2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第六章第2節(jié)　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

第2節(jié)等差數(shù)列及其前八項(xiàng)和

考綱要求1.理解等差數(shù)列的概念；2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式；3.能在具

體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能利用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題；4.

了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.

知識(shí)分類落實(shí)回扣知識(shí)?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.等差數(shù)列的概念

(1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就

叫做等差數(shù)列.

數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：?+ι-?=J(n∈N*,d為常數(shù)).

(2)若α,A,6成等差數(shù)列，則A叫做小b的等差中項(xiàng)，且A=中.

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前"項(xiàng)和公式

(1)若等差數(shù)列｛α,,｝的首項(xiàng)是G，公差是d,則其通項(xiàng)公式為a”=G+(〃-Dd

小、一.不工-Cn(n-｝)dn(a↑+a)

lft,

(2)刖〃項(xiàng)和公式：Sπ=na?+~^^2---=---2-----

3.等差數(shù)列的性質(zhì)

(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=am÷(n-m)d(nf∕∏∈N*).

(2)若｛斯｝為等差數(shù)列，且Z+∕=zn+〃伏，I,m,"∈N*),則〃計(jì)〃/=4〃+?！?

(3)若｛〃〃｝是等差數(shù)列,公差為d,則四，ak+fn，ak+2m,…(k,τn∈N*)是公差為md的等差數(shù)

列.

(4)若S〃為等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，則數(shù)列SmS2m-Sm,S3m-S2m…也是等差數(shù)列.

(5)若S“為等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和，則數(shù)列｛章)也為等差數(shù)列.

?——常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

1.已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式是a,,=p〃+式其中p,4為常數(shù))，則數(shù)列｛斯｝一定是等差數(shù)列，

且公差為p.

2.在等差數(shù)列｛斯｝中，?i>0,d<0,則SI存在最大值；若aι<O,d>0,則S”存在最小值.

3.等差數(shù)列｛斯｝的單調(diào)性：當(dāng)d>0時(shí)，｛a,,｝是遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，｛斯｝是遞減數(shù)列；當(dāng)

d=0時(shí)，｛t?)是常數(shù)列.

4.數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列OS,,=4∕+B”(A,B為常數(shù)).

診斷自測(cè)

〉思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

⑴數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意“GN*,都有2斯+尸如+m+2.()

(2)等差數(shù)列｛〃“｝的單調(diào)性是由公差”決定的.()

(3)數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為〃的一次函數(shù).()

(4)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為O關(guān)于"的二次函數(shù).()

答案(1)√(2)√(3)×(4)×

解析(3)若公差d=0,則通項(xiàng)公式不是〃的一次函數(shù).

(4)若公差d=0,則前"項(xiàng)和不是"的二次函數(shù).

〉教材衍化

2.設(shè)數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，若"6=2且S5=30,則S8等于()

A.31B.32C.33D.34

答案B

∣^αι+5d=2,

解析由已知可得U‘,八，。八

[5αι+10√=30,

8X7

>■S8=8G+?d=32.

3.一物體從1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m,以后每秒比前一秒多降落9.80m,

那么經(jīng)過(guò)秒落到地面.

答案20

解析設(shè)物體經(jīng)過(guò)，秒降落到地面.

物體在降落過(guò)程中，每一秒降落的距離構(gòu)成首項(xiàng)為4.90,公差為9.80的等差數(shù)列.

所以4.90f+%(z-l)X9.80=l960,

即4.90產(chǎn)=1960,解得f=20.

＞考題體驗(yàn)

4.(202卜西安調(diào)研)已知數(shù)列｛④｝為等差數(shù)列,且“3=4,死=8,則該數(shù)列的前10項(xiàng)之和SIo

=()

A.80B.90C.100D.IlO

答案B

解析設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為m,公差為d,且的=4,恁=8,

Ia]+2d=4,Ial=0,

?,?解之得

[αι+4d=8,[d=2.

,10×9

故±LSlo=O+^-X2=90.

5.(2020?呼和浩特質(zhì)檢)在等差數(shù)列｛斯｝中,若。1+。2=5,α3÷Λ4=15,則的+%=()

A.10B.20C.25D.30

答案C

解析等差數(shù)列｛斯｝中，每相鄰2項(xiàng)的和仍然構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)其公差為4,若α∣+s=5,

43+α4=i5,則d=15—5=10,因此α5+α6=（a3+α4）+d=15+10=25.

6.（2020?新高考山東卷）將數(shù)列｛2〃-1｝與｛3〃一2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛斯｝,則

｛4”｝的前n項(xiàng)和為.

答案3/?一2"

解析法一（觀察歸納法）數(shù)列｛2〃-1｝的各項(xiàng)為1,3,5,7,9,11,13,…；數(shù)列｛3〃-2｝的各項(xiàng)

為1,4,7,10,13,…現(xiàn)觀察歸納可知，兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)為1,7,13,…，是首項(xiàng)為1,公差為

6的等差數(shù)列，則斯=1+6（〃-1）=6〃-5.

??甘H干玉士.〃（卬+如）"（1+6"-5）2,

故其刖〃項(xiàng)和為Sn—2—2—3"—2〃.

法二（引入?yún)⒆兞糠ǎ┝頱"=2n-1,cm=3m—2,hn-cm,則2〃-1=3加-2,即3〃?=2"+

I.〃?必為奇數(shù).

令m=21-1,則〃=31—2。=1,2,3,…）.

0=3L2=C2Li=6f-5,

匕即all-6n~5.

以下同法一.

考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦?題型剖析

考點(diǎn)一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算自主演練

L（2019全國(guó)I卷）記S為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.已知S4=0,。5=5,則（）

A.an=2n-5B.afi=3n-?0

1

C.Sft=2n-SnD.S∏=~jrr-2n

答案A

解析設(shè)首項(xiàng)為m,公差為α

[a∣+4J=5,ftzι=-3

由SkO,的=5可得L+640,解得

所以a〃=-3+2(〃-1)=2〃-5,

,n(n~?)?

&=〃義(-3)+2X2=4—4比

2.（2021?江南十校調(diào)研）已知等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為S,1,若58=^=8,則公差d=（）

11

--C2

4B.2D.

答案D

解析’.'58=08=8,:.41+。2H----1~〃8=48,

..S7=7αq=0,則。4=0.

..as-a4

=2.

8-4

3.(2020?全國(guó)Il卷)記Sn為等差數(shù)列｛α,,｝的前"項(xiàng)和.若α∣=-2,a2+a6=2,則SIo=.

答案25

解析設(shè)等差數(shù)列｛”“｝的公差為“，

則a2+α6=2α∣+6√=2×(-2)+6(∕=2.

解得d=l.

所以SlO=IoX(—2)+-y~X1=25.

4.(2019?全國(guó)I卷)記S,為等差數(shù)列｛m｝的前〃項(xiàng)和.已知59=-g

(1)若43=4,求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

⑵若G>0,求使得S言a.的n的取值范圍.

解(1)設(shè)｛斯｝的公差為d?

由S9=-的可知9。5=一%，所以45=0.

因?yàn)椤?=4,所以d=a，2"3=9y?=—2,

所以?！?43+(〃-3)X(—2)=10—2”，

因此｛如｝的通項(xiàng)公式為an-10—2n.

⑵由⑴得的=0,

因?yàn)椤皑O>0,所以等差數(shù)列｛斯｝單調(diào)遞減，即d<0,

<_n(n-9)d

a↑=as-4d=-4d,

>L2

-nd(n—9)

an=-4d+d(n-?)=dn~5d,因?yàn)镾,》斯，所以j—BdnTd,

又因?yàn)閐<0,所以l≤n≤I0.

感悟升華1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量an,d,n,Sn,知其中

三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題.

2.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前"項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而α∣和”是等差數(shù)列的兩

個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.

考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明典例遷移

【例1】(經(jīng)典母題)若數(shù)列｛如｝的前“項(xiàng)和為S”且滿足%+2SSι=0(a22),ΛI(xiàn)=∣.

(1)求證：慌成等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

(1)證明當(dāng)”22時(shí)，由如+2SsLl=0,

得Stl—SM-I——2SflSfl-1,所以三一T=2,

又*=J=2,

?l

故{寸是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列?

(2)解由⑴可得上=2〃，S,,=/

當(dāng)"22時(shí)，

Z=C_C_1■-11

al'inn12n2(〃—1)2n(n—1)2n(ιι—1),

當(dāng)”=1時(shí)，S=T不適合上式.

1,M=I,

]

{~2n(n-?),"N2?

【遷移U若將本例中的條件''”"+2S5,τ=0("22)”變?yōu)?知+|=+”其他條件保持

Z十Cln

不變，試求解下面問(wèn)題：

(1)求證：數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列；

⑵若bn=anan+ι,求數(shù)列｛兒｝的前n項(xiàng)和Sn.

⑴證明易知。"￥0,"''a"+i=2-?-"a,

.12+‰.1IIrIHlC

??-----="，??-----—"^=τ,又〃1=5，則7=2,

an+?Zanan+?%2Za?

數(shù)歹?5｝是以2為首項(xiàng)，T為公差的等差數(shù)列.

._,,1,I〃+3rr2

(2)解由(1)知，7=2+/(〃-1)=-?-,即+

,也一(〃+3)(〃+4)-4(〃+3

=4(9*)=〃

n+4,

一一.3.

【遷移2】本例中，若將條件變?yōu)椤▅=亍nan+1=(n+1)an+?(/?+1),試求數(shù)列｛“〃｝的通項(xiàng)

公式.

解由已知可得帚=卓+1,即鎧一岸=1，

3、332

斯m

是以

又---+-

=5-->τ=5-5-

〃為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，.?.5

,

2

2

二數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為an=n-^n.

感悟升華1.證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：

(1)定義法：對(duì)于“22的任意自然數(shù)，驗(yàn)證期一Gi為同一常數(shù).

(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2%τ=斯+?！?2(〃》3,"∈N*)都成立.

2.判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結(jié)論：

(1)通項(xiàng)公式：斯=p"+q(p,q為常數(shù))o｛4,,｝是等差數(shù)列.

2

(2)前〃項(xiàng)和公式：Sn=An+Bn(A,B為常數(shù))0｛斯｝是等差數(shù)列.問(wèn)題的最終判定還是利用

定義.

【訓(xùn)練1】記S,為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.己知&=2,S3=-6.

(1)求｛α,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)求S",并判斷a+”SmQ+2是否成等差數(shù)列.

解(1)設(shè)｛如｝的公比為4，由題設(shè)可得

IaI(I+q)=2,[?――2,

｛解得，

[αι(l+q+/)=-6,a↑——2.

故｛a,J的通項(xiàng)公式為α,,=(-2)n.

(2)由(1)可付Sn=-=_?+(_1)^-?

4

-

由于Sn+2÷SnI-I33

πr

2,,2_

=2|_--j+(-l)?-y-J=2Sπ,

故S"+l,Sn,S"+2成等差數(shù)列.

考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用多維探究

角度1等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)

【例2】(1)在等差數(shù)列伍"｝中，若<?+<?=8,則(s+sp—。5=()

A.60B.56C.12D.4

(2)(2021?衡水調(diào)研)已知等差數(shù)列｛斯｝中，的+的一S=IO,則S∣3的值為()

A.130B.260C.156D.168

答案(I)A(2)A

解析(1)?.?在等差數(shù)列｛斯｝中，。2+〃8=8,

,42+08=43+47=245=8,解得。5=4,

所以(〃3+〃7)2—。5=8?—4=60.

(2)由于小+的一S=IO,得207-m=10,

13(41+03)

Aa=10,則$3==1130.

723cij-

角度2等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)

【例3】(1)已知等差數(shù)列｛斯｝的前“項(xiàng)和為S”且滿足S2O=S4O,則下列結(jié)論中正確的是

()

A.S3。是S“中的最大值B.S3。是S“中的最小值

C.S3θ=OD.$60=0

(2)(2020?全國(guó)Il卷)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層.上層中心有

一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加

9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊.向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)

數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)()

A.3699塊B.3474塊

C.3402塊D.3339塊

答案(I)D(2)C

解析(1)：$40-$20="21+422H---------F?39+?40

=lO(α3θ+α3∣)=O,

ɑ3θ+α3l=O,故S60—3O(?3O+ɑ?I)≈0.

(2)設(shè)每一層有n環(huán)，由題可知由天心石向外的每環(huán)的扇面形石板數(shù)構(gòu)成公差d=9,?1=9

的等差數(shù)列.由等差數(shù)列的性質(zhì)知S”Sin—Sn,S3”-52"成等差數(shù)列，且(S3,,-S2")-(S2"-

27X26

Sn)=rrd,貝!|9層=729,得〃=9,則三層共有扇面形石板數(shù)為S3,,=S27=27x9+—弓—×9

=3402(塊).

角度3等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的最值

【例4】(2019,北京卷)設(shè)｛4,J是等差數(shù)列，fl∣=-10,且s+10,α3+8,44+6成等比數(shù)

列.

(1)求｛如｝的通項(xiàng)公式;

(2)記｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,求Sn的最小值.

解(1)設(shè)｛斯｝的公差為a因?yàn)閍〕=-io,

所以“2=-10+d,。3=-10+2J,“4=-10+3d.

因?yàn)?2+10,?3+8,四十6成等比數(shù)列，

所以(的+8)2=(a2+10)(。4+6).

所以(一2+2④2=或-4+3幻.解得d=2.

所以｛斯｝的通項(xiàng)公式為al,-at+(n-↑)d-2n-12.

(2)由(D知,alt=2n-?2.

則當(dāng)")7時(shí)，α,,>0;當(dāng)〃=6時(shí)，斯=0,當(dāng)〃<6時(shí)，??<0；所以S,的最小值為S5=S6

=—30.

感悟升華1.項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列｛”,J中，若m+n-p+q(m,n,p,?∈N*),則al,l+an

一40+a.q.

2.和的性質(zhì)：在等差數(shù)列｛”“｝中，S,為其前H項(xiàng)和，則

(l)S2π=n(α∣+42")=…=n(an+απ+∣);

(2)S2"-1=(2〃-1)a,l.

(3)依次4項(xiàng)和成等差數(shù)列，即S*,Sik-Sk,S3*—S2*,…成等差數(shù)列.

3.求等差數(shù)列前八項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折

項(xiàng)，或者利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；(2)利用公差不為零的等差數(shù)列的

前〃項(xiàng)和S,=A"2+B”(A,B為常數(shù)，AWO)為二次函數(shù)，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

【訓(xùn)練2】(1)(2021?洛陽(yáng)質(zhì)檢)記等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，若$7=272,則g+的+

?15=()

A.24B.36C.48D.64

(2)(2020?北京卷)在等差數(shù)列｛斯｝中,aι=-9,%=-1.記G=QQ…斯(〃=1,2,…),則數(shù)列

｛T.｝()

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

答案(I)C(2)B

解析(1)因?yàn)閿?shù)列｛%｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S”，

所以Si7=272="*"xi7=?2X17=1749,

.?.49=16,所以〃3+。9+。15=3。9=48.

(2)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為乩,."1=-9,。5=—1,

.*.?=—9+4J=—1,則d=2.

所以斯=-9+2(〃-1)=2〃-11.

令〃”=2〃-IlWO,得M≤5.5..?.L≤5時(shí)，an<0;

當(dāng)"26時(shí)，m21>0.因?yàn)椤?0。2-斯5=1,2,…），所以△=—9,/=63,乙=一315,

Λ=945,7?=—945.當(dāng)鹿一6時(shí),an^l9/.Tn<0,且耳+ι<4<0?

.二G=GlC…即5=1,2,…）有最大項(xiàng)北，無(wú)最小項(xiàng).

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.(2020?長(zhǎng)春模擬)在等差數(shù)列｛如｝中，3a5=2c∏,則此數(shù)列中一定為O的是()

A.a?B.C.。8D.αιo

答案A

解析設(shè)｛4,,｝的公差為"3?0),?.?3"5=2G,

.?.3(α∣+4J)=2(αι+6d),得m=0.

2.(2021?昆明診斷)在數(shù)列｛?。?，已知斯+1—斯=%+2一%+1，?on=1，則該數(shù)列前2021

項(xiàng)的和§2021等于()

A.2021B.2020C.4042D.4040

答案A

?Clnjr1Cln?！?2?！?1，??2θ,?+]白〃+?！?2,

???｛?！ǎ秊榈炔顢?shù)列，???0ou=l,

.20213+4202i)2()21><2s()|]—八

??'2021222。2??

3.記S.為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若3S3=S2+S4,m=2,則的=()

A.-12B.-10C.10D.12

答案B

3

解析設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,則3(3m+3^∕)=2α∣+d+44∣+6d,即￠/=一又0=2

得?'?d--3,

.?.a5=αι+44=2+4X(—3)=—10.

4.程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩(shī)云“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏.次第每人多十七，

要將第八數(shù)來(lái)言.務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳.”意為：996斤棉花，分別贈(zèng)送給8

個(gè)子女做旅費(fèi)，從第一個(gè)開(kāi)始，以后每人依次多17斤，直到第八個(gè)孩子為止.分配時(shí)一定

要等級(jí)分明，使孝順子女的美德外傳，則第八個(gè)孩子分得斤數(shù)為()

A.65B.176C.183D.184

答案D

解析根據(jù)題意可知每個(gè)孩子所得棉花的斤數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列｛斯｝,其中d=17,/7=8,

Sii=996.

8義7

由等差數(shù)列前"項(xiàng)和公式可得8n∣+-17=996,

解得“ι=65.

由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得08=65+（8-1）X17=184.

則第八個(gè)孩子分得斤數(shù)為184.

5.（2021.全國(guó)大聯(lián)考）在等差數(shù)列｛斯｝中，若需-1,且它的前n項(xiàng)和S,,有最大值，則使S,,>0

成立的正整數(shù)〃的最大值是（）

A.15B.16C.17D.14

答案C

解析Y等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和有最大值，

二等差數(shù)列｛斯｝為遞減數(shù)列，

又一<一1,Λ?9>0,a∣o<O,

/.Λ9÷^I0<0,

又S18='2=9(〃9+?O)<O,

且Si7=-2---------17^>0.

故使得Sn>0成立的正整數(shù)〃的最大值為17.

6.(2020?浙江卷)已知等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為Sr公差d≠0,且號(hào)Wl.記h?=Sι,hfl+ι

=S2n+2-S2n,∕1∈N?下列等式不可能成立的是()

A.2。4=+。6B.2Z?4=岳+b()

C,晶=。2〃8D.hl=h2b^

答案D

解析由〃〃+l=S2"+2—S2〃得

岳=。3+。4=2〃]+5",力4=$8—S6=s+48=2ci]+13d.

bs=S?2—Sio=4H+。]2=2〃]+2Id,

88=S]6-Si4=〃i5+ai6=2〃i+29d,

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，A項(xiàng)2〃4=怎+四成立，

易驗(yàn)證2/?4=岳+/?6成立，當(dāng)0=d時(shí)，質(zhì)=做。8成立，

若孱=必力8,則(2〃]+13d)2=(2a↑+5d)(2a↑+29d),

03

有--

72故D不可能成立.

二、填空題

7.（2019?全國(guó)川卷）記S為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若43=5,s=13,則SlO=

答案100

解析,.?｛〃”｝為等差數(shù)列，避=5,?7=13,

.??八乃一613—5C

??公差d_7_3_4-2，

首項(xiàng)〃i=〃3—2d=5-2X2=1,

..10×9

??Sio=I0。］+?d~—100.

8.等差數(shù)列｛飆｝與｛仇｝的前〃項(xiàng)和分別為S”和T“，若爭(zhēng)=則魯?shù)扔赺__

JLnZ,Πr1。7

套案—

口米27

a?+〃13

-

C?LX13C

ft2xf-47_2。7_0十413_2__________S|3

解斫?7~2?7~?l+?13~∕η+Λ,3~7h

C13

3X13-237

=2X13+1=方

9.(2019.北京卷)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”若6=-3,55=-10,則的=_

S”的最小值為.

答案O—10

解析由題意得〃2=〃i+d=-3,S5=5α]+10d=-10,

解得。1=—4,d=l,

所以的=〃1+4"=0,

故斯=。1+(〃-l)d=n-5.

令如W0,則"W5,即數(shù)列｛斯｝中前4項(xiàng)為負(fù)，?5=0,第6項(xiàng)及以后項(xiàng)為正.

,S〃的最小值為S4=S5=-IO.

三、解答題

10.已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為。,4,3小前〃項(xiàng)和為S”，且S=IlO.

⑴求。及女的值；

(2)設(shè)數(shù)列｛d｝的通項(xiàng)公式兒=牛，證明：數(shù)列也“｝是等差數(shù)列，并求其前”項(xiàng)和北.

(1)解設(shè)該等差數(shù)列為｛斯｝,則m=d〃2=4,S=3α,

由已知有α+34=8,得卬=。=2,公差4=4—2=2,

k(k—1)k(k—1)?

所以如+攵+-L2

SjI=2"=2工~Zχ2=?+K

由S*=110,得?2+%—IIo=0,

解得Z=IO或Z=-11(舍去)，故α=2,k—10.

(2)證明由(1)得S"="(2；2")=“(〃+]),

則bll=^-n+l,

故bn+ι-bn-(n+2)-(n+l')-↑,

即數(shù)列｛d｝是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，

6≤p,T"(2+/+l)〃(〃+3)

所以7JL2—2,

11.(2021?西安調(diào)研)已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”α5=9,S5=25.

(1)求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S,;

⑵設(shè)b"=(-l)"S",求數(shù)列｛與｝的前In項(xiàng)和T2,,,

解(1)由題意，設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,

"5=αι+4d=9,

(∕∣+4J=9,W=ι,

,5×4整理得