方案問題（二元一次方程組的應(yīng)用）（解析版）-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題匯編（湘教版）

2022-2023學(xué)年湘教版七年級數(shù)學(xué)下冊精選壓軸題培優(yōu)卷

專題02方案問題（二元一次方程組的應(yīng)用）

評卷人得分

----------------一、選擇題（每題2分，每題2分，共20分）

L（本題2分）（2023春?浙江?七年級專題練習(xí)）在抗擊疫情網(wǎng)絡(luò)知識競賽中，為獎勵成績突出的學(xué)

生，學(xué)校計劃用180元購買/、B、。三種獎品（三種都買），1種每個10元，8種每個20元，C種每個40

元，在，種獎品不超過兩個且錢全部用完的情況下，共有幾種購買方案（）

A.8種B.9種C.10種D.11種

【答案】C

【思路點撥】有兩個等量關(guān)系：購買4種獎品錢數(shù)+購買8種獎品錢數(shù)+購買C種獎品錢數(shù)=180；C種獎

品個數(shù)為1或2個.設(shè)兩個未知數(shù)，得出二元一次方程，根據(jù)實際含義確定解.

【規(guī)范解答】解：設(shè)購買4種獎品/個，購買6種獎品〃個，

當C種獎品個數(shù)為1個時，

根據(jù)題意得IOm+20〃+40=180,

整理得：加+2〃=14,

?：m、”都是正整數(shù)，0<2〃<14,

.*.n=1,2,3,4,5,6；

當C種獎品個數(shù)為2個時，

根據(jù)題意得IOm+20〃+2X40=180,

整理得：∕n+2n=10,

?.”、〃都是正整數(shù)，O<2〃<10,

.?.〃=1,2,3,4；

.?.有6+4=10種購買方案，故C正確.

故選：C.

【考點評析】本題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條

件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解.要注意題中未知數(shù)的取值必須符合實際意義.

2.（本題2分）（2022秋?全國?八年級專題練習(xí)）小明要用80元錢買/、8兩種型號的口罩，兩種型號

的口罩必須都買，80元錢全部用盡，｛型每個6元，6型口罩每個4元，則小明的購買方案有

（）

Λ.4種B.6種C.8種D.10種

【答案】B

【思路點撥】設(shè)買/型號的口罩X個，目型號的口罩y個，得y=2O-?∣x,根據(jù)題意列出符合題目的購買

方案即可解答；

【規(guī)范解答】解：設(shè)買4型號的口罩X個，6型號的口罩y個，且x、y均為正整數(shù)，

即有6x+4y=80,

3

變形，得y=20-1x,

根據(jù)題意，且x、y均為正整數(shù)，

當x=2時，y=20-3=17；

當x=4時，y=20-6=14；

當x=6時，y=20-9=ll；

當x=8時，y=20-12=8；

當X=IO時,>=20-15=5；

當X=I2時，y=20-18=2；

符合題意，所以小明的購買方案有6種；

故選：B.

【考點評析】本題主要考查了求解二元一次方程的正整數(shù)解的知識，正確理解題意，找到兩種口罩的數(shù)量

關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.（本題2分）（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）為迎接2022年北京冬奧會，清華附中初二級部開展了

以“綠色冬奧，人文冬奧，科技冬奧”為主題的演講比賽，計劃拿出240元錢全部用于購買獎品，獎勵優(yōu)

勝者，已知一等獎品每件15元，二等獎品每件10元，則兩種獎項齊全的購買方案有（）

A.6種B.7種C.8種D.9種

【答案】B

【思路點撥】設(shè)購買/件一等獎品，y件二等獎品，由題意：現(xiàn)計劃拿出240元錢全部用于購買獎品，已

知一等獎品每件15元，二等獎品每件10元，列出二元一次方程，求出正整數(shù)解即可.

【規(guī)范解答】解：設(shè)購買X件一等獎品，y件二等獎品，

由題意得：15x+10戶240,

.48-3X

.?k〒

又?.?χ,y均為正整數(shù),

X=2x=4x=6x=8X=IoYx=12rx=14

y=21或'或y=15或y=12或尸6或

y=18y=9'y=3

二購買方案有7種，

故選：B.

【考點評析】本題考查了二元?次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵.

4.（本題2分）（2022秋?八年級課時練習(xí)）某校組織一批學(xué)生去研學(xué)，若單獨租用45座新能源客車若干

輛，則有15人沒有座位；若單獨租用35座新能源客車，則用車數(shù)量將增加2輛，并空出15個座位.現(xiàn)

在要求同時租用45座和35座兩種車型的新能源客車，既保證每人有座位，又保證每輛車不空座位，則需

45座和35座兩種車型的數(shù)量分別為（）

A.3輛、2輛B.2輛、3輛C.1輛、4輛D.4輛、1輛

【答案】B

【思路點撥】設(shè)租用45座新能源客車X輛，根據(jù)參與研學(xué)師生人數(shù)不變，列出關(guān)于/的一元…次方程，

解之即可得出X的值，將其代入（45戶15）中可求出參與研學(xué)師生人數(shù)，設(shè)需0輛45座新能源客車，〃輛

35座新能源客車，根據(jù)“要保證每人有座位，又要保證每輛車不空座位”，即可得出關(guān)于以，〃的二元一次

方程，結(jié)合加〃均為整數(shù)，即可得出保證每人有座位，又保證每輛車不空座位.

【規(guī)范解答】解：設(shè)租用45座新能源客車X輛，

根據(jù)題意得：45戶15=35（X+2）-15,

解得：X=4,

Λ45^+15^45×4+15=195.

設(shè)需"，輛45座新能源客車，〃輛35座新能源客車，

根據(jù)題意得：45Λ^35Λ=195,

.39-9/n

..n=--------.

7

又???〃，〃均為整數(shù)，

{m=2

[n=3

.?.需2輛45座新能源客車，3輛35座新能源客車.

故選：B.

【考點評析】本題考查二元一次方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出方程是解題

的關(guān)鍵.

5.（本題2分）（2022春?江蘇宿遷?七年級統(tǒng)考期末）唐代初期數(shù)學(xué)家王孝通撰寫的《緝古算經(jīng)》一書

中有這樣一道題：“僅有三十鹿進舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍幾何？”大意為：今有30只鹿進圈

舍，小圈舍可以容納4只鹿，大圈舍可以容納6只鹿，則需要大圈舍、小圈舍各多少間？依據(jù)題意，鹿進

圈舍的方案共有（）

A.1種B.2種C.3種D.4種

【答案】C

【思路點撥】設(shè)需要大圈舍X間，小圈舍y間，根據(jù)題意列出二元一次方程，并結(jié)合x、y都是非負整數(shù)

解方程即可.

【規(guī)范解答】解：設(shè)需要大圈舍X間，小圈舍y間，根據(jù)題意列方程，

得6x+4y=30,

???*、y都是非負整數(shù)，

[^x=5f%=1Cx=3

?「或A或VQ,

Iy=OIy=6Iy=3

答：鹿進圈舍的方案共有3種，即需要大圈舍5間或大圈舍1間，小圈舍6間或大圈舍3間，小圈舍3

間.

故選：C.

【考點評析】本題主要考查了二元一次方程（組）的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確列出二元一次方程，并根據(jù)題

意求出該方程的所有解.

6.（本題2分）（2022秋?安徽合肥?七年級統(tǒng)考期末）在某學(xué)校舉行的課間“桌面操”比賽中，為獎勵

表現(xiàn)突出的班級，學(xué)校計劃用260元錢購買4、B、C三種獎品，4種每個10元，6種每個20元，C種每個

30元，在。種獎品只能購買3個或4個且錢全部用完的情況下（注：每種方案中都有三種獎品），共有多

少種購買方案（）

A.12種B.13種C.14種D.15種

【答案】C

【思路點撥】有兩個等量關(guān)系：購買A種獎品錢數(shù)+購買B種獎品錢數(shù)+購買C種獎品錢數(shù)=260；C種獎品

個數(shù)為3或4個，設(shè)兩個未知數(shù)，得出二元一次方程，根據(jù)實際含義確定解.

【規(guī)范解答】設(shè)購買4種獎品0個，購買6種獎品〃個，

當C種獎品個數(shù)為3個時

根據(jù)題意得10m+20〃+3x30=260

整理得m+2n=?1

機，〃都是正整數(shù)，0<2〃<17

”=1,2,3,4,5,6,7,8

當C種獎品個數(shù)為4個時

根據(jù)題意得10m+20〃+4χ30=260

整理得利+2〃=14

機，”都是正整數(shù)，0<2〃<14

n=1,2,3,4,5,6

.?.有8+6=14種購買方案

故選：C.

【考點評析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找

出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解.要注意題中未知數(shù)的取值必須符合實際意義.

7.（本題2分）（2022秋?黑龍江綏化?七年級期末）在抗擊疫情網(wǎng)絡(luò)知識競賽中，為獎勵成績突出的學(xué)

生，學(xué)校計劃用200元錢購買4B、C三種獎品，4種每個10元，6種每個20元，C種每個30元，在C

種獎品不超過兩個且錢全部用完的情況下，有多少種購買方案（）

A.12種B.15種C.16種D.14種

【答案】D

【思路點撥】有兩個等量關(guān)系：購買4種獎品錢數(shù)+購買6種獎品錢數(shù)+購買C種獎品錢數(shù)=200；C種獎

品個數(shù)為1或2個.設(shè)兩個未知數(shù)，得出二元一次方程，根據(jù)實際含義確定解.

【規(guī)范解答】解：設(shè)購買/種獎品個，購買6種獎品〃個，

當C種獎品個數(shù)為1個時，

根據(jù)題意得10/+20/7+30=200,

整理得ιn+2n-?7,

VZZA〃都是正整數(shù)，0<2Λ<17,

77=1,2,3,4,5,6,7,8；

當。種獎品個數(shù)為2個時，

根據(jù)題意得10卬+20”+60=200,

整理得m+2/7=14,

?：m、〃都是正整數(shù)，0<2Λ<14,

?*.n=1,2>3>4,5,6；

二有8+6=14種購買方案.

故選：D.

【考點評析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找

出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解.要注意題中未知數(shù)的取值必須符合實際意義.

8.（本題2分）（2022秋?全國?八年級專題練習(xí)）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽

車正逐步成為人們喜愛的交通工具.某汽車公司計劃正好用190萬元購買A,B兩種型號的新能源汽車

（兩種型號的汽車均購買），其中A型汽車進價為20萬元/輛，B型汽車進價為30萬元/輛，則A,B型號

兩種汽車一共最多購買（）

A.9輛B.8輛C7輛D.6輛

【答案】A

【思路點撥】設(shè)購買A,B型號汽車分別購買m,n輛，列出二元一次方程，根據(jù)m,n的實際意義，分別

求出m,n的對應(yīng)值，即可求解.

【規(guī)范解答】設(shè)購買A,B型號汽車分別購買m,n輛，

?.?兩種型號的汽車均購買，

.?.mel,n≥l,且m,n均為整數(shù)，

由題意得：20m+30n=190,即2m+3n=19,

Λl≤n≤5,

又?.?2m為偶數(shù)，則3n為奇數(shù)，

；.n為奇數(shù)，即:n=l,3,5,

當n=l時，m=8,

當n=3時,m=5,

當n=5時,m=2,

.?.A,B型號兩種汽車一共最多購買9輛.

故選A.

【考點評析】本題主要考查二元一次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程，是解題的關(guān)鍵.

9.（本題2分）（2020春?黑龍江?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）為獎勵在五四愛國運動主題演講比賽中表現(xiàn)優(yōu)

異的同學(xué)，張老師計劃用400元購買兩種獎品.一等獎獎品每件40元，二等獎獎品每件30元，在購買資

金恰好用完的情況下，購買方案共有（）

A.4種B.3種C.2種D.1種

【答案】B

【思路點撥】設(shè)購買一等獎獎品X件，二等獎獎品y件，由題中等量關(guān)系：一等獎獎品的錢數(shù)+二等獎獎

品的錢數(shù)=400列出方程，根據(jù)x、y為正整數(shù)討論即可解答.

【規(guī)范解答】設(shè)購買一等獎獎品X件，二等獎獎品y件，由題意得：

40x+30y=400,即X=Io-

4

?.?x、y為正整數(shù)，

,符合題意得方案有：x=7,y=4；x=4,y=8；x=l,y=12,

由此可知共有3種購買方案，

故選：B.

【考點評析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用-方案問題，能根據(jù)題意找出等量關(guān)系，挖掘題中隱含條

件（x、y是正整數(shù)）是解答的關(guān)鍵.

10.（本題2分）（2021秋?七年級單元測試）某市在“五水共治”中新建成一個污水處理廠.己知該廠庫

池中存有待處理的污水a(chǎn)噸，另有從城區(qū)流入庫池的待處理污水（新流入污水按每小時b噸的定流量增

加）.若污水處理廠同時開動2臺機組，需30小時處理完污水；若同時開動3臺機組.需15小時處理完

污水.現(xiàn)要求恰好用5個小時將污水處理完畢，則需同時開動的機組數(shù)為（）

A.6臺B.7臺C.8臺D.9臺

【答案】B

【思路點撥】設(shè)1臺機組每小時處理污水V噸，要在5小時內(nèi)處理完污水，至少需開動X臺機組，根據(jù)題

意列出方程組，將求得的值再代入不等式，求不等式的解集即可.

【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意列二元一次方程組：設(shè)每臺機器每小時處理S（噸）

Jo+30b=2sX30

[a+156=3sx30

解得：a=30s,b=ls,

設(shè)需同時開動的機組數(shù)為X臺，

Λx=7.

答：要在5小時內(nèi)處理完污水，至少需同時開動7臺機組.

故選B.

【考點評析】本題考查的是用二元一次方程組來解決實際問題，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

評卷人得分

----------------二、填空題（每題2分，共20分）

11.（本題2分）（2022春?湖南湘西?七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）將一張面值50元的人民幣，兌換成同時含

有5元和2元的零錢，兌換方案有種.

【答案】4

【思路點撥】設(shè)可以兌換0張5元的零錢，〃張2元的零錢，根據(jù)零錢的總和為50元，即可得出關(guān)于加，

〃的二元一次方程，結(jié)合如〃均為正整數(shù)，即可得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：設(shè)可以兌換0張5元的零錢，〃張2元的零錢，

依題意，得：5?2爐50,

2

Λ∕ZF10—n.

5

?：IIb"均為正整數(shù)，

二當Λ=5時，///=8；當/7=10時，///=6；當∕τ=15時，獷4；當Λ=20時，ΠF2.

???共有4種兌換方案.

故答案為：4.

【考點評析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵.

12.（本題2分）（2022秋?八年級課時練習(xí)）小明家準備裝修一套新房，若甲、乙兩家裝修公司合作需6

周完成，裝修費用為5.2萬元；若甲公司單獨做4周，剩下的由乙公司做，還需9周完成，此時裝修費用

為4.8萬元.若小明只選甲公司單獨完成，則他需要付給甲公司裝修費用萬元.

【答案】6

【思路點撥】設(shè)甲公司的工作效率為X,乙公司的工作效率為y,根據(jù)題意列出方程組可求得兩個公司的

工作效率；再設(shè)甲一周的裝修費是0萬元，乙一周的裝修費是〃萬元，根據(jù)題意列出方程組即可求解.

【規(guī)范解答】解：設(shè)甲公司的工作效率為乙公司的工作效率為廣

∣^6x+6y=1

依題意列方程組，得，√

解這個方程組，得?,

y=一

115

所以，甲公司單獨做需10周，乙公司單獨做需15周；

設(shè)甲一周的裝修費是〃，萬元，乙一周的裝修費是〃萬元.

[6m+6n=5.2

依題意列方程組，得/C/Q，

[4m+9π=4.8

，3

m=-

解這個方程組，得?，

4

n=一

15

3

甲單獨做的裝修費：：*10=6（萬元），

故答案為：6.

【考點評析】本題考查了二元?次方程組的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系.

13.（本題2分）（2022秋?全國?八年級專題練習(xí)）某公司需要到指定超市采購礦泉水和功能飲料，3月

采購24箱礦泉水和32箱功能飲料花費3480元，4月采購32箱礦泉水和24箱功能飲料花費3240元，5

月份該指定超市中該款礦泉水和功能飲料有部分因保質(zhì)期臨近進行打六折促銷，公司根據(jù)實際購買了原價

或打折礦泉水和功能飲料，共花費2850元，其中打折的礦泉水箱數(shù)是5月份購買所有礦泉水和功能飲料

總箱數(shù)的!，5月份購買所有礦泉水和功能飲料共______箱.

4

【答案】60

【思路點撥】先由二元一次方程組求出礦泉水和功能飲料的原價；設(shè)5月份購買原價功能飲料"箱，一共

13

購買a箱，則打折礦泉水;a箱，原價礦泉水和打折功能飲料=4-匕箱；再根據(jù)打折后的價格建立二元一

次方程，結(jié)合題意求方程的正整數(shù)解即可；

【規(guī)范解答】解：設(shè)礦泉水原價每箱X元，功能飲料原價每箱y元，由題意得：

∣f3224x+2342y=3428400'解…得：|I>x?=475,

.?.礦泉水原價每箱45元，功能飲料原價每箱75元，

打折后：礦泉水每箱27元，功能飲料每箱45元，

設(shè)5月份購買原價功能飲料6箱，一共購買a箱，

13

則打折礦泉水;a箱，原價礦泉水和打折功能飲料（丁-b）箱，

44

I3

由題意得：27×-a+45×C-a-b)+75?=2850,

44

化簡得：二27a+b=95,

a=20v(a=40Ja=60

a,b為正整數(shù),b=68或［b=41或Ib=I4

Va>?,

.pz=60

?*V=14,

?,?5月份購買所有礦泉水和功能飲料共60箱，

故答案為：60；

【考點評析】本題考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，二元一次方程的正整數(shù)解；理清題意中的數(shù)量關(guān)系

是解題關(guān)鍵.

14.（本題2分）（2022秋?安徽六安?七年級統(tǒng)考期末）有三個家庭團隊結(jié)伴到一景區(qū)游玩，一號家庭團

隊有3個成年人和4個小孩參加，共交費150元，二號家庭團隊有2個成年人和1個小孩參加，共交費75

元，按照這樣的收費標準，三號家庭團隊有1個成年人和3個小孩參加，所需的費用為______元.

【答案】75

【思路點撥】設(shè)每張成人票的價格為A■元，每張兒童票的價格為y元，根據(jù)“一號家庭團隊有3個成年人

和4個小孩參加，共交費150元，二號家庭團隊有2個成年人和1個小孩參加，共交費75元”，即可列出

關(guān)于小y的二元一次方程組，兩方程相減即可求出三號家庭團隊所需的費用.

【規(guī)范解答】解：設(shè)每張成人票的價格為X元，每張兒童票的價格為y元，

根據(jù)題意得:儼需①

[2x+y=75②

①-②，得：Λ+3尸75,

所以，三號家庭團隊有1個成年人和3個小孩參加，所需的費用為75元

故答案為：75.

【考點評析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，列出方程組是解題的關(guān)鍵.

15.（本題2分）（2022春?貴州銅仁?七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)有20噸貨物，要租用貨車運走.汽車

公司有兩種貨車，大貨車每車可以裝7噸貨物，運一次要600元，小貨車每車可以裝4噸，運一次要400

元.要使貨物全部運走，至少需要運費一元.

【答案】1800

【思路點撥】設(shè)需要大貨車為X次，需要小貨車為y次，根據(jù)題意列出方程，求出X，y的范圍，分三種情

況進行討論，分別求解每種情況所需運費，即可求解.

【規(guī)范解答】解：設(shè)需要大貨車為X次，需要小貨車為y次，由題意可得

7x+4y=20

,：*y都為非負的整數(shù)

/.X=0,1,2,3

當x=3時，3×7=21>20,需要小貨車運送O次，費用為3x600=1800（元）

當χ=2時，7χ2+4χ2=22>20,需要小貨車運送2次，費用為600x2+400x2=2000（元）

當X=I時，7+4x4=23>20,需要小貨車運送4次，費用為600+4x400=2200（元）

當X=O時，4x5=20,需要小貨車運送5次，費用為5x4（X）=2（XX）（元）

V1800<2（X）0<2200

,最低費用為1800元

故答案為：1800

【考點評析】此題考查了方案的選擇問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確求出每種情況下的費用.

16.（本題2分）（2023春?七年級單元測試）“無社團，不青春！”為豐富同學(xué)們的校園文化，學(xué)校在初一

年級開展了豐富多彩的社團活動，某老師對參加音樂社、街舞社、動漫社的同學(xué)都準備A、B兩種禮

品.初步預(yù)算，三個社團各需兩種禮品數(shù)量和之比為1:1:2,需A的數(shù)量之比為3:5:8,并且音樂社和街

舞社需8禮品數(shù)量之比為3:2.在實際購買時，A的價格比預(yù)算低20%,B的價格比預(yù)算高20%,A購買

數(shù)量減少了3.125%,結(jié)果發(fā)現(xiàn)總費用與預(yù)算相等.則實際購買A的總費用與實際購買B的總費用之比為

【答案】—##31:54

54

【思路點撥】設(shè)音樂社、街舞社、動漫社需要兩種禮品的數(shù)量和分別為X,X,2x,需A的數(shù)量分別為

3y,5y,8y,根據(jù)音樂社和街舞社需B禮品數(shù)量之比為3:2列式求出x=9y,然后根據(jù)實際總費用與預(yù)

算相等列方程求出a和6的關(guān)系，再計算實際購買A的總費Jll與實際購買8的總費用之比即可.

【規(guī)范解答】解：設(shè)音樂社、街舞社、動漫社需要兩種禮品的數(shù)量和分別為X,X,2x,需A的數(shù)量分別

為3y,5y,為,

音樂社和街舞社需B禮品數(shù)量分別為：x-3y,x-5y,

?A3)'.3

??-5y2,

，x=9y,

.?.音樂社、街舞社、動漫社需要兩種禮品的數(shù)量和分別為9)，，9y,18，

二音樂社、街舞社、動漫社需3的數(shù)量分別為6y,4y,IOy,

設(shè)原先A的價格為a,B的價格為6,

根據(jù)題意可得，

α(l-20%)(3y+5y+8y)(l-3.125%)+b(l+20%)(6y+4y+10y)=(3y+5y+8y)α+(6y+4y+10y)N,

整理得：r??r-

b9

tz(l-20%)(3y÷5y+8y)(l-3.125%)

???實際購買A的總費用與實際購買B的總費用之比為：J/八；。八…—-

?(l+20%)(6γ+4γ+I0γ)

=-1-2--A-a-.y.--1-2--.4-X-1-0=_3_1

24by24954,

31

故答案為：?.

54

【考點評析】本題主要考查了三元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，并表示出其余的未知量，求出

χ=9y及，=瞿是解題關(guān)鍵.

17.(本題2分)(2022秋?重慶渝中?八年級重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí))山間白云繚繞，似霧非霧，似

煙非煙，磅礴郁積，氣象萬千，古人稱“赤多白少”為“縉”，故名縉云山.正是這特殊的地理環(huán)境，獨

特的氣候，賦予了縉云山甜茶湯色碧綠清爽，氣味芳鮮醇和.甜茶還富含人體所需的8鐘氨基酸，大量維

生素及微量元素，健康養(yǎng)生，獨具風味.故來此游玩的人們，臨走時都會帶一些回家送親朋好友.商家為

了促銷，采取以套盒包裝的方式進行銷售，套盒買三大袋和一中袋送一中袋；套盒及買兩大袋和兩

中袋送一小袋.套盒"和套盒6的售價之比為37：34.小華計劃購買一定數(shù)量的套盒力與套盒6,由于資

金不夠，他思考了一下，決定將原本計劃買套盒4和套盒6的數(shù)量進行調(diào)換，同時商店老板決定將套盒/

打8折賣給他，套盒8價格不變，這樣原計劃所用花費與實際所用花費之差恰好可以購買7袋中袋的甜

茶，則小華一共購買了個套盒.

【答案】14

【思路點撥】設(shè)一大袋的售價為X元，一中袋的售價為y元，原計劃買套盒A的數(shù)量為a個，買套盒B的

數(shù)量為b個，先根據(jù)套盒A和套盒B的售價之比可得x=,再根據(jù)“原計劃所用花費與實際所用花費

之差恰好可以購買7袋中袋的甜茶”建立方程，化筒得15a+22h=245,然后根據(jù)。為正整數(shù)求解即可

得.

【規(guī)范解答】設(shè)一大袋的售價為X元，一中袋的售價為y元，原計劃買套盒A的數(shù)量為a個，買套盒B的

數(shù)量為b個，

由套盒A和套盒B的售價之比得：當白=籌，解得χ=1y,

由題意得：原計劃所用花費為(3x+y)a+(2x+2y)A,

實際所用花費為0?8(3x+y)b+(2x+2y)α,

貝∣J(3x+y)α+(2x+2y)b-0.8(3x+y)6-(2x+2y)ɑ=7y,

整理得：(x-y)α-0?4(x-3y)6=7y,

將X=^^代入得：15α+22?=245,

,?4,b都是正整數(shù),

.,.a=9,b=5,

則小華一共購買套盒的數(shù)量為α+%=9+5=14(個)，

故答案為：14.

【考點評析】本題考查了二元一次方程的實際應(yīng)用，依據(jù)題意，正確找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

18.(本題2分)(2020春?浙江紹興?七年級統(tǒng)考期末)三位先生A、B、C帶著他們的妻子a、b、C到超

市購物，至于誰是誰的妻子現(xiàn)在只能從下列條件來推測：他們6人，每人花在買商品的錢數(shù)(單位：元)

正好等于商品數(shù)量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元錢，又知先生A比b多買9件商品，

先生B比a多買7件商品.則先生A的妻子是

【答案】C

【思路點撥】設(shè)一對夫妻，丈夫買了X件商品，妻子買了y件商品，列出關(guān)于x、y的二元二次方程，再

根據(jù)x、y都是正整數(shù)，且與x-y有相同的奇偶性，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，求出x、

y的值，再找出符合x-y=9和x-y=7的情況即可進行解答.

【規(guī)范解答】設(shè)一對夫妻，丈夫買了X件商品，則錢數(shù)為V,妻子買了y件商品，則錢數(shù)為y2,

依題意有XJyJ48,即(x+y)(x-y)=48,

：x、y都是正整數(shù)，且χ+y與χ-y有相同的奇偶性，

XVx+y>x-y,48=24X2=12X4=8X6,

β（x+y=24（x+y=12?x+y=8

X-y=21x-y=4[x-y=6

解得χ=13,y=ll或x=8,y=4或X=7,y=l,

符合x-y=9的只有一種，可見A買了13件商品，b買了4件，

同時符合x-y=7的也只有一種，可知B買了8件，a買了1件，

,C買了7件，C買了11件.

由此可知三對夫妻的組合是：A、c；B、b；C、a.

故答案為：c.

【考點評析】本題考查了不定方程組的解及數(shù)的奇偶性，根據(jù)題意列出關(guān)于x、y的不定方程是解答此題

的關(guān)鍵.

19.（本題2分）（2022秋?九年級課時練習(xí)）某單位現(xiàn)要組織其市場和生產(chǎn)部的員工游覽該公園，門票價

格如下：

購票人數(shù)1-5051~100100以上

門票價格13元/人11元/人9元/人

如果按部門作為團體，選擇兩個不同的時間分別購票游覽公園，則共需支付門票費為1245元；如果兩個

部門合在一起作為一個團體，同一時間購票游覽公園，則需支付門票費為945元.那么該公司這兩個部的

人數(shù)之差的絕對值為.

【答案】15

【思路點撥】根據(jù)945不能被11和13整除，能被9整除，可得兩個部門的人數(shù)之和為105；再根據(jù)1245

不能被11和13整除可知兩個部門的人數(shù)分別在1?50和51-100的范圍，結(jié)合門票價格和人數(shù)之間的關(guān)

系列出方程組進行求解即可.

【規(guī)范解答】解：設(shè)人數(shù)較少的部門有X人，人數(shù)較多的部門有y人，

V945不能被11和13整除且945÷9=105（A）,

.?.兩個部門的人數(shù)之和為105（人）,

?.T245不能被11和13整除，

Λl≤%≤50,51≤y≤100,

fx+y=105

依題意，得：,

[1ια3x+1I1ly=1i2oz415c

x=45

解得:

y=60

Λ∣x-j∣=15,

故答案為：15.

【考點評析】本題考查了函數(shù)的應(yīng)用問題和學(xué)生分析問題的能力，結(jié)合門票和人數(shù)之間的關(guān)系，建立方程

是解題的關(guān)鍵.

20.（本題2分）（2019秋?重慶渝北?九年級統(tǒng)考期末）2018年10月21日，重慶市第八屆中小學(xué)藝術(shù)

工作坊在渝北區(qū)空港新城小學(xué)體育館開幕，來自全重慶市各個區(qū)縣共二十多個工作坊集中展示了自己的藝

術(shù)特色.組委會準備為現(xiàn)場展示的參賽選手購買三種紀念品，其中甲紀念品5元/件，乙紀念品7元/件，

丙紀念品10元/件.要求購買乙紀念品數(shù)量是丙紀念品數(shù)量的2倍，總費用為346元.若使購買的紀念品

總數(shù)最多，則應(yīng)購買紀念品共件.

【答案】62

【思路點撥】設(shè)購買甲紀念品X件，丙紀念品y件，則購進乙紀念品2y件，根據(jù)總價=單價X數(shù)量，即

可得出關(guān)于％y的二元一次方程，結(jié)合X,y均為非負整數(shù)，即可求出X,y的值，進而可得出

（x+齊2y）的值，取其最大值即可得出答案.

【規(guī)范解答】設(shè)購買甲紀念品X件，丙紀念品y件，則購進乙紀念品2y件，

依題意，得：5x+7×2j÷10y=346,

.346-24y

..X=-------------,

5

?：x,y均為非負整數(shù)，

.?.346-24y為5的整數(shù)倍，

.?.y的尾數(shù)為4或9,

∫x=50JX=26（x=2

[>>=4'jy=9，[γ=14'

.?.Λ÷∕+2y=62或53或44.

V62>53>44,

二最多可以購買62件紀念品.

故答案為：62.

【考點評析】本題主要考查二元一次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)題意，求出X,y的非負整數(shù)解，是解題的關(guān)

鍵.

評卷人得分

三、解答題（共60分）

21.（本題6分）（2023秋?江西吉安?八年級統(tǒng)考期末）為預(yù)防新冠肺炎病毒，市面上MV95等防護型口

罩出現(xiàn)熱銷.已知3個月型口罩和2個6型口罩共需31元：6個月型口罩和5個6型口罩共需70元.

（1）求一個4型口罩和一個6型口罩的售價各是多少元？

（2）小紅打算用160元（全部用完）購買｛型，6型兩種口罩（要求兩種型號的口罩均購買），正好趕上藥

店對口罩價格進行調(diào)整，其中4型口罩售價上漲40%,6型口罩按原價出售，則小紅有多少種不同的購買

方案？請設(shè)計出來.

【答案】（1）一個/型口罩的售價為5元，一個8型口罩的售價為8元

⑵小紅有2種不同的購買方案，方案1：購買8個4型口罩，13個8型口罩；方案2：購買16個/型口

罩，6個6型口罩

【思路點撥】（1）根據(jù)題意，列二元一次方程組即可；

（2）根據(jù)題意，可得7加+8〃=160,將二元一次方程中用和“分別取正整數(shù)值，即可得出購買方案.

【規(guī)范解答】（1）設(shè)一個4型口罩的售價為X元，一個6型口罩的售價為y元，

3x+2y=31

依題意，得:

6x+5y=70

x=5

解得:

y=8

答：一個A型口罩的售價為5元，一個B型口罩的售價為8元；

（2）解：設(shè)購買A型口罩〃?個，8型口罩〃個，

根據(jù)題意，得5（1+40%）機+8n=16O,

即7∕n+8n=l60,

，滿足條件的加，"有：m=8,〃=13或機=16,n=6,

小紅有2種購買方案：

第一種方案：A型口罩購買8個，8型口罩購買13個；

第二種方案：A型口罩購買16個，B型口罩購買6個；

【考點評析】本題考查J'二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列二元一次方程組進行求解.

22.（本題6分）（2022秋?湖南益陽?八年級統(tǒng)考期末）在太原市部分區(qū)域?qū)嵤┡R時靜默管理期間，某超

市推出甲、乙兩種防疫保供螭菜套餐，售價分別為75元/份、50元/份.已知靜默管理期間，該超市共配

送兩種蔬菜套餐380份，總額為22750元，求該超市靜默管理期間配送兩種蔬菜套餐各多少份？

【答案】該超市靜默管理期間配送甲、乙兩種蔬菜套餐各150份，230份.

【思路點撥】設(shè)該超市靜默管理期間配送甲、乙兩種蔬菜套餐各X份，y份，則該超市共配送兩種蔬菜套

餐x+y=38O份，總額為75x+50y=22750元，根據(jù)題意可列出二次一次方程組即可求解.

【規(guī)范解答】解：設(shè)該超市靜默管理期間配送甲、乙兩種蔬菜套餐各X份，y份，

根據(jù)題意得：

∫x+y=380

[75x+50y=22750

[x=150

解得

[y=230

答：該超市靜默管理期間配送甲、乙兩種蔬菜套餐各150份，230份.

【考點評析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程.

23.（本題6分）（2023秋?湖北孝感?七年級統(tǒng)考期末）自行車廠計劃一年生產(chǎn)安裝24000輛自行車，若

1名熟練工和2名新工人每月一共可安裝800輛自行車.且每名熟練工比每名新工人每月多安裝200輛自

行車.

（1）每名熟練工和每名新工人每月分別可以安裝多少輛自行車？

（2）如果工廠招聘m（其中W大于0且小于8）名新工人，使得新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安

裝任務(wù).

①工廠有哪幾種新工人的招聘方案？

②若每名熟練工每月工資為6000元，每名新工人每月工資為4000元，那么工廠可適當安排熟練工和新工

人人數(shù)，使新工人的人數(shù)多于熟練工，且工廠每月支出的工資總額最少，請直接寫出工廠每月支出工資總

額最小值.

【答案】（1）每個新工人每月可以安裝200輛自行車，每名熟練工每月安裝400輛自行車

（2）①共計3種方案，方案一：4名熟練工，2名新工人；方案二：3名熟練工，4名新工人；方案一：2名

熟練工，6名新工人；②3名熟練工，4名新工人時，每月的總支出最少，為34000元

【思路點撥】（1）設(shè)每個新工人每月可以安裝X輛自行車，則每名熟練工每月安裝（x+200）輛，根據(jù)題意

列出一元一次方程，解方程即可求解；

⑵①先求出平均每個月的安裝數(shù)量，設(shè)需要熟練工”人，即可熟練工的人數(shù)知"迎展駟，整

/11

理為：M=5-y,結(jié)合0<m<8,〃?，〃均為正整數(shù)，即可作答；②要使新工人的人數(shù)多于熟練工，則①

中的方案二和方案三滿足條件，分別計算出兩種方案的總支出即可作答.

【規(guī)范解答】（1）設(shè)每個新工人每月可以安裝X輛自行車，則每名熟練工每月安裝（X+200）輛,

根據(jù)題意，可得：（x+2∞）+2x=8∞,

解得：x=200,

即:x+200=400（輛）,

答：每個新工人每月可以安裝200輛自行車，則每名熟練工每月安裝400輛自行車;

（2）①平均每個月的安裝數(shù)量為：24000+12=2000（輛），設(shè)需要熟練工〃人,

V每個新工人每月可以安裝200輛0行乍，每名熟練工每月安裝400輛自行乍，工廠招聘m名新工人,

.,.._,,..2000—200加

..a熟練工的人數(shù)x為（人）,

整理!.為：〃=5

2

V0<w<8,m,”均為正整數(shù),

.?.??可以為2、4、6,

即：當機=2時，n=5--=4；

2

ITl

當機=4時，n=5---=3：

2

當機=6時，n=5=2；

2

二總的方案有3種：

方案一：4名熟練工，2名新工人；

方案二：3名熟練工，4名新工人；

方案一：2名熟練工，6名新工人：

②要使新工人的人數(shù)多于熟練工,

則①中的方案二和方案三滿足條件,

選擇方案二時，每月總支出為：6000x3+4000x4=34000（元）；

選擇方案三時，每月總支出為：6000x2+4000x6=36000（元）；

,/36000>34000,

，選擇方案：時，每月總支出最少，且為34COO元.

【考點評析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，列代數(shù)式等知識，明確題意，列出一元一次方程是解

答本題的關(guān)鍵.

24.（本題6分）（2023秋?天津南開?七年級南開翔宇學(xué)校?？计谀┝幸辉淮畏匠蹋ńM）解應(yīng)用題.

入秋后，某地發(fā)生了洪災(zāi)，紅星集團及時為災(zāi)區(qū)購進48兩種抗洪物資80噸，共用去200萬元，/1種物

資每噸2.2萬元，6種物資每噸3.4萬元.

（1）求48兩種物資各購進了多少噸？

（2）該集團租用了大、小兩種貨車若干輛將這些物資一次性運往災(zāi)區(qū)，每輛大貨車可運8噸/種物資和2

噸6種物資，每輛小貨車可運5噸力種物資和2.5噸6種物資，問租用的大、小貨車各多少輛？

【答案】⑴購進4種物資60噸，則購進8種物資20噸

（2）租用大貨車5輛，租用大貨車4輛

【思路點撥】（1）根據(jù)46兩種抗洪物資80噸，共用去200萬元，找出等量關(guān)系式列方程即可解得.

（2）根據(jù)題意列出二元一次方程組即可解得.

【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)購進4種物資X噸，則購進6種物資（80-力噸，

根據(jù)題意得2?2x+（8O-X）X3.4=200,

解得x=60,

貝∣J80r=80-60=20,

即購進A種物資60噸，則購進6種物資20噸，

答:購進4種物資60噸,則購進遇種物資20噸;

（2）設(shè)租用大貨車0輛，租用大貨車〃輛，

8/7?÷5/1=60

根據(jù)題意得

2/w+2.5/?=20

m=5

解得

n=4

即租用大貨車5輛，租用大貨車4輛.

答：租用大貨車5輛，租用大貨車4輛.

【考點評析】此題考查了一元一次方程和二元一次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系式列出方

程.

25.（本題6分）（2022秋?山東青島?八年級校考期末）某校準備組織學(xué)生到濰坊進行社會實踐活動，為

便于管理，所有人員必須乘坐同一列高鐵，高鐵單程票價格如下表所示，二等座學(xué)生票可打7.5折.若所

有人員都買一等座單程火車票，共需花費5395元；若所有人員都買二等座單程火車票，在學(xué)生享受購票

折扣后，總票款為2730元.

青島北-濰坊票價

一等座二等座

83（元）52（元）

（1）參加社會實踐活動的老師與學(xué)生各有多少人？

（2）若二等座火車票只能買到30張，則如何購票最省錢？此時總票款是多少元？

【答案】（1）參加社會實踐的老師有15人，學(xué)生有50人；

（2）30張二等座車票均為學(xué)生票，再購買35張一等座車票最省錢，此時總票款為4075元.

【思路點撥】（1）設(shè)參加社會實踐的老師有X人，學(xué)生有y人，根據(jù)題意列出二元一次方程組，求解即

可；

（2）由于二等座學(xué)生票可打折，故30張二等座車票均為學(xué)生票，其余人購買一等座車票，求解即可.

【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)參加社會實踐的老師有X人，學(xué)生有y人，根據(jù)題意可得：

?83x+83y=5395

[52x+52×O.75v=273O,

IX=I5

解得s∩'

Iy=5。

,參加社會實踐的老師有15人,學(xué)生有50人；

（2）解：若二等座火車票只能買到30張，且均為學(xué)生票，

則需購買（15+50-30）張一等庫火車票最省錢，

此時總票價為：30×52×0.75+35×83=4075（元），

答：30張二等座車票均為學(xué)生票，再購買35張一等座車票最省錢，此時總票款為4075元.

【考點評析】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用，找準等量關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

26.（本題6分）（2022秋?河南鄭州?八年級?？计谥校╇S著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能

源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具，某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售，據(jù)了解

2輛4型汽車、3輛6型汽車的進價共計80萬元；3輛4型汽車、2輛6型汽車的進價共計95萬元.

（1）求4、6兩種型號的汽車每輛進價分別為多少萬元？

（2）若該公司計劃正好用180萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），請你幫助該

公司設(shè)計購買方案；

（3）若該汽車銷售公司銷售1輛A型汽車可獲利8000元，銷售1輛8型汽車可獲利6000元，在（2）中的

購買方案中，假如這些新能源汽車全部售出，哪種方案獲利最大？最大利潤是多少元？

【答案】（l）A、B兩種型號的汽車每輛進價分別為25萬元、10萬元：

（2）方案一：購買2輛A型汽車，購買13輛B型汽車；方案二：購買4輛A型汽車，購買8輛B型汽車；

方案三：購買6輛A型汽車，購買3輛B型汽車；

（3）購買2輛A型汽車，購買13輛B型汽車獲利最大，最大值為94000元.

【思路點撥】（1）根據(jù)2輛A型汽乍、3輛B型汽車的進價共計80萬元；3輛A型汽車、2輛2型汽乍的

進價共計95萬元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和該公司計劃正好用180萬