6.4.3.3 余弦定理、正弦定理在幾何和生活應(yīng)用舉例-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)《考點•題型•技巧》精講與精練高分突破系列（人教A版2019必修第二冊）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁6.4.3.3余弦定理、正弦定理在幾何和生活應(yīng)用舉例【考點梳理】考點一．幾個專業(yè)術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平寬度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ考點二距離問題類型圖形方法兩點間不可到達(dá)的距離余弦定理兩點間可視不可到達(dá)的距離正弦定理兩個不可到達(dá)的點之間的距離先用正弦定理，再用余弦定理考點三高度問題類型簡圖計算方法底部可達(dá)測得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tanC.底部不可達(dá)點B與C，D共線測得CD＝a及C與∠ADB的度數(shù).先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.點B與C，D不共線測得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度數(shù).在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.【題型歸納】題型一：正、余弦定理判定三角形的形狀問題1．（2022春·廣西柳州·高一）在中，，則三角形的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形 D．等腰三角形2．（2022春·吉林長春·高一長春吉大附中實驗學(xué)校校考期末）在中，角的對邊分別為，已知三個向量，共線，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．鈍角三角形C．有一個角是的直角三角形 D．等腰直角三角形3．（2022·高一課時練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法中錯誤的是（

）A．若，則一定是等邊三角形B．若，則一定是等腰三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是鈍角三角形題型二：求三角形的周長或者邊長最值或范圍問題4．（2022春·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）在中，A，B，C分別為三邊a，b，c所對的角，若，且，則的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．5．（2022春·福建泉州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，且滿足關(guān)系式，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2021春·天津濱海新·高一?？计谥校┰阡J角中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型三：幾何圖形中的計算7．（2022春·四川成都·高一校聯(lián)考期中）如圖，滿足，則（

）A． B． C． D．8．（2021春·重慶九龍坡·高一重慶市育才中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，在平面四邊形中，是等邊三角形，，，，則的面積為（

）A． B． C．14 D．9．（2022·全國·高一）如圖，設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，，且若點是外一點，，則下列說法中錯誤的是（

）A．的內(nèi)角 B．的內(nèi)角C．四邊形面積無最大值 D．四邊形面積的最大值為題型四：求三角形面積最值或者范圍問題10．（2022春·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，則面積的最大值為(

)A．1 B．3 C．2 D．411．（2022春·四川甘孜·高一統(tǒng)考期末）在中，角所對的邊分別為，，，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．12．（2022秋·福建福州·高一福建省福州第一中學(xué)校考期末）我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中獨立提出了一種求三角形面積的方法“三斜求積術(shù)”，即的面積，其中分別為的內(nèi)角的對邊，若，且，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．題型五：測量距離問題13．（2022春·浙江·高一期中）一海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B，C兩點間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里14．（2022·高一單元測試）如圖，某景區(qū)欲在兩山頂A，C之間建纜車，需要測量兩山頂間的距離．已知山高，，在水平面上E處測得山頂A的仰角為30°（B、D、E在同一水平面上），山頂C的仰角為60°，，則兩山頂A，C之間的距離為（

）A． B． C． D．15．（2022春·四川廣安·高一統(tǒng)考期末）如圖，從氣球上測得正前方的河流的兩岸、的俯角分別為、，此時氣球的高是，則河流的寬度約等于（

）．（用四舍五入法將結(jié)果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：，，，，）A． B． C． D．題型六：：測量角度問題16．（2022春·河北保定·高一統(tǒng)考期末）一艘船航行到點處時，測得燈塔與其相距30海里，如圖所示.隨后該船以20海里/小時的速度，沿直線向東南方向航行1小時后到達(dá)點，測得燈塔在其北偏東方向，則（

）A． B． C． D．17．（2022春·河南·高一）某校學(xué)生參加課外實踐活動“測量一土坡的傾斜程度”，在坡腳A處測得，沿土坡向坡頂前進(jìn)后到達(dá)D處，測得．已知旗桿，土坡對于地平面的坡角為，則（

）A． B． C． D．18．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為，向山頂前進(jìn)到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為，若，山坡對于地平面的坡度為，則等于（

）A． B． C． D．題型七：測量高度問題19．（2022·高一課時練習(xí)）為解決我校午餐擁擠問題，高一某班同學(xué)提出創(chuàng)想，計劃修建從翔字樓四樓直達(dá)北院食堂二樓的空中走廊“南開飛云”，現(xiàn)結(jié)合以下設(shè)計草圖提出問題：已知A，D兩點分別代表食堂與翔宇樓出入口，C點為D點正上方一標(biāo)志物，AE對應(yīng)水平面，現(xiàn)測得，設(shè)，則（

）A． B． C． D．20．（2022春·山西長治·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某人在一條水平公路旁的山頂P處測得小車在A處的俯角為30°，該小車在公路上由東向西勻速行駛7.5分鐘后，到達(dá)B處，此時測得俯角為45°.已知此山的高，小車的速度是，則（

）A． B． C． D．21．（2022春·重慶酉陽·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在離地面的熱氣球上，觀察到山頂處的仰角為，在山腳處觀察到山頂處的仰角為60°，若到熱氣球的距離，山的高度，，則（

）A．30° B．25° C．20° D．15°22．（2022春·河南周口·高一校考期末）杭師大附中天文臺是學(xué)校圖書館處的標(biāo)志性建筑.小金同學(xué)為了測量天文臺的高度，選擇附近學(xué)校宿舍樓三樓一陽臺，高為，在它們之間的地面上的點M（B、M、D三點共線）處測得樓頂A、天文臺頂C的仰角分別是和，在陽臺A處測得天文臺頂C的仰角為，假設(shè)和點M在同一平面內(nèi)，則小金可測得學(xué)校天文臺的高度為（

）A． B． C． D．23．（2022春·浙江·高一期中）如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D．現(xiàn)測得，，，在點C測得塔頂A的仰角為，則塔高（

）A． B．C． D．24．（2022春·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）一同學(xué)到東方神話主題樂園游玩時，想用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測量樂園內(nèi)某游樂設(shè)施的高度，選擇點和勇闖玄甲城項目的頂部點C為測量觀測點，從點測得M點的仰角，C點的俯角以及，從C點測得，點A，B，N共水平面，若勇闖玄甲城項目的高，則（

）A． B． C． D．題型八：正、余弦定理在幾何中的綜合性問題25．（2022春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期末）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.(1)求角C；(2)求△ABC的外接圓的半徑R，并求△ABC的周長的取值范圍.26．（2022春·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)校考期末）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝．(1)若，求B；(2)若，求符合條件的k的最小值．27．（2022春·甘肅定西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，角、、所對的邊分別是、、．且．(1)求角的大?。?2)求的取值范圍；(3)若，，為中點，為線段上一點，且滿足．求的值，并求此時的面積．【雙基達(dá)標(biāo)】單選題28．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┠炒髮W(xué)校園內(nèi)有一個“少年湖”，湖的兩側(cè)有一個健身房和一個圖書館，如圖，若設(shè)音樂教室在處，圖書館在處，為測量?兩地之間的距離，甲同學(xué)選定了與?不共線的處，構(gòu)成，以下是測量的數(shù)據(jù)的不同方案：①測量；②測量；③測量；④測量.其中要求能唯一確定?兩地之間距離，甲同學(xué)應(yīng)選擇的方案的序號為（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④29．（2022·全國·高一假期作業(yè)）的內(nèi)角的對邊分別為，則下列說法不正確的是（

）A．若，則B．若，則有兩解C．若為鈍角三角形，則D．若三角形為斜三角形，則30．（2022春·上海普陀·高一曹楊二中?？计谥校┤鐖D所示，我國黃海某處的一個圓形海域上有四個小島，小島與小島、小島相距都為5公里，與小島相距為公里．已知角為鈍角，且．(1)求小島與小島之間的距離；(2)記為，為，求的值．31．（2022春·湖北十堰·高一鄖陽中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別，已知且.(1)求角的大?。?2)若是的中點，，求面積的最大值.【高分突破】一、單選題32．（2022·全國·高一假期作業(yè)）滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世．如圖，若某人在點A測得滕王閣頂端仰角為，此人往滕王閣方向走了42米到達(dá)點B，測得滕王閣頂端的仰角為，則滕王閣的高度最接近于（

）（忽略人的身高）（參考最據(jù)：）A．9米 B．57米 C．54米 D．51米33．（2022春·四川內(nèi)江·高一四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）己知中，其內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的有（

）A．若為等邊三角形且邊長為2，則B．若滿足，則C．若，則D．若，則為銳角三角形34．（2022春·四川德陽·高一四川省德陽中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知輪船和輪船同時從島出發(fā)，船沿北偏東的方向航行，船沿正北方向航行（如圖）．若船的航行速度為，后，船測得船位于船的北偏東的方向上，則此時，兩船相距（

）．A． B．40 C． D．35．（2022·江蘇·高一開學(xué)考試）如圖所示為某學(xué)校的輪廓圖，，其中為教學(xué)區(qū)，，墻長240米，為校門區(qū)域，其中，若要美化校門區(qū)域，決定在墻與上裝飾高檔墻貼，若已知該高檔墻貼僅與墻的長度有關(guān)，則（

）時，美化墻體造價最低（其中）A． B． C． D．36．（2022春·陜西商洛·高一陜西省丹鳳中學(xué)?？计谀τ冢腥缦旅}：①若，則為等腰三角形；②若，則為直角三角形；③若，則為鈍角三角形．其中正確命題的序號是（

）A．①② B．①③ C．③ D．②③37．（2022春·湖北武漢·高一華中師大一附中?？计谀┰阡J角三角形中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊，設(shè)A＝2C，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．38．（2022春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知在中，，且，則該的形狀為（

）[附：]A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形二、多選題39．（2022春·黑龍江·高一哈九中?？计谥校┰谥?，角所對的邊分別為，已知，則下列判斷中正確的是（

）A．若，則 B．若，則該三角形有兩解C．周長有最大值12 D．面積有最小值40．（2022春·廣東深圳·高一校考期中）在中，角所對的邊分別為，下列說法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則為等腰直角三角形C． D．若，則為鈍角三角形41．（2022·高一單元測試）在銳角三角形中，分別是角的對邊，已知，若，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．42．（2022·高一單元測試）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則有兩解C．若為鈍角三角形，則D．若，則面積的最大值為43．（2022春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谀┰谥校茿，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則下列說法正確的有（

）A．B．若，且的面積為，則的最小邊長為2C．若時，是唯一的，則D．若時，周長的范圍為44．（2022春·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中校考期末）銳角△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其外接圓O的半徑，點D在邊BC上，且，則下列判斷正確的是（

）A． B．△BOD為直角三角形C．△ABC周長的取值范圍是（3，9] D．AD的最大值為45．（2022春·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）已知三個內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．面積的最大值為 B．C．周長的最大值為6 D．的取值范圍為三、填空題46．（2022春·上海虹口·高一上海市復(fù)興高級中學(xué)校考期中）在中，設(shè)、、分別是三個內(nèi)角、、所對的邊，，，面積，則內(nèi)角的大小為__．47．（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中）2021年6月，位于聊城開發(fā)區(qū)的中華路徒駭河大橋建成通車，成為聊城市的又一大地標(biāo)性建筑.某人想了解大橋的最高點到地面的距離，在地面上的兩點測得最高點的仰角分別為（點與在地面上的投影O在同一條直線上），又量得米，根據(jù)測量數(shù)據(jù)可得高度______米.48．（2022春·江西九江·高一校聯(lián)考期末）某人在C點測得某直塔在南偏西，塔頂A的仰角為，此人沿南偏東方向前進(jìn)到D，測得塔頂A的仰角為，D，C與塔底O在同一水平面上，則塔高為______________．49．（2022·高一單元測試）如圖，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點．從點測得點的仰角，點的仰角以及；從點測得，已知山高，則山高_(dá)_____．50．（2022春·陜西西安·高一長安一中校考階段練習(xí)）在中，已知角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的形狀為___．51．（2022·高一單元測試）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知的外接圓面積為，且，則的最大值為__________．四、解答題52．（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中）某農(nóng)戶有一個三角形地塊，如圖所示.該農(nóng)戶想要圍出一塊三角形區(qū)域（點在上）用來養(yǎng)一些家禽，經(jīng)專業(yè)測量得到.(1)若，求的長；(2)若，求的周長.53．（2022春·天津·高一校聯(lián)考期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)若，求的值；(2)若，的面積為，求邊a，b的值.54．（2022春·河南周口·高一校考期末）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知.(1)求角的大?。?2)若為銳角三角形，且，，求的面積．55．（2022秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學(xué)校考期末）如圖，直線，點是，之間的一個定點，過點的直線垂直于直線，，（，為常數(shù)），點，分別為，上的動點，已知.設(shè)（），的面積為.(1)若，求梯形的面積；(2)寫出的解析式；(3)求的最小值.【答案詳解】1．A【分析】利用余弦定理化簡題給條件即可得到，進(jìn)而得到的形狀為直角三角形.【詳解】中，，則，整理得，則，則的形狀為直角三角形，故選：A.2．A【分析】由向量共線的坐標(biāo)運算可得，利用正弦定理化邊為角，再展開二倍角公式整理可得，結(jié)合角的范圍求得，同理可得，則答案可求．【詳解】向量，共線，，由正弦定理得：，，則，，，，即．同理可得．形狀為等邊三角形．故選：A．3．B【分析】根據(jù)正余弦定理中，邊角互化即可求解.【詳解】對于A:由正弦定理以及得，因為,所以,故是等邊三角形，故A對，對B:由以及正弦定理得：,由于，因此,或者,即,或者，故為等腰三角形或者直角三角形，故B錯誤，對C:由正弦定理得,由于在中，,因此可得,由于,故,故C正確，對于D:由得，故為鈍角，因此D正確故選：B4．D【分析】根據(jù)已知條件求得，再利用正弦定理將角化邊，將問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題求解即可.【詳解】得，又，所以.在中，由正弦定理得：所以，所以.故當(dāng)，即時，取得最大值故選：D5．D【分析】先由同角三角函數(shù)的關(guān)系及正弦定理、余弦定理得，再根據(jù)條件，利用正弦定理邊化角，可得，進(jìn)而將利用正弦定理邊化角可得，進(jìn)而可得取值范圍.【詳解】,由正弦定理可得，再由余弦定理可得，,.所以在銳角中，，由正弦定理得：所以，所以.因為，所以，所以.故選：D.6．B【分析】利用正弦定理化轉(zhuǎn)化為，根據(jù)三角恒等變換與三角形的內(nèi)角和定理得出A與B的關(guān)系，化，求出它的取值范圍即可.【詳解】解：銳角中，，，，，，，即，若，則，不符合題意舍去；，，，，又，即的取值范圍是故選：B.7．A【分析】先用余弦定理求出，進(jìn)而求出，再使用進(jìn)行求解.【詳解】在三角形BCD中，由余弦定理得：，因為，所以角C為銳角，所以，在三角形ABC中，故選：A8．D【分析】設(shè)，在中，由余弦定理求得，設(shè)，結(jié)合正弦定理求得，得到，進(jìn)而求得的值，利用三角形的面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)，在中，由余弦定理可知，整理可得，解得，設(shè)，由正弦定理知，解得，所以，所以，所以.故選：D.9．C【分析】根據(jù)題設(shè)條件和正弦定理化簡得，求得，得到，可判定A、B正確；由四邊形面積等于，可判定D正確，C錯誤．【詳解】因為，由正弦定理，可得，所以，即，因為，可得，所以，解得，又因為，所以，所以A、B正確；由四邊形面積等于，所以D正確，C錯誤．故選：C.10．C【分析】根據(jù)利用三角恒等變換和正余弦定理得到，再根據(jù)余弦定理和基本不等式可得cosB的范圍，由此得B的范圍，從而得到sinB的最大值，從而根據(jù)可求△ABC面積的最大值．【詳解】，，即，即，則，整理得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，則．故選：C．11．A【分析】利用二倍角公式和正弦定理化簡已知等式可得；利用余弦定理可構(gòu)造等量關(guān)系求得，進(jìn)而得到；利用三角形面積公式，將表示為以為自變量的二次函數(shù)的形式，利用二次函數(shù)最值的求法可求得所求最大值.【詳解】由得：，即，由正弦定理得：；由余弦定理得：，，即，，，，，，，則當(dāng)時，，.故選：A.12．A【分析】先根據(jù)求出關(guān)系，代入面積公式，利用二次函數(shù)的知識求解最值.【詳解】因為，所以，即；由正弦定理可得，所以；當(dāng)時，取到最大值.故選：A.13．C【分析】由題意易得的三個角的大小及邊，再利用正弦定理即可得解.【詳解】解：如圖，作出，由題意可知，海里，，則，因為，所以海里，即B，C兩點間的距離是海里.故選：C.14．B【分析】根據(jù)給定條件，在和中分別求出AE，CE，再利用余弦定理計算作答.【詳解】在中，，，則，在中，，，則，在，由余弦定理得：，即，解得，所以兩山頂A，C之間的距離為．故選：B15．A【分析】本題可先可將題目放置于矩形中，然后通過求出，通過求出，兩者相減，即可得出結(jié)果.【詳解】如圖所示，作矩形，因為從氣球上測得正前方的河流的兩岸、的俯角分別為、，所以，，因為氣球的高是，所以，則，，，，，，，故選：A.16．A【分析】由題意可知的值，利用正弦定理即可求解.【詳解】解：由題意可知，，海里，由正弦定理可得=，代入數(shù)據(jù)得.故選：C.17．D【分析】先在中由正弦定理可得AP，然后表示出PB、AB，利用三角函數(shù)同角關(guān)系表示出，化簡可得.【詳解】在中，由正弦定理可得在中，易知，則整理可得故選：D18．C【分析】在ABC中，由正弦定理得AC＝m，再在ADC中，由正弦定理得解.【詳解】由題知，，，所以，.在ABC中，由正弦定理得，又m，∴AC＝m．在ADC中，，m，由正弦定理得，∴.故選：C.19．C【分析】在中，利用正弦定理求得BC，在中，利用正弦定理求得，然后由求解.【詳解】在中，因為，所以，又，，由正弦定理得：，，在中，因為，，由正弦定理得：，所以，因為，所以，故選：C20．A【解析】可由，算得,由，算得,由行使時間和速度算得，再由余弦定理解出.【詳解】由題意可得，，，，，則，.因為，所以由余弦定理可知，.故選：A.【點睛】解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型．(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等.21．D【解析】首先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，在中，由正弦定理得到，從而得到或，再分類討論即可得到的值.【詳解】在中，，，∴在中，由正弦定理知，解得，∴或120°.當(dāng)時，則，，所以，當(dāng)時，，，.∴.故選：D22．D【分析】由已知求出AM，在三角形ACM中，運用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，計算可得天文臺的高度.【詳解】在直角三角形ABM中，在△ACM中，，故由正弦定理，，故在直角三角形CDM中，，∵∴.故選：D23．A【分析】運用正弦定理和銳角三角函數(shù)定義進(jìn)行求解即可.【詳解】在中，由正弦定理可知：，在直角三角形中，，故選：A24．D【分析】在中,可求得，在中，可求得,再由正弦定理可求得m，在中，根據(jù)即可求得答案.【詳解】解：因為在中，，，所以，，又因為在中，，，所以,由正弦定理可得，所以m,又因為在中，，所以m.故選：D.25．(1)(2)，【分析】（1）由正弦定理結(jié)合和角公式得出角C；（2）由正弦定理得出，由正弦定理的邊化角公式得出，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得出△ABC的周長的取值范圍.(1)由題，因為所以由正弦定理可得即在△ABC中，，且，B，又，所以，則(2)由正弦定理得，所以由（1）知，，所以因為，所以則即△ABC的周長的取值范圍為26．(1)(2)【分析】（1）由三角恒等變換得出，再由，得出；（2）由結(jié)合正弦定理以及得出，令，結(jié)合基本不等式得出的最小值.【詳解】（1），即，，，兩邊平方得，即，,,，;（2）由（1）可得，，則,則，,，由得，設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立即符合條件的k的最小值為27．(1)(2)(3)，的面積為【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理求解即可；（2）根據(jù)（1）可得，得到，再根據(jù)正弦的和差角公式與輔助角公式，根據(jù)角度的范圍求解即可；（3）先根據(jù)直角三角形中的關(guān)系求解得，再設(shè)，推導(dǎo)可得，再根據(jù)求解即可【詳解】（1）由正弦定理及，得，即，化簡得，故．又，故．（2）由（1）知，，故.又，則，，故．（3）∵，∴，∵，為中點，∴，∵，∴，，∴，，設(shè)，則，∴，，∴，在直角中，，∴當(dāng)時，的面積為．28．C【分析】由題意結(jié)合所給的條件確定三角形解的個數(shù)即可確定是否能夠唯一確定A，B兩地之間的距離.【詳解】①測量∠A，∠C，∠B，知道三個角度值，三角形有無數(shù)多組解，不能唯一確定點A，B兩地之間的距離；②測量∠A，∠B，BC，已知兩角及一邊，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一確定點A，B兩地之間的距離；③測量∠A，AC，BC，已知兩邊及其一邊的對角，由正弦定理可知，三角形可能有2個解，不能唯一確定點A，B兩地之間的距離；④測量∠C，AC，BC，已知兩邊及夾角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一確定點A，B兩地之間的距離.綜上可得，一定能唯一確定A，B兩地之間的距離的所有方案的序號是②④.故選：C29．C【分析】由大角對大邊及正弦定理判斷A；由，可得有兩解，從而判斷B；由余弦定理判斷C；由三角形的內(nèi)角和公式、兩角和和正切公式及誘導(dǎo)公式判斷D.【詳解】對于A選項，若，則，由正弦定理可得，所以，，故A選項正確；對于B選項，，則，如圖：所以有兩解，B選項正確；對于C選項，若為鈍角三角形且為鈍角，則，可得，C選項錯誤；對于D，因為，所以因為，所以，所以，所以D正確.故選：C.30．(1)2(2)【分析】(1)在中，利用余弦定理即可求解；(2)在中，先利用正弦定理求出，然后利用兩角和的正弦公式即可求解.【詳解】（1）由題意可知：，，因為角為鈍角，，所以，在中，由余弦定理得，，所以，解得或（舍），所以小島與小島之間的距離為2．（2）在中，由正弦定理，因為，所以，則，因為，所以為銳角，所以，因為，，所以．31．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量共線坐標(biāo)滿足公式列出方程，結(jié)合正弦定理化簡，即可得到結(jié)果；（2）由，結(jié)合向量的模長公式，根據(jù)基本不等式以及三角形的面積公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由且得：，由正弦定理得，又，即；（2）由，得到，則，化簡得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，面積，即面積的最大值為；32．B【分析】設(shè)滕王閣的高度為，由題設(shè)可得，即可求滕王閣的高度.【詳解】設(shè)滕王閣的高度為，由題設(shè)知：，所以，則，又，可得米.故選：B33．B【分析】A.利用平面向量的數(shù)量積定義求解判斷；利用余弦定理判斷B、C；D.由正弦定理將角化邊，再利用余弦定理判斷.【詳解】解：對于A：因為為等邊三角形且邊長為2，所以，故A錯誤；對于B：因為，即，所以，因為，所以，故B正確；對于C：因為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因為，所以，故B錯誤；對于D：因為，即，即，所以，則角為銳角，但角，角不確定，故D錯誤；故選：B34．B【分析】利用正弦定理計算可得.【詳解】解：由圖所示：由題意可知：，，，由正弦定理可知：，所以，所以，即此時，兩船相距；故選：B35．D【分析】設(shè)，由正弦定理表示邊長得，，再由三角恒等變換得，利用三角函數(shù)值域的求法即可求解【詳解】設(shè)，則，因為，所以,又,所以，又，所以，所以，又，所以，又在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有最小值，所以時，有最小值，此時造價最低，故選：D36．C【分析】對于①，由可得為等腰三角形或直角三角形,故錯誤；對于②，取特殊角驗證即可；對于③，由可得，，即，再由余弦定理判斷<0即可判斷．【詳解】解:對于①，由可得或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，故錯誤；對于②，取，滿足，但不是直角三角形，故錯誤；對于③，由可得，，所以，即，所以，所以，所以為鈍角三角形，故正確.故選：C.37．A【分析】由正弦定理把邊化角，再用三角恒等變換化簡，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，即可求解【詳解】由正弦定理可得又因為三角形是銳角三角形，所以，即，也即,所以，所以，，，，所以的取值范圍是，故選：A38．D【分析】利用已知邊長關(guān)系式可整理求得，進(jìn)而得到；由，結(jié)合兩角和差正弦公式化簡已知角的關(guān)系式，可得到，從而得到；由此可得形狀.【詳解】由得：，，即，，又，；由得：，即，，，，，，，即，為等邊三角形.故選：D.39．ABC【分析】對于ABC，根據(jù)正，余弦定理，基本不等式，即可解決；對于D，由正弦定理得，根據(jù)三角恒等變換解決即可.【詳解】對于A，，，由正弦定理得所以，故A正確；對于B，由正弦定理得得，所以，因為有兩個解，所以該三角形有兩解，故B正確；對于C，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時三角形周長最大為等邊三角形，周長為12，故C對；對于D，由得,故由于，無最小值，所以面積無最小值，有最大值為，故D錯誤.故選：ABC40．ACD【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理和三角形的面積公式，比例的等比性質(zhì)的應(yīng)用判斷結(jié)論.【詳解】對于A，若，所以，利用正弦定理可得，所以，故A正確；對于B，由于，利用正弦定理可得，整理得，即，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C，由正弦定理，所以，故C正確；對于D，由于，所以，因為，所以中必有一個鈍角，故為鈍角三角形，故D正確.故選：ACD.41．AB【分析】利用正弦定理與余弦定理化簡等式，即可求出，結(jié)合為銳角三角形，即可得出，，利用正弦定理易知，結(jié)合由此即可求出的取值范圍.【詳解】由正弦定理及已知可得，由余弦定理可得，因為，所以，所以．故．因為，，所以，所以所以，所以．因為，，所以．故選：AB．42．ABD【分析】由正弦定理可判斷A；由可判斷B；由大邊對大角結(jié)合余弦定理可判斷C；由余弦定理與基本不等式可判斷D.【詳解】對于A選項，若，則，由正弦定理可得，所以，故A正確；對于B選項，，則，所以有兩解，故B正確；對于C選項，當(dāng)為鈍角三角形，且C為鈍角時，，可得，若C不為鈍角，則得不到，故C錯誤；對于D選項，由余弦定理與基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，故D正確．故選：ABD.43．ABD【分析】根據(jù)題干已知等式，利用正弦定理、三角和差公式可解得，再根據(jù)各個選項的條件逐一求解即可.【詳解】對于選項A：已知等式利用正弦定理化簡得：，整理得：，即。，則，故A選項正確；對于選項B：因為，且的面積為，則由正弦定理得，而又，解得，所以，而，由余弦定理得：,則，所以三角形中邊長為最小邊，，故B選項正確；對于選項C：當(dāng)時，而又，由正弦定理，即，唯一，，故C選項錯誤;對于選項D：，，則有即，而，所以周長的范圍為，故D選項正確.故選：ABD.44．ABD【分析】由正弦定理可判斷A；在中利用余弦定理求，再在中，由余弦定理得OD，然后由勾股定理可判斷B；利用正弦定理將△ABC周長轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，然后求值域可判斷C；數(shù)形結(jié)合可判斷D.【詳解】由題知，，由正弦定理可得，又△ABC為銳角三角形，所以，A正確；連接OC，在中由余弦定理可得，又，所以，在中，由余弦定理得，所以，即，故B正確；△ABC周長因為△ABC為銳角三角形，故，所以，所以，所以，所以，故C錯誤；易知，當(dāng)A、O、D三點共線時取得最大值，所以AD的最大值為，D正確.故選：ABD45．AC【分析】A選項，利用余弦定理和基本不等式求解面積的最大值；B選項，利用余弦定理計算可判斷；C選項，利用余弦定理和基本不等式求解周長的最大值；D選項，用進(jìn)行變換得到，結(jié)合A的取值范圍得到的取值范圍.【詳解】解：對于A，由余弦定理得：，解得：，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所