2023年上海市徐匯區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷-普通用卷

2023年上海市徐匯區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題（本大題共6小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.下列互為倒數(shù)的是（）

A.3和；B.—2和2C.3和—：D.—2和；

2.下列運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤的是（）

A.m2÷τn3=m~1B.（m2）3=m6C.m2?m3=m5D.m2+τn3=m5

3.如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)4和點(diǎn)B分別在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)/、8對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a、b,下

列結(jié)論一定成立的是（）

AB

_____I_________I______________I______

A.α÷e<0B.b—a<0C.—2a>—2bD.∣α∣>?b?

4.若點(diǎn)（-2,MI）、（-l,y2）'（2,y3）在反比例函數(shù)y=（（k<0）的圖象上，則（）

A.y1>y2>y3B.y2>yι>y3C.y3>y1>y2D.y3>y∑>yι

5.某校足球社團(tuán)有50名成員，下表是社團(tuán)成員的年齡分布統(tǒng)計(jì)表，對(duì)于不同的》,下列關(guān)于

年齡的統(tǒng)計(jì)量不會(huì)發(fā)生改變的是（）

年齡（單位：歲）1314151617

頻數(shù)（單位:名）1215X14—%9

A.平均數(shù)、中位數(shù)B.平均數(shù)、方差C.眾數(shù)、中位數(shù)D.眾數(shù)、方差

6.如圖，在梯形ABC。中，己知BC,4。=3,BC=9,AB=6,

CD=4,分別以48、CD為直徑作圓，這兩圓的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)切B.外切C.相交D.外離

二、填空題（本大題共12小題，共48.0分）

7.計(jì)算：4∑='

?__

8.已知/（x）=M,那么耳）=.

9.根據(jù)電影發(fā)行方的數(shù)據(jù)，電影造江紅沙截至2023年3月17日，以4535000000元的票房

高居春節(jié)檔前列，數(shù)據(jù)4535000000用科學(xué)記數(shù)法表示為

'χ2-3y+2/=。的解是

10.方程組?

,%+y=3

11.媽媽煮了4個(gè)湯圓，分別是2個(gè)花生味和2個(gè)芝麻味，小明隨意吃兩個(gè)恰好都是花生味的

概率是.

12.己知關(guān)于X的方程/一2x-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么Tn的取值范圍是

13.如圖，已知在△4BC中，點(diǎn)。是邊4C上一點(diǎn)，且CD=24D.設(shè)瓦？=

a,BC=b,那么向量筋.(用久五+yE的形式表示，其中X、

y為實(shí)數(shù))

14.為了了解學(xué)生在家做家務(wù)情況，某校對(duì)部分學(xué)生進(jìn)行抽部分學(xué)生平均每周做家務(wù)

時(shí)間的頻數(shù)分布百方圖

樣調(diào)查，并繪制了如圖所示的頻數(shù)分布直方圖(每組數(shù)據(jù)含最

小值，不含最大值).如果該校有1500名學(xué)生，估計(jì)該校平均

每周做家務(wù)的時(shí)間少于2小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約是人.

I2.54N問(wèn)

15.某公司產(chǎn)品的銷售收入y1元與銷售量%噸的函數(shù)關(guān)系記為yι=∕(x),銷售成本y2與銷售

量X的函數(shù)關(guān)系記為及=g(χ),兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示.當(dāng)銷售收入與銷售成本相等時(shí)，銷

售量X為噸.

16.如圖，已知O。的內(nèi)接正方形力BCz）,點(diǎn)F是力的中點(diǎn)，AF與邊

DC交于點(diǎn)E,那么M=.

17.如圖，拋物線口：丫=%2+2%-3與拋物線。2：）/=

α∕+bx+c組成一個(gè)開(kāi)口向上的“月牙線”，拋物線CI和拋

物線C2與X軸有著相同的交點(diǎn)4、B（點(diǎn)B在點(diǎn)4右側(cè)），與y軸的

交點(diǎn)分別為C、。.如果2。=CD,那么拋物線C2的表達(dá)式是

18.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4（8,0）、點(diǎn)8（0,6）,04的半徑為5,點(diǎn)C是。4上的動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)，那么OP長(zhǎng)的取值范圍是.

三、解答題（本大題共7小題，共78.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

19.（本小題10.0分）

先化簡(jiǎn)，再求值：（工―1）+-?J,然后從一3,-2,0,2,3中選一個(gè)合適的數(shù)代入求

kx+3JX2÷6X+9

值.

20.(本小題10.0分)

(^ix+6>5(X—2)

求不等式組，x-2∕2x-l的整數(shù)解.

t1^^r≤-

21.(本小題10.0分)

如圖，AD,AE分別是AABC邊BC上的高和中線，已知BC=8,tcmB=^,NC=45。.

(1)求AC的長(zhǎng)；

(2)求SinNB4E的值.

22.(本小題10.0分)

小明家的花灑的實(shí)景圖及其側(cè)面示意圖分別如圖1、圖2所示，花灑安裝在離地面高度160厘

米的4處，花灑AD的長(zhǎng)度為20厘米.

(1)己知花灑與墻面所成的角NBAD=120。,求當(dāng)花灑噴射出的水流CD與花灑力。成90。的角時(shí),

水流噴射到地面的位置點(diǎn)C與墻面的距離.(結(jié)果保留根號(hào))

(2)某店鋪代理銷售這種花泗，上個(gè)月的銷售額為2400元，這個(gè)月由于店鋪舉行促銷活動(dòng)，每

個(gè)花灑的價(jià)格比上個(gè)月便宜20元，因此比上個(gè)月多賣出8個(gè)的同時(shí)銷售額也上漲了400元，求

這個(gè)此款花灑的原價(jià)是多少元？

圖2

23.(本小題12.0分)

如圖，已知。。是AABC的外接圓,聯(lián)結(jié)40并延長(zhǎng)交邊BC于點(diǎn)。,聯(lián)結(jié)OC,且。C?=ODAD.

(1)求證：AC=BC；

(2)當(dāng)ZB=AC時(shí)，過(guò)點(diǎn)4作邊BC的平行線，交。。于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)。E交4C于點(diǎn)F.請(qǐng)畫(huà)出相應(yīng)的

圖形，并證明：AD-AE=BC-EF.

24.(本小題12.0分)

如圖，已知拋物線y=/+b%+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(一2,7),與X軸交于點(diǎn)8、C(5,0).

(1)求拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且位于工軸的上方，將△BCE沿直線BE翻折，如果點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

F恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上,點(diǎn)Q是拋物線上位于第四象限內(nèi)的點(diǎn)，當(dāng)^CPQ為等邊三角形時(shí),

求直線BQ的表達(dá)式.

25.(本小題14.0分)

已知：如圖1,四邊形ABCD中，AB=AD=CD,NB=NC<90。.

(1)求證：四邊形4BCD是等腰梯形；

(2)邊CO的垂直平分線E尸交CD于點(diǎn)E,交對(duì)角線4C于點(diǎn)P,交射線AB于點(diǎn)F.

①當(dāng)4F=AP時(shí)，設(shè)AD長(zhǎng)為X,試用X表示AC的長(zhǎng)；

②當(dāng)BF=DE時(shí)，求黑的值.

BC

備用圖2

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：λ>?.?3×∣=1,

??.3和拒為倒數(shù)，符合題意；

8、???(-2)×2=-4,

-2和2不互為倒數(shù)，不符合題意；

1

C>?.?3×(―?)=-1?

???3和-！不互為倒數(shù)，不符合題意；

Ds'''(-2)XT=-1,

???-2和杯互為倒數(shù)，不符合題意.

故選：A.

根據(jù)倒數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

本題考查的是倒數(shù)的定義，熟知乘積是1的兩個(gè)數(shù)叫互為倒數(shù)是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】D

【解析】解：???m2÷m3=m~1,

??.A選項(xiàng)的運(yùn)算正確，不符合題意；

,：(Tn2)3=m6t

??.B選項(xiàng)的運(yùn)算正確，不符合題意；

Vm2?m3=m5?,

二C選項(xiàng)的運(yùn)算正確，不符合題意；

???m2和m3不是同類項(xiàng)，不能合并，

???D選項(xiàng)的運(yùn)算錯(cuò)誤，符合題意.

故選：D.

利用同底數(shù)第的除法法則，幕的乘方和積的乘方，同底數(shù)基的乘法法則和合并同類項(xiàng)的法則對(duì)每

個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.

本題主要考查了同底數(shù)塞的除法，基的乘方和積的乘方，同底數(shù)基的乘法和合并同類項(xiàng)，熟練掌

握上述法則與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.【答案】C

【解析】解：根據(jù)數(shù)軸可知α<O<b,∣ɑ∣<∣b∣,

4依題意α+b>O,故結(jié)論錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；

B：依題意b-α>0,故結(jié)論錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；

C：依題意-2α>-2b,故結(jié)論正確，該選項(xiàng)符合題意；

D：依題意∣α∣<網(wǎng)，故結(jié)論錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

首先利用數(shù)軸上的信息確定a、b的正負(fù)性，然后利用不等式的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)也利用了不等式的性質(zhì).

4.【答案】B

【解析】解：???k<0,

???反比例函數(shù)丫=5(卜<0)的圖象在二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨X的增大而增大，

????(-2,y1)>(-1,y2)在第二象限，y2>yι>0:(2,y3)在第四象限，為<0,

y∑>yι>y≡?

故選：B.

先判斷出反比例函數(shù)y=；(k<0)的圖象所在的象限，再根據(jù)圖象在每一象限的增減性及每一象

限坐標(biāo)的特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可.

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】C

【解析】解：由表可知，年齡為15歲與年齡為16歲的頻數(shù)和為X+14-x=14,而14歲人數(shù)有15

人，

故該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為14歲，

中位數(shù)為：(14+14)÷2=14(^).

即對(duì)于不同的工，關(guān)于年齡的統(tǒng)計(jì)量不會(huì)發(fā)生改變的是眾數(shù)和中位數(shù).

故選：C.

由頻數(shù)分布表可知年齡15歲和年齡16歲的兩組的頻數(shù)和為14,即可得知總?cè)藬?shù)，結(jié)合前兩組的頻

數(shù)知出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)及第25、26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得答案.

本題主要考查頻數(shù)分布表及統(tǒng)計(jì)量的選擇，由表中數(shù)據(jù)得出數(shù)據(jù)的總數(shù)是根本，熟練掌握平均數(shù)、

中位數(shù)、眾數(shù)及方差的定義和計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】D

【解析】解：分別取48、OC中點(diǎn)M和N,連接"N,

???MN是梯形ABCD的中位線，

.?.MN=XAD+BC)=TX(3+9)=6,

???分別以4B、CD為直徑的圓的圓心是M和N,

.??OM和。N的圓心距d=MN=6,

???OM的半徑R=?AB=TX6=3,ON的半徑r=TCD=；x4=2,

???d>R+r,

這兩圓的位置關(guān)系是外離.

故選：D.

兩圓的圓心距是d,半徑分別是R、r,兩圓外離合d>R+r,由此即可判斷.

本題考查圓與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A與圓位置關(guān)系的判定方法.

7.【答案】2

【解析】解：根據(jù)算術(shù)平方根的定義，

得，42=V4—2?

故答案為：2.

根據(jù)算術(shù)平方根的定義，如果一個(gè)正數(shù)X的平方等于α,即∕=α,那么這個(gè)正數(shù)X叫做α的算術(shù)平

方根，解答出即可；

本題考查了算術(shù)平方根的定義，一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個(gè)數(shù)的平方互為逆運(yùn)算，在求一

個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，可以借助乘方運(yùn)算來(lái)尋找.

8.【答案】1

［解析］解：???/(x)=?-,

???/⑶=￡2=1,

故答案為：1.

根據(jù)/(X)==,可以求得/(3)的值，本題得以解決.

本題考查函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用題目中新定義解答.

9.【答案】4.535×IO9

【解析】解：4535000000=4.535×IO9.

故答案為：4.535XIO9.

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aXIOn的形式，其中l(wèi)≤∣α∣<10,n為整數(shù).確定n的值時(shí)，要看把原

數(shù)變成α?xí)r，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，

n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，n是負(fù)整數(shù).

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為αXI(Tl的形式，其中1≤∣α∣<10,n

為整數(shù)，正確確定ɑ的值以及n的值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

io.【答案】卜片=；

【解析】解：F一3盯+2yJ°

U+y=3②

由①得：(x-y)(x-2y)=0,

X—y=0或X-2y=0③，

由③和②組成兩個(gè)二元一次方程組：

(x—y=0(x-2y=0

f%+y=3'(x+y=3,

?l=久2=2

解得：?

%=1

?yι=

X=2

所以原方程組的解是2

yι=ι,

故答案為:

由①得出(X-y)(x-2y)=0,求出X-y=0或X-2y=0③，由③和②組成兩個(gè)二元一次方程

組，求出兩方程組的解即可.

本題考查了解高次方程組，能把高次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組是解此題的關(guān)鍵.

11.【答案】?

O

【解析】解：設(shè)2個(gè)花生味的湯圓分別記為A,B,2個(gè)芝麻味的湯圓分別記為C,D,

畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中小明隨意吃兩個(gè)恰好都是花生味的結(jié)果有：AB,BA,共2種，

二小明隨意吃兩個(gè)恰好都是花生味的概率為4=?

IZO

故答案為：?

O

畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小明隨意吃兩個(gè)恰好都是花生味的結(jié)果數(shù)，再利用概率公

式可得出答案.

本題考查列表法與樹(shù)狀圖法，熟練掌握列表法與樹(shù)狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵.

12.【答案】m>-l

【解析】解：根據(jù)題意得：

4=4+4m>0,

解得：m>-1,

故答案為：m>—1.

根據(jù)“關(guān)于X的方程%2-2X-Tn=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”，結(jié)合判別式公式，得到關(guān)于小的

一元一次不等式，解之即可.

本題考查了根的判別式，正確掌握根的判別式公式是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】∣α+je

【解析】解："AC=AB+BC,

：.AC=-a+b>

VCD=2AD,

.?.AD=^AC,

■.AD=I(―α+6),

BD—BA+AD=ɑ+—(—α+b)=?ɑ+—6.

故答案為：∣α+?fa.

利用三角形法則求出而，再求出而，前即可.

本題考查平面向量，三角形法則等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形法則，屬于中考常考題型.

14.【答案】720

【解析】解：

1500x4JX10=720(A),

估計(jì)該校平均每周做家務(wù)的時(shí)間少于2小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約是720人.

故答案為：720.

用總?cè)藬?shù)乘樣本中平均每周做家務(wù)的時(shí)間少于2小時(shí)的學(xué)生人數(shù)所占比例即可.

本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力.本題用到的知識(shí)點(diǎn)是：頻率=頻

數(shù)÷總數(shù)，用樣本估計(jì)整體讓整體X樣本的百分比即可.

15.【答案】4

【解析】解：由圖象可得，

函數(shù)%=f(X)是正比例函數(shù)，過(guò)點(diǎn)(2,2000)；函數(shù)丫2=g(x)是一次函數(shù)，過(guò)點(diǎn)(0,2000),(2,3000),

設(shè)yi=kx,

則2k=2000,得k=1000,

即月=IOOOxi

設(shè)丫2=ax+b,

則代=2000,

l2a+b=3000

解得仁湍

即=500x+2000≈

令力=丫2，

則IOoOX=500x+2000,

解得X=4,

即當(dāng)銷售收入與銷售成本相等時(shí)，銷售量久為4噸，

故答案為：4.

根據(jù)函數(shù)圖象和圖象中的數(shù)據(jù)，可以得到兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，然后令它們的函數(shù)值相等,

求出相應(yīng)的X的值即可.

本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

16.【答案】嚀工

【解析】解：如圖，作直線OF交CD,4B分別為M,N,

r點(diǎn)F是8的中點(diǎn),

.?.OF1CD,

???正方形ABCC是。。的內(nèi)接正方形,

.?.OF1AB,

設(shè)。。的半徑為r,

則AB=√^7r,

.?.ON=OE=?r，

EF=r-￥r，

?.?EM//AN,

EFEF—苧rC-I

"AE^EN=~T^r=~2^?

故答案為：￡2-1.

作直線OF交CD，ZB分別為M,M點(diǎn)F是力的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得OFlCD,根據(jù)正方形ABCD

是。。的內(nèi)接正方形，所以0F?L4B,設(shè)O。的半徑為r,則4B=，2r，ON=OE=號(hào)r，EF=

TWτ，根據(jù)EM〃/IN,所以空=空=L?=CzL

2AEENy∏,r2

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及正多邊形和圓，熟練掌握相似三角形的

判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及正多邊形和圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】y=#+京V

【解析】解：令/+2%—3=0,

解得—1?久2=-3,

ΛΛ(-3I0),B(LO),

???當(dāng)％=0時(shí)，y=%2+2%-3=-3,

ΛC(0,-3),

???當(dāng)％=0時(shí)，y=ax2÷hx+c=c,

???D(O,c),

?CD=c+3,

在Rt△BDo中，

BD=√O(píng)D2+OB2=√c2+1,

???BD=CD,

???Vc2÷1=C+3，

解得C=Y，

拋物線。2：y=ax2+bx-

將力(-3,0),8(1,0)代入丁="2+法-$

(9a—3b—2=0,

得4?

(α+6-w=0,

解得

.??拋物線C2的表達(dá)式是：y=#+狂一去

故答案為：y=ξx2+∣x-5'

先利用拋物線Cl求出4,B,C的坐標(biāo)，再利用BD=CC,以及勾股定理求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后用

待定系數(shù)法求出C2的表達(dá)式即可.

本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，解答時(shí)涉及拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，勾股定理，掌握待定

系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】∣≤OP≤竽

【解析】解：???4(8,0)、AOB=90點(diǎn)8(0,6),

：?OA=8,OB=6,Z.AOB=90°,

連接力B,AC,取AB的中點(diǎn)D,即D的坐標(biāo)(4,3),

又?.?DP分別是4B、BC的中點(diǎn)，

.?.DP=∣AC="X5=|,

D是定點(diǎn),DP=|，即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)。為中心，DP為半徑的圓.

5

-

2-

VDPT=DP2

???點(diǎn)。坐標(biāo)(4,3),

???OD=V42+32=5?

.?.OP的取值范圍是0。-DP1≤OP≤OD+DP2,即5-?≤

OP≤5+1，

即I<OP≤y?

故答案為：I≤OP≤y.

根據(jù)DP分別是4B、BC的中點(diǎn)，DP==^×5=γ。是定點(diǎn)，DP=|，即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是

以點(diǎn)。為中心，DP為半徑的圓，由此解答即可.

本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2

19.【答案】解：原式=(JT—≡±??,(；翌)八

?v+3X+37(X+2)(X-2)

—一(%+2)、(X+3)2

—x+3)(x+2)(x-2)

x+3

二2≡χ,

vχ+3≠O,x+2≠0,%—2≠O,

?*?x≠-3、-2、2,

當(dāng)X=O時(shí)，原式=黑=今

L-UL

當(dāng)％=3時(shí)，原式=1^=一6.

Z—?

【解析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn),根據(jù)分式有意義的條件確定X的值,代入計(jì)算即可.

本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值、分式有意義的條件，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

3x+6>5(x-2)①

.【答案】解:

201-尋竽②

解不等式①得：X<8,

解不等式②得X≥?,

??.不等式組的解集為告≤x<8,

O

則不等式組整數(shù)解有2、3、4、5、6,6、7.

【解析】分別求出不等式組中每個(gè)不等式的解集，從而得到不等式組的解集，即可得出答案.

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小

取?。捍笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

21.【答案】解：⑴?.?AE是AABC邊BC上中線，BC=8,

.?.BE=EC=^BC=4.

???ADABC邊BC上的高，/.C=45°,

.?.△力CD是等腰直角三角形，AD=DC,

設(shè)AD=X,則DC=X,BD=3x.

■■BD+DC=BC=8,

■-3x+X=8,

解得X=2,

???AD的長(zhǎng)為2；

(2)如圖,作EFIaB于尸.

由(1)知EC=4,DC=2,

：.ED=EC-DC=4-2=2,

?AE=√AD2+DE2=√22+22=2√^I?

在Rt△BEF中,?：tanB=或='，

or3

二可設(shè)E尸=y,則BF=3y.

???EF2+BF2=BE2,

?.y2+(3y)2=42,

解得y=智,

2√T0

.?.EF

-5-,

r?

r2Er~ε

YiMBAE=族=帚?=丁

【解析】(1)根據(jù)三角形中線的定義得出BE=EC=；BC=4,根據(jù)正切函數(shù)的定義設(shè)40=x,則

DC=XJ8。=3%.由BD+DC=BC=8,列出方程3%+%=8,求出入即可得到4D的長(zhǎng);

(2)如圖，作EF1AB于F,利用勾股定理求出AE=√AD2+DE2=2-2在Rt△BEF中，利用正切

函數(shù)定義以及勾股定理求出E尸=?，然后根據(jù)正弦函數(shù)定義即可求出SinaBAE?g??=

√~5

^^5^'

本題考查了解直角三角形，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，三角形的中線和高，掌握相關(guān)定義及

定理是解題的關(guān)鍵.

22.【答案】解：（I）如圖，過(guò)點(diǎn)。作E/7/BC,作4E，EF,CF1EF,垂足分別為E,F,

圖1圖2

VZ.BAD=120°,

?,?Z-EAD=60°,

??.?EDA=30°,

-AD=20厘米,

?AE=^AD=10厘米,DE=Ioq厘米,

.?.CF=BE=160+10=170厘米,

???Z.ADC=90°,

???乙CDF=60°,

???乙DCF=30°,

nc,CF170?Λ^3r≡-Λj∕

??.OF=%=-T-厘米,

170√^3200/3

???BC=EF=IOq+（厘米），

33

200√^3

答：水流噴射到地面的位置點(diǎn)C與墻面的距離為:f厘米;

3

（2）設(shè)每個(gè)花灑的原價(jià)是X元，則現(xiàn)在的價(jià)格是（尤-20）元,

2400+4002400C

根據(jù)題意得:-----=8,

X-20X

解得Y=120或-50（舍去）,

經(jīng)檢驗(yàn)：X=120是原方程的解,

答：這個(gè)此款花灑的原價(jià)是120元.

【解析】（1）過(guò)點(diǎn)。作EF〃BC,作4E1EF,CF1EF,垂足分別為E,F,分別求出DE=IOq厘

米，DF=〃嬰厘米，即可得出答案;

3

（2）設(shè)每個(gè)花泗的原價(jià)是X元，則現(xiàn)在的價(jià)格是（X-20）元，根據(jù)題意得：2400+400_2400=8）解

X-ZUX

方程即可.

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用和分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，

利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵.

23.【答案】CI）證明：延長(zhǎng)C。，交。。于點(diǎn)E,交4B于點(diǎn)F,如圖，

?.?DC2=OD-AD,//\\\

OD_DC

V?ODC=Z-CDA,

???△ODCSXCDA,

??OCD=?DAC,

???OA=OC,

：?Z-DAC=?ACOf

???Z.ACO=?OCD,

：?AE=BE，

???OFIaB,

：?BC=AC'

，AC=BC；

(2)解：依題意畫(huà)出圖形如圖：

VAB=ADf

????ABD=?ADB,

?：AEUBJ

??ACB=Z.EAFf?EAD=Z-ADB,

???Z-ABD=?EAD.

VOA=OE,

.??Z.DAE=?E，

??ABD=Z-E,

ABC?二FEAf

AB__BC_

~EF=AE

VAB=AD,

tAD_B￡

?~EF~AEf

.?.AD?AE=BC?EF.

【解析】(1)延長(zhǎng)CO,交。。于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)凡利用相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理得到

?OCD=?DAC,利用同圓的半徑相等，等腰三角形的性質(zhì)得到NACO=/OCD,利用圓周角定理

得到靛=命，利用垂徑定理和圓心角，弧，弦，弦心距之間的關(guān)系定理解答即可得出結(jié)論；

(2)依題意畫(huà)出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到乙4BD=4E,利用相似三角形

的判定與性質(zhì)和等量代換解答，即可得出結(jié)論.

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，平行線的性質(zhì)，

熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

24.【答案】解：(1)?.?拋物線y=x2+bx+(?經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(一2,7),點(diǎn)。(5,0),

.(4-2b+c=7

''l25+5b+c=0'

解得:F=一：，

IC=-5

Vy=%2—4%—5=(%—2)2—9,

???拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,-9)；

(2)設(shè)E(2,t),且t>0,如圖，連接CF,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交X軸于D,

則D(2,0),

???點(diǎn)B、C關(guān)于直線X=2對(duì)稱,

???8(-L0),

:,BC=6,BD=CD=3,DE=t,

-1

由翻折得：BF=BC=6,乙FBE=乙CBE=a乙CBF,

???點(diǎn)F在拋物線的對(duì)稱軸上，

.?.CF=BF=6,

?CF=BF=BC,

.?.△8C尸是等邊三角形，

???乙CBF=60°,

??.?CBE=30°,

??.M=tan?CBE=tan30o=￥，

BD?

t口

-=-----，

33

:?t=√"3,

???EQO、

(3)取(2)中的點(diǎn)F,連接CF9設(shè)直線BQ交y軸于點(diǎn)H,

?.?BF=BC=CF=6,

???△尸CB為等邊三角形，

ΛZ-BCF=乙BFC=60°,

???FM1BCf

?乙CFP=T乙BFC=30°,

???點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q是拋物線上位于第四象限內(nèi)的點(diǎn)，ACPQ為等邊三角形,

???CP=CQfZ-PCQ=60°,

???乙BCF+乙BCP=乙PCQ+乙BCP,即NFCP=(BCQ,

??.△CFP≡ΔCBQ(SAS),

???Z-CBQ=Z.CFP=30o,

在Rt△BOH中，OB=1,?BOH=90o,?HBO=30°,

空=tanzHBO=tαn30o=呈,

UD3

.?.OH=烏

-m÷n=0

設(shè)直線BQ的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n,把8(-1,0)、H(0,_f)代入，得:

解得：

???直線BQ的表達(dá)式為y=一?%一y.

【解析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式為y=X2-4X-5,再運(yùn)用配方法化為頂點(diǎn)式

即可得出拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,-9)；

(2)設(shè)E(2,t),且t>0,連接CF,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交X軸于D,利用拋物線的對(duì)稱性可得B(-l,0),

由翻折的性質(zhì)可得：BF=BC=6,乙FBE=&CBE=三乙CBF,推出△BCF是等邊三角形，得出

NCBF=60。，NCBE=30。，再運(yùn)用解直角三角形即可求得答案；

(3)取(2)中的點(diǎn)尸，連接BF,CF,設(shè)直線BQ交y軸于點(diǎn)“，可得△FCB為等邊三角形，再證得△

CFP≤ΔCBQ(SAS),得出NCBQ=4CFP=30。，利用解直角三角形求得H(O,再運(yùn)用待定

系數(shù)法即可求得直線BQ的表達(dá)式.

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，等邊三

角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，解本題的關(guān)鍵，熟練掌握代入

法求二次函數(shù)解析式，添加輔助線構(gòu)造全等三角形.

25.【答案】（1）證明：延長(zhǎng)84、CD交于點(diǎn)尸,

P；、

：,PB=PC,

-AB=CD,

???PB-AB=PC-CD,即24=PD,

????PAD=?PDA1

???zβ+ZC÷ZP=?PAD+?PDA+4P=180°,

???+ZC=?PAD+Z-PDA,

即2N8=2Z-PAD,

：■Z-B=Z-PAD1

^AD//BC,

???zβ÷ZC<90°,

???÷ZC≠180°,

.?.AB與CD不平行，

四邊形ABCn是梯形，

?.?AB=CD,

???梯形ABCC是等腰梯形；

(2)解：①連接DP,

則DP=CP,

???Z.PDC=乙PCD,

圖1

-AD=CD,

?Z.DAC=Z.DCA=?PDC,

??