江西省宜春市宜豐縣宜豐中學2023-2024學年高二下學期開學考試數(shù)學試題（創(chuàng)新部）

2023-2024（下）創(chuàng)新部高二開學考數(shù)學試卷一、單選題（40分）1．已知，設(shè)集合，，則（）A．? B．?C．

? D．?2．已知，，則（

）A． B． C． D．3．在棱長為2的正方體中，分別取棱，的中點E，F(xiàn)，點G為EF上一個動點，則點到平面的距離為（

）A． B． C．1 D．4．設(shè)函數(shù)，若，，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則（

）A． B． C． D．5．已知對任意，且，恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知數(shù)列的前項和為，且().記，為數(shù)列的前項和，則使成立的最小正整數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．87．已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．8 B．7 C．6 D．48．已知函數(shù)滿足：，，則（

）A．B．C． D．二、多選題（20分）9．下列說法中正確的是（

）A．B．事件為必然事件，則事件、是互為對立事件C．設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則D．甲、乙兩名運動員分別對同一目標各射擊一次，甲射中的概率為0.6，乙射中的概率為0.8，則恰有1人射中的概率為0.1210．已知拋物線C：，圓F：（F為圓心），點P在拋物線C上，點Q在圓F上，點A，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．當最大時， D．當最小時，11．已知函數(shù)的定義域為為的導函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當時，曲線在點處的切線方程為B．若對任意的，都有，則實數(shù)的取值范圍是C．當時，既存在極大值又存在極小值D．當時，恰有3個零點，且三、填空題（20分）13．若函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)，請寫出一個符合條件的區(qū)間．14．已知圓經(jīng)過，兩點，且圓心在直線上，直線經(jīng)過點，且與圓相交所得弦長為，則直線的方程為.15．設(shè)函數(shù)，．若對任意的，存在，使得成立，則實數(shù)m的取值范圍為．16．已知是函數(shù)的導函數(shù)，且對任意的實數(shù)的都有，且，若的圖像與有個交點，則的取值范圍為．四、解答題（70分）17．已知等比數(shù)列的公比，前n項和為，滿足：.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.18．中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會于2022年10月16日在北京召開，為增進學生對黨史知識的了解，某校團委決定舉辦“中國共產(chǎn)黨黨史知識”競賽活動.競賽共有A和B兩類試題，每類試題各10題，其中每答對1道A類試題得20分，每答對1道B類試題得10分，答錯都不得分，每位參加競賽的同學從這兩類試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）.已知甲同學答對各道A類試題的概率均為，B類試題中有6道題會作答.(1)若甲同學只作答A類試題，記甲同學答這3道試題的總得分為X，求X的分布列和期望；(2)若甲同學在A類試題中抽1道題作答，在B類試題中抽2道題作答，求他在這次競賽中僅答對1道題的概率.19．如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，，E是PD的中點．

(1)證明：平面；(2)當點為棱中點時，求直線與平面所成角的正弦值．20．已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)和的解析式；(2)若在恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.21．在平面直角坐標系中，已知的兩個頂點坐標為，直線的斜率乘積為.(1)求頂點的軌跡的方程；(2)過點的直線與曲線交于點，直線相交于點，求證：為定值.22．已知函數(shù)，其中(1)若，求的極值；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍.創(chuàng)新部高二開學考數(shù)學參考答案1．D【詳解】由題意，,得,故，A錯誤；,故B錯誤，，故屬于集合間符號使用不正確，C錯誤，,D正確，故選：D2．C【詳解】因為，所以．因為，所以，故．故選：C3．D【詳解】如圖所示，因為點E，F(xiàn)分別是，的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面，點到平面的距離即為點或到平面的距離.設(shè)到平面的距離為，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則有，得，可求得平面的法向量為，，所以.4．D【詳解】解：函數(shù)定義域為，且，即為偶函數(shù)，又當時且與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，又，，，即，所以.故選：D5．D【詳解】由得：，，，，（當且僅當時取等號），當恒成立時，.6．C【詳解】解析：由，可知，∴，即.時，，∴，∴，∴，∴數(shù)列是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列.∴.又，∴數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.∴.又，∴，即，∴.又，∴的最小值為7.故選：C.7．C【詳解】解：設(shè)，由，得，作出，的圖象，如圖所示：設(shè)直線與相切，切點為，則，解得，，設(shè)直線與相切，切點為，則，解得，，故直線與的圖象有4個交點，不妨設(shè)，且，由圖象可知：，由的函數(shù)圖象可知無解，有一個解，有三個解，有兩個解，所以有6個零點，故選：C8．A【詳解】，令得：，因為，所以，令，得：，即，則，上面兩式子聯(lián)立得：，所以，故，故是以6為周期的函數(shù)，且，所以9．AC【詳解】對于，由組合數(shù)的性質(zhì)可得：，故選項正確；對于，事件為必然事件，若互斥，則事件是對立事件；若不互斥，則事件不是互為對立事件，故選項錯誤；對于，設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則正態(tài)分布曲線關(guān)于直線對稱，則，故選項正確；對于，甲、乙兩名運動員分別對同一目標各射擊一次，甲射中的概率為0.6，乙射中的概率為0.8，恰有1人射中包括甲中乙不中，乙中甲不中，由相互獨立事件和對立事件的概率計算可得：恰有1人射中的概率為，故選項錯誤，故選：.10．AC【詳解】拋物線C：的焦點，圓F：的圓心，半徑，對于A，的最小值是的最小值減去圓的半徑，又的最小值是1，的最小值是，A正確；對于B，設(shè)，則，，當時，，當時，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值是，B不正確；對于C，如圖所示，要使最大，當且僅當AQ與圓F相切，AP與拋物線C相切，且P，Q在x軸兩側(cè)，所以當最大時，，C正確；對于D，因的最小值為，即P，A，Q共線，則當最小時，即，D不正確.故選：AC11．AD【詳解】是偶函數(shù)，則，兩邊求導得，所以是奇函數(shù)，由，，得，即，所以是周期函數(shù)，且周期為4，，在，中令得，，A正確；沒法求得的值，B錯；令得，，，則，無法求得，同理令得，，，因此，相加得，只有在時，有，但不一定為0，因此C錯；在中令得，，在中令得，，兩式相加得，即，D正確；故選：AD．12．BCD【詳解】解：對于A，當時，，所以，，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即，故A錯誤；對于B，因為對任意的，都有，所以在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，令，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是，故B正確；對于C，當時，由B選項知，，令，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，又在上單調(diào)遞減，所以存在，使得，又，又在上單調(diào)遞增，所以存在，使得，所以當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，當時，，為增函數(shù)，故既存在極大值又存在極小值，故C正確；對于D，因為，由C選項知，，當時，；當時，，故函數(shù)有三個零點，不妨設(shè)為，，，（，，），又，故有，則，即當時，恰有3個零點，且，故D正確．故選：BCD．13．【詳解】設(shè)，則函數(shù)可以看成由與復合而成，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性法則：同增異減.又為R上的減函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù).因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以，即可.故答案為：.14．或【詳解】設(shè)圓的圓心坐標為，依題意，有，解得，所以，所以圓的標準方程為.設(shè)圓的圓心到直線的距離為，則，解得①若直線的斜率不存在，則，符合題意，此時直線的方程為.②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，則，解得.此時直線的方程為故答案為：或15．【詳解】解：由題意可知，所以的最小值為2，所以存在，使得成立,假設(shè)對任意，都有成立，即，,從而有，,由于，當且僅當時取得等號所以，從而當存在，使得成立時，,綜上可得實數(shù)m的取值范圍為.16．【詳解】由，得，，令，則，所以，所以，因為，所以，所以，所以，當時，，當或時，，所以在上遞增，在和上遞減，所以當時，取得極小值，當取得極大值，因為，，，且的圖像與有個交點，所以，即的取值范圍為.17．【詳解】（1）法一：因為是公比的等比數(shù)列，所以由，得，即，兩式相除得，整理得，即，解得或，又，所以，故，所以，法二：因為是公比的等比數(shù)列，所以由得，即，則，，解得或（舍去），故，則，所以.（2）當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，所以.18．【詳解】（1）的可能取值為，，，，，所以的分布列為：所以.（2）第一種情況：類試題答對道，類試題答對道，概率為.第二種情況：類試題答錯道，類試題答對道，答錯道，概率為.所以僅答對道題的概率為.19．【詳解】（1）取中點，連接，．為中點，且，，，且，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.

（2）取中點，連接，．為正三角形，，面面，面面，面，又，，所以為正方形，所以．如圖以為原點建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，設(shè)面的一個法向量為，則，不妨取，設(shè)與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.

20．【詳解】（1）為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，，由得：，.（2）由（1）得：，由得：，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故，令，則，，即對恒成立，即上恒成立，根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)，在時單調(diào)遞增，所以，于是，即實數(shù)的取值范圍為.21．【詳解】（1）設(shè)，因直線的斜率乘積為，則，整理得，所以頂點的軌跡的方程是.（2）依題意，過點與曲線交于點的直線斜率存在不為零，設(shè)直線MN的方程為，由消去x并整理得：，，，解得或且且，設(shè)，則，即有，直線BM：，直線CN：，令直線交點，由消去y并化簡整理得：，，，于是得，即點，則有，，即為定值4.22．(1)極小值為，無極