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大聯(lián)考2022—2023學(xué)年(下)高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù),再求出復(fù)數(shù)的模作答.【詳解】,所以.故選:A.2.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為2,則其側(cè)面展開得到的扇形的圓心角為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】圓錐的底面周長(zhǎng)即側(cè)面展開得到的扇形的弧長(zhǎng),再應(yīng)用弧長(zhǎng)公式求圓心角即可.【詳解】由條件知底面周長(zhǎng)為,即側(cè)面展開得到的扇形的弧長(zhǎng)為,故,圓心角為.故選:.3.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)的幾何意義判斷對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】,其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選:D4.已知平面向量與垂直,則的值是()A. B. C.12 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解求參即可.【詳解】由題知,即,解得.故選:B.5.如圖所示,一個(gè)水平放置的四邊形OABC的斜二測(cè)畫法的直觀圖是邊長(zhǎng)為2的正方形,則原四邊形的面積是()A. B. C.16 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則求出,判斷的形狀,確定,由此求出原四邊形的面積.【詳解】在正方形中可得,由斜二測(cè)畫法可知,,且,,所以四邊形為平行四邊形,所以.故選:B.6.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z如圖所示,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的幾何意義求復(fù)數(shù),再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式求.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為所以復(fù)數(shù),則.故選:A.7.如圖,在中,設(shè),,,,則()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加減法的運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算得出所求解的向量與已知向量之間的關(guān)系,注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性和向量倍數(shù)關(guān)系的正確轉(zhuǎn)化.【詳解】由于,,故,,又因?yàn)椋?,所以.故選:C.8.圖1是唐朝著名的風(fēng)鳥花卉紋浮雕銀杯,它的盛酒部分可以近似地看作半球與圓柱的組合體(如圖2).設(shè)這種酒杯內(nèi)壁的表面積為,半球的半徑為,若半球的體積不小于圓柱體積,則S的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓柱的高為,由條件結(jié)合體積公式列不等式求的范圍,再結(jié)合球的表面積公式和圓柱的側(cè)面積公式求酒杯內(nèi)壁的表面積解析式及其范圍.【詳解】設(shè)圓柱的高為,因?yàn)榘肭虻捏w積不小于圓柱體積,所以,解得,即.所以.故選:D.二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9已知復(fù)數(shù),則()A.z的實(shí)部是B.z的虛部是C.z的共軛復(fù)數(shù)為D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在函數(shù)的圖像上【答案】ACD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出z,可得復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、共軛復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn).【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù),所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為,虛部為,共軛復(fù)數(shù)為,復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,滿足.故選:ACD.10.已知向量,,則()A.與方向相同的單位向量的坐標(biāo)為B.當(dāng)時(shí),與的夾角為銳角C.當(dāng)時(shí),、可作為平面內(nèi)的一組基底D.當(dāng)時(shí),在方向上的投影向量為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)與方向相同的單位向量為可判斷A選項(xiàng);利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B選項(xiàng);判斷出、不共線,可判斷C選項(xiàng);利用投影向量的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A,與方向相同的單位向量為,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,,,所以,與的夾角為銳角,故B正確;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,,則,則與不平行,、可作為平面內(nèi)的一組基底,故C正確;對(duì)于D,設(shè)與的夾角為,則在方向的投影向量為,當(dāng)時(shí),,,,,所以,故D錯(cuò)誤.故選:BC.11.長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,,體積為6,外接球的表面積為,則下列說(shuō)法正確的是()A.長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,2,1B.沿長(zhǎng)方體的表面從到的最短路徑長(zhǎng)度為C.與這個(gè)長(zhǎng)方體表面積相等的正方體的棱長(zhǎng)為2D.設(shè)與這個(gè)長(zhǎng)方體體積相等的正四面體的棱長(zhǎng)為m,則【答案】AD【解析】【分析】由長(zhǎng)方體外接球的表面積為可得,由其體積為可得,解方程求判斷A,分三種情況,利用側(cè)面展開圖求從到的最短路徑長(zhǎng)度,判斷B,求長(zhǎng)方體的表面積,設(shè)與其表面積相等的正方體的棱長(zhǎng)為,列方程求,判斷C,求正四面體的體積,列方程求,判斷D.【詳解】對(duì)于A,因?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球的表面積為,設(shè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑為,則,所以,所以①,因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積為6,所以②,又,由①②解得,,故A正確;對(duì)于B,沿長(zhǎng)方體的表面從到,可將長(zhǎng)方體的兩個(gè)相鄰的面展開成矩形,最短路徑是這個(gè)矩形的對(duì)角線,這樣的矩形共有3種,對(duì)角線長(zhǎng)度為或或,因?yàn)?,故沿長(zhǎng)方體的表面從到的最短路徑長(zhǎng)度為,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,長(zhǎng)方體的表面積為,設(shè)與其表面積相等的正方體的棱長(zhǎng)為,則,解得,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,棱長(zhǎng)為m的正四面體的高為,則正四面體的體積為,則,故D正確.故選:AD.12.在中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知,則下列說(shuō)法正確的是()A.若,則B.若,則是直角三角形C.若是等腰三角形,則D.若,則的面積最大值為3【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)余弦定理和正弦定理及三角形面積公式分別判斷A,B,C,D選項(xiàng)即可.【詳解】由正弦定理及可得.對(duì)于A,根據(jù)余弦定理得,所以,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,若,則,又,所以,而,所以,即,故B正確;對(duì)于C,若是等腰三角形,只可能是(若,則,不能構(gòu)成三角形),則,由余弦定理可得,所以,故C正確;對(duì)于D,由余弦定理可得,所以,所以,當(dāng)時(shí),取最大值3,故D正確.故選:BCD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知向量,,,若,則實(shí)數(shù)_______.【答案】【解析】【分析】平面向量線性運(yùn)算用坐標(biāo)表示,再由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù).【詳解】,,因?yàn)?,所以,解得.故答案為?4.方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為_______.【答案】【解析】【分析】將已知方程配方,結(jié)合虛數(shù)單位的定義即可求解.【詳解】由方程可得,即,所以所以方程的根為.故答案為:.15.歐拉是十八世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家,他巧妙地把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)和聯(lián)系在一起,得到公式,這個(gè)公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”,若,則稱為復(fù)數(shù)的輻角主值.根據(jù)該公式,可得的輻角主值為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)歐拉公式與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念求解即可.【詳解】因?yàn)椋?,所以的輻角主值為.故答案?.16.已知圓柱的上、下底面的中心分別為,過(guò)直線的平面截該圓柱所得的截面是正方形.內(nèi)接于下底面圓,且是一個(gè)面積為的等腰直角三角形,則該圓柱的體積為_______.【答案】【解析】【分析】先由三角形面積公式求出三角形邊長(zhǎng),再由正弦定理求底面圓的半徑,由圓柱體積公式求圓柱的體積.【詳解】如圖所示,設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,則.再設(shè)的腰長(zhǎng)為a,則,解得,即,因?yàn)?,所以,所以,.所以該圓柱的體積為.故答案為:四、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.17.已知向量,,,.(1)若,求的值;(2)若與垂直,求的值.【答案】(1)或(2)【解析】【分析】(1)先由向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式,在于向量的模的坐標(biāo)表示列方程求的值;(2)利用向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求的值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?,,所以,又,所以,即,解得或.【小?wèn)2詳解】因?yàn)?,,所以,又與垂直,,所以,解得.18.已知在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為,向量與實(shí)軸平行.(1)求b的值;(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先求,再因?yàn)榕cx軸平行列式求參即可;(2)先求z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),再應(yīng)用點(diǎn)在第三象限列不等式求解即得范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意知,,所以,因?yàn)榕cx軸平行,所以,解得.【小問(wèn)2詳解】由(1)知,所以,因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限,所以解得,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.19.已知的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,的外接圓的半徑為R,且,且.(1)求B;(2)若,,求.【答案】(1)(2)【解析】分析】(1)已知等式由正弦定理化簡(jiǎn),求出,再得角;(2)由余弦定理求,再由正弦定理求.【小問(wèn)1詳解】,由正弦定理得,整理得,即,解得或(舍去),又因,所以.小問(wèn)2詳解】由余弦定理得,所以.再由正弦定理可得,所以.20.如圖所示,在正六棱錐中,O為底面中心,,.(1)求該正六棱錐的體積和側(cè)面積;(2)若該正六棱錐的頂點(diǎn)都在球M的表面上,求球M的表面積和體積.【答案】(1),(2)表面積,體積為【解析】【分析】(1)正六棱錐的幾何特征,再應(yīng)用體積和側(cè)面積公式求解即可;(2)正六棱錐的幾何特征,根據(jù)球的表面積和體積求解即得.【小問(wèn)1詳解】由條件可知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4,所以底面積為,該正六棱錐的體積為.正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為,側(cè)面等腰三角形的面積為,故該正六棱錐的側(cè)面積為.【小問(wèn)2詳解】球心M一定在直線SO上,設(shè)球M的半徑為R,則,又,所以,解得.所以球M的表面積為,體積為21.如圖所示,在正方形ABCD中,,,,AF與DE交于點(diǎn)G,線BG的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)H.(1)求的值;(2)若,求實(shí)數(shù)μ的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用基底表示,再利用數(shù)量積的運(yùn)算律和定義求;(2)設(shè),,根據(jù)向量線性運(yùn)算利用表示,根據(jù)平面向量基本定理求,再表示,根據(jù)三點(diǎn)共線求.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)?,,所以.【小?wèn)2詳解】設(shè),因?yàn)?,,則所以,設(shè),又則,所以,解得,,所以,所以,又,所以,所以,又三點(diǎn)共線,即共線,所以,所以.22.已知銳角的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b
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