4.2 指數(shù)函數(shù)（十大題型）（解析版）

4．2指數(shù)函數(shù)【題型歸納目錄】題型一：指數(shù)函數(shù)定義的判斷題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域題型三：求指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式題型四：指數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題題型五：指數(shù)函數(shù)的圖象問題題型六：指數(shù)函數(shù)的定義域、值域題型七：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用題型八：比較指數(shù)冪的大小題型九：解指數(shù)型不等式題型十：判斷函數(shù)的奇偶性【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、指數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù)，函數(shù)定義域?yàn)椋R(shí)點(diǎn)詮釋：（1）形式上的嚴(yán)格性：只有形如（且）的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)．像，，等函數(shù)都不是指數(shù)函數(shù)．（2）為什么規(guī)定底數(shù)a大于零且不等于1：①如果，則②如果，則對(duì)于一些函數(shù)，比如，當(dāng)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在．③如果，則是個(gè)常量，就沒研究的必要了．知識(shí)點(diǎn)二、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：時(shí)圖象時(shí)圖象圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過點(diǎn)③，即時(shí)，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)④在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí)，時(shí)，⑤時(shí)，時(shí)，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分“”和“”兩種情形討論．（2）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．當(dāng)時(shí)，的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．（3）指數(shù)函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱．知識(shí)點(diǎn)三、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律（1）①，②，③，④，則：又即：時(shí)，（底大冪大）時(shí)，（2）特殊函數(shù)，，，的圖像：【方法技巧與總結(jié)】1、指數(shù)式大小比較方法（1）單調(diào)性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．（2）中間量法（3）分類討論法（4）比較法比較法有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為：①若；；；②當(dāng)兩個(gè)式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷，或即可．2、簡(jiǎn)單指數(shù)不等式的解法（1）形如的不等式，可借助的單調(diào)性求解；（2）形如的不等式，可將化為為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助的單調(diào)性求解；（3）形如的不等式，可借助兩函數(shù)，的圖象求解．【典型例題】題型一：指數(shù)函數(shù)定義的判斷例1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)：①；②；③；④．其中為指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】指數(shù)函數(shù)解析式為且，對(duì)于①②④，、和不符合指數(shù)函數(shù)解析式特征，①②④錯(cuò)誤；對(duì)于③，符合指數(shù)函數(shù)解析式特征，③正確.故選：B.例2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A,是冪函數(shù)，對(duì)于B，系數(shù)不為1，不是指數(shù)函數(shù)，對(duì)于C,是底數(shù)為的指數(shù)函數(shù)，對(duì)于D,底數(shù)不滿足大于0且不為1，故不是指數(shù)函數(shù)，故選：C例3．（2023·高一單元測(cè)試）下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．0【答案】D【解析】①中底數(shù)－8<0，所以不是指數(shù)函數(shù)；②中指數(shù)不是自變量，而是的函數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)；③中底數(shù)，只有規(guī)定且時(shí)，才是指數(shù)函數(shù)；④中前的系數(shù)是2，而不是1，所以不是指數(shù)函數(shù).故選：D.變式1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式可知，為指數(shù)函數(shù)，A、B選項(xiàng)中的函數(shù)均不為指數(shù)函數(shù)，C選項(xiàng)中的底數(shù)的范圍未知，C選項(xiàng)中的函數(shù)不滿足指數(shù)函數(shù)的定義.故選：D.變式2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤.其中一定為指數(shù)函數(shù)的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【解析】形如且為指數(shù)函數(shù)，其解析式需滿足①底數(shù)為大于0，且不等于1的常數(shù)，②系數(shù)為1，③指數(shù)為自變量，所以只有②是指數(shù)函數(shù)，①③④⑤都不是指數(shù)函數(shù)，故選：B.變式3．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）下列以x為自變量的函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（

）A．y＝(－4)x B．y＝λx(λ>1)C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1)【答案】B【解析】A中底數(shù)不滿足大于0且不等于1，故錯(cuò)誤；B中函數(shù)滿足指數(shù)函數(shù)的形式，故正確；C中系數(shù)不是1，故錯(cuò)誤；D中指數(shù)部分不是x，故錯(cuò)誤；故選：B【方法技巧與總結(jié)】一般地，函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R，a是指數(shù)函數(shù)的底數(shù)．題型二：利用指數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù)例4．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則等于（

）A．或 B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是指數(shù)函數(shù)，所以.故選：C例5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有（

）A．或 B． C． D．，且【答案】C【解析】由指數(shù)函數(shù)的概念得，解得或．當(dāng)時(shí)，底數(shù)是1，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，符合題意.故選：C．例6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若是指數(shù)函數(shù)，則有（

）A．或 B．C． D．且【答案】C【解析】因?yàn)槭侵笖?shù)函數(shù)，所以，解得.故選：C．變式4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)（是自變量）是指數(shù)函數(shù)，則的取值范圍是（

）A．且 B．且C．且 D．【答案】C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義列不等式，解得結(jié)果.由于函數(shù)（是自變量）是指數(shù)函數(shù)，則且，解得且.故選：C變式5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，則（

）A．不確定 B． C．1 D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，由是指數(shù)函數(shù)，得，所以.故選：C.變式6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（

）A． B． C．或 D．且【答案】B【解析】由指數(shù)函數(shù)的定義，得，解得．故選：B【方法技巧與總結(jié)】系數(shù)為1．題型三：求指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式例7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則．【答案】/【解析】設(shè)指數(shù)函數(shù)且，過點(diǎn)，，解得：，，.故答案為：.例8．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則其解析式為．【答案】【解析】設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式為，(且)，因指數(shù)函數(shù)fx的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則，即，則其解析式為.故答案為：.例9．（2023·甘肅武威·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則【答案】2【解析】由題意得，所以，所以，所以.故答案為：2變式7．（2023·重慶江北·高一重慶十八中?？计谀懗龆x域?yàn)榍彝瑫r(shí)滿足下列三個(gè)條件的函數(shù)的表達(dá)式：.（1）；（2）在上單調(diào)遞增；（3）的值域?yàn)?【答案】（答案不唯一）【解析】函數(shù)滿足條件，首先，又，滿足（1），當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，滿足（2），當(dāng)時(shí)，，又，所以的值域?yàn)?，滿足（3）.故答案為：變式8．（2023·上海青浦·高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，定義域，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，故.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式是.故答案為：變式9．（2023·江蘇南京·高一南京市第十三中學(xué)校考階段練習(xí)）寫出同時(shí)滿足條件“①函數(shù)為增函數(shù)，②”的一個(gè)函數(shù)．【答案】(答案不唯一)【解析】由題意，指數(shù)函數(shù)均滿足①②.故答案為：(答案不唯一)變式10．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則指數(shù)函數(shù)的解析式為．【答案】【解析】設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式為（a＞0且a≠1），∴，解得，∴.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】待定系數(shù)法題型四：指數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題例10．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）函數(shù)且的圖象必經(jīng)過點(diǎn)．【答案】【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)且的圖象必經(jīng)過點(diǎn)，故答案為：例11．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)，無(wú)論取何值，函數(shù)圖像恒過一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】【解析】則定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為:.例12．（2023·湖南株洲·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.【答案】【解析】在函數(shù)中，當(dāng)，即時(shí)，，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是.故答案為：變式11．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)且所過的定點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】【解析】令，即，則，所過定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.變式12．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）對(duì)且的所有正實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象一定經(jīng)過一定點(diǎn)，則該定點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【解析】由函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得，所以該函數(shù)恒經(jīng)過定點(diǎn).故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】令指數(shù)為0求解題型五：指數(shù)函數(shù)的圖象問題例13．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，定義域?yàn)?；因?yàn)椋?，故，所以為奇函?shù)，排除B，當(dāng)趨向于正無(wú)窮大時(shí)，、均趨向于正無(wú)窮大，但隨變大，的增速比快，所以趨向于，排除D，由，，則，排除C.故選：A.例14．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】因?yàn)橛?，根?jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，排除B、D；時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，排除A．故選：C．例15．（2023·上海·高一專題練習(xí)）如圖所示，函數(shù)的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】∵，∴時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為上的單調(diào)遞減函數(shù)，且，故選：B變式13．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖象可知，函數(shù)為減函數(shù)，從而有；法一：由圖象，函數(shù)與軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，令，得，由，即，解得.法二：函數(shù)圖象可看作是由向左平移得到的，則，即.故選：D.變式14．（2023·陜西渭南·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)且，則下列結(jié)論中，一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖示可知，的符號(hào)不確定，，故A、B錯(cuò)；，如上圖，滿足，故C不一定成立，當(dāng)時(shí)，由得，則，所以，故D正確．故選：D【方法技巧與總結(jié)】利用底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系可以快速地解答像本題這樣的有關(guān)問題，同時(shí)還可以解決有關(guān)不同底的冪的大小比較的問題，因此我們必須熟練掌握這一性質(zhì)，這一性質(zhì)可簡(jiǎn)單地記作：在軸的右邊“底大圖高”，在軸的左邊“底大圖低”．題型六：指數(shù)函數(shù)的定義域、值域例16．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)．【解析】（1）要使函數(shù)式有意義，則，即．因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以．故函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以，所以，即函?shù)的值域?yàn)?；?）定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，又，所以函?shù)的值域?yàn)椋?7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）.【解析】（1）由題意可得，即，又指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，得.所以函數(shù)的定義域?yàn)?；?）由題意，得，得，又指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，且.所以函數(shù)的定義域?yàn)?例18．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)【解析】（1）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋唬?）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?；?）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋唬?）中分母不等于0，故的定義域?yàn)?，由于，故，又，故值域?yàn)椋唬?）中分母不等于0，故，的定義域?yàn)?，由于，故，又，的值域?yàn)椋?）中中分母不等式0，故，的定義域?yàn)椋捎?，故，又，故的值域?yàn)?變式15．（2023·四川成都·高一校考階段練習(xí)）已知集合，函數(shù).(1)求集合；(2)求函數(shù)的值域.【解析】（1）由題意知,（2）函數(shù)，令，則，所以時(shí)，；時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?變式16．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【解析】令，則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值為；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值為.變式17．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求函數(shù)，在上的值域.【解析】，令，函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，∴，的對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即，∴在上的值域?yàn)?變式18．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)．【解析】（1）由于，則，故的值域?yàn)?（2）當(dāng)時(shí)，開口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，又為減函數(shù)，所以的值域?yàn)?，?變式19．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)在上的值域；(2)若對(duì)任意，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的開口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，.函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的值域?yàn)榧?（2）由（1）得，，當(dāng)時(shí)，，，所以此時(shí)，若對(duì)任意，總存在，使成立，所以.變式20．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的值域；(2)若在上最小值為，求實(shí)數(shù)的值.【解析】（1）因?yàn)椋裕?，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，記，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即的值域?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)?（2），令，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)知，函數(shù)在單調(diào)遞增，則，記，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，解得，不合題意舍去；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，解得或舍去；綜上可得，.【方法技巧與總結(jié)】求值域時(shí)有時(shí)要用到函數(shù)單調(diào)性，求定義域使表達(dá)式有意義．題型七：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例19．（2023·北京東城·高一校考期中）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，，所以是奇函數(shù)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，，所以是偶函數(shù)，又因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，，所以不是偶函數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，，所以是偶函數(shù)，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.例20．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】A【解析】的定義域?yàn)?，，所以是奇函?shù)，由于，所以在上單調(diào)遞增.故選：A例21．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由且，得為單調(diào)遞減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則得，又，解得．故選：C．變式21．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，則二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)為上的減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，解得.故選：A.變式22．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，對(duì)稱軸為，∵是上的增函數(shù)，∴要使在區(qū)間單調(diào)遞減，則在區(qū)間單調(diào)遞減，即，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：A．變式23．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，因?yàn)槎魏瘮?shù)的開口向下，對(duì)稱軸為，所以二次函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選：C變式24．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)殚_口向下，對(duì)稱軸為，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.變式25．（2023·四川成都·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)，是上的增函數(shù)，得，解得，即，故選：D.【方法技巧與總結(jié)】研究型的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性用復(fù)合法，比用定義法要簡(jiǎn)便些，一般地有：即當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)與的單調(diào)性相反．題型八：比較指數(shù)冪的大小例22．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，所以，即.故選：D.例23．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，，，，則a、b、c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，，，且在上遞增，，，故選：A例24．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，則，所以，，，故，故選：C.變式26．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由單調(diào)遞增，則可知，即B正確.故選：B.變式27．（2023·高一單元測(cè)試）的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由在R上單調(diào)遞減，知，而，所以,故選：B.變式28．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樗怨蔬x：B【方法技巧與總結(jié)】在進(jìn)行數(shù)的大小比較時(shí)，若底數(shù)相同，則可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果，若底數(shù)不相同，則首先考慮能否化成同底數(shù)，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果；不能化成同底數(shù)的，要考慮引進(jìn)第三個(gè)數(shù)（如0，1等）分別與之比較，從而得出結(jié)果．總之比較時(shí)要盡量轉(zhuǎn)化成底的形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷．題型九：解指數(shù)型不等式例25．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，所以為奇函數(shù)，不等式，等價(jià)于，即，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)榫鶠闇p函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)可知，為減函數(shù)，則，解得：故選：B例26．（2023·江西吉安·高一吉安一中?？计谀┮阎?，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】畫出的圖象如下圖所示，所以，解得，所以不等式的解集為.故選：A例27．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，∴x2﹣8＜2x，解得﹣2＜x＜4．故選：A．變式29．（2023·福建泉州·高一石獅市石光中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，則，∴可化為，則，又在定義域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴原不等式的解集為.故選：D變式30．（2023·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)定義域?yàn)?，又為奇函?shù)，所以，故，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；不等式，即，，，，所以.故選：D.變式31．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋裕獾没?，所以不等式的解集為?故選：C.變式32．（2023·福建寧德·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】不等式，∴，即．∴或，解得：或，∴解集是．故選：B．變式33．（2023·廣東深圳·高一深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意，是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，由解得，即，所以，所以，所以不等式的解集為.故選：B變式34．（2023·山西朔州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知?jiǎng)t關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的圖象如圖所示，，故選：A.【方法技巧與總結(jié)】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解．題型十：判斷函數(shù)的奇偶性例28．（2023·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┮阎x域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)試判斷的單調(diào)性，并用定義證明；(3)解關(guān)于的不等式.【解析】（1）由定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，可得，即有，即恒成立，所以；（2）由于，可得函數(shù)在上為增函數(shù)．證明：任取，，且，則，因?yàn)?，所以，又，所以，即，所以函?shù)在上為增函數(shù)．（3）由（2）得，奇函數(shù)在上為增函數(shù)，不等式等價(jià)為，即，令，則，所以，解得．即不等式的解集為.例29．（2023·陜西商洛·高一校考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，(1)求值，(2)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以；（2）令，則，因?yàn)?，所以，則，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，不等式，即為，則對(duì)任意的，不等式恒成立，即對(duì)任意的，不等式恒成立，即對(duì)任意的，不等式恒成立，而，所以.例30．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)為奇函數(shù).(1)求的定義域和a的值；(2)證明：是的充要條件；(3)直接寫出的單調(diào)區(qū)間和值域.【解析】（1）由題意，，所以，故的定義域?yàn)?，又為奇函?shù)，所以恒成立，而，故恒成立，所以恒成立，所以，所以；（2）由（1）知，，充分性：當(dāng)時(shí)，，所以，所以；必要性：若，則，所以，所以，即，解得；綜上，是的充要條件.（3），則在和上單調(diào)遞減，證明如下：任取，且，則，由于，，所以，所以在上單調(diào)遞減，同理可證在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以或，所以函?shù)的值域?yàn)?變式35．（2023·福建福州·高一福州三中?？计谀┮阎x在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足.(1)求函數(shù)的值域；(2)若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）依題意知，對(duì)有，聯(lián)立，解得，，，解得，則，故函數(shù)的值域?yàn)?（2）依題意，存在，使得不等式成立，設(shè)，，則，，故存在，使得不等式成立，設(shè)，只需，不妨設(shè)任意，且，，即，在上單調(diào)遞減，同理可證在上單調(diào)遞增，又，故的最大值是，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.變式36．（2023·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為偶函數(shù).(1)求出a的值，并寫出單調(diào)區(qū)間；(2)若存在使得不等式成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)椋?，由偶函?shù)知，解得；即，由對(duì)勾函數(shù)知，當(dāng)時(shí)，即時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即時(shí)函數(shù)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由題意可得，即，令，；解一：，則在上有解，即.若，即，此時(shí)，解得，∴；若，即，此時(shí)，解得，此時(shí)無(wú)解；綜上，；解二：由得，令，則.，所以.解三：由得，令，則，，所以.變式37．（2023·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的值；(2)若是定義在上的偶函數(shù)，且時(shí)，，求的解析式．【解析】（1）（且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，又且∴；（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，則，因是定義在R上的偶函數(shù)，所以，所以，函數(shù)的解析式為．變式38．（2023·山東·高一山東師范大學(xué)附中校考期末）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，其最小正周期為2，若時(shí)，，且滿足.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；(2)請(qǐng)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性（只判斷不證明）.【解析】（1）因?yàn)闀r(shí)，，且，則，解得，有，又函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，有，而函數(shù)的最小正周期為2，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.【方法技巧與總結(jié)】利用奇偶性的性質(zhì)求解．【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·上海·高一專題練習(xí)）若為奇函數(shù)，則（

）A．1 B．0 C． D．【答案】D【解析】由解析式知：函數(shù)定義域?yàn)镽，又為奇函數(shù)，所以，故，由，為奇函數(shù)，滿足題設(shè).所以.故選：D2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，從而，故充分性成立，若，則，但不一定成立，如取，故必要性不成立，所以，“”是“”的充分而不必要條件．故選：A．3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，令，則函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，所以，則.故選：B4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)且與的圖象大致是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】根據(jù)題意，用排除法分析：直線為一次函數(shù)，其圖象為直線，且其斜率為，故排除選項(xiàng)C、D，對(duì)于A，與y軸交點(diǎn)在上方，則，為增函數(shù)，符合題意，對(duì)于B，與y軸交點(diǎn)在下方，則，應(yīng)該為減函數(shù)，不符合題意，故選：A．5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則，因此，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，C正確；對(duì)于D，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則，D錯(cuò)誤.故選：C6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以可化為因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以，所以，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，解得，即的取值范圍是，故選：A7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）對(duì)，用表示中的較大值，記為，若，則的最小值為（

）A． B．0 C．1 D．4【答案】C【解析】易知函數(shù)為單調(diào)遞減，為單調(diào)遞增，兩函數(shù)圖象至多一個(gè)交點(diǎn)，令，解得；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；所以，畫出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，的最小值為1.故選：C8．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)（且），若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為偶函數(shù)，則，因?yàn)?，則，即，所以，所以可以轉(zhuǎn)化為，則，所以，故選：B.二、多選題9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，，則下列敘述中錯(cuò)誤的是（

）A．在上是增函數(shù) B．是奇函數(shù)C．的值域是 D．的值域是【答案】BC【解析】根據(jù)題意知，，在定義域上單調(diào)遞增，且，在上單調(diào)遞增，∴在上是增函數(shù)，故A正確；∵，，∴，，∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；∵，∴，，，∴，即，∴，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BC10．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)镽B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】令，則，對(duì)于選項(xiàng)A：的定義域與的定義域相同，均為R，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，的值域?yàn)椋院瘮?shù)的值域?yàn)?，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C、D：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，在定義域上單調(diào)遞減，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以C不正確，D正確.故選：ABD.11．（2023·寧夏銀川·高一校考期中）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．，且，則恒成立C．D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緼D【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A正確；對(duì)于B，，由于是R上的增函數(shù)，故在R上單調(diào)遞減，則在R上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，且，，則，故，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，則，即，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，且，故，則，故，即的值域?yàn)?，D正確，故選：AD12．（2023·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，則使函數(shù)在區(qū)間上的最大值是14的的值為（

）A． B．4 C．3 D．2【答案】AC【解析】令ax＝t，則y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，當(dāng)a>1時(shí)，因?yàn)閤∈[－1，1]，所以t∈，又函數(shù)y＝(t＋1)2－2在上單調(diào)遞增，所以時(shí)ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(負(fù)值舍去)，當(dāng)0<a<1時(shí)，因?yàn)閤∈[－