2023年甘肅省蘭州市普通高校對(duì)口單招數(shù)學(xué)自考模擬考試(含答案)

2023年甘肅省蘭州市普通高校對(duì)口單招數(shù)

學(xué)自考模擬考試(含答案)

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(10題)

1.設(shè)i是虛數(shù)單位，若z∕i=(i-3)/(l+i)則復(fù)數(shù)Z的虛部為O

A.-2B.2C.-1D.1

2.A=0,是AB=/()

A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知i是虛數(shù)單位，則l+2i∕l+i=()

A.3-i∕2B.3+i∕2C.3-iD.3+i

4.直線以仙互相平行的一個(gè)充分條件為()

A.以仙都平行于同一個(gè)平面

B.他與同一平面所成角相等

C4平行于〃所在平面

D.Y?都垂直于同一平面

5.某商場(chǎng)有四類食品，其中糧食類、植物油類、動(dòng)物性食品類及果蔬類

分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為20的樣本

進(jìn)行食品安全檢測(cè).若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油

類與果蔬類食品種數(shù)之和是()

A.4B.5C.6D.7

6.設(shè)平面向量a(3,5),b(-2,1),則a-2b的坐標(biāo)是()

A.(7,3)B.(-7,-3)C.(-7,3)D.(7,-3)

7.若a=(l∕2)ιz3,b=log1a2,C=IOgIA3,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A上<a<cB上<c<aC.a<b<cD.c<b<a

8.過(guò)點(diǎn)A(-l,0),B(O,-1)直線方程為()

A.x+y-l=OB.x-y-l=OC.x+y+l=OD.x-y+l=O

9橢圓x2∕4+y2∕2=l的焦距()

A.4

B.2

C.2

D.2W

10.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=2χ2-χ,則f(-

D=O

A.-3B.-lC.lD.3

二、填空題（10題）

IL設(shè)平面向量a=(2,sinα).b=(cosa,1/6),且a∕∕b,則sin2a的值是

12.若直線的斜率k=l,且過(guò)點(diǎn)(0,1),則直線的方程為.

13.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的k=ll,則輸出的S=

x

14.函數(shù)f(x)=+log2(x∈[l,2])的值域是.

15.

設(shè)f(χ)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)XeLI,D時(shí)，f

,、^4X2+2,-l≤x<0,...3.

(X)Y,則πf(*)=____________.

X.0≤x≤l2

16.己知等比數(shù)列2,4,8,16,…,則2048是它的第O項(xiàng)。

17.不等式悟X3?的解集為

18已知向量α=(2,3)力=QM),S.a±b,那么實(shí)數(shù)團(tuán)的值為

19.5個(gè)人站在一其照相，甲、乙兩人間恰好有一個(gè)人的排法有種.

20.若事件A與事件a互為對(duì)立事件，且P值尸P(A),則P(&)=_。

三、計(jì)算題(5題)

21.已知函數(shù)y=0cos2x+3sin2x,XWR求：

(1)函數(shù)的值域；

(2)函數(shù)的最小正周期。

22.在等差數(shù)列｛a11｝中，前n項(xiàng)和為Sn,且S4=-62,S6=-75,求等差數(shù)列

｛an｝的通項(xiàng)公式an.

23.近年來(lái)，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為“廚余

垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四類，并分別垛置

了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾的正確分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)

抽取了該市四類垃圾箱總計(jì)IOO噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位:

噸）:

“廚余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱

廚余垃圾24412

可回收垃圾41923

有害垃圾22141

其他垃圾15313

(1)試估計(jì)“可回收垃圾”投放正確的概率;

(2)試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率。

l-χ

己知函f(x)=Ioga——，(a>0且a≠)

24.I+》

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由。

25.有語(yǔ)文書(shū)3本，數(shù)學(xué)書(shū)4本，英語(yǔ)書(shū)5本，書(shū)都各不相同，要把這

些書(shū)隨機(jī)排在書(shū)架上.

(1)求三種書(shū)各自都必須排在一起的排法有多少種？

(2)求英語(yǔ)書(shū)不挨著排的概率P。

四、簡(jiǎn)答題(10題)

26.如圖：在長(zhǎng)方體從4βc°?4%V>ι中，愈=必=3,用=在E,F分

別為和AB和4。中點(diǎn)。

(1)求證：AF//平面4&C。

(2)求4。與底面ABCD所成角的正切值。

27.化簡(jiǎn)】+2COS2a-cos2α

28.數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,且G=1.%“=S*/=123求

(1)a2,a3,明的值及數(shù)列W的通項(xiàng)公式

(2)a2+34+a6++a2n的值

29.某籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃測(cè)驗(yàn)，每次投中的概率是0.9,假設(shè)每次投籃

之間沒(méi)有影響

(1)求該運(yùn)動(dòng)員投籃三次都投中的概率

(2)求該運(yùn)動(dòng)員投籃三次至少一次投中的概率

30.已知拋物線/=PKPA?)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線L的距離為2o

(1)求拋物線的方程及焦點(diǎn)下的坐標(biāo)。

(2)過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線交拋物線AB兩點(diǎn)，求*SMF的值。

31.已知均是等差數(shù)列;％：的前n項(xiàng)和，若勺=一5,J=345.求公差&

f(X)≡Sm-+√3cos-

32.已知函數(shù)一2

(1)求函數(shù)f(X)的最小正周期及最值

g(x)=/(x+-)

(2)令3判斷函數(shù)g(X)的奇偶性，并說(shuō)明理由

ɑ/+1

XX)=

33.設(shè)函數(shù)bx+c是奇函數(shù)(a,b,c∈Z)且f(1)=2,f(2)<

3.

(1)求a,b,c的值;

(2)當(dāng)XVO時(shí)，判斷f(x)的單調(diào)性并加以證明.

34.已知雙曲線C的方程為了離心率"="Γ,頂點(diǎn)

2岳

到漸近線的距離為亍，求雙曲線C的方程

35.解關(guān)于X的不等式56∕+G<J

五、解答題(10題)

36.

某人在銀行參加每月IOoO元的零存整取儲(chǔ)蓄，月利率是按單利(單利是指如果儲(chǔ)蓄時(shí)間

超過(guò)單位時(shí)間，利息不計(jì)入本金，上一單位時(shí)間給予的利息不再付利息)0.2%，計(jì)算，問(wèn)

12個(gè)月的本利合計(jì)是多少？

37.

已知圖1是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，三邊中點(diǎn)的連線將它分成四個(gè)小三角形，去

掉中間的一個(gè)小三角形，得到圖2,再對(duì)圖2中剩下的三個(gè)小三角形重復(fù)前述操作，得到圖3,

重復(fù)這種操作可以得到一系列圖形.記第"個(gè)圖形中所有剩下的小三角形的面積之和為巴,

所以去掉的三角形的周長(zhǎng)之和為4.

(I)試求“，，％，

(H)試求4,A.

圖4

38.給定橢圓C:x2/a2+y2/b2(a>b>0),稱圓C∣M+y2=a2+b2為橢圓C的

“伴隨圓已知橢圓C的離心率為J772,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1).

(1)求橢圓C的方程；

⑵求直線1:-x—y+3=0被橢圓C的伴隨圓C,所截得的弦長(zhǎng).

ta∏e=Sina-SinP

39.己知Sin(O+α)=sin(θ+β),求證：cosa-cos/7

40.已知數(shù)列｛an｝是的通項(xiàng)公式為a11=en(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))；

⑴證明數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列；

⑵若bn=Ina,1,求數(shù)列｛l∕bnbn+ι｝的前n項(xiàng)和Tn.

41.某化工廠生產(chǎn)的某種化工產(chǎn)品，當(dāng)年產(chǎn)量在150噸至250噸之內(nèi)，

其年生產(chǎn)的總成本：y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的關(guān)系可近似地表

示為y=x2/10-30x+400030x+4000.

(1)當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每噸的平均成本最低，并求每噸最低平均成

本；

(2)若每噸平均出廠價(jià)為16萬(wàn)元，求年生產(chǎn)多少噸時(shí)，可獲得最大的年

利潤(rùn)，并求最大年利潤(rùn).

42.已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx,x∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值；

⑵函數(shù)y=f(x)的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？

43已知函數(shù)f(x)=4cosxsin(x+π∕6)-1.

⑴求f(x)的最小正周期；

⑵求f(x)在區(qū)間［-π∕6,π∕4］上的最大值和最小值.

44.2017年，某廠計(jì)劃生產(chǎn)25噸至45噸的某種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品

的總成本y（萬(wàn)元）與總產(chǎn)量x（噸）之間的關(guān)系可表示為y=χ2∕10-2x+90.

（1）求該產(chǎn)品每噸的最低生產(chǎn)成本；

⑵若該產(chǎn)品每噸的出廠價(jià)為6萬(wàn)元，求該廠2017年獲得利潤(rùn)的最大

值.

45.已知圓X2+y2=5與直線2x-y-m=0相交于不同的A,B兩點(diǎn)，O為

坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴求m的取值范圍；

⑵若OA_LOB,求實(shí)數(shù)m的值.

六、單選題（0題）

46.{已知集合A={-l,O,1},B={x∣-l≤χVl^!）A∩B=（）

A.{0}B.{-1,O}C.{0,1}D.{-l,0,1}

參考答案

1.C

復(fù)數(shù)的運(yùn)算及定義.

2.A

A是空集可以得到A交B為空集，但是反之不成立，因此時(shí)充分條

件。

3.B

復(fù)數(shù)的運(yùn)算.=1+2i∕1+i=(1+2i)(1-i)f(1+i)(1-i)=l-i+2i-2i2∕l-i2=3+i∕2

4.D

根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理，D正確。

5.C

分層抽樣方法.四類食品的比例為4:1:32則抽取的植物油類的數(shù)量為

20x1/10=2,抽取的果蔬類的數(shù)量為20x2/10=4,二者之和為6,

6.A

由題可知，a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3)。

7.D

數(shù)值的大小關(guān)系.由于a>0,b<0,c<0,故a是最大值，而b=-bg32,

c=-log23,log32>-l>-log23即b>c,所以c<b<a

8.C

直線的兩點(diǎn)式方程.點(diǎn)代入驗(yàn)證方程.

9.D

橢圓的定義由a2=b2+c2,c2=4-2=2,所以C=J2,橢圓焦距長(zhǎng)度為2c=2

√2

10.D

函數(shù)奇偶性的應(yīng)用.f(-l)=2(-l)2-(-1)=3.

11.2/3平面向量的線性運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換.因?yàn)閍∕∕b,所以2x1/6-

sinαcosα=0即SinaCOSa=1/3.所以sin2a=2sinacosa=2∕3.

12.3x-y+l=0

因?yàn)橹本€斜率為k=l且過(guò)點(diǎn)((M),所以方程是y-2=3x,即3x-

y+l=0o

13.15

程序框圖的運(yùn)算.模擬程序的運(yùn)行，可得k=ll,n=l,S=I不滿足條件

S>ll,執(zhí)行循環(huán)體，n=2,S=3,不滿足條件S>ll,執(zhí)行循環(huán)體，

n=3,S=6,不滿足條件S>ll,執(zhí)行循環(huán)體，n=4,S=IO,不滿足條件S

>11,執(zhí)行循環(huán)體，N=5,S=15,此時(shí)，滿足條件S>ll,退出循環(huán)，

輸出S的值為15.故答案為15.

14.[2,5]函數(shù)值的計(jì)算.因?yàn)閥=2x,y=l0g2x為增函數(shù)，所以y=2x+log2X

在[1,2]上單調(diào)遞增，故f(x)∈[2,5].

15.1

16.第11項(xiàng)。

tl

由題可知，aι=2,q=2,所以an=2,n=log2an=log22048=l10

17.-1<X<4,

不等式格力一3|<5,可化為

-5<2rr-3<5,

解得：-1<力<4。

綜上所述，不等式|2N-3|<5的解集是

—l<x<4}.

18.-2/3

19.36,

C(1,3)×A(2,2)×A(3,3)

=3×2×6

=36(種)

先選出中間那個(gè)人，再對(duì)甲乙排序(就兩

種)，最后將5個(gè)人看成3個(gè)人全排序。

20.0.5

由于兩個(gè)事件是對(duì)立事件，因此兩者的概率之和為1,又兩個(gè)事件的概

率相等，因此概率均為0.5.

21.

:解?：y=>∕3cos2A-+3sin2x

sin2x)

=20sin(2x+令

（1）函數(shù)的值域?yàn)閇一26,20].

（2）函數(shù)的最小正周期為T(mén)=幺=

2

22.解：設(shè)首項(xiàng)為ai、公差為d,依題意：4aι+6d=-62;6aι+15d=-75

解得a∣=-20,d=3,an=ai+(n-1)d=3∏-23

23.

解；⑴依題意得，“可回收垃圾”共有4+19+2+3=28（噸）

其中投放正確的，即投入了“可回收垃圾”箱的有19噸

19_19

所以，可估計(jì)“可回收垃圾”投放正確的概率為：19+4+2+3—28

⑵據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，總共抽取了IOO噸生活垃圾，其中“廚余垃圾”,“可回收垃圾”,“有害垃

圾”,“其他垃圾”投放正確的數(shù)量分別為24噸，19噸，14噸，13噸。故生活垃圾投放正

確的數(shù)量為24+19+14+13=70噸，所以，生活拉圾投放錯(cuò)誤的總量為IoO-70=30噸，

100-（19+24+14÷13）_3

所以生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率：------ioδ--------=Io

24.

解：(1)由題意可知:---->0,解彳導(dǎo)：-1<.v<l?

1+x

函數(shù)/(X)的定義域?yàn)閤e(T,1)

(2)函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，理由如下：

/(r)=Ioga?2??=Ioga辛=-Ioga?-?=-/H)，

l+(-x)I-X1+x

函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

25.

解：(1)利用捆綁法

先內(nèi)部排：語(yǔ)文書(shū)、數(shù)學(xué)書(shū)、英語(yǔ)書(shū)排法分別為W、4：、W

再把語(yǔ)文書(shū)、數(shù)學(xué)書(shū)、英語(yǔ)書(shū)看成三類，排法為4；

排法為：=103680

(2)利用插空法

全排列：/

語(yǔ)文書(shū)3本，數(shù)學(xué)書(shū)4本排法為：4

插空：英語(yǔ)書(shū)需要8個(gè)空中5個(gè)：4

英語(yǔ)書(shū)不挨著排的概率：P=X<=_L

屋99

26.

證明(1)取AC的中點(diǎn)0,連接OF,OE

??ACDl∣l.尸,。分別為&口，入〈的中點(diǎn)

.?ΓO∕∕DC,B.FO=-DC

2

則，ΓO∕/AE：,FO=AE,得四邊形AEOF是平行四邊形

AE/∕OΓ.

則AF〃平面AEC

(2)連接ACAA-L平面ABeD

在RtZ?A>AC中，IanN2CA1=?^?=,點(diǎn)^?=-

因此角的正切值為?

27.1+2cos2a-cos2=1+2cos2a-(cos2a-sin2a)=1+cos2a+sin2a=2

28.

zxIv11416

(11)0=11,0.=-S,α=-,?=T.Λ=-,^≈-

lΛI(xiàn)JW2n3XArt

4=5T(Λ22)

貝Uq”“一勺，=J4即巴口=T

343

則數(shù)列從第二項(xiàng)起的公比是g的等比數(shù)列

⑵，+%+F=5礙)"一口

29.(1)P=0.9×0.9×0.9=0.729

(2)P=l-0.1×0.l×0.1=0.999

PP

30.(1)拋物線焦點(diǎn)F(2,0),準(zhǔn)線L：x=-5,.?.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距

離p=2

拋物線的方程為y2=4x,焦點(diǎn)為F(l,0)

(2)直線AB與X軸不平行，故可設(shè)它的方程為x=my+4,

*=可+4

ya≈Ax得y2-4m-16=0

由設(shè)A(x∣,X2),B(y∣,y2),則y1y2=-l6

OAOB=x/2+必為=",+丁必=O

44

31.根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得

15x14

345=(-5)x15+土產(chǎn)Xd

解得：d=4

...Xf=X_.1.X?J3X、_.X7Z、

J(X)=sm-+√3cos-=2(-sm-+—cos-)=2sm(-+—)

32.(1)22222223

T=?=4π../(x)最小值=-2∕(x)最大值≡2

2

/(x)=2sin(-+-)

⑵22’

g(?)?/(?+^-)=2sm(^+-^)=2cos?^

-XX

g(r)=2cos—=2cos-≡g(x)

又22

.?.函數(shù)是偶函數(shù)

33.

;函&(X)=7+1是奇函數(shù)/(X)=?√(-χ)

bκ+c

ax3+l_ax3+1

.,.-bx+cbx+c.?.得2c=0.?.得C=O

2

又,：由f(1)=2.?.得b

”里<32

又?.?f⑵<3.*.b，得0<b<2

x'+1

/(X)=—

Vb∈ZΛb=lΛ^X

(2)設(shè)一1<再<勺<0

?xI

χ

V?^ι.?.馬?xIXt>χ∕>o∕α?)~√ɑι)<o

若Xf≤Λ3<7時(shí)/(?)-∕(Xι)>0

故當(dāng)X<-l時(shí)為增函數(shù)；當(dāng)一1SX<O為減函數(shù)

34.

,ab2√5ah2√5

d==—=—?

√^2+Λ25c5

/7

Q-=——=2,6=LC-√5

a2

---x2=1

4

35.

解:將所求不等式轉(zhuǎn)化為

56X2+αr-a2<O令56x之÷αr-α2=O

得再=_：/2=￡

/O

當(dāng)a>0時(shí),所求不等式的解集為｛χ∣-g<x<*

7o

當(dāng)aV0時(shí),所求不等式的解集為｛x∣5<x<-g｝

O/

36.

這是個(gè)等差數(shù)列問(wèn)題

O2

a=1000+1000χ-×12=1024

IOO

()2

a=1000+1000×--×∣=∣∞2

IOO

12?10241002)

??=12156(元>

?S=2

37.

27√3,，57

(I)解：%=—―M=-.

4256sS

(H)解：由圖易知，后一個(gè)圖形中剩下的三角形個(gè)數(shù)是前一個(gè)的3倍,

.?.第〃個(gè)圖形中剩下的三角形個(gè)數(shù)為37.

又；后一個(gè)圖形中剩下的三角形邊長(zhǎng)是前一個(gè)的1倍，

2

???第〃個(gè)圖形中每個(gè)剩下的三角形邊長(zhǎng)是4廣?,面積是當(dāng)C)..

?,+ML

設(shè)第〃個(gè)圖形中所有剩下的小三角形周長(zhǎng)為由圖可知，cπ-h=3.

因?yàn)楹笠粋€(gè)圖形中剩下的三角形邊長(zhǎng)是前一個(gè)的1倍，

2

..第”個(gè)圖形中每個(gè)剩下的三角形邊長(zhǎng)是(1)7,周長(zhǎng)是3(?1Γi?

22

?.?！?3(；廣＞從而2=cfr-3=3(j尸-3.

38.

：1)記儲(chǔ)圜C的半焦距為c.由履意.得〃

=1?~βy?，'=/一"”得a-2.6=1.所以

WMC的方程為=+y'N].

4

《2)由⑴知?確IWC的方程1+∕=ι的

4

方程為一+/=5?Wl心到直線/的距離d=

方方〒《?々?所以H級(jí)/被闋尸+y?5所被得

的弦長(zhǎng)為2>/5-("次=2√2.

39.

證明：,."sin(θ+α)=sinθcosa+cosθsina

sin(θ+β)=sinθcosβ+cosθsinβ

".,sin(θ+a)=sin(θ+β)

sinθeosɑ+cosθsi∩a=sinθcosβ+cosθsinβ

Sinθ(cosa-cosβ)=cosθ(sinβ-sina)

sin￡一Sina

tanθ=

COSa-COS尸

：.?∣4(<∣.)是，事為e.公比為e的”比Ct列.

(2>由<l>t∏6.Ina.~Inc*κ..,.—?

6∣6∣b

41.(1)設(shè)每噸的平均成本為W(萬(wàn)元/噸)，ω=y∕x=x∕10+4000∕x-30>

CAr~4000

2/~?------

,-30=10,當(dāng)且僅當(dāng)x∕10=4000∕x,x=200噸時(shí)每噸成本最低為

10萬(wàn)元.

(2)設(shè)年利潤(rùn)為U萬(wàn)元u=16x-(x2/10