(qū)期中）我們知道，對于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．請解答下列問題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式．（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面問題：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）小明同學(xué)又用x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為a、b的長方形紙片拼出了一個(gè)面積為（5a+7b）（8a+5b）長方形，那么x+y+z＝156．【分析】（1）直接求得正方形的面積，然后再根據(jù)正方形的面積＝各矩形的面積之和求解即可；（2）將a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，代入（1）中得到的關(guān)系式，然后進(jìn)行計(jì)算即可；（3）將x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為a、b的長方形的面積的和等于（5a+7b）（8a+5b）即可得到答案．【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，（2）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝121﹣76＝45，（3）由題意可知：xa2+yb2+zab＝（5a+7b）（8a+5b），xa2+yb2+zab＝40a2+81ab+35b2，∴x＝40，y＝35，z＝81，∴x+y+z＝156．

故答案為：156．20．（2022春?金湖縣期末）（1）學(xué)習(xí)“完全平方公式”時(shí)，小明遇到課本上一道題目“計(jì)算（a+b+c）2”，他聯(lián)系所學(xué)過的知識和方法，想到兩種解決思路：①可以用“整體思想”把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為兩部分：[（a+b）+c]2或[a+（b+c）]2，然后可以利用完全平方公式解決，請你選擇一種變形方法寫出計(jì)算過程；②可以用“數(shù)形結(jié)合”的方法，畫出表示（a+b+c）2的圖形，根據(jù)面積關(guān)系得到結(jié)果．請你在下面正方形中畫出圖形，并作適當(dāng)標(biāo)注；（2）利用（1）的結(jié)論分解因式：x2+y2+4﹣2xy+4x﹣4y＝（x﹣y+2）2；（3）小明根據(jù)“任意一個(gè)實(shí)數(shù)的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多項(xiàng)式的最大值或最小值，方法如下：①x2﹣6x+7＝x2﹣6x+9﹣2＝（x﹣3）2﹣2∵（x﹣3）2≥0∴（x﹣3）2﹣2≥﹣2故當(dāng)x＝3時(shí)代數(shù)式x2﹣6x+7的最小值為﹣2．②﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1）+4＝﹣（x+1）2+4∵﹣（x+1）2≤0∴﹣（x+1）2+4≤4故當(dāng)x＝﹣1時(shí)代數(shù)式﹣x2﹣2x+3的最大值為4．請你綜合以上表述，求當(dāng)x，y滿足什么條件時(shí)以下代數(shù)式有最小值，并確定它的最小值．①x2+y2+2xy﹣6x﹣6y+20；②2x2+y2﹣2xy﹣4x+2y+10．【分析】（1）①用“整體思想”把（a+b）看作一個(gè)整體，[（a+b）+c]2用完全平方公式化簡，或者把（b+c）看作一個(gè)整體，[a+（b+c）]2用完全平方公式化簡．②構(gòu)造如圖的一個(gè)邊長為（a+b+c）的正方形＝9個(gè)小圖形的面積的和．（2）用（1）的結(jié)論計(jì)算，找到式子中對應(yīng)結(jié)論中的a、b、c．（3）用配方法化簡①和②中的代數(shù)式，然后根據(jù)“任意一個(gè)實(shí)數(shù)的平方≥0”得出代數(shù)式的最小值．【解答】解：（1）①方法一：（a+b+c）2

＝[（a+b）+c]2＝（a+b）2+2（a+b）c+c2＝a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．方法二：（a+b+c）2＝[a+（b+c）]2＝a2+2a（b+c）+（b+c）2＝a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．②∵大正方形的面積＝（a+b+c）2，大正方形的面積＝3個(gè)正方形的面積+6個(gè)長方形的面積＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）由（1）得結(jié)論（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝（a+b+c）2．x2+y2+4﹣2xy+4x﹣4y＝x2+y2+22﹣2xy+2x?2﹣2y?2＝（x﹣y+2）2．故答案為：（x﹣y+2）2．（3）①x2+y2+2xy﹣6x﹣6y+20＝x2+y2+32+2xy﹣2x?3﹣2y?3+11＝（x+y﹣3）2+11，∵（x+y﹣3）2≥0，∴（x+y﹣3）2+11≥11．故當(dāng)x+y＝3時(shí)，代數(shù)式x2+y2+2xy﹣6x﹣6y+20的最小值為11．

②2x2+y2﹣2xy﹣4x+2y+10＝x2﹣2xy+y2﹣2x+2y+x2﹣2x+1+9＝（x2﹣2xy+y2）﹣（2x﹣2y）+（x2﹣2x+1）+9＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+（x﹣1）2+9＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1+（x﹣1）2+8＝（x﹣y﹣1）2+（x﹣1）2+8∵（x﹣y﹣1）2≥0，且（x﹣1）2≥0，∴（x﹣y﹣1）2+（x﹣1）2+8≥8，故當(dāng)x＝1且y＝0時(shí)，代數(shù)式2x2+y2﹣2xy﹣4x+2y+10的最小值為8．21．（2022春?樂平市期末）閱讀下列分解因式的過程：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）+（﹣2x+4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問題：（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；（2）△ABC三邊a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判斷△ABC的形狀．【分析】（1）依據(jù)分組分解法，把a(bǔ)2﹣4a﹣b2+4分組成（a2﹣4a+4）+（﹣b2），然后用完全平方公式法因式分解后，再用平方差公式法因式分解．（2）先把a(bǔ)2﹣ab﹣ac+bc＝0因式分解，得出（a﹣b）（a﹣c）＝0，由此得出a＝b，或a＝c，或a＝b＝c，從而判斷出△ABC是等腰三角形或等邊三角形．【解答】解：（1）a2﹣4a﹣b2+4＝（a2﹣4a+4）+（﹣b2）＝（a﹣2）2﹣b2＝（a﹣2+b）（a﹣2﹣b）．（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，∴（a2﹣ab）+（﹣ac+bc）＝0，a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a﹣b＝0或a﹣c＝0，a＝b且a＝c，即a＝b，或a＝c，或a＝b＝c，∴△ABC是等腰三角形或等邊三角形．

22．（2022春?鄆城縣期末）下面是某同學(xué)對多項(xiàng)式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4進(jìn)行因式分解的過程．解：設(shè)x2﹣4x＝a，則原式＝（a+2）（a+6）+4（第一步）＝a2+8a+16（第二步）＝（a+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列問題：（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的CA．提取公因式B．平方差公式C．兩數(shù)和的完全平方公式D．兩數(shù)差的完全平方公式（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？不徹底.（填“徹底”或“不徹底”）若徹底，直接跳到第（3）問；若不徹底，請先直接寫出因式分解的最后結(jié)果：（x﹣2）4．（3）請你模仿以上方法嘗試對多項(xiàng)式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1進(jìn)行因式分解．【分析】（1）利用完全平方公式求解；（2）利用因式分解的定義判斷；（3）仿照例題求解．【解答】解：（1）從第二步到第三步是兩個(gè)數(shù)和的完全平方式，故選：C．（2）分解因式必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止，而（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4，故答案為：不徹底，（x﹣2）4．（3）設(shè)x2﹣2x＝a，則原式＝a（a+2）+1＝a2+2a+1＝（a+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．23．（2022春?保定期末）教材中寫道：“形如a2±2ab+b2的式子稱為完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問題的方法，不僅可以將有些看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題及求代數(shù)式最大、最小值等問題．

例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如；求代數(shù)式x2+4x+6的最小值．原式＝x2+4x+4﹣4+6＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．∵（x+2）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，x2+4x+6有最小值是2．解決下列問題：（1）若多項(xiàng)式x2+6x+m是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)m的值為9；（2）分解因式：x2+6x﹣16＝（x﹣2）（x+8）；（3）若x＞﹣1，比較：x2+6x+5＞0（填“＞，＜或＝”），并說明理由；（4）求代數(shù)式﹣x2﹣6x﹣5的最大或最小值．【分析】（1）利用完全平方公式的特征求解；（2）仿照題中的配方法求解；（3）先分解因式，再利用兩個(gè)數(shù)相乘的法則求解；（4）利用題中的配方法進(jìn)行變形，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷．【解答】解：（1）∵6x＝2×3?x，且x2+6x+m是一個(gè)完全平方式，所以m的值為9，故答案為：9．（2）∵x2+6x﹣16＝x2+6x+9﹣9﹣16＝（x+3）2﹣25＝（x+8）（x﹣2），故答案為：（x+8）（x﹣2）；（3）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，x+5＞4，∴x2+6x+5＝（x+1）（x+5）＞0．（4）∵原式＝﹣（x2+6x+9﹣9）﹣5＝﹣（x+3）2+4≤4，所以代數(shù)式﹣x2﹣6x﹣5的最大值為4．

24．（2022?南京模擬）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多項(xiàng)式只用上述方法就無法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式了．過程為：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種方法解決下列問題：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）已知：x+y＝7，x﹣y＝5．求：x2﹣y2﹣2y+2x的值．（3）△ABC三邊a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判斷△ABC的形狀．【分析】（1）利用分組分解法求解；（2）先利用分組分解法分解，再整體代入求解；（3）先利用分組分解法分解，再根據(jù)邊長進(jìn)行判斷．【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）x2﹣y2﹣2y+2x＝（x2﹣y2）+（2x﹣2y）＝（x﹣y）（x+y+2）∵x+y＝7，x﹣y＝5，∴原式＝（x﹣y）（x+y+2）＝5×（7+2）＝45；（3）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c，∴△ABC是等腰三角形．25．（2022春?紹興期末）浙教版數(shù)學(xué)課本七下第四章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中這樣寫到：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式．再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值、或小值等．例如：分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知當(dāng)x＝﹣1時(shí)2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問題：

（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝（m+1）（m﹣5）；（2）求代數(shù)式﹣a2+8a+1的最大值；（3）當(dāng)a、b為何值時(shí)，多項(xiàng)式a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+11（4）設(shè)a為實(shí)數(shù)，b為正整數(shù)，當(dāng)多項(xiàng)式a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+114取得最小整數(shù)時(shí)，則a＝12或32，【分析】（1）利用配方法分解因式；（2）利用配方法變式，再根據(jù)平方的性質(zhì)求最大值；（3）利用配方法變式，再根據(jù)平方的性質(zhì)求最小值；（4）根據(jù)（3）的結(jié)論，結(jié)合a，b的取值范圍求解．【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣32＝（m+1）（m﹣5）；故答案為：（m+1）（m﹣5）；（2）∵﹣a2+8a+1＝﹣（a2﹣8a+16﹣16）+1＝﹣（a﹣4）2+17≤17，∴當(dāng)a＝4時(shí)，﹣a2+8a+1的最大值是17．（3）原式＝a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+＝（a﹣2b）2+2（a﹣2b）+1+b2+2b+＝（a﹣2b+1）2+（b+1）2+3此時(shí)有：a?2b+1=0b+1=0解得：a=?3b=?1所以當(dāng)a＝﹣3，b＝﹣1時(shí)，這個(gè)最小值為34（4）∵b為正整數(shù)，∴由（3）得：原式≥19原式取得的最小整數(shù)值是5，當(dāng)（a﹣2b+1）2+（b+1）2+3

（a﹣2b+1）2+（b+1）2=∵b為正整數(shù)，∴b+1＝2，∴（a﹣2b+1）2=解得：a=12或∴b＝1，a=12或a故答案為：12或326．（2022春?北海期末）一般地，我們把如a2﹣2ab+b2及a2﹣2ab+b2的多項(xiàng)式叫做完全平方式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式：x2+2x﹣3．原式＝x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．再如：求代數(shù)式x2+4x﹣5的最小值．因?yàn)閤2+4x﹣5＝x2+4x+4﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9且（x+2）2≥0所以，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，x2+4x﹣5有最小值，最小值是﹣9．根據(jù)以上材料，回答下列問題：（1）分解因式：a2﹣2a﹣3＝（a+1）（a﹣3）；（2）代數(shù)式x2+2x+3的最小值是2；（3）試說明：無論x、y取任何實(shí)數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)．【分析】（1）根據(jù)題目中例題把前兩項(xiàng)進(jìn)行配方，然后利用平方差公式進(jìn)行因式分解；（2）根據(jù)例題中求代數(shù)式最小值的情況對二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方求值；（3）對多項(xiàng)式中關(guān)于x、y的式子分別進(jìn)行配方后進(jìn)行分析即可．【解答】解：（1）a2﹣2a﹣3＝（a2﹣2a+1）﹣4＝（a﹣1）2﹣22＝（a﹣1+2）（a﹣1﹣2）

＝（a+1）（a﹣3）．故答案為：（a+1）（a﹣3）（2）∵x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2．且（x+1）2≥0．∴（x+1）2+2≥2．∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，x2+2x+3有最小值，最小值是2．故答案為：2．（3）原式＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1．∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x﹣2）2+（y+1）2+1≥1．∴無論x、y取任何實(shí)數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)．27．（2022春?普寧市期末）閱讀與思考：分組分解法指通過分組分解的方式來分解用提公因式法和公式法無法直接分解的多項(xiàng)式，比如：四項(xiàng)的多項(xiàng)式一般按照“兩兩”分組或“三一”分組，進(jìn)行分組分解．例1：“兩兩分組”：ax+ay+bx+by解：原式＝（ax+ay）+（bx+by）＝a（x+y）+b（x+y）＝（a+b）（x+y）例2：“三一分組”：2xy+x2﹣1+y2解：原式＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）歸納總結(jié)：用分組分解法分解因式要先恰當(dāng)分組，然后用提公因式法或運(yùn)用公式法繼續(xù)分解．請同學(xué)們在閱讀材料的啟發(fā)下，解答下列問題：（1）分解因式：①x2﹣xy+5x﹣5y；②m2﹣n2﹣6m+9；（2）已知△ABC的三邊a，b，c滿足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，試判斷△ABC的形狀．【分析】（1）①前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)分別提取公因式，再提取公因式即可；②將第一、三、四項(xiàng)組成一個(gè)完全平方公式，再利用平方差公式分解因式即可；（2）根據(jù)平方差公式和提取公因式分解因式，再提取公因式（a﹣b），得到（a﹣b）（a+b+c

）＝0，根據(jù)a、b、c是△ABC的三邊，a+b+c≠0，得到a﹣b＝0，從而a＝b，△ABC的形狀是等腰三角形．【解答】解：（1）①原式＝x（x﹣y）+5（x﹣y）＝（x﹣y）（x+5）；②原式＝（m﹣3）2﹣n2＝（m+n﹣3）（m﹣n﹣3）；（2）∵a2﹣b2+ac﹣bc＝0，∴（a+b）（a﹣b）+c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a+b+c）＝0，∵a、b、c是△ABC的三邊，a+b+c≠0，∴a﹣b＝0，∴a＝b，∴△ABC的形狀是等腰三角形．28．（2022春?大渡口區(qū)期末）對于任意一個(gè)四位正整數(shù)x，若x的各位數(shù)字都不為0．且十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字不相等，千位數(shù)字與百位數(shù)字不相等，那么稱這個(gè)數(shù)為“多彩數(shù)”．將一個(gè)“多彩數(shù)”a的任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字去掉后得到四個(gè)新三位數(shù)，把這四個(gè)新三位數(shù)的和與3的商記為F（a），例如，“多彩數(shù)”a＝1234，去掉其中任意一位數(shù)后得到的四個(gè)新三位數(shù)分別為：234，134，124，123，這四個(gè)三位數(shù)之和為234+134+124+123＝615，615÷3＝205，所以F（1234）＝205．（1）計(jì)算F（1564）和F（6321）；（2）若“多彩數(shù)”b＝8900+10m+n（1≤m≤9，1≤