數(shù)值分析復(fù)習(xí)試題和答案及解析

數(shù)值分析復(fù)習(xí)題

一、選擇題

1.3.142和3.141分別作為》的近似數(shù)具有()和()位有效數(shù)字.

A.4和3B.3和2C.3和4D.4和4

Cf(x)dx≈-f(?}+Af(-)+-f(2)

2.求積公式尸6八，6M，則A=()

???2

A.6B.3c.2D.3

3.通過(guò)點(diǎn)(/'%)'(X'X)的拉格朗日插值基函數(shù)∕o(x)'4(x)滿足()

A.4(尤0)=0,4(5)=。B.(Xo)=O,'G)T

C.∕°(ΛO)=[,4(Λ?)=1D./o(??)=],4(玉)=1

4.設(shè)求方程/(*)二°的根的牛頓法收斂，則它具有()斂速。

A.超線性B.平方C.線性D.三次

X1+2x2+Λ3=O

<2x1+2X2+3X3=3

5.用列主元消元法解線性方程組「玉—3々=2作第一次消元后得到的第3個(gè)方程().

=-x-

A-X2÷?2B-2%2+1?5冗3=3.5C2X2+Λ3=3Dι0?5?=-1.5

二、填空

1.設(shè)X*=2.3149541…，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值χ=.

“人)一/(尤2)6-1=5

/(%∣,x)=』切一=T=—3/(Λ,Λ?)=

2"22

2.設(shè)一階差商%2-Xl2-1xx—X)4—22

則二階差商/(大/2,W)=----------

3設(shè)X=(2,-3,-l)T,則l∣X∣∣2=,IlXL=。

4.求方程V-X-L25=°的近似根，用迭代公式x=√κl?25,取初始值?=1,那么玉=?

<y'=f(χ,y)

5.解初始值問(wèn)題Iy(Xo)=%近似解的梯形公式是％+∣“-----°

(1n

A=

6、「51人則A的譜半徑Q(A)=。

7設(shè)/"(")=3%一+5,=曲，k=0,1,2,...,則=和/[”"，%+1，*.+2，玉+3]=。

8、假設(shè)線性代數(shù)方程組AX=b的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德?tīng)柕肌?/p>

9、解常微分方程初值問(wèn)題的歐拉(EuIer)方法的局部截?cái)嗾`差為。

123

y=10H---------1----------?------------j

10、為了使計(jì)算x~i(無(wú)一D-(X-I)的乘除法運(yùn)算次數(shù)盡量的少,應(yīng)將表達(dá)式改寫(xiě)成。

II.設(shè)X=(2,3,-4);則IlXIh=,l∣x∣∣2=

,.d”=?C⑶-=-∕3)

12.一階均差/(*。居)=13.〃=3時(shí)，科茨系數(shù)8'28,那么G=i4.因?yàn)榉匠?/p>

/(")="-4+2'=0在區(qū)間[1,2]上滿足，所以/(x)=°在區(qū)間內(nèi)有根。

y=A+y

<Jr

15.取步長(zhǎng)〃=01，用歐拉法解初值問(wèn)題〔丁(I)=I的計(jì)算公式.

16.設(shè)X*=2.40315是真值％=2.40194的近似值，則X有位有效數(shù)字。

17.對(duì)/(x)=.+χ+ι,差商/[0,1,2,3]=()。

18.設(shè)乂=(2，一3,7)二則1y119=。

∑cy=

19.牛頓―柯特斯求積公式的系數(shù)和κ=°。

20.假設(shè)4=2.42315是2.42247的近似值，則α有（）位有效數(shù)字.

乙"4X）=

21./。（幻"I（X）龍）是以°』，…，〃為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則修。（）.

22.設(shè)/（x）可微，則求方程X=/（%）的牛頓迭代格式是（）.

V（?+1）_RY（A）If

23.迭代公式X-BX+/收斂的充要條件是。

24.解線性方程組4x%（其中A非奇異，8不為0）的迭代格式“"F=8x">+/中的8稱為（）.給定方程

9x-x=8

<12

組1玉—5%=-4,解此方程組的雅可比迭代格式為（）。

25、數(shù)值計(jì)算中主要研究的誤差有和。

（）

26、設(shè)a"'=°』'2…"）是n次拉格朗日插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)，則z/a）=。；/=0,1,2,〃）；之IjX=

J=0。

、設(shè)（）（，，〃）是區(qū)間3,切上的一組次插值基函數(shù)。則插值型求積公式的代數(shù)精度為;

274x/=°l2n插值型求積

公式中求積系數(shù)勺一；且網(wǎng)O

28、辛普生求積公式具有次代數(shù)精度，其余項(xiàng)表達(dá)式為。

2%/（x）=∕+l,則川,2,3]=,/[1,2,3,4]=o

30.設(shè)X*=1.234是真值X=1.23445的近似值,則x*有位有效數(shù)字。

不設(shè)了（%）=?+Al,則差商（均差）/[0,1,2,3]=/10,1,2,3,4]=

32.求方程X=/（X）根的牛頓迭代格式是。

_P2、

3「飛”則I%=Wl"

34.方程求根的二分法的局限性是。

三、計(jì)算題

,上19

/(x)=%~,XO="7，?i=L入2=^7

1.設(shè)44

_L2

⑴試求/(X)在LTW」上的三次Hermite插值多項(xiàng)式H(X)使?jié)M足

H(Xj)=/(Xj),J=。,1,2,...H(xl)=f(x1)H(X)以升累形式給出

⑵寫(xiě)出余項(xiàng)R(X)=/U)-".的表達(dá)式

2.x=e（x）的研X）滿足∣01x）-3JVL試問(wèn)若何利用。㈤構(gòu)造一個(gè)收斂的簡(jiǎn)單迭代函數(shù)WCG,使

XE=Mx3?R=o,1…收斂

y'=f(χ,y)八.

4

y(χ)=yΛ+.=Λ-1+-(X,÷1+Λ+Λ-1)

3.推導(dǎo)常微分方程的初值問(wèn)題13W%的數(shù)值解公式：3

（提示：利用SimPSOn求積公式。）

x1+2X2+3X3=14

<2Λ1÷5X2+2X3=18

4.利用矩陣的〃/分解法解方程組l3xι÷^2÷5?=20

1O_________J_____

y~■2&______

.函數(shù)的一組數(shù)據(jù):]0.5。2

5I+%yi________

求分段線性插值函數(shù)，并計(jì)算,OS）的近似值.

IOx1-x2-2X3=7.2

<—Xy+IOx9—lx、—8.3

6.線性方程組〔一玉一/+5/=42m寫(xiě)出雅可比迭代公式、高斯―塞德?tīng)柕剑唬?）于初始值

X⑼=（0,0,0）,應(yīng)用雅可比迭代公式、高斯―塞德?tīng)柕椒謩e計(jì)算X⑴（保存小數(shù)點(diǎn)后五位數(shù)字）.

7.用牛頓法求方程丁-3X-1=O在［1，2］之間的近似根

（1）請(qǐng)指出為什么初值應(yīng)取2（2）請(qǐng)用牛頓法求出近似根，準(zhǔn)確到0.00OL

8.寫(xiě)出梯形公式和辛卜生公式，并用來(lái)分別計(jì)算積/占

9.用二次拉格朗日插值多項(xiàng)式4（%）計(jì)算Sin0-34的值。

插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值是(0,0),(0.30,0.2955),(0.40,0.3894).

10.用二分法求方程/(X)=M-X-I=O在U°L5］區(qū)間內(nèi)的一個(gè)根，誤差限￡=10-2。

4x1+2X2+x3=11

x1+4X2÷2X3=18

2內(nèi)+々+5%=22,取”>=(0,0,0)r迭代三次(要求按五位有效數(shù)字計(jì)算)

11.用高斯-塞德?tīng)柗椒ń夥匠探Mτ

12求系數(shù)A，A?和A?,使求積公式

3x∣+2X2+IOX3=15

1Oxi-Ax2-X3=5

試建設(shè)一種收斂的迭代公式，說(shuō)明理由

13.對(duì)方程組^2XI+10X2-4X3=8Seidel

14.確定求積公式≈4∕(-θ?5)+Bf(xt)+C∕?(0.5)的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并確定其代

數(shù)精度.

"'=3x+2y0<x<l

15.設(shè)初值問(wèn)題U(O)=I.(1)寫(xiě)出用EUler方法、步長(zhǎng)〃=0.1解上述初值問(wèn)題數(shù)值解的公式;

(2)寫(xiě)出用改良的EUIer法(梯形法)、步長(zhǎng)力=0.2解上述初值問(wèn)題數(shù)值解的公式，并求解,，治,保存兩位小數(shù)。

16.取節(jié)點(diǎn)入。=°，M=°?5,%=1,求函數(shù)y=e-'在區(qū)間［0,1］上的二次插值多項(xiàng)式6(x),并估計(jì)誤差。

17、函數(shù),=∕(χ)的相關(guān)數(shù)據(jù)

P(x)B=Pq)

由牛頓插值公式求三次插值多項(xiàng)式并計(jì)算2的近似值。

√=-y+x+l,

<_%∈(0,0.6)

18、利用尤拉公式求解初值問(wèn)題，其中步長(zhǎng)力=01，l>(°)=i?

rA

以確定求積公式LAX"M∕j)+4∕⑼+&八叱

中待定參數(shù)Ai的值a=?！?gt;)，使求積公式的代數(shù)精度盡量高；并指出此時(shí)求積公式的代數(shù)精度

S_____12345

-6--8-

20、一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：?Γ4458.5

X

2xl+3X2+43=6,

<3xl+5X2+2X3=5,

求它的擬合曲線〔直線)。用列主元消去法解線性方程組+34+30x3=32.22.

?_____-1245

-245~1~

⑴用拉格朗日插法求/(幻的三次插值多項(xiàng)式；(2)求X,使/(x)=°

確定以下求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)準(zhǔn)確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)準(zhǔn)確度

111

/+尸2+鏟L9

111

鏟「產(chǎn)+/=8

1

++

2XIZ22x3=8

24、用GaUSS消去法求解以下方程組

C1

XA-∫√U)≈?[∕(-l)+2∕Ul)+3∕(%2)]

.試求王’々使求積公式JT3的代數(shù)精度盡量高，并求其代數(shù)精度。.取步長(zhǎng)

y'=2Λ-5y

(1≤Λ≤2)

bd)=ι

A=0.2,用梯形法解常微分方程初值問(wèn)題

X

12xj-3X2+33=15

—18元1+3尤2+???=—15

x+x+x=6

.用列主元消去法求解方程組l23并求出系數(shù)矩陣A的行列式detA的值.

用牛頓(切線)法求目的近似值。取XO=I.7,計(jì)算三次，保存五位小數(shù)。29、數(shù)據(jù)如

]1.41.82.22.61

y-

下:0.9310.4730.2970.2240.168求形如。+法擬合函數(shù)。

30、用二次拉格朗日插值多項(xiàng)式右(幻計(jì)算Sino.34。插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值如下表。

31、利用改良的尤拉方法求解初值問(wèn)題，其中步長(zhǎng)〃=°?2

y'=y+x,

%∈(0,0.8)

J(O)=L

32、討論用JaCobi和GaUSS-Seidel迭代法求解方程組AxY的收斂性，如果收斂，對(duì)比哪種方法收斂快。其中

^30-2

A=021

-212

簡(jiǎn)述題：表達(dá)在數(shù)值運(yùn)算中，誤差分析的方法與原則是什么數(shù)值分析復(fù)習(xí)題答案

一、選擇題LA2.D3.D4.C5,B

f（/（工2，工3）-/（%1，工2）_2（-Ji

J-2_~~~Σ/—

二、填空1、2.31502、x3-x?"I"3、6和√144.1.5

5、%十萬(wàn)】〃和”開(kāi)/即產(chǎn)”+凡、夕（A）=#7、/[七』?]=3J[Z，%3$3]=0；8、收斂9、。㈤10、

11{3H/(xo)-∕(x∣)

γ=10+——1+--------2———1

⑵＜。

11(DI(X-I)JJ?9和；12.x°~x'13.i14,?∕W

r/、

——，110」

，"“一"[(l+0.bl)2J^=0,l,2L

15."

16、3；17、1；18、719、1；20.3；21.X；

￠=〈（8+芯力

y

X=XJT（X?）芯+1=I（4+χ⑹）

22."J/（X"）；23,。（3）＜1；24、.迭代矩陣,5';25.相對(duì)誤差絕對(duì)誤差

26.{1：1;27,至少是nFb-a；28「鬻將?、?，反向

?,,-?（??

?=?-

4；31、1,0；32、1一./（玉）；33、7,6；34、收斂速度慢，不能求偶重根。

三、計(jì)算題

-耳丁+當(dāng)犬+空》」

H(X)

1.解：(1)22545045025

R(X)W戶(XT(XeX-*=*)*$

⑵

2.解：由X=叭月,可得X-3X=O(X)-3x,%=一萬(wàn)(S(I)-3x)="⑴

3.＞：數(shù)值積分方法構(gòu)造該數(shù)值解公式：對(duì)方程曠=/&）在區(qū)間[X"T'X"/上積分,

y(x,,+∣)=y(X"-∣)+∫f(χ,y(χ))公∫f(χ,y(χ))公

得3,記步長(zhǎng)為h,對(duì)積分“用Simpson求積公式得

0+12hh`

j/(x,y(x))dx≈—[/(%?.,)+4f(xn)+/(?+l)]≈-(‰,+4y,t+y；T)

八°'所以得數(shù)值解公式

4

Λ÷∣=X,-∣+∣(‰I+Λ+Λ-1)

4.解

r∣?∣^x)=-~-×1+--×0.5=l-0.5x

5解Tofl,1J,」0-11-0

“「I沁)=——×0.5+--×O.2=-O.3x+O.8

x∈[l,2J,—1-22-1

所以分段線性插值函數(shù)為

6.解：原方程組同解變形為

x1=0.1x2+0.2X3+0.72

<x2=O.Ix1-0.2X3+0.83

x3=0.2x1+0.2X2÷0.84

雅可比迭代公式為

x[m+0=Ow)+0.2寸)+0.72

■名叫=0.1染)_0.2#)+0.83

X”)=0.2#)+0.2EM+0.84(Μ=0,1…)

高斯―塞德?tīng)柕ü?/p>

X,旬=OO穹)+0.2穹)+0.72

HH)=Oi鏟)1一0.2W)+0.83

W)=O.2/叫+0?2x")+0.84(Zn=(U…)

用雅可比迭代公式得對(duì)=(°?72°00?0?83°00'0?84°°°)

用高斯-塞德?tīng)柕降脁°,≈(°?72°∞`0?9°20°`1?1644°)

3

7.解:/(x)=x-3x-ltf(l)=-3<0tf(2)=l>0

Γ(x)=3√-3ιΓω=12xf"2)=24>0,故取.2作初始值

迭代公式為

/(x,ι)__心-3/_]-1(或2x”_|+1)

/'(K)λ^,?.-33(xt<-l),n=l,2,...

2χ3'+l2x1.888893+1

=1.88889=1.87945

23X(1.888892-1)

Xo=23×(2-l)

2x1.879453+1

=1.87939

-3×(1.879452-1)

∣Λ3-x21=0.00006<0.0001

方程的根X*"1?87939

Cf(x)dx≈-~~-Γ/(?)+f(b)^?

8.解梯形公式J"八2U-八〃

「一!~√r」[-!-+，=0.75

應(yīng)用梯形公式得J°l+x21+01+1

辛卜生公式為C4依一"(小"(警)+")]

=l[^-+4×111

(4仆Af(O)+4/號(hào))+/⑴]61+0口方25

應(yīng)用辛卜生公式得J°l+x62236

9.解

J(X)_(X-Xl)(X-A2)f+(X-XO)(Xf)f+(Xf)(Xf)f

2λ12

(X0-X1)(X0-X2)-°(X1-X0)(X1-X2)'(X2-X0)(X2-X1)

=0.33333610.用二分法求方程

/(x)=x3-X-I=0?IO,1.5]區(qū)間內(nèi)的一個(gè)根,誤差限￡=10々。

解

11.解迭代公式

12解:

13.解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)

故對(duì)應(yīng)的高斯一塞德?tīng)柕ㄊ諗?迭代格式為

取x(°)=(0,0,0)T,經(jīng)7步迭代可得：X*≈工⑺=(0.999991459,0.999950326,1.000()10)T

14.4.解

3.假設(shè)公式對(duì)Λx)=l,x,f,/精確成立則有

Λ+B+C=2

—0.54+βχ∣÷0.5C=0

0.25A+B√+0.25C=-

13

-0.125A+Bx；+0125C=O

42

解此方程組得A=C=-,B=--

33

求積公式為

?[

∫f(x)dx≈-[4/(-0.5)-2/(0)+4/(0.5)],?∏x)=d時(shí)，

-IJ

21

左邊=5右邊=L左邊≠右邊.?.代數(shù)精度為3。

56

15.解(DyM="+°」(3%+2χ,)=0,3xn+1.2yn

16.解：

-lC-0.5C-0.5

exι—ee—11

,、0e-°”l1-0.50.5-0z?八八

P2(X)=C+------------(x-0)+--------------------------------(x-O)(X-0.5)

0.5—01—0

0505

1+2(e-?-I)X+2(e^'-2e^+I)X(X-0.5)

xx

y"=-e^,Mi=max∣y'∣=?,e-p2(x)=/⑹x(x-0.5)(X-1)

χφ,∣]3!

???0≤x≤l時(shí)，Hf⑴尾做15)(XT)I

17、解：差商表

由牛頓插值公式：

18、解:

]4

f,?_.2An=A,=-h,A=-Ii

19.解：分別將/(X)=LKX,代入求積公式，可得^33。

令/(X)=χ3時(shí)求積公式成立，而/(χ)=χ4時(shí)公式不成立，從而精度為3。

∫5α+15?=31

20、解：設(shè)N="+"則可得h"+55”=105.5

于是。=2.45,匕=1.25,即y=2.45+1.25%解.

4xj÷3X2+30X3=32,王二13,

=

1Ix2-82X3=—38,n?x?8,

x=

、32?x3=2.

22.解：用反插值得

解令/S)=l，x，V代入公式準(zhǔn)確成立，得

A+B=2A

V—hA+Bx1=0

223

∕ZA+BXI=∣∕z

X=-h,B=-h,A=—h

解得1322,得求積公式

hZz〔4/1

∫f(x)dx≠-[(-A)3+3f(-h)3]=--h

/■一；-"239故求積公式具有2次代數(shù)準(zhǔn)確度。

24、解：此題是GaUSS消去法解具體方程組，只要直接用消元公式及回代公式直接計(jì)算即可。

故

2x1+3Λ?=1

.解：由等式對(duì)AX)=Lxl準(zhǔn)確成立得：[2工；+=1,

解此方程組得

又當(dāng)/(X)=/時(shí)左邊工右邊

???此公式的代數(shù)精度為2.解：梯形法為"+∣=”+°2(2x,-5y,)+(2%-5%+∣)]即

y∣=0.62667,%=0.55566,y3=0.58519,

γ4=0.64840,y5=0.72280

-1

7

—183-1-153

12-331571731

6

.解：先選列主元彳=2,2行與1行交換得消元6V.

解：6是∕3=x2-3=0的正根,尸（x）=2x,牛頓迭代公式為

片一3%=??+j-("=0'l'2,???)

X,,+∣=X"--?—

2"即22%

n[23

取xo=1.7,列表如下:17323517320517320529、數(shù)據(jù)如

]1.4182.22.6

XtI

)=

下:為0.9310.4730.2970.2240.168求形如a+bx擬合函數(shù)。

解:

30、解：過(guò)點(diǎn)“。，人"（耳，工），（X2,八）的二次拉格朗日插值多項(xiàng)式為

[zX(X-XI)(X-X,)f(X-X0)(X-X2)(X-X0)(X-Xl)

LΛX>~~,J；Jo+75；J?+7VrJi

(X0-X1)(X0-X2)(Xl-Xo)(Xl-A2)(X2-X0)(X2-Xl)

代值并計(jì)算得Sino.34=Z√0.34）=0.33336。

31、解：

32、解：

簡(jiǎn)述題：解：數(shù)值運(yùn)算中常用的誤差分析的方法有：概率分析法、向后誤差分析法、區(qū)間分析法等。

誤差分析的原則有：1）要防止除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對(duì)值的除法；2）要防止兩近數(shù)相減；3）要防止

大數(shù)吃掉小數(shù)：4）注意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)。

一、選擇題（共30分，每題3分）

1、以下說(shuō)法中不屬于數(shù)值方法設(shè)計(jì)中的可靠性分析的是（）o

（A）方法收斂性；（B）方法的穩(wěn)定性；

（C）方法的計(jì)算量；（D）方法的誤差估計(jì)。

2、方程--2*-5=0在區(qū)間［2,3］存在唯一正根，假設(shè)用二分法計(jì)算，至少迭代（）次可以保證誤差不超過(guò)

NO-3

(A)5；(B)7；(C)10；(D)12。

3、一般用高斯消元法解線性代數(shù)方程組要采用的技術(shù)是()

(A)調(diào)換方程位置；(B)選主元；(C)直接求解；(D)化簡(jiǎn)方程組。

4、設(shè)/(x)=9χ8+3χ4+10,則，2°,21,22,23,24,2$,26,27,2。和/［3°,B?2,3331石5,36,37,38,3〃的值分別為

()

(A)1,1：(B)9x8!,0；(C)9,0；(D)9,1?

π

5、假設(shè)用復(fù)化的辛浦生公式計(jì)算積分binxdx,問(wèn)積分區(qū)間要()等分才能保證誤差不超過(guò)2xlOT

0

(A)10；(B)15；(C)20：(D)251.

6、用一般迭代法”卬=8”)+g求解方程組AXH的解，則當(dāng)()時(shí)，迭代收斂。

(A)方程組系數(shù)矩陣A對(duì)稱正定；(B)方程組系數(shù)矩陣A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)；

(C)迭代矩陣5嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)；(D)迭代矩陣5的譜半徑Q(5)<L

7、在區(qū)間［0,1］上滿足MO)=I.5,MI)=2.5的O次擬合多項(xiàng)式曲線是()

(A)y-2；(B)y=1.5；(C)y=2.5；(D)y=4。

8、復(fù)相關(guān)系數(shù)的取值區(qū)間為：()

(A)O≤R≤1;(B)—1<R≤1;(C)-∞<R<?↑(D)-1≤∕?≤∞

9、方差分析主要用于分析()

(A)自變量和因變量都是分類變量⑻自變量和因變量都是順序變量

(C)自變量和因變量都是數(shù)值變量(D)自變量是分類變量，因變量是數(shù)值變量

10、方差分析中在由樣本推斷總體性質(zhì)時(shí)，零假設(shè)是()

(A)各分類間方差相等⑻各分類間均值相等

(C)各分類間均值不相等(D)各分類間至少有兩組均值相等

二、填空題(共30分，每題3分)

1、數(shù)值計(jì)算中主要研究的誤差有和。

2、6的相對(duì)誤差約是X*的相對(duì)誤差的倍。

3.方程求根的二分法的局限性是。

4、求方程根的割線法的收斂階為一?

5、求定積分的牛頓-柯特斯公式的代數(shù)精度為。

6、假設(shè)用高斯-賽德?tīng)柗ń夥匠探M（其中。為實(shí)數(shù)，則該方法收斂的充要條件是。應(yīng)滿足

［2axi+X2=-3

7、線性代數(shù)方程組AX=方相容的充要條件是。

8、單純形算法的基本思路是:-

9、參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的含義是。

10、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想的根據(jù)是

三、（7分）確定以下求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。

x

8x1—X2+3=8

四、（8分）方程組?2盯+10巧一巧=11或蹌=〃分別寫(xiě)出該方程組的JaCObi迭代法和GaUSS?Seidel迭代法的

x1+X2-5巧=-3

分量形式。

五、（9分）設(shè)步長(zhǎng)為h,分別用EUIer方法、隱式EUler方法和梯形方法寫(xiě)出微分方程［“="-'+I的求解公式。

J（O）=I

六、（8分）設(shè)總體X在區(qū)間［a,b］上服從均勻分布，其中“、人未知，＞［,〉2，一,又"為總體*的樣本，求“、h

的極大似然估計(jì)量.

七、（8分）將如下線性規(guī)劃問(wèn)題化成標(biāo)準(zhǔn)型：

參加答案

一、選擇題(共30分，每題3分)

1、以下說(shuō)法中不屬于數(shù)值方法設(shè)計(jì)中的可靠性分析的是(C)。

(A)方法收斂性；(B)方法的穩(wěn)定性；

(C)方法的計(jì)算量；(D)方法的誤差估計(jì).

2、方程1，-2*-5=0在區(qū)間［2,3］存在唯一正根，假設(shè)用二分法計(jì)算，至少迭代(C)次可以保證誤差不超過(guò)

Ll(T3。

2

(A)5；(B)7；(C)10；(D)12o

3、一般用高斯消元法解線性代數(shù)方程組要采用的技術(shù)是O

(A)調(diào)換方程位置；(B)選主元；(C)直接求解；(D)化簡(jiǎn)方程組。

4、設(shè)/(x)=9/+3/+io,則/［2。,211,2?*,2$］,2,,2*iJ和/［3°,31,32,33,34,35,36,37,38,39］的值分別為

(B)

(A)1,1；(B)9x8!,0；(C)9,0；(D)9,1?

π

5、假設(shè)用復(fù)化的辛浦生公式計(jì)算積分JSinXdX,問(wèn)積分區(qū)間要(A)等分才能保證誤差不

0

超過(guò)2x10-5

(A)10：(B)15：(C)20；(D)25。

6、用一般迭代法xui+D=β√">+g求解方程組Ax=〃的解，則當(dāng)(D)時(shí)，迭代收斂。

(A)方程組系數(shù)矩陣A對(duì)稱正定；(B)方程組系數(shù)矩陣A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)；

(C)迭代矩陣5嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)；(D)迭代矩陣5的譜半徑0(5)<1。

7、在區(qū)間［0,1］上滿足>(0)=l?5,y(1)=2.5的0次擬合多項(xiàng)式曲線是(A)

(A)y=2；(B)y=1.5；(C)y=2.5；(D)y=4。

8、復(fù)相關(guān)系數(shù)的取值區(qū)間為：(A)

(Λ)0≤R≤l;(B)-1<∕？≤1；(C)-∞≤R≤?;(D)-1≤Z?≤∞

9、方差分析主要用于分析(D)

(A)自變量和因變量都是分類變量⑻自變量和因變量都是順序變量

(0自變量和因變量都是數(shù)值變量⑻自變量是分類變量，因變量是數(shù)值變量

11、方差分析中在由樣本推斷總體性質(zhì)時(shí)，零假設(shè)是(B)

(Λ)各分類間方差相等(B)各分類間均值相等

(C)各分類間均值不相等(D)各分類間至少有兩組均值相等

二、填空題(共30分，每題3分)

1、數(shù)值計(jì)算中主要研究的誤差有和。

2、H的相對(duì)誤差約是X*的相對(duì)誤差的3倍。

3.方程求根的二分法的局限性是。收斂速度慢，不能求偶重根。

4、求方程根的割線法的收斂階為一。1.618或上西

2

5、求定積分的牛頓.柯特斯公式的代數(shù)精度為。5

6、假設(shè)用高斯-賽德?tīng)柗ń夥匠探M［x'+ax2=4,其中。為實(shí)數(shù)，則該方法收斂的充要條件是“應(yīng)滿足O

H<f

7、線性代數(shù)方程組AX=方相容的充要條件是。

rank（A）=rank（A,b）

8、單純形算法的基本思路是：根據(jù)問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)型,從可行域中某個(gè)基本可行解（頂點(diǎn)）開(kāi)場(chǎng),轉(zhuǎn)換到另一個(gè)

基本可行解（頂點(diǎn)），并使得每次的轉(zhuǎn)換，目標(biāo)函數(shù)值均有所改善,最終到達(dá)最大值時(shí)就得到最優(yōu)解。

9、參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的含義是對(duì)總體中某個(gè)數(shù)字特征或分布中的參數(shù)提出假設(shè)檢驗(yàn)。

10、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想的根據(jù)是小概率事件原理：“小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的?！?/p>

三、（7分）確定以下求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。

+x

8x∣—X23=8

四、（8分）方程組,2x∣+lox2-%=11或4x=。分別寫(xiě)出該方程組的JaCObi迭代法和GaUSS-Seidel迭代法的

X1+X2-5X3=—3

分量形式。

五、（9分）設(shè)步長(zhǎng)為h,分別用EUIer方法、隱式EUIer方法和梯形方法寫(xiě)出以下微分方程的求解公式：

（y'=X-?+1

tMo）=I0

六、（8分）設(shè)總體X在區(qū)間口,加上服從均勻分布，其中八。未知，X1,X2,…,X"為總體X的樣本，求a、b

的極大似然估計(jì)量.

七、（8分）將如下線性規(guī)劃問(wèn)題化成標(biāo)準(zhǔn)型：

試題

一.填空題（本大題共4小題，每題4分，共16分）

1.設(shè)有節(jié)點(diǎn)小,%,々，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=∕（χ）的值分別為加加必，則二次拉格朗日插值基函數(shù)

4。為。

2.設(shè)/（x）=Y,則/（X）關(guān)于節(jié)點(diǎn)∕=0,玉=1,々=3的二階向前差分為。

1

3.設(shè)A=-1

O

4.〃+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)準(zhǔn)確度為。

二.簡(jiǎn)答題（本大題共3小題，每題8分，共24分）

1.哪種線性方程組可用平方根法求解為什么說(shuō)平方根法計(jì)算穩(wěn)定

2.什么是不動(dòng)點(diǎn)迭代法姒力滿足什么條件才能保證不動(dòng)點(diǎn)存在和不動(dòng)點(diǎn)迭代序列收斂于

O（X）的不動(dòng)點(diǎn)

3.設(shè)n階矩陣A具有n個(gè)特征值且滿足囚>同習(xí)闔N>?∣,請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明求解矩陣A的主

特征值和特征向量的算法及流程。

三.求一個(gè)次數(shù)不高于3的多項(xiàng)式A（X）,滿足以下插值條件:

123

Xj

2412

%

V；3

并估計(jì)誤差。（10分）

四.試用〃=1,2,4的牛頓-科特斯求積公式計(jì)算定積分/=「占公。（10分）

五.用Newton法求/(x)=X-CoSX=O的近似解。(10分)

六.試用Doolittle分解法求解方程組:

^25—6-Xl--10^

413-19X2=19(10分)

-6-3-6.工3___30_

20x1+2X2+3X3=24

七.請(qǐng)寫(xiě)出雅可比迭代法求解線性方程組X,+8X2+X3=12的迭代格式，并判斷其是否收斂(10

2%-3X2+15X3=30

分）

八.就初值問(wèn)題考察歐拉顯式格式的收斂性。（10分）

Iy（O）=NO

參考答案

一.填空題（每題3分，共12分）

χχχχ

1.ln(χ}=<-?^-2?.2.7；3.3,8；4.2n+l?

(X0-X1)(X0-X2)

二.簡(jiǎn)答題（本大題共3小題，每題8分，共24分）

1.解：系數(shù)矩陣為對(duì)稱正定的方程組可用平方根法。（4分）

對(duì)于對(duì)稱正定陣4從%=ZL碇可知對(duì)任意4≤f有I，*∣≤歷。即/的元素不會(huì)增大，誤差可控，不

需選主元，所以穩(wěn)定。（4分）

2.解：⑴假設(shè)%*=0（%*）,則稱X*為函數(shù)O（X）的不動(dòng)點(diǎn)。（2分）

（2）O（X）必須滿足以下三個(gè)條件，才能保證不動(dòng)點(diǎn)存在和不動(dòng)點(diǎn)迭代序列收斂于O（X）的不動(dòng)點(diǎn):

1）0（x）是在其定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)；（2分）

2）e（x）的值域是定義域的子集；（2分）

3）O（X）在其定義域內(nèi)滿足李普希茲條件。（2分）