2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第二章 2-10函數(shù)模型的應(yīng)用

§2.10函數(shù)模型的應(yīng)用

【考試要求】1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異2理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)

數(shù)增長(zhǎng)"''直線上升”等術(shù)語(yǔ)的含義3會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律，了

解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

v

y=a(Λ>1)y=logax(α>l)y=x"(n>0)

性

在(0,+∞)±

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

的增減性

增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨X的增大逐漸表隨〃值變化

圖象的變化

為與y軸平行現(xiàn)為與謝平行而各有不同

2.常見(jiàn)的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型fivx)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)

二次函數(shù)模型.*X)=Or2+6x+c(a,b,C為常數(shù)，a≠0)

反比例函數(shù)模型J(x)=^+b(k,h為常數(shù)且?≠0)

指數(shù)函數(shù)模型J(x)-ba'+c(a,h,C為常數(shù)，a>0Ka≠1,?≠0)

對(duì)數(shù)函數(shù)模型fix)—?logαx÷c(a,b,C為常數(shù)，α>0且α≠l,?≠0)

，函數(shù)模型7(x)=αra+b(α,b,α為常數(shù)，α≠0,ct≠O)

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)函數(shù)y=2*的函數(shù)值比y=%2的函數(shù)值大.(X)

(2)某商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫(kù)存積壓降價(jià)，若九折出售，則每

件還能獲利.(×)

(3)在(0,+∞)±,隨著X的增大，)，=爐(“>1)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于^=ν(“>0)和、=

Iog(IX(α>l)的增長(zhǎng)速度.(√)

（4）在選擇實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)模型時(shí)，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型.（X）

【教材改編題】

1.在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得變量X和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表:

X0.500.992.013.98

y-0.99-0.010.982.00

則對(duì)X,y最適合的擬合函數(shù)是（）

A.y=2xB.y=x1~1

C.y=2x~2D.?=Iogix

答案D

解析根據(jù)X=O.50,y=—0.99,代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x=2.01,y=0.98,代入計(jì)算，

可以排除B,C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y=log2X,可知滿(mǎn)足題意.

2.設(shè)甲、乙兩地的距離為α（n>0）,小王騎自行車(chē)勻速?gòu)募椎氐揭业赜昧?0分鐘，在乙地休

息K）分鐘后，他又勻速?gòu)囊业胤祷氐郊椎赜昧?0分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過(guò)的

路程），和其所用的時(shí)間X的函數(shù)圖象為（）

O2050X

答案D

3.當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)

時(shí)間稱(chēng)為“半衰期”.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時(shí)，用一般的放射

性探測(cè)器就測(cè)不到L若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測(cè)器探測(cè)不到，則它至少要經(jīng)

過(guò)個(gè)"半衰期”.

答案10

解析設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1,則經(jīng)過(guò)“個(gè)“半衰期”后的含量為（；）"，

*?n<Tooo>得

所以，若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測(cè)器探測(cè)不到，則它至少需要經(jīng)過(guò)10個(gè)“半

衰期”.

■探究核心題型

題型一用函數(shù)圖象刻畫(huà)變化過(guò)程

例1(1)如圖，一高為“且裝滿(mǎn)水的魚(yú)缸，其底部有一排水小孔，當(dāng)小孔打開(kāi)時(shí)，水從孔中

勻速流出，水流完所用時(shí)間為r若魚(yú)缸水深為〃時(shí)，水流出所用時(shí)間為，，則函數(shù)〃=∕ω的

圖象大致是()

答案B

解析水勻速流出，所以魚(yú)缸水深/7先降低快，中間降低緩慢，最后降低速度又越來(lái)越快.

(2)(2022.泰州模擬)中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明，

某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60。C時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.為分析

泡制一杯最佳口感茶水所需時(shí)間，某研究人員每隔Imin測(cè)量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)

據(jù)做出如圖所示的散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖的分布情況，下列哪個(gè)函數(shù)模型可以近似地刻畫(huà)茶水

溫度y隨時(shí)間X變化的規(guī)律()

A.y=ιwc2-?-n(m>Q)

B.y-max+n(m>0,0<a<1)

C.y=max+n(m>0,α>l)

D.y—WilogtiX÷n(m>0,a>0,a≠l)

答案B

解析由函數(shù)圖象可知符合條件的只有指數(shù)函數(shù)模型，并且m>0,0<α<l.

【教師備選】

已知正方形ABCQ的邊長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開(kāi)始沿折線BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)戶(hù)運(yùn)動(dòng)的

路程為X,AABP的面積為S,則函數(shù)S=∕(x)的圖象是()

A

Ol4812X

CD

答案D

解析依題意知，當(dāng)OWX≤4時(shí)，於)=2x;

當(dāng)4<x≤8時(shí)，KX)=8；

當(dāng)84W12時(shí)，式X)=24—2%,觀察四個(gè)選項(xiàng)知D項(xiàng)符合要求.

思維升華判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合的兩種方法

(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象；

⑵驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合,

從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022.內(nèi)江模擬)對(duì)于下列表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析時(shí)，下列四個(gè)函數(shù)模型

擬合效果最優(yōu)的是()

X123

y35.9912.01

A.y=3X2LlB.y=l0g2x

C.y=3xD.y=x1

答案A

解析根據(jù)題意，這3組數(shù)據(jù)可近似為(1,3),(2,6),(3,12)；

得到增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，排除B,C,對(duì)于選項(xiàng)D,三組數(shù)據(jù)都不滿(mǎn)足，

對(duì)于選項(xiàng)A,三組數(shù)據(jù)代入后近似滿(mǎn)足，

則模擬效果最好的函數(shù)是y=3X2LL

(2)(2022?武漢模擬)在用計(jì)算機(jī)處理灰度圖象(即俗稱(chēng)的黑白照片)時(shí)，將灰度分為256個(gè)等級(jí)，

最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中間的灰度根據(jù)其明喑漸變程度用0至255

之間對(duì)應(yīng)的數(shù)表示，這樣可以給圖象上的每個(gè)像素賦予一個(gè)“灰度值”.在處理有些較黑的

圖象時(shí)，為了增強(qiáng)較黑部分的對(duì)比度，可對(duì)圖象上每個(gè)像素的灰度值進(jìn)行轉(zhuǎn)換，擴(kuò)展低灰度

級(jí)，壓縮高灰度級(jí)，實(shí)現(xiàn)如下圖所示的效果：

255

則下列可以實(shí)現(xiàn)該功能的一種函數(shù)圖象是()

答案A

解析根據(jù)圖片處理過(guò)程中圖象上每個(gè)像素的灰度值轉(zhuǎn)換的規(guī)則可知，相對(duì)于原圖的灰度值,

處理后的圖象上每個(gè)像素的灰度值增加，所以圖象在y=x上方.結(jié)合選項(xiàng)只有A選項(xiàng)能夠

較好的達(dá)到目的.

題型二已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題

例2(2022.百師聯(lián)盟聯(lián)考)隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、醫(yī)療消費(fèi)需求增長(zhǎng)、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及

人口老齡化進(jìn)程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場(chǎng)近年來(lái)一直保持了持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì).某醫(yī)

療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固

定成本為300萬(wàn)元，最大產(chǎn)能為100臺(tái).每生產(chǎn)X臺(tái)，需另投入成本G(X)萬(wàn)元，且G(X)=

'2x2+80x,(KXW40,

,36001由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為200萬(wàn)元，且全

201x+------2100,40<x≤100,

年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完.

(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)W(X)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量X臺(tái)的函數(shù)解析式(利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入一成本)；

(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

解(1)由題意可得，當(dāng)0<ΛW40時(shí)，

Wa)=200X-(2x2+80x)-300

=-2f+120χ-300;

當(dāng)40<x≤100時(shí)，

W(X)=200x-(20IX-2IOO)-300

=-(x+≡)+,800.

-2√+120χ-300,(KrW40,

所以W(X)=3，°)+]800,40<x≤100.

⑵若0<ΛW40,W(X)=—2(Λ~30)2+1500,

所以當(dāng)x=30時(shí)，W(X)n≡=1500萬(wàn)元.

若404W100,

W(X)=-(X+^^)+1800≤-2^x??γ^+l800

=-120+1800=1680,

當(dāng)且僅當(dāng)χ=3警時(shí)，

即X=60時(shí)，W(X)max=1680萬(wàn)元.

所以該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為60臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1680萬(wàn)元.

【教師備選】

(2022?重慶南開(kāi)中學(xué)模擬)某企業(yè)自主研發(fā)出一款新產(chǎn)品A,計(jì)劃在2022年正式投入生產(chǎn)，已

知A產(chǎn)品的前期研發(fā)總花費(fèi)為50000元，該企業(yè)每年最多可生產(chǎn)4萬(wàn)件A產(chǎn)品.通過(guò)市場(chǎng)分

析知，在2022年該企業(yè)每生產(chǎn)x(千件)A產(chǎn)品，需另投入生產(chǎn)成本R(x)(千元)，

60x,0<x≤10,

且R(x)—

1800

230,IO<x≤4O.

X

(1)求該企業(yè)生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成本以元)關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，并求平均成本p的最小

值(總成本=研發(fā)成本+生產(chǎn)成本)；

(2)該企業(yè)欲使生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成本pW66元，求其年生產(chǎn)值x(千件)的取值區(qū)間？

解(1)由題知生產(chǎn)X千件的總成本為(R(X)+50)千元，

故生產(chǎn)一件的平均成本為儀時(shí)加元,

∣x+60+~,0<r≤10,

所以P(X)=

70+甯-嚕Ioa≤40,

當(dāng)x∈(0,I0］時(shí)，P(X)=5+60+即單調(diào)遞減,

故最小值為p(10)=70,

當(dāng)x∈(10,40]時(shí)，P(X)=I8000—4>+65.5,

故最小值為p(20)=65.5,所以生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成本最低為65.5元.

⑵由⑴知,要使P(X)W66只需考慮x∈(10,40],

rCj800180一“

即Pm70+^2—7-≤66,

整理得/-45x+450≤0,解得15≤x≤30,

所以當(dāng)x∈[15,30]時(shí)，生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成本不超過(guò)66元.

思維升華求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵

⑴認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

⑶利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢臉.

跟蹤訓(xùn)練2(1)“百日沖刺”是各個(gè)學(xué)校針對(duì)高三學(xué)生進(jìn)行的高考前的激情教育，它能在短

時(shí)間內(nèi)最大限度激發(fā)一個(gè)人的潛能，使成績(jī)?cè)谠瓉?lái)的基礎(chǔ)上有不同程度的提高，以便在高考

中取得令人滿(mǎn)意的成績(jī)，特別對(duì)于成績(jī)?cè)谥械绕碌膶W(xué)生來(lái)講，其增加分?jǐn)?shù)的空間尤其大.現(xiàn)

有某班主任老師根據(jù)歷年成績(jī)?cè)谥械绕碌膶W(xué)生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績(jī)變化，構(gòu)造了

kP

一個(gè)經(jīng)過(guò)時(shí)間*300WIOO)(單位:天),增加總分?jǐn)?shù)〃)(單位:分)的函數(shù)模型:々)=而*五,

火為增分轉(zhuǎn)化系數(shù)，P為“百日沖刺”前的最后一次?？伎偡?，且/60)=/只現(xiàn)有某學(xué)生在高

考前100天的最后一次模考總分為400分，依據(jù)此模型估計(jì)此學(xué)生在高考中可能取得的總分

約為(1g61、1.79)()

A.440分B.460分

C.480分D.500分

答案B

解析由題意得，

購(gòu))="；61=笫=N

279

???r=0465,

.0.465X400____________186

..川00)=1+lg101=ι+lgιoo+lg1.01

該學(xué)生在高考中可能取得的總分約為400+62=4622460(分).

(2)某地西紅柿上市后，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/10Okg)與上市時(shí)間

f(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：

時(shí)間160100180

種植成本C11684116

根據(jù)上表數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿種植成本。與上市時(shí)間t的變化關(guān)系：

Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q-a?b',2=α?log?r.

利用你選取的函數(shù)，求：

①西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)是；

②最低種植成本是元/100kg.

答案?120②80

解析因?yàn)殡S著時(shí)間的增加，種植成本先減少后增加，而且當(dāng)，=60和f=180時(shí)種植成本相

等，再結(jié)合題中給出的四種函數(shù)關(guān)系可知，種植成本與上市時(shí)間的變化關(guān)系應(yīng)該用二次函數(shù)

Q=at1+ht+c,即Q=a(f—120)2+,〃描述，將表中數(shù)據(jù)代入可得

h(60-120)2+∕w=116,[?=0.01,

\解得〈

[α(100—120y+m=84,[∕n=80,

所以。=0.01?—120)2+80,故當(dāng)上市天數(shù)為120時(shí)，種植成本取到最低值80元/100kg.

題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題

例3(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域

安全著陸.嫦娥五號(hào)返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因?yàn)樗捎脧椞椒祷?/p>

彈道，實(shí)現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類(lèi)似(如圖所示).現(xiàn)將石片扔

向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為IOOm∕s,這是第一次“打水漂”，然后石片在水

面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%,若要使石片的速率低于60

m∕s,則至少需要“打水漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：In0.6≈?≈-0,511,In0.9≈-0.105)()

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析設(shè)石片第〃次“打水漂”時(shí)的速率為小,

則％=IooXO.90nr.

由IOOXo.90"-I<60,

得0.9（尸<0.6,

貝-I）InO.90<ln0.6,

,In0.6—0.511

即“一'In0.9-0.105^4.87,

則n>5.87,

故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6.

(2)(2022?濱州模擬謀同學(xué)設(shè)想用“高個(gè)子系數(shù)k”來(lái)刻畫(huà)成年男子的高個(gè)子的程度，他認(rèn)為,

成年男子身高160Cm及其以下不算高個(gè)子，其高個(gè)子系數(shù)左應(yīng)為0；身高190Cm及其以上

的是理所當(dāng)然的高個(gè)子，其高個(gè)子系數(shù)A應(yīng)為1,請(qǐng)給出一個(gè)符合該同學(xué)想法、合理的成年

男子高個(gè)子系數(shù)及關(guān)于身高X(Cm)的函數(shù)關(guān)系式.

’0,0<r≤160,

答案4=<5?L160),160<Λ<190,(只要寫(xiě)出的函數(shù)滿(mǎn)足在區(qū)間［160,190］上單調(diào)遞增，

J,XNl90.

且過(guò)點(diǎn)(160,0)和(190,1)即可.答案不唯一)

解析由題意知函數(shù)k(x)在［160,190］上單調(diào)遞增，

設(shè)MX)=Or+6(α>0),x∈［160,190］,

fl60fl+?=0,

由{

［190α+b=l,

所以MX)=會(huì)一號(hào)，

0,OaWI60,

點(diǎn)L160),160<x<190,

{1,Λ?190.

【教師備選】

國(guó)慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)在30或30以下，飛機(jī)票每張收費(fèi)900

元；若每團(tuán)人數(shù)多于30,則給予優(yōu)惠：每多1人，機(jī)票每張減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)

75為止.每團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15000元.

(1)寫(xiě)出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；

(2)每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)？

解設(shè)該旅行團(tuán)的人數(shù)為X,飛機(jī)票的價(jià)格為y元.旅行社可獲得的利潤(rùn)為“元.

⑴①當(dāng)OWXW30時(shí)，y=900,

②當(dāng)30<x≤75時(shí)，

γ=900-IO(X-?30)=-10Λ+1200,

[900,0≤x≤30,

綜上有y={

∣,-10x+l200,30<?≤75.

(2)當(dāng)OWXW30時(shí)，w=900χ-15000,

當(dāng)X=30時(shí)，

Mmax=900X30—15OOO=12000(元)；

當(dāng)3(Xx≤75時(shí)，

w=(-10x+l200)?Λ?-15OOO

=-10x2+l200χ-15000

=-10(χ-60)2+21000,

當(dāng)X=60時(shí)，ιυ最大為21OOO元，

???每團(tuán)人數(shù)為60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn).

思維升華構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟

⑴建模：抽象出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型；

(2)推理、演算：對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問(wèn)題在數(shù)學(xué)意義上的解；

(3)評(píng)價(jià)、解釋?zhuān)簩?duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)、解釋、返回到原來(lái)的實(shí)際問(wèn)題

中去，得到實(shí)際問(wèn)題的解.

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2022?常州模擬)某雜志以每?jī)?cè)2元的價(jià)格發(fā)行時(shí)，發(fā)行量為10萬(wàn)冊(cè).經(jīng)過(guò)調(diào)

查，若單冊(cè)價(jià)格每提高0.2元，則發(fā)行量就減少5000冊(cè).要該雜志銷(xiāo)售收入不少于22.4萬(wàn)

元，每?jī)?cè)雜志不可以定價(jià)為()

A.2.8元B.3元

C.3.2元D.3.5元

答案D

解析依題意可知，要使該雜志銷(xiāo)售收入不少于22.4萬(wàn)元，只能提高銷(xiāo)售價(jià)，

設(shè)每?jī)?cè)雜志定價(jià)為x(x>2)元，

則發(fā)行量為(IOV?χ0.5)萬(wàn)冊(cè)，

則該雜志銷(xiāo)售收入為(10一言X06)x萬(wàn)元，

所以(Io-0.51222.4,

化簡(jiǎn)得Λ2-6X+8.96≤0,

解得2.8WXW3.2.

(2)(2022?南京模擬)拉面是很多人喜好的食物.師傅在制作拉面的時(shí)候，將面團(tuán)先拉到一定長(zhǎng)

度，然后對(duì)折，對(duì)折后面條根數(shù)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再拉到上次面條的長(zhǎng)度.每次對(duì)折后，師

傅都要去掉捏在一只手里的面團(tuán).如果拉面師傅將300克面團(tuán)拉成細(xì)絲面條，每次對(duì)折后去

掉捏在手里的面團(tuán)都是18克.第一次拉的長(zhǎng)度是1米，共拉了7次，假定所有細(xì)絲面條粗線

均勻、質(zhì)量相等，則最后每根1米長(zhǎng)的細(xì)絲面條的質(zhì)量是.

答案3克

解析拉面師傅拉7次面條共有27^=26=64根面條，在7次拉面過(guò)程中共對(duì)折6次，則去

掉面的質(zhì)量為6X18=108（克）；剩下64根面條的總質(zhì)量為300-108=192（克），則每根1米

長(zhǎng)的細(xì)絲面條的質(zhì)量為1黃92=3（克）.

課時(shí)精練

立基礎(chǔ)保分練

1.（2020?全國(guó)I）某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：C）的

關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（X”》）（7?=1,2,…，20）得

到下面的散點(diǎn)圖：

由此散點(diǎn)圖，在I（TC至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類(lèi)型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度X

的回歸方程類(lèi)型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+hx2

C.y—a+be：'D.y="+6InX

答案D

解析由散點(diǎn)圖可以看出，點(diǎn)大致分布在對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象附近.

2.有一貨船從石塘沿水路順?biāo)叫?，前往河口，途中因故障停留一段時(shí)間，到達(dá)河口后逆水

航行返回石塘，假設(shè)貨船在靜水中的速度不變，水流速度不變，若該船從石塘出發(fā)后所用的

時(shí)間為M小時(shí)），貨船距石塘的距離為M千米），則下列各圖中，能反映y與X之間函數(shù)關(guān)系

的大致圖象是（）

B

答案A

3.（2022.福建師大附中月考）視力檢測(cè)結(jié)果有兩種記錄方式，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，其

部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

小數(shù)記錄尢0.10.120.15???11.21.52.0

五分記錄y4.04.14.2…55.15.25.3

現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①y=5+lgx,②y=5+]?g%X表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，y表示五分記錄數(shù)

據(jù)，請(qǐng)選擇最合適的模型解決如下問(wèn)題：小明同學(xué)檢測(cè)視力時(shí)，醫(yī)生告訴他的視力為4.7,則

小明同學(xué)的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為（附IO（U=2,5^22=0.7,10一。[=0.8）（）

A.0.3B.0.5

C.0.7D.0.8

答案B

解析由表格中的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故合適的函數(shù)模型為y=5+lgx,

令y=5+lgx=4.7,

解得X=IO-°3=0.5.

4.某中學(xué)體育課對(duì)女生立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目的考核標(biāo)準(zhǔn)為：立定跳遠(yuǎn)距離1.33米得5分，每增加

0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，滿(mǎn)分為120

分.若某女生訓(xùn)練前的成績(jī)?yōu)?0分，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的訓(xùn)練后，成績(jī)?yōu)?05分，則該女生訓(xùn)練

后，立定跳遠(yuǎn)距離增加了（）

A.0.33米B.0.42米

C.0.39米D.0.43米

答案B

解析該女生訓(xùn)練前立定跳遠(yuǎn)距離為

90-70

1.84-0.03×-J—=1.72（米υ），

訓(xùn)練后立定跳遠(yuǎn)距離為

105-90?

1.84+0.1×-5—=2.14（米）,

則該女生訓(xùn)練后，立定跳遠(yuǎn)距離增加了2.14—1.72=0.42（米）.

5.中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度經(jīng)有關(guān)研究可知：在室溫25°C

下，某種綠茶用85℃的水泡制，經(jīng)過(guò)Xmin后茶水的溫度為且y=k?0.9085，+25。20,

k∈R）.當(dāng)茶水溫度降至55°C時(shí)飲用口感最佳，此時(shí)茶水泡制時(shí)間大約為（結(jié)果保留整數(shù)，參

考數(shù)據(jù)：ln2^0.6931,ln3*1.0986,In0.9085?=-0.0960）（）

A.6minB.7min

C.8minD.9min

答案B

解析由題意可知，

當(dāng)x=0時(shí)，y=85,

則85=Z+25,解得人=60,

所以y=60X0.9085v+25.

當(dāng)y=55時(shí)，55=60×0.9085r+25,

即0.9085*=05

ln

π,_2-In2

λ'x-log0-90850-5-ln0.9085-ln0.9085

_0.6931

Qo.0960≈7,

所以茶水泡制時(shí)間大約為7min.

6.（2022.廈門(mén)模擬）某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)開(kāi)發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測(cè)，如果患者每次按規(guī)定的劑量注

射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量M微克）與時(shí)間，（小時(shí)）之間的關(guān)系近似滿(mǎn)足如圖所

示的曲線.據(jù)進(jìn)一步測(cè)定，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時(shí)，治療該病有效，則

下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.a=3

B.注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為6小時(shí)

C.注射該藥物5小時(shí)后每毫升血液中的含藥量為0.5微克

O

D.注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為5翡31小時(shí)

答案B

4r,O≤r<l,

解析由函數(shù)圖象可知y=｛（D

切"，自1，

當(dāng)r=l時(shí)，y=4,

即（9∣I=4,解得α=3,

4,0≤r<l,

‘產(chǎn)（，1\-3故A正確；

[⑸3,閆，

藥物剛好起效的時(shí)間，當(dāng)4/=0.125,即，=上，

藥物剛好失效的時(shí)間Q）L3=O.I25,

解得t=6,

131

故藥物有效時(shí)長(zhǎng)為6—豆=5方（小時(shí)），

注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度不到6個(gè)小時(shí)，故B錯(cuò)誤，D正確；

注射該藥物！小時(shí)后每毫升血液含藥量為4X?=0.5（微克），故C正確.

7.（2022.蚌埠模擬）某種動(dòng)物的繁殖數(shù)量M數(shù)量：只）與時(shí)間x（單位：年）的關(guān)系式為y=Hog2（x

+1）,若這種動(dòng)物第1年有100只，則到第7年它們發(fā)展到只.

答案300

解析由題意知100=dlog2（l+l）=>α=100,

當(dāng)x=7時(shí)，可得y=1001og2（7+1）=300.

8.（2022.柳州市柳鐵一中月考）著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果

物體的初始溫度為a°C,空氣溫度為θ0℃,則t分鐘后物體的溫度。（單位：℃）滿(mǎn)足：0=8。

+（仇一%）e".若常數(shù)上=0.05,空氣溫度為30℃,某物體的溫度從90℃下降到50℃,大約

需要的時(shí)間為分鐘.（參考數(shù)據(jù)：In3^1.1）

答案22

解析由題知仇=30,&=90,。=50,

,50=30+（90—30）屋°嶼,

??-0.05（—1

,,e-3,

—0.05r=ln

Λ0.05r=ln3,

∣n?

Λr=θθ5=20×ln3^22.

9.某地下車(chē)庫(kù)在排氣扇發(fā)生故障的情況下測(cè)得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài)，經(jīng)搶修

排氣扇恢復(fù)正常.排氣4分鐘后測(cè)得車(chē)庫(kù)內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm,繼續(xù)排氣4分鐘后又

測(cè)得濃度為32ppm.由檢驗(yàn)知該地下車(chē)庫(kù)一氧化碳濃度MPPm)與排氣時(shí)間/(分鐘)之間存在函

數(shù)關(guān)系y=c(，叫c,機(jī)為常數(shù)).

⑴求c,的值；

(2)若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5PPm為正常，問(wèn)至少排氣多少分鐘，這個(gè)地下車(chē)庫(kù)中的

一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài)？

64=CG

解(1)由題意可列方程組《

產(chǎn)=CQK，

[c=128,

兩式相除，解得(1

IOT=T

1L

⑵由題意可列不等式128(—)4≤0.5,

2

所以(；)[《分,即》》8,解得B32.

故至少排氣32分鐘，這個(gè)地下車(chē)庫(kù)中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài).

10.某公司為改善營(yíng)運(yùn)環(huán)境，年初以50萬(wàn)元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)-一輛豪華客車(chē).已知該客車(chē)每年的營(yíng)

運(yùn)總收入為30萬(wàn)元，使用X年(XCN*)所需的各種費(fèi)用總計(jì)為(2√+6x)萬(wàn)元.

(1)該車(chē)營(yíng)運(yùn)第幾年開(kāi)始盈利(總收入超過(guò)總支出，今年為第一年)：

(2)該車(chē)若干年后有兩種處理方案：

①當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以10萬(wàn)元價(jià)格賣(mài)出；

②當(dāng)年平均盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以12萬(wàn)元的價(jià)格賣(mài)出.

問(wèn)：哪一種方案較為合算？并說(shuō)明理由.

解(I)：客車(chē)每年的營(yíng)運(yùn)總收入為30萬(wàn)元,使用X年(x∈N*)所需的各種費(fèi)用總計(jì)為(2Λ2+6X)

萬(wàn)元，若該車(chē)X年開(kāi)始盈利，

則30x>2f+6x+50,

即X2-12X+25<0,

?."∈N*,Λ3≤Λ≤9,

該車(chē)營(yíng)運(yùn)第3年開(kāi)始盈利.

(2)方案①盈利總額y∣=30Λ-(2X2+6x+50)

=-2Λ2+24χ-50=—2(x—6)2+22,

：.x=6時(shí)，盈利總額達(dá)到最大值為22萬(wàn)元.

.?.6年后賣(mài)出客車(chē)，可獲利潤(rùn)總額為22+10=32（萬(wàn)元）.

方案②年平均盈利總額50=一2一*+24=24-21+§）忘4（當(dāng)且僅當(dāng)』=

5時(shí)取等號(hào)）.

；.x=5時(shí)年平均盈利總額達(dá)到最大值4萬(wàn)元.

/.5年后賣(mài)出客車(chē)，可獲利潤(rùn)總額為4X5+12=32（萬(wàn)元）.

：兩種方案的利潤(rùn)總額一樣，但方案②的時(shí)間短，.?.方案②較為合算.

過(guò)技能提升練

11.（2022?衡陽(yáng)模擬）“一騎紅塵妃子笑，無(wú)人知是荔枝來(lái)”描述了封建統(tǒng)治者的驕奢生活，

同時(shí)也講述了古代資源流通的不便利.如今我國(guó)物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會(huì)經(jīng)濟(jì)

發(fā)展和資源整合.已知某類(lèi)果蔬的保鮮時(shí)間M單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度M單位：℃）滿(mǎn)足函數(shù)

關(guān)系y=e"χ+b（”,人為常數(shù)），若該果蔬在6℃的保鮮時(shí)間為216小時(shí)，在24℃的保鮮時(shí)間為

8小時(shí)，那么在12C時(shí)，該果蔬的保鮮時(shí)間為（）

A.72小時(shí)B.36小時(shí)

C.24小時(shí)D.16小時(shí)

答案A

解析當(dāng)x=6時(shí)，e6a+6=216;

24β+z,

當(dāng)X=24時(shí)，e=8,

整理可得e6?=g,

于是e"=216X3=648,

當(dāng)X=12時(shí)，

648=72.

12.（2022?南通模擬）“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們?cè)谌诤鸾谢虬l(fā)出其他聲音時(shí),

聲波傳入泉洞內(nèi)的儲(chǔ)水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等作用，激起水波，形成涌泉，聲音越大，涌

起的泉水越高.已知聽(tīng)到的聲強(qiáng)/與標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)4（∕o約為ICT%單位：w∕m2）之比的常用對(duì)數(shù)

稱(chēng)作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，記作〃貝爾），即L=IgS取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡(jiǎn)稱(chēng)為

分貝，已知某處“喊泉”的聲音強(qiáng)度y（分貝）與噴出的泉水高度x（m）之間滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)=2x,

甲、乙兩名同學(xué)大喝一聲激起的涌泉的最高高度分別為70m,60m.若甲同學(xué)大喝一聲的聲

強(qiáng)大約相當(dāng)于"個(gè)乙同學(xué)同時(shí)大喝一聲的聲強(qiáng)，則”的值約為（）

A.10B.IOOC.200D.1OOO

答案B

解析設(shè)甲同學(xué)的聲強(qiáng)為∕∣,乙同學(xué)的聲強(qiáng)為/2,

∕∣

則正，l，1

140=1OIg120=IOlg|Q-12?

兩式相減即得20=IOlg即Ig￡=2,

從而7=100,所以〃的值約為100.

1,1

13.如圖所示，一直角墻角，兩邊的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，在P處有一棵樹(shù)與兩墻的距離分別是4

m（0<α<12）,4m,不考慮樹(shù)的粗細(xì)，現(xiàn)在用16m長(zhǎng)的籬笆，借助墻角圍成一個(gè)矩形的花園

ABCD設(shè)此矩形花園的面積為S（m2）,S的最大值為幾），若將這棵樹(shù)圍在花園內(nèi)，則函數(shù)〃

=Aa）的圖象大致是（）

答案C

解析設(shè)AD=X米，則C￡)=(16—x)米,

x^a9

要將樹(shù)圍在矩形內(nèi)，貝U“一

」6—x24,

.*.(7≤x≤12.

S=X(16—x)=—(x—8)2+64,x≡[?2,12],

當(dāng)0<αW8時(shí)，當(dāng)x=8時(shí)，SmaX=64,

當(dāng)8<4≤12時(shí)，當(dāng)尤=α?xí)r，

SmaX=一4+164.

[64,OVaW8,

綜上有/(α)=j-/一

[~a2+?6a,8<a≤12.

14.（2022?蕪湖模擬）央視某主持人曾自曝，自小不愛(ài)數(shù)學(xué)，成年后還做過(guò)數(shù)學(xué)噩夢(mèng)，心狂跳

不止：夢(mèng)見(jiàn)數(shù)學(xué)考試了，水池有個(gè)進(jìn)水管，5小時(shí)可注滿(mǎn)，池底有一個(gè)出水管，8小時(shí)可放完

滿(mǎn)池水.若同時(shí)打開(kāi)進(jìn)水管和出水管，多少小時(shí)可注滿(mǎn)空池？“這題也太變態(tài)了，你到底想

放水還是注水？”主持人質(zhì)疑這類(lèi)問(wèn)題的合理性.其實(shí)這類(lèi)放水注水問(wèn)題只是個(gè)數(shù)學(xué)模型，

用來(lái)刻畫(huà)“增加量一消耗量=改變量”，這類(lèi)數(shù)量關(guān)系可以用于處理現(xiàn)實(shí)生活中的大量問(wèn)

題.例如，某倉(cāng)庫(kù)從某時(shí)刻開(kāi)始4小時(shí)內(nèi)只進(jìn)貨不出貨，在隨后的8小時(shí)內(nèi)同時(shí)進(jìn)出貨，接

著按此進(jìn)出貨速度，不進(jìn)貨，直到把倉(cāng)庫(kù)中的貨出完.假設(shè)每小時(shí)進(jìn)、出貨量是常數(shù)，倉(cāng)庫(kù)

中的貨物量y(噸)與時(shí)間M小時(shí))之間的部分關(guān)系如圖，那么從不進(jìn)貨起