2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：選修4－4坐標(biāo)系與參數(shù)方程選4-4-1 坐標(biāo)系

第一節(jié)坐標(biāo)系

,最新考綱,

1.了解坐標(biāo)系的作用.

2.了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.

3.了解極坐標(biāo)的基本概念，會在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和

直角坐標(biāo)的互化.

4.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形表示的極坐標(biāo)方程.

?考向預(yù)測?

考情分析：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，極坐標(biāo)方程的應(yīng)

用.將是高考考查的熱點，題型仍將是解答題.

學(xué)科素養(yǎng)：通過極坐標(biāo)方程的求解及應(yīng)用考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

積累必備知識——基礎(chǔ)落實扁得良好開端

一、必記2個知識點

1.極坐標(biāo)的概念

(1)極坐標(biāo)系：

如圖所示,在平面內(nèi)取一個定點。,叫做,從。點引一條射線Ox,叫做

選定一個單位長度和角及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就確定了一個平面極坐標(biāo)系，

簡稱為.

(2)極坐標(biāo):

對于平面內(nèi)任意一點M,用/表示線段OM的長，。表示以O(shè)X為始邊、OM為終邊的

角度，p叫做點M的,θ叫做點M的,有序?qū)崝?shù)對S，陰叫做點M的極

坐標(biāo)，記作M(p,θ).

當(dāng)點M在極點時，它的極徑________,極角e可以取.

(3)點與極坐標(biāo)的關(guān)系：

平面內(nèi)一點的極坐標(biāo)可以有無數(shù)對，當(dāng)Jt∈Z時，(p,θ),S，θ+2kπ),(—p,θ+(2k

+1)2表示，而用平面直角坐標(biāo)表示點時，每一個點的坐標(biāo)是唯一的.

如果規(guī)定p>0,O≤0<2π,或者一π<eWτt,那么，除極點外，平面內(nèi)的點和極坐標(biāo)就

---對應(yīng)了.

2.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

(1)互化背景：把平面直角坐標(biāo)系的原點作為極點，X軸的正半軸作為極軸，建立極坐標(biāo)

系，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度，如圖所示.

(2)互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(x,y),極坐標(biāo)是S，θ)(ρ

>0,ΘG[O,2π)),于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表：

點M直角坐標(biāo)(x,y)__________極坐標(biāo)S，。)__________

互化產(chǎn)=-----------P1=________

Iy=----------------

公式tanθ-________

在一般情況下，由tan。確定角時，可根據(jù)點例所在的象限取最小正角.

二、必明2個常用結(jié)論

1.極坐標(biāo)的四個要素：①極點；②極軸；③長度單位；④角度單位和它的正方向，四

者缺一不可.

2.常見曲線的極坐標(biāo)方程

_________________________________________≡J∣__________極坐標(biāo)方程

圓心在極點，

——-

_________半徑為r的圓_________(X

圓心為S0),

_________半徑為r的圓_________ZX

圓心為卜，/),1?卜用

(

_________半徑為r的圓_________OX

(I)O=α(p∈R)或

過極點，傾斜角oA——0=π÷α(p∈R)

為α的直線/(2)J=0SN0)和

θ=π+a(p^O)

過點3,0),與

極軸垂直的直線Og.o)X

mf^)

過點(a,3),與

極軸平行的直線OX

過點(α,0),

傾斜角為α—

的直線

O(?.0)X

提升關(guān)鍵能力——考點突破掌握類題通法

考點一直角坐標(biāo)系中的伸縮變換［基礎(chǔ)性］

?-求雙曲線。r=∣經(jīng)過伊信不；變換后所得曲線C的焦點坐標(biāo)?

2.若函數(shù)y=∕(x)的圖象在伸縮變換"x'12x，的作用下得到曲線的方程為y=3sin

Iy=3y

1'+9，求函數(shù)y=∕(x)的最小正周期.

反思感悟伸縮變換公式應(yīng)用時的兩個注意點

(1)曲線的伸縮變換是通過曲線上任意一點的坐標(biāo)的伸縮變換實現(xiàn)的，解題時

一定要區(qū)分變換前的點P的坐標(biāo)(x,y)與變換后的點P'的坐標(biāo)(x',y'),再利用伸縮變

x'=λx(入>0),建立聯(lián)系.

換公式

y'=μy(μ>0),

(2)已知變換后的曲線方程f(x,y)=0,一般都要改寫為方程f(x',y')=0,再利用換

元法確定伸縮變換公式.

考點二極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化［綜合性］

［例1］在極坐標(biāo)系下，已知圓。：P=CoS6+sin。和直線/：psin(。一］=9(p?0,

O≤6k2π).

(1)求圓O和直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)當(dāng)?！?0,兀)時，求直線/與圓O的公共點的極坐標(biāo).

聽課筆記:

反思感悟極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化

(1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：將公式X=PCOSe及y=∕>sinθ直接代入直角坐標(biāo)方

程并化簡即可.

(2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：通過變形，構(gòu)造出形如PCoS仇psinθ,p?的形式，

再應(yīng)用公式進(jìn)行代換，其中方程的兩邊同乘以(或同除以加及方程兩邊平方是常用的變形技

巧.

【對點訓(xùn)練】

以直角坐標(biāo)系中的原點。為極點，X軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，已知曲線C的極

坐標(biāo)方程為P=I??

(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)過極點。作直線/交曲線C于點P,Q,若IoPl=3∣0Q∣,求直線/的極坐標(biāo)方程.

考點三曲線的極坐標(biāo)方程及應(yīng)用［綜合性J

角度1曲線的極坐標(biāo)方程

［例2］［2021?全國乙卷］在直角坐標(biāo)系XOy中，OC的圓心為C(2,1),半徑為1.

(1)寫出。C的一個參數(shù)方程；

(2)過點F(4,1)作。C的兩條切線.以坐標(biāo)原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程.

聽課筆記:

反思感悟求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟

(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)PS，是曲線上任意一點；

(2)由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑?和極角6之間的關(guān)系式；

(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡，得出曲線的極坐標(biāo)方程.

角度2極坐標(biāo)方程的應(yīng)用

[例3J[2022.陜西省部分學(xué)校檢測]在直角坐標(biāo)系xθy中，曲線C1的參數(shù)方程為

[x"^l笊二仁巴:%為參數(shù))，以坐標(biāo)原點。為極點,X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

Iy—cos(P十/s?ncp

系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為PCoSe+2=0.

(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程并判斷G,C2的位置關(guān)系；

(2)設(shè)直線0={—]<α<],PeR)分別與曲線G交于A,8兩點，與曲線C2交于P

點.若IABl=3∣OA∣,求IoPl的值.

聽課筆記：

反思感悟極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用的解題策略

(1)求點到直線的距離.先將極坐標(biāo)系下點的坐標(biāo)、直線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下

點的坐標(biāo)、直線方程，然后利用直角坐標(biāo)系中點到直線的距離公式求解.

(2)求線段的長度.先將極坐標(biāo)系下的點的坐標(biāo)、曲線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下的

點的坐標(biāo)、曲線方程，然后再求線段的長度.

【對點訓(xùn)練】

1.在極坐標(biāo)系中，0為極點，點MS0,優(yōu))So>O)在曲線C:p=4sin，上，直線/過點

A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.

(1)當(dāng)為=三時，求PO及/的極坐標(biāo)方程；

(2)當(dāng)M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標(biāo)方程.

2.[2022.昆明市質(zhì)量檢測]在平面直角坐標(biāo)系g中，曲線Ci的參數(shù)方程為以二j：

為參數(shù)).以坐標(biāo)原點。為極點，X軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方

程為〃=4CoSθ.

(1)求C1的極坐標(biāo)方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)若G，C2交于A,B兩點,求IOAHoB|.

選修4—4坐標(biāo)系與參數(shù)方程

第一節(jié)坐標(biāo)系

積累必備知識

、

L(I)極點極軸極坐標(biāo)系(2)極徑極角p=0任意值(3)同一個點

2.(I)pcosθpsinθx2+y2;(x≠0)

二、

2.p=r(0≤^<2π)P=Ircosp=2rsin0(O≤0<π)PCoSθ=

a(—T<θ<psin”=α(0V"VTr)psin(a-θ)=asina

提升關(guān)鍵能力

考點一

1.解析：設(shè)曲線C上任意一點P'(x',y'),

由上述可知，將IX=孑''

(y=2y,,

代入壯_《=1,得?一署=1，

化簡得

即9一卷=1為曲線C的方程，可見仍是雙曲線，

則焦點尸1(-5,0),F2(5,0)為所求.

2.解析：由題意，把變換公式代入曲線

∕=3sin(x，+2)

得3y=3sin(2x+￡),

整理得y=sin^2x÷^,

故7U)=sin卜x+]?

所以y=√U)的最小正周期為:=兀

考點二

例1解析：(1)圓。：P=Cosθ+smθ9

即ρ2=pcose+psinθ.

22

故圓0的直角坐標(biāo)方程為x+y-χ~y=09

直線/：PSin("：)=￥，即.Sine―〃COSe=L

則直線I的直角坐標(biāo)方程為X-γ+l=0.

(2)由⑴知圓。與直線/的直角坐標(biāo)方程，

將兩方程聯(lián)立得『+/-*-y=°,解得『二°,

IX-y+1=O,Iy=1,

即圓。與直線/在直角坐標(biāo)系下的公共點為(0,1),轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)為(1,故直線/

與圓O的公共點的極坐標(biāo)為(1,=).

對點訓(xùn)練

解析：(1)因為夕=Jχ2+y2,psinθ-y,0=^^可化為"一psin6=2,所以曲線的直

角坐標(biāo)方程為x2=4γ+4.

（2）設(shè)直線/的極坐標(biāo)方程為。=%SeR）,根據(jù)題意二?=3?-sinje°而）解得仇=弓或

W=當(dāng),所以直線/的極坐標(biāo)方程為6=%∈R）或e=9SWR）.

OOO

考點三

例2解析：（1）由題意知。C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（χ-2）2+（γ-1）2=1,

則ΘC的參數(shù)方程為：（a為參數(shù)）.

（2）由題意可知，切線的斜率存在，設(shè)切線方程為>一1=/（X—4）,

即kχ-y+?~4k=0,

所以處耗"1=1,解得人=q,

則這兩條切線方程分別為產(chǎn)條一手+1，y=一*+W+1，

故這兩條切線的極坐標(biāo)方程分別為PSinθ=Rpcos。一竽十1,PSinθ=—ypcos9+殍+

1.

.,.NU小fx-3=sinφ-2cosφ①.?.

例r3解析：（1）曲線G：jψ中廠（9為參數(shù)δu）

Iy=cosφ÷2sinφ（2）

①2+②2得（X-?3f2=5,

即x2+y2-6x+4=0,

將j2+），=/??,x="cos6代入上式，得曲線G的極坐標(biāo)方程為P2—6PCOSe+4=0.

由6θ+4=O得r,此方程無解，

所以G,C2相離.

解析：⑵蛾2-6PW+4=0

得P2—6PCoSQ+4=0,

因為直線e=1與曲線G有兩個交點A,B,

所以/=36cos2a—16>0,得cosa>∣.

設(shè)方程p2—6pcosα+4=0的兩根分別為pi,pz,

則∣P1+P2=6cosα>O③

IP1P2=4（4）

因為IABl=3∣OA∣,所以∣0B∣=4∣0A∣,即22=仍⑤，

由③④⑤解得Pl=1,p2=4,cosa=f,滿足4>0,

O

由｛PC°s；｝；=。得片Σ?=一名所以。尸D尸處

對點訓(xùn)練

1.解析：⑴因為MS0,Jo）在C上,當(dāng).=m時,po=4sinj=2^?∕3.

由已知得IOPl=IOAlCOS≡=2.

設(shè)QS，加為/上除P