甘肅省2023屆第一次高考診斷考試數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

甘肅省2023屆第一次高考診斷考試數(shù)學(xué)試題(文)

一.選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4=(3。<^2},8=自2g°},則AcB子集的個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.8

K答案』C

K解析』由集合4={川0<^^2},3=卜￡2|;(^0},

則AnB={1,2},故ACB的子集為0,{1,},{2,}{1,2},共4個(gè)，故選:C.

2.復(fù)數(shù)z∣*2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，若Zl=I-2i,i為虛數(shù)單位，則N2=

()

A.l+2iB.-l-2i

C.-l+2iD.2+i

K答案HB

K解析Il由題意可得：Zl對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1,-2),該點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(一1,一2),

所以Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(一1,一2),

z2=—1—2i.故選：B.

3.已知Sina+cosα=’，則sin2α=()

2

11廠33

A.-B.----C.-D.----

4444

K答案UD

K解析U?sin。+COSa=

2

「?(sinc+cosaY=sin2cr+cos2or+2sinorcos6z=l+sin26z=—,

'74

3

解得sin2α=——.故選：D.

4.已知“X)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=Iog2X,則/(T)=()

A.2B.-2C.1D.-1

K答案UB

R解析Il因?yàn)?(χ)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，

所以/(-4)=一/(4)=Tog24=一2,故選B

5.“稻草很輕，但是他迎著風(fēng)仍然堅(jiān)韌，這就是生命的力量，意志的力量”“當(dāng)你為未來(lái)付出

踏踏實(shí)實(shí)努力的時(shí)候，那些你覺(jué)得看不到的人和遇不到的風(fēng)景都終將在你生命里出現(xiàn)”……

當(dāng)讀到這些話時(shí)，你會(huì)切身體會(huì)到讀書(shū)破萬(wàn)卷給予我們的力量.為了解某普通高中學(xué)生的閱

讀時(shí)間，從該校隨機(jī)抽取了800名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到了這800名學(xué)生一周的平均閱讀時(shí)

間(單位：小時(shí))，并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則從這

800名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，周平均閱讀時(shí)間在(10,12)內(nèi)的頻率為()

頻率

t組距

0.15-------1—1

OO5

oo4

oo3

oo2

oo1

681012141618周平均閱讀

時(shí)間/小時(shí)

A.0.20B.0.10C.0.15D.0.30

K答案』A

K解析》由頻率分布直方圖得

0.02×2+0.03×2+0.05×2+0.05×2+0.15×2+26Z+0.05×2+0.()4×2+0.01×2=L

解得α=0.10,所以周平均閱讀時(shí)間在(10,12)內(nèi)的頻率為2Q=0.20,

故選：A

6.已知焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線，一條漸近線的傾斜角是另一條漸近線的傾斜角的5倍，則

雙曲線的離心率是()

A.3叵B.2C.—D.西

322

K答案》A

JT

K解析》由題意設(shè)一條漸近線的傾斜角為α,g∈(0,]),

JT

則另一條漸近線的傾斜角為5a,由雙曲對(duì)稱(chēng)性可得α+5α=π,C=:,

則一條漸近線的斜率為tan四=正,

63

設(shè)雙曲線的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為0,短半軸長(zhǎng)為6,則2=3,

a3

故離心率為e=,故選：A.

.在長(zhǎng)方體中，底面。為正方形，其外接球的體積為

7ABer)-AqCQlABCAA1=2,

36π,則此長(zhǎng)方體的表面積為()

A.34B.64C.4√∏+17D.8√Π+34

K答案HB

K解析》設(shè)外接球的半徑為R,因?yàn)橥饨忧虻捏w積為36兀，所以V=q兀R=36π,所以

3

R=3.

設(shè)底面正方形ABCQ邊長(zhǎng)為〃，因?yàn)殚L(zhǎng)方體外接球的球心在體對(duì)角線中點(diǎn)，球直徑為長(zhǎng)方

體體對(duì)角線，所以J/+/+22=2R=6,所以。=4,

所以長(zhǎng)方體的表面積為2(4χ4+2χ4+2χ4)=64,

故選：B

πI

8.已知函數(shù)f(x)=2sin(s+e)∣0>0,|同<5J的部分圖像如圖所示，則

C.1D.-1

(答案HD

I2itTt2冗

K解析力由圖像可得IT=二兀一二二1,所以T=π,則一=兀，即刃=2,

2362ω

所以/(x)=2Sin(2x+°),將點(diǎn)代入/(x)=2sin(2x+o),

(Tl?TlTl

可得2sin[2x7+eJ=2,所以5+0=5+2k71,%∈Z,

即9=工+2Λπ,攵∈Z,且MV工，所以夕=工，

626

所以〃x)=2sin(2x+F),貝∣J=2sin(2x*兀+￡=—2Sine=T.

故選：D

9.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳析九章算法》中提出了垛積問(wèn)題，涉及逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次

差成等差數(shù)列的高階等差數(shù)列.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列的前6項(xiàng)分別為4,7,11,16,22,29,

則該數(shù)列的第18項(xiàng)為()

A.172B.183C.191D.211

K答案HC

R解析H設(shè)該數(shù)列為U},則4-%=〃+1,(〃22),

aaa

故n=(凡一n-?)+(n-l~4-2)+-+(。2-4)+"1

=(〃+1)+〃+(〃-1)++3+4

=?——------^+4,"≥2,

2

al=4也適合該式，

故第18項(xiàng)為68=(8-1)(18+4)+4=[9],故選：C

2

10.已知點(diǎn)尸(一3,2)在拋物線。：丫2=22X5>0)的準(zhǔn)線上，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為人的直線

與。交于AB兩點(diǎn).若如.PB=O,則Z=()

A.1B.√2C.√3D.3

K答案》D

K解析H由點(diǎn)P(-3,2)在拋物線。：/=20雙0>0)的準(zhǔn)線上，可得號(hào)=3,.?.p=6,

故C:y2=i2x,焦點(diǎn)為F(3,0),則設(shè)直線AB的方程為N=&(X-3),

y=k(x-3)

聯(lián)立《-2,可得我2/一6(2+F)無(wú)+%?=o,144(1+?2)>O,

y=12X

設(shè)A(尤∣,y),B(x2,y2),

6(2+Λ2)?

ιπιlxx

則X1+X2-------2---->↑2=9，

12

則M+丁2=攵(Xl+—6)二丁'

K

22

yiy2=k(x}-3)(X2-3)=^[X∣X2-?(XI+x2)+9]=-36,

又P(-3,2),故Λ4=(χ1+3,γ1-2),PB=(x2+3,γ2-2),

由AZ?PB=O，得(X+3,y1-2)?(x2+3,j2-2)=0,

整理可得%x2+3(X]+w)+%%-2(%+%)+13=0,

即9+3χ6(2y2)-36-2χU+i3=o,

k2k

即左2一6左+9=0，故左=3,故選：D.

11.在直三棱柱ABC-AMG中，A8=4,3C=AC=2j2,A41=1,點(diǎn)〃,N分別是

A耳,AC的中點(diǎn)，則異面直線BM與CN所成角的余弦值為()

?√15r√iθr√5n√6

5533

K答案HA

K解析》如圖分別取AB,AC的中點(diǎn)G,F,連接AG,AR,如下圖所示：

B

因?yàn)锳BC-A4G為直三棱柱，且點(diǎn)M是A4的中點(diǎn)，

所以AM//AG,且AM=AG,則四邊形AMBG平行四邊形，

所以A∣G∕∕8M,同理A^//NC,

所以異面直線BM與CN所成角為NGA/或其補(bǔ)角，

因?yàn)镚,F分別為AB,AC的中點(diǎn)，所以GF=LBC=J2,

2

22

AF=JAA2+」尸2=G，AiG=y∣AiA+AG=√5,

因?yàn)?f2+Gp2=AG2,所以AIFJ?EG,

在RLAGF中，CoSNGAF=%=W=呼,

因此，直線BM與AG所成角的余弦值為巫.

5

故選：A.

12.設(shè)a=e°/-l,b=：,c=lnl.l,則()

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

K答案』B

K解析?記〃X)=e*—X—1,則/(x)=e'—1,當(dāng)X>O時(shí)，用勾>0,故/(x)在(0,+∞)

上單調(diào)遞增，所以/(0.1)>∕(0),即e°∣-0.1-l>0,所以e°∣-l>0?l,故

記g(x)=lnx-x+l,則g'(x)=L-l=^1~當(dāng)χ>l時(shí)，g,(x)<0,故g(x)在

(1,+8)上單調(diào)遞減，所以g(l.l)<g(l),即InLl—1.1+1<(),所以InLl<0.1,故

c<b；因此CV6VQ.

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x+y-4≤0,

13.若實(shí)數(shù)x,＞滿足約束條件＜2x—y—6≤0,則z=x+y的最大值是.

%-l＞O,

K答案』4

x+y-4≤0,

K解析Il畫(huà)出約束條件＜2x-y-6≤O,所表示的平面區(qū)域，如圖所示，

%—1≥0,

當(dāng)直線＞=-x+Z過(guò)點(diǎn)A5時(shí)在y上的截距最大，

此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值，此時(shí)x+y=4,

所以目標(biāo)函數(shù)Z=X+y的最大值為ZmaX=4,

故K答案U為：4

14.已知向量4=（；機(jī),2）力=（2,3〃?），若。與6共線且方向相反，則∣2α+q=

K答案12√W

3

K解析Il依題意，可設(shè)三=君（/1＜0）,因?yàn)?=（2,3加），

所以∕?=（2∕l,3∕lm）,又因?yàn)榧?2

1

22=-mλ=—λ--

所以〈3解得J3或J3（舍去）,

3λm=2m=-2/71=2

所以α=[-?∣,21b=(2,-6),

所以2α=--,4,所以2。+。=|彳,一2I,

I3)U)

所以12。+切=Jt)+(—2)2=3普

故K答案》為：2叵

3

15.在如圖所示的平面四邊形ABCz)中，AD=3,AB=BC=CD=6,則

λΛcosA-cosC的值為.

K答案』1

K解析H由題設(shè)AD2+AB2-2AZ>ABcosA=5C2+Cf)2-28C?Cr)cosC,

所以12—6GCoSA=6—6CoSC，W∣J√3cosA-cosC=1.

故K答案H為：1

16.若直線y=3x+∕n是曲線y=χ3(χ>0)與曲線y=-χ2+λυf-6(χ>0)的公切線，則

m-,n-.

K答案』-27

K解析D設(shè)直線y=3x+加與曲線y=χ3(χ>())相切于點(diǎn)(a,a3),

對(duì)于函數(shù)y=∕(χ>θ),y=3f,貝∣J3/=3(。〉0),解得α=l,

所以r=3+m，即機(jī)=一2；

設(shè)與曲線y=—/+〃尤一6(x>0)相切于點(diǎn)(b3b+m),

y'——2.x+n,則一2匕+〃=3(匕>0),又一+b(3+2Z?)—6=3b—2,

又b>0,所以ZJ=2,〃=7.

故K答案H為：—2；7.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明.證明過(guò)程或演算步聚.第17~21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22.23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.已知等差數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S“，且4=2,65=5,等比數(shù)列｛々｝中,

打=4也=32.

（1）求數(shù)列｛α,,｝和也｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)J=4+2,求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和Z,?

。6=+5d=2

解：（I）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d，貝卜

S5=5q+IOd=5'

解得α∣=d=L,

3

所以4=g+g("-ι)=g;

設(shè)等比數(shù)歹∣J｛〃,｝的公比為4，則/=?=8,q=2,

"2

則4=%=2,所以勿=2".

q

π

(2)由(1)得：Cn=an+bιl=-+2,

所以k1+2卜]|+斗]|+嚇+《+2”

123n

-+—+-+÷-+(2+22+23+?→2n)

3333

=∣n（n+l）+2n+'-2.

18.某校組織了全體學(xué)生參加“建黨100周年'’知識(shí)競(jìng)賽，從高一、高二年級(jí)各隨機(jī)抽取50

名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分），統(tǒng)計(jì)如下表:

分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

高一年級(jí)31()121510

高二年級(jí)46101812

(1)分別估計(jì)高一、高二年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)的平均值％與兀(同一組中的數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所

在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)；

(2)學(xué)校規(guī)定競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的為優(yōu)秀，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，

并判斷是否有90%的把握認(rèn)為競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀與年級(jí)有關(guān)？

非優(yōu)秀優(yōu)秀合計(jì)

高一年級(jí)

高二年級(jí)

合計(jì)100

,“2n(ad-bcY

附：K'=-------------------------,其中〃=α+A>+c+4.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

p(κ2≥k°)0.150.100.050.01

2.0722.7063.8416.635

解：(1)高一年級(jí)隨機(jī)抽出5()名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均值估計(jì)為

xl=(55×3+65×10+75×12+85×15+95×10)÷50=78.8；

高二年級(jí)隨機(jī)抽出5()名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均值估計(jì)為

?=(55×4+65×6+75×10+85×18+95×12)÷50=80.6;

故估計(jì)高一高二年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)的平均值分別為78.8與80.6.

(2)

非優(yōu)秀優(yōu)秀合計(jì)

高一年級(jí)252550

高二年級(jí)203050

合計(jì)4555100

2

“21OO(25×3O-25×2O)10(),小八°”，

K^=——---------------------=——≈1.010<2.706.

45×55×50×5099

故沒(méi)有90%的把握認(rèn)為競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀與年級(jí)有關(guān).

19.如圖甲所示的正方形AAAA中，A4,=12,A3=AS=3,BC=AG=4,對(duì)角線

AA；分別交BBl,CC∣于點(diǎn)P,Q,將正方形A4'A'A沿BBl,CC,折疊使得AA與AA：重

合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱ABC-ABC.點(diǎn)/在棱AC上，且AM=今.

（1）證明：BM平面APQ；

（2）求三棱錐M-APQ的體積.

（1）證明：在圖乙中，過(guò)M作MN〃C。，交AQ于N,連接尸N,8M,

由于尸B//CQ,則肱V〃PB,所以M,N,P,3共面,

且平面MNPBn平面APQ=PN,

因?yàn)锳B=3,BC=4,所以AC=A4'-45-3。=12—3—4=5,

TT

又在正方形AAA'A中，ZCAQ=-,

4

7

所以PB=A6=3,.?.QC=7,二tanNQAC=§,

由A"=",得MN=良χZ=3=PB,

775

所以四邊形MNPB平行四邊形，則BM//PN,

又PNU平面APQ,BMa平面APQ,所以BM平面APQ..

（2）解：由（1）知AC2=AB2+5C2,所以AB/3C,

所以-APQ=1^C-APQ=亍VP-ACQ=亍VB-ACQ=亍^Q-ΛBC

311…-

=—X—X—×3×4×7=6.

732

20.已知橢圓C:二+二=l（α>b>O）的離心率是立，F(xiàn)i,居分別是橢圓的左、右焦

a^b^2

點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且△尸6巴的周長(zhǎng)是4+2√L

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線y="+t與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，且四邊形OMPN是

平行四邊形，求四邊形OMPN的面積.

解：（1）依題意可得斗鳥(niǎo)的周長(zhǎng)是2α+2c,所以2α+2c=4+2λ∕L

又橢圓。:耳+耳=1（">人〉0）的離心率e=g=等，所以C=當(dāng)a，

2

聯(lián)立解得α=2,C=B則A=Ja2_。2=],所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為亍+產(chǎn)=],

(2)設(shè)M(Xl,χ),N(X2,%)，尸(須，兒)，

y-kx+t

聯(lián)立《Λ-2,,整理得(1+4左2b2+8萬(wàn)χ+4/一4=0,

彳+y=1

22222

則△=Mkt-4(1+4Λ)(4Z-4)=16(4產(chǎn)+l-r)>0,

8kt4產(chǎn)-4

所以％+%,=------,XX=---------

l+4?2,7~1+4/

因?yàn)樗倪呅蜵wW是平行四邊形,所以O(shè)P=OM+ON，

Skt

X=X.+X=-----------

°1a-l+42k23kt2t

則《

工’SIJPI-1+4爐'1+442

%=%+%=攵(玉+々)+2/

T+4p^

2

,2Skt

2

由P是橢圓上一點(diǎn)，得￡+乂=1,即「17病2t

+I=ι,

41+4^2

16k2t2+4t2

整理得21.即4/=4公+1，

l+4?2

又A=16(4左2+1一產(chǎn))>0,得/HO,

2k

所以?xún)?nèi)

+X2~~，XIX2

22

故?MN?->]↑+k1%1-Λ2∣=y∣l+k-J(Xl+%2)~-4%A2=

因?yàn)辄c(diǎn)0到直線MN:y=丘+/的距離為d=/1」，,

√1+P

所以四邊形OMPN的面積為?MN??d=回：).Ja2=√3.

21.已知函數(shù)=InX+((a∈R).

(1)當(dāng)α=l時(shí)，求函數(shù)在(1,7(1))處的切線方程;

?(X1)—?(X2)Cl

(2)若%>%>1時(shí)，恒有八"<二，求。的取值范圍.

??-X22

解：⑴當(dāng)時(shí)，函數(shù)）］的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

α=l"x=l∏Λ+0,+8,∕3÷表則

r（ι）=P

而/（ι）=g,于是切線方程為y-g=g（χ-ι）,即彳-2,=0,

所以函數(shù)/⑶的圖象在（1,∕（1））處的切線方程是x-2y=0.

（2）當(dāng)%＞%2＞1時(shí)，恒有’（工2）＜：,即恒有/（玉）一/（工2）＜色玉一烏￡,

Xj—%2222

恒有/(x∣)</(%2)-務(wù),

令g(x)=∕(x)-?∣x=lnx+∕-?∣x,則Vxl，W≡(L+8),x∣〉￡，恒有

g(玉)<g(±),

因此函數(shù)g（χ）在區(qū)間（1,+8）上減函數(shù),

-=Tk+-二≤0在XG(I,y0)恒成立，即VX∈(l,+∞),

則"9合22x

O2x

-OJC+2X-6Z≤0<=>6Z≥—：—

x2+l

2χJC+1

當(dāng)尤＞1時(shí)，恒有^^＜六二