數(shù)學(xué)人教A版必修2學(xué)案2-2-2平面與平面平行的判定

2.2.2平面與平面平行的判定[目標(biāo)]1.理解并掌握平面與平面平行的判定定理，明確定理中“相交”兩字的重要性；2.能利用判定定理解決有關(guān)面面平行問題．[重點(diǎn)]平面與平面平行的判定定理的理解及應(yīng)用．[難點(diǎn)]定理應(yīng)用條件中“相交”的理解．知識(shí)點(diǎn)平面與平面平行的判定定理[填一填][答一答]1．如果把定理中的“相交”去掉，這兩個(gè)平面是否一定平行，為什么？提示：不一定平行．如果不是兩條相交直線，即使在一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，也不能判定這兩個(gè)平面平行，這是因?yàn)樵趦蓚€(gè)相交平面的一個(gè)平面內(nèi)，可以畫出無數(shù)條直線與交線平行，顯然這無數(shù)條直線都與另一個(gè)平面平行，但這兩個(gè)平面不平行．2．如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線和另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行嗎？提示：不一定平行，這無數(shù)條直線可能相互平行，此時(shí)兩個(gè)平面也可能相交．3．三角板的兩條邊所在直線分別與桌面平行，這個(gè)三角板所在平面與桌面的位置關(guān)系是什么？提示：平行．類型一面面平行判定定理的理解[例1]已知直線l，m，平面α，β，下列命題正確的是()A．l∥β，l?α?α∥βB．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥βC．l∥m，l?α，m?β?α∥βD．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β[解析]如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，則AB∥平面DC1，AB?平面AC，但是平面AC與平面DC1不平行，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；取BB1中點(diǎn)E，CC1的中點(diǎn)F，則可證EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF?平面BC1，B1C1?平面BC1，但是平面AC與平面BC1不平行，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；可證AD∥B1C1，AD?平面AC，B1C1?平面BC1，但是平面[答案]D解決此類問題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：1借助常見幾何體進(jìn)行分析，使得抽象問題具體化.2把握住面面平行的判定定理的關(guān)鍵“一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線均平行于另一個(gè)平面”.[變式訓(xùn)練1]在以下說法中，正確的個(gè)數(shù)是(B)①平面α內(nèi)有一條直線和平面β平行，那么這兩個(gè)平面平行；②平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行，那么這兩個(gè)平面平行；③平面α內(nèi)有無數(shù)條直線和平面β平行，那么這兩個(gè)平面平行；④平面α內(nèi)任意一條直線和平面β都無公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行．A．0B．1C．2D．3解析：①平面α和平面β相交時(shí)，平面α內(nèi)與兩平面交線平行的直線與平面β都平行，所以該命題不正確；②當(dāng)兩條直線相交時(shí)，兩個(gè)平面平行；當(dāng)兩條直線平行時(shí)，平面α和平面β可能相交；③α內(nèi)這無數(shù)條直線相互平行時(shí)，兩平面可能相交，此時(shí)這些直線和兩平面的交線平行；④由直線和平面平行的定義可知，平面α內(nèi)任意一條直線與平面β都平行，所以平面α和平面β沒有公共點(diǎn)，即兩個(gè)平面平行，所以該命題正確．綜上所述，只有④正確，故選B.類型二平面與平面平行的證明[例2]如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，E、F、H分別為AB、CD、PD的中點(diǎn)．求證：平面AFH∥平面PCE.[分析]由面面平行的判定定理可知，要證平面AFH∥平面PCE，只需證平面AFH中兩相交直線平行于平面PCE，這兩條相交直線不妨取AF與FH.[證明]因?yàn)镕、H分別為CD、PD的中點(diǎn)，所以FH∥PC.又PC?平面PCE，F(xiàn)H?平面PCE，所以FH∥平面PCE.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AB∥CD，且AB＝CD.因?yàn)镋、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，所以AE∥CF且AE＝CF，所以四邊形AECF為平行四邊形，所以AF∥CE，又CE?平面PCE，AF?平面PCE，所以AF∥平面PCE.因?yàn)镕H?平面AFH，AF?平面AFH，F(xiàn)H∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.判定兩個(gè)平面平行與判定線面平行一樣，應(yīng)遵循先找后作的原則，先在一個(gè)平面內(nèi)找兩條與另一個(gè)平面平行的相交直線，找不到再引輔助線.[變式訓(xùn)練2]如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、E、F、N分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1求證：(1)E、F、B、D四點(diǎn)共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.證明：(1)連接B1D1，∵E、F分別是邊B1C1、C1D1∴EF∥B1D1，而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四點(diǎn)共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN?平面EFDB，BD?平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.如圖，連接MF.∵M(jìn)、F分別是A1B1，C1D1的中點(diǎn)，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD，MF＝AD.∴四邊形ADFM是平行四邊形，∴AM∥DF.又AM?平面BDFE，DF?平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.類型三線面平行、面面平行的綜合應(yīng)用[例3]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E、F、G分別是BC、DC、SC(1)直線EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.[證明](1)如圖，連接SB，∵E、G分別是BC、SC的中點(diǎn)，∴EG∥SB.又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，∴直線EG∥平面BDD1B1.(2)如圖，連接SD，∵F、G分別是DC、SC的中點(diǎn)，∴FG∥SD.又∵SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.1要證明兩平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個(gè)平面.2判定兩個(gè)平面平行與判定線面平行一樣，應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個(gè)面內(nèi)找到兩條與另一個(gè)平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線.[變式訓(xùn)練3]如圖，在底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，點(diǎn)E在PD上，且PEED＝21，M為PE的中點(diǎn)，在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使平面BFM∥平面AEC？并證明你的結(jié)論．解：當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，平面BFM∥平面AEC.∵M(jìn)是PE的中點(diǎn)，∴FM∥CE.∵FM?平面AEC，CE?平面AEC，∴FM∥平面AEC.由EM＝eq\f(1,2)PE＝ED，得E為MD的中點(diǎn)，連接BM，BD，如圖所示，設(shè)BD∩AC＝O，則O為BD的中點(diǎn)．連接OE，則BM∥OE.∵BM?平面AEC，OE?平面AEC，∴BM∥平面AEC.又∵FM?平面BFM，BM?平面BFM，F(xiàn)M∩BM＝M，∴平面BFM∥平面AEC.1．設(shè)直線l，m和平面α，β，下列條件能使α∥β的有(D)①l?α，m?α，且l∥β，m∥β；②l?α，m?β且l∥m；③l∥α，m∥β且l∥m.A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．0個(gè)解析：①②③都不正確．2．平面α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等且不為零，則α與β的位置關(guān)系為(C)A．平行 B．相交C．平行或相交 D．可能重合解析：若三點(diǎn)分布于平面β的同側(cè)，則α與β平行，若三點(diǎn)分布于平面β的兩側(cè)，則α與β相交．3.在如圖所示的幾何體中，三個(gè)側(cè)面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四邊形．則平面ABC與平面A1B1C1平行嗎？是(填“解析：因?yàn)锳A1B1B是平行四邊形，所以AB∥A1B1，因?yàn)锳B?平面A1B1C1，A1B1?平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1同理可證：BC∥平面A1B1C1又因?yàn)锳B∩BC＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C14．a(chǎn)，b，c為三條不重合的直線，α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)給出六個(gè)命題．①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥c,b∥c))?a∥b；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,b∥γ))?a∥b；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,β∥c))?α∥β；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ,β∥γ))?α∥β；⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,a∥c))?a∥α；⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,α∥γ))?a∥α，其中正確的命題是①④.(填序號(hào))解析：①是平行公理，正確；②中a，b還可能異面或相交；③中α，β還可能相交；④是平面平行的傳遞性，正確；⑤還有可能a?α；⑥也是忽略了a?α的情形．5．如圖所示，B為△ACD所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求證：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNGS△ACD.解：(1)證明：如圖，連接BM，BN，BG并延長分別交AC，AD，CD于P，F(xiàn)，H三點(diǎn)，∵M(jìn)，N，G分別是△ABC，△ABD，△BCD的重心，∴eq\f(BM,MP)＝eq\f(BN,NF)＝eq\f(BG,GH)＝2，連接PF，F(xiàn)H，PH，有MN∥PF.又PF?平面ACD，MN?平面ACD，∴MN∥平面ACD.同理MG∥平面ACD，又MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.(2)由(1)可知eq\f(MG,PH)＝eq\f(BG,BH)＝eq\f(2,3)，∴MG＝eq\f(2,3)PH.又PH＝eq\f(1,2)AD，∴MG＝eq\f(1,3)AD.同理NG＝eq\f(1,3)AC，MN＝eq\f(1,3)CD，∴△MNG∽△DCA，∴S△MNGS△ACD＝(NGAC)2＝(13)2＝19.——本課須掌握的兩大問題1．證明面面平行的方法：①利用定