七種數(shù)列數(shù)學(xué)思想方法-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義與練習(xí)（新高考）解析版

重難點(diǎn)08七種數(shù)列數(shù)學(xué)思想方法（核心考點(diǎn)講與練）

能力拓展

:函數(shù)與方程思想

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛6,｝滿足：8<6<9,lnq,=√ξ7-±=,則（）

A.〃3<〃4，。2019<1B.《(%,々2019)1

ɑ.。3>04,”2019<?D.。3>“4,”2019>?

【答案】D

［分析］根據(jù)題意設(shè)/(?)=4-A-InX(X>0)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出4-%≥lnx在

［1,+8）上恒成立，作出圖象，結(jié)合圖象即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意知，

設(shè)/（x）=Tx-N-InX（X>0）,

貝IJf?x?)=-L=+-L^-L=尸2年1=(?￥≥0,

2yjx2x7XX2x7X2x7X

所以函數(shù)fM在O+⑹上單調(diào)遞增，

又/⑴=0,所以/（X）=石-白-InX≥0在［l,+8）上恒成立,

即4-≥InX在［1,+8）上恒成立，

畫出函數(shù)1=2和y=lnx的圖象，如圖，

-V

由圖象可得，4>?>Λ3>???>?0,9>???>1,

故選：D.

2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若數(shù)列｛q｝滿足q=“，?tl=sinf∣?J（∏eN*）,記數(shù)列｛4,,｝的前〃項(xiàng)和為

S“，則()

A.α∈(l,2)時(shí)，血｝是遞減數(shù)列B.q∈(-2,T)時(shí),｛%｝是遞增數(shù)列

C.ae?,?∣?,26Z202,<2ΛI(xiàn)+S2021D.“=時(shí)，S202l>-2019

【答案】C

【分析】設(shè)MX)=SinOX,根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出當(dāng)xe(0,l)時(shí)，MX)=Sin生>>0成立，從而可判斷選

項(xiàng)A；當(dāng)Xe(T,0)時(shí)，∕z(Λ-)=sinfyX^-x<O,由此可判斷選項(xiàng)B；結(jié)合蛛網(wǎng)圖可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)α=-g

時(shí)，數(shù)列｛〃,,｝單調(diào)遞減，同時(shí)結(jié)合C中結(jié)論可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】設(shè)/(x)=Sincg(X)=x,MX)=SinoX,則∕√(x)=]COSo1,

若xe(O,l),則∣?xw(θ,∣?),所以存在%,使所以“(x0)=/CoSCXO)-I=O,

2

,,,π,22.(π?√π--422c

此口'J玉)=_arccos-,Λ(x0)=sιn—x0-AO=----------------arccos—>0?

式π?2J4ππ

又Λ(0)=A(I)=O,所以〃(X)=Sinx]-％>O,gpsin^yxj>x,

當(dāng)“e(l,2)時(shí)，乃)，a2=sin^?ɑ?∈(0,1),

所以“≥2時(shí)，凡+|=SinC>。“，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

易知函數(shù)九(X)=Sind-X是奇函數(shù)，因?yàn)閤e(O,l)時(shí)?，6(x)=Sinc-x>0,

所以xe(T,θ)時(shí)，MX)=Sin(IX)-X<0,即sin(/X)Cx,

當(dāng)α∈(-2,-l)時(shí)，一肛一5｝電=sin(^?α∣)e(-1,0),

所以“≥2時(shí)，?+1=SinfydJ<??,所需選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

要證2〃2022—24+?021,只需證2出022一2%≤Sa[,

即i止2[(。2022-。2021)+(。2021一。2020)+…+(生—4)]44+%+…+k^2021

即只需證2%M-2%≤4,

一M+∣,3

所以只需證---≤T,

%2

k

山匕(4,4+J結(jié)合蛛網(wǎng)圖，可得到自外>op2>->^

1

所以如≤生≤]=I,所以選項(xiàng)C正確:

%?212

因?yàn)樗詘c(-1,0)時(shí)，∕z(Λ?)=sin^yX^-Λ<0,即Sin(IX)<x,

當(dāng)α=-g時(shí)，"e=sin(∣^)<q,,所以數(shù)列｛α,J單調(diào)遞減，

且當(dāng)”-8時(shí)，?→-l,同時(shí)結(jié)合C中結(jié)論可推出選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選C

3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛q｝的前“項(xiàng)和為S,,,若?是公差為d(J≥l)的等差數(shù)列，

則()

aa

A.tz1≤tz2B.q≥/C.a｝a2≤α3a4D.4%N34

【答案】D

【分析】由已知可得S“=[l+(〃-l)d]a,,對(duì)于AB,令〃=2,可得q==da2f即幺=d≥l,由于正負(fù)

。2

不確定,無法比較大小;對(duì)于CD,令〃=3,可得4+4=2㈣，即a3="!/,令"=4,可得4+α2+<?=3d4,

即包=(2"1號(hào)+1)%,作差法比較進(jìn)而得到選項(xiàng).

6a

'c1s

【詳解】Q」是公差為d(d≥l)的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為」二1

S

?'?=l+(∏-l)t/,即Sn=[1+(H-l)6f]an

對(duì)于AB,當(dāng)〃=2時(shí)，S2=al+a2=(l+√)?,整理得：ax=da2t即，=d≥?

當(dāng)q,4>0時(shí)，al≥a2?當(dāng)4,4<0時(shí)，qW°2；故AB錯(cuò)誤；

對(duì)于當(dāng)〃時(shí),S=a+a+a整理得：

CD,=33l23=(l+2J)03,α1÷α2=Ia3,又《=血，

J+1

(√+l)tz=2cla,/.aa

233--2-d-22

當(dāng)九二4時(shí)，54=^1+?+a3+a4=(l+3(√)?,整理得：al+a2+a3=3da41即

2d+Td+1(2t∕+1)(J+1)

（2"1）4=3血，「.％

3d.玄4-6J2

d+1(2d+l)(d+1)2(2d+l)("l)2

/.aa-aa=da；-------------------------------；------------a：

λ2342d6d2?2dj2

2J3+5√2+4J+l

dj---------------；--------

?2di

顯然∕3）=*I?+J+I?為減函數(shù)'

且f(d)3=f(l)=l,

≥o,即4/24%,故D正確;

故選：D

4.（2021.浙江?高三階段練習(xí)）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列｛q｝滿足4="（">2）,

""’"'+"向=-，+&，（〃€N*）,給出下列三個(gè)結(jié)論：①若左=1,則數(shù)列｛%｝僅有有限項(xiàng)；②若&=2,則數(shù)

2

列｛%｝單調(diào)遞增；③若k=2,則對(duì)任意的M>0,睹存在%∈N*,使得臺(tái)>M成立.則上述結(jié)論中正確

rtO

的為（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】A

【分析】對(duì)于①，利用數(shù)列的單調(diào)性，通過累加法即可作出判斷；對(duì)于②，先證明4,>2,再借助作差法即

可得到結(jié)果；對(duì)于③，判斷數(shù)列是有界的還是發(fā)散的即可.

eaγα+aaa-

【詳解】對(duì)于①，V~^÷n+l=一^~∏9?n+l-n=--^

%an

又?jǐn)?shù)列｛4｝各項(xiàng)都為正數(shù)，???〃川-%<0，

；?數(shù)列｛〃〃｝單調(diào)遞減，.?.。<4〃+1<??4，.**-----≤-----；

a∣ιa?

V?-磯<〃〃一,即</一'

4an4

：.arl-aλ=(4-%τ)+(4τ-*)++(?-6f1)

%*ɑi44卬%

n-?八n-1

an-aλ<--------,gpO<an<%------,

alal

〃一1

.?.O<α∣--------,即“<α∣2+l=∕+l,而a?+i為定值，

%

數(shù)列｛《,｝僅有有限項(xiàng)，命題正確；

對(duì)于②，先用數(shù)學(xué)歸納法證明%>2.

(I)當(dāng)”=1時(shí)，q=4>2,顯然成立；

(2)假設(shè)〃=Z時(shí)，?>2,

17

貝IJef+磯=——+2ak>-,

ak2

記/(x)=e-*+x,(x>0),

//(x)=l-e-χ>0,.?.∕(x)=H*+X在(0,+向上單調(diào)遞增，

7

2

/(2)=e-+2<-<∕(?+l),

?*?ak+?>2,

；?對(duì)FnWN*，都有%>2.

???〃用>0,.,?…e(o,l),

1,a,11

:?八一冊(cè)=，----eZ>all---------1,

ana∏

又)，=2x—]-1在(2,w)上單調(diào)遞增，

乂《，>2，4,+∣-q,>2-g-1=；>°，

，數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，命題正確；

對(duì)于③，

a

?.?e-'+a,,^=--+2an,

a,1

a

:.?÷1=--+2aιl-e-"''>2an---?,即an+l>2a,,---],

13

又?！?gt;2,Jα〃+1>一2-1=2an--,

-)

__?_____

顯然(3)c，I存在上界，即一存在上界，

[a'-2Γa"

二命題錯(cuò)誤.

故選：A

1

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：遞推關(guān)系"儂+。向=-一+3“("wNφ)顯然無法確定通項(xiàng)，從而要從項(xiàng)間關(guān)系切入，

a”

利用單調(diào)性、最值、周期性等，結(jié)合放縮思想即可得到結(jié)果.

二、多選題

5.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)S“是公差為d("≠O)的無窮等差數(shù)列｛α,,｝的前〃項(xiàng)和，則下列命題正確的是

()

A.若d<0,則數(shù)列｛S,,｝有最大項(xiàng)

B.若數(shù)列｛S,,｝有最大項(xiàng)，則“<0

C.若數(shù)列對(duì)任意的N*,5向>5“恒成立，則5“>0

D.若對(duì)任意的〃eN”,均有5“>0,貝”向>S,,恒成立

【答案】ABD

【分析】由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可得5“=日川+,-力”，可看作S,關(guān)于"的二次函數(shù)且〃§N*,對(duì)于

選項(xiàng)A和8,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷E誤；對(duì)于選項(xiàng)C,舉出反例S/T=〃2-2”，即可判斷正誤；對(duì)

于選項(xiàng)￡>,由S.>0并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可得出4>0,d>0,即可判斷正誤，從而得出答案.

【詳解】解：由于等差數(shù)列前"項(xiàng)和公式5“=㈣+與為=#+、-介，

對(duì)于選項(xiàng)A,若4>0,則S,,有最大值，則數(shù)列｛"｝有最大項(xiàng)，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)8,當(dāng)數(shù)列｛S〃｝有最大項(xiàng)，則S〃對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)有最大值時(shí)，可知d<0,故選項(xiàng)3正確：

對(duì)于選項(xiàng)C,令邑=〃2一2〃，對(duì)任意的"∈N",則數(shù)列｛S〃｝遞增，滿足Sτ>S“恒成立，但Sl=T<0,故

選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。，若對(duì)任意的N*,均有5,>0,則q>0,1>0,則｛S,,｝必為遞增數(shù)列，故選項(xiàng)。正確.

綜上可知，正確的命題是ABD.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式的應(yīng)用，5,,=陷|+當(dāng)也4=g〃2+（4-弓〉（“€曰），可看成

S“關(guān)于〃的：次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題，考查邏輯推理能力和函數(shù)思想.

6.（2020?全國(guó)?高三專題練習(xí)）等差數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)的和為a，公差d>0,4和歿是函數(shù)

"x）ClnX+*-8X的極值點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

42

A.Sit=-38B.?i=-7C.?i=-17D.as??

【答案】ACD

【解析】首先根據(jù)&和4是函數(shù)"x）=3nx+gχ2-8x的極值點(diǎn)，可以計(jì)算出數(shù)列的公差以及首項(xiàng)即可得出

答案

【詳解】由題得03J5“（”-；）（A萬），令f（χ）=onχ,=:,χ,=?,乂因?yàn)楣頳>0,

4xXX乙乙

「1

q+5d——

所以所以3經(jīng)計(jì)算，4=T7.所以58=8（"；&）=_38

乙乙■?J乙

a.+ld=—

I12

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了極值點(diǎn)以及等差數(shù)列的通項(xiàng)式和前“項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題。

三、填空題

7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知：”>1,6,%，％，，%為整數(shù)且

al+a2+a3++an=al-a2aian=2013,則”的最小值為.

【答案】5

【分析】根據(jù)題意，由小到大代入整數(shù)〃的值驗(yàn)證得出答案.

【詳解】根據(jù)題意，n≥2,〃eN*.

〃=2時(shí)，題中等式化簡(jiǎn)為q+%=4a2=2013

所以4，的可看成是方程r-2013x+2013=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解

而方程的判別式為?=20132-4x2013=3x2013,顯然方程的判別式為開不盡的數(shù)

所以上述方程無整數(shù)解，即〃=2不符合題意；

〃=3時(shí)，題中等式化為％+〃2+〃3=a?*a2'a3=2013

根據(jù)題意，可設(shè)4≤4≤%,且為整數(shù)，又2013=3x671=3x11x61

tz+a=2013-a≤-2

1234≥2015

①q,%同時(shí)為負(fù)整數(shù)時(shí)，zJ二2013二]此時(shí)得

出≤2013

?3

顯然不存在滿足題目條件的的,即4，%同時(shí)為負(fù)整數(shù)時(shí)不符合題意；

4+%=2013-％22

②4,%同時(shí)為正數(shù)時(shí)，,a*=型得^≤2011)

此時(shí)4≤671,顯然不滿足條件；

③q,%g三個(gè)數(shù)中有一個(gè)為O時(shí),情況與〃=2相同

所以〃=3時(shí)，不符合題意：

〃=4時(shí)，同上可設(shè)4≤%≤%4%由2013=3x671知,

當(dāng)%%均為整數(shù)時(shí)，％≤671,顯然不符合題意

[a,+a.=2015

當(dāng)4，%嗎，4存在負(fù)數(shù)時(shí)，q=%=T,此時(shí)有1小。

[a3?a4=2013

同〃=2時(shí)的分析方法，不存在符合條件的a3,α4.

所以，〃=4不符合題意；

〃=5時(shí)，取4=〃2=-L%=g=∣g=2013,此時(shí)滿足題中條件

所以滿足條件的〃的最小值為5.

故答案為：5.

8.(2022?浙江?龍港中學(xué)高三階段練習(xí))等差數(shù)列｛%｝滿足(4,+4)+4d2=ι(zj≥2,aeN),貝IJa“+%的

取值范圍是.

【答案】f-√2,√21

【分析】由題設(shè)可得-g<4<g,令f=α,,+∕M則r-2d=a,,+α,,τ,可得產(chǎn)―4%+8才=1，將問題轉(zhuǎn)化為

/(x)=8χ2-4"+產(chǎn)7在Xe(C)上有解，利用二次函數(shù)性質(zhì)求f范圍即可.

【詳解】由題設(shè)，(α,,+αa)2=l-4d2=(l-24)(l+2d)≥0,即-J≤d≤g,

當(dāng)d=±；時(shí)，｛%｝為常數(shù)列，顯然有矛盾，故-g<d<g,

令f=α,,+α,,+∣,則f-2"=α,+α,τ,

所以(4,+??_,)2+4J2=Q—2d)?+4/-t2-4df+8d2=1,

令/(x)=8f-4∕x+∕2-l,則/(x)在X€(-；,；)[：有解，

又/O)開口向上且對(duì)稱軸為X=J,?=16/2-32(/2-1)=32-16產(chǎn)，

當(dāng)r=2,即f=±0時(shí)，工=±立滿足要求：

4422

當(dāng)-夜<f<√∑時(shí)，i∈(-^-,??(-l,1),又/(3=(r-l)2>o,γ?(-3=(f+i)2>o,滿足要求；

綜上，r=?÷?+1∈f-√2,√2].

故答案為：[-后,&]

9.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))在數(shù)列｛4｝中，a,=l,?=??_,+?(?>2,?∈N*).若不等式3>需對(duì)任意

的〃eN*恒成立，則實(shí)數(shù)彳的取值范圍是.

【答案】[2,E)

【分析】由已知得4-α,ι=”,運(yùn)用累加法求得4=叫上D，代入不等式，由恒成立思想可得答案.

2

【詳解】解：：“22時(shí)，a,,=。,-+”,即q-q1τ=",

?'?an=(a,,~a,,-l)+(a,,-l~%-2)++(%-4)+%

/、n(n+?]

=ZZ+(〃-1)+…+2+1=—?

又"=1時(shí)，4=1也符合上式，，4=皿的.

2

八2

λλ,Λ+1..4>?

不A等Mr-式4λL弱化u為1+Q√

--------Z—<2

V,I2,ΛΛ≥2.

故答案為：［2,+∞).

10.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))某新學(xué)校高一、高二、高三共有學(xué)生1900名，為了了解同學(xué)們對(duì)學(xué)校關(guān)于

對(duì)手機(jī)管理的意見，計(jì)劃采用分層抽樣的方法，從這1900名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本容量為38的樣本，若從

高一、高二、高三抽取的人數(shù)恰好組成一個(gè)以I為公比的等比數(shù)列，則此學(xué)校高一年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為

人.

【答案】900

【分析】假設(shè)高一、高二、高三抽取人數(shù)分別為3;x,x2,(x,根據(jù)抽取的容量可得X,然后簡(jiǎn)單計(jì)算，即可

得到高一人數(shù).

【詳解】因?yàn)楦咭?、高二、高三抽取的人?shù)恰好組成一個(gè)以w為公比的等比數(shù)列

設(shè)從高二年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為X人，

則從高二、高三年級(jí)抽取的人數(shù)分別為q3χ,(2χ.

323

由題意可得Gx+x+§x=38，所以X=I2,..?.1x=18

OO1Q

設(shè)我校高一年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為M再根據(jù)會(huì)=?,

1900N

求得N=900.

故答案為：900

【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的應(yīng)用，熟悉分層抽樣的概念以及基本量的計(jì)算是解題關(guān)鍵.

四、解答題

IL(2022?河北?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛《｝的前”項(xiàng)和為S“，且25“一1=〃(24+4-3).

(1)求數(shù)列｛《｝的通項(xiàng)公式：

(2)設(shè)?,=?”,求數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng).

【答案】⑴⑵=%8=今

【分析】(1)先令〃=1,"=2求出4，%，然后利用S,,-ET=%，代入便可求的通項(xiàng)公式.

(2)求導(dǎo)后分析單調(diào)性，便可知數(shù)列的最值.

⑴解：由題意得：

25“—〃-=〃(26?]+CLy_3)

2

2S1-I=2a]-1=26+tz2—3J6r2=2

2S?—2~=2(q+%)-4=2(2q+1—3)]q=l

2

/.2Stl=n+n

當(dāng))=1時(shí),￡=q=1

當(dāng)九≥2時(shí),2(S〃—SztT)=2々〃=〃2+〃_(〃_1)2_(〃-1)=2〃，解得〃〃=〃

故數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式〃“=〃

,__,Ci-1132〃—113

(2)由(1x)可r知：c??7?-=?3，

設(shè)函數(shù)/(χ)=a?^113?=在/

,?.、2x3"—(2H3)x3'ln32-2xln3+l131n3

m則lf。)=二—

令，(X)=O,解得XO=孚+J7,可知/e(57,58)

當(dāng)Xe(O,x°)時(shí)，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)"€(%,+∞)時(shí)，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

c"=%"3=與”可以看成函數(shù)/(x)取正整數(shù)時(shí)的離散的點(diǎn).

因?yàn)椤檎麛?shù)，故〃=57或〃=58,有C57=c?i為數(shù)列的最大值.

故數(shù)列｛c,,｝的最大項(xiàng)為：%=%=｝

I2?(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))等比數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S.，已知對(duì)任意的"∈M,點(diǎn)(〃,S“)，均在函數(shù)

y=bx+r(b>0Scb≠],b,『均為常數(shù))的圖象上.

⑴求「的值；

⑵當(dāng)b=2時(shí)，記2=詈(〃€*)，求數(shù)列｛〃,｝的前〃項(xiàng)和T.；

(3)由(2),是否存在最小的整數(shù)m,使得對(duì)于任意的〃eN*,均有3-2],<為，若存在，求出m的值，若

不存在，說明理由.

【答案】⑴，=-1.⑵∣?-?^^?⑶存在，m=41.

【分析】（1）山已知得S,,=∕+r,由"=1,"N2求得4,4,,再根據(jù)等比數(shù)列的定義可求得答案;

（2）由（1）求得數(shù)列也J,再運(yùn)用錯(cuò)位相減法求得答案；

（3）運(yùn)用作差法判斷出數(shù)列的單調(diào)性，由此可得答案.

（1）W：因?yàn)閷?duì)任意的wwN*,點(diǎn)（〃,S“），均在函數(shù)y="+r（b＞O且bxl,b,r均為常數(shù)）的圖象上，所

以得Sz,=b"+r,

當(dāng)〃=1時(shí)，4=S1=b+r,

當(dāng)〃..2時(shí)，??=5?-S,-=b',+r-(b"-'+r)=(b-?)bn-',

又因?yàn)椋?｝為等比數(shù)列，.??公比為b,所以詈=$￥=%，解得r=τ,首項(xiàng)q=/7-1,

??q=(6T*τ；

..n+↑n+1n+1

n

(2)解：當(dāng)8=2時(shí)，an=2^',或=五一=EH=FT，

-234n+?1234n+?

貝“十二中+方+夢(mèng)+…+聲''5*=萬+齊+無+.??+產(chǎn)'

I

兩式相減'得TI=堤+/+泉+…+擊-需=g+二〃+131〃+1

2"+2-7Γzi

144T^2^

31/2+13n+3

2^^27^r7r-2^2π+,

〃+3m〃+3mr,丁“》,,

（3）解：若3-27；＜養(yǎng)使得對(duì)于任意的“eN*,都成立，,3-0-＜不，即rlrι方「＜方對(duì)于任息的"N，

NU乙NU

都成立,

n÷1)+3〃+3_-〃-2

又<0,

2〃2"+ι

??.竽的最大值在〃=1時(shí)取得，最大值為2,

點(diǎn)＞2,m＞40,所以存在這樣的加=41符合題意.

題型二：數(shù)形結(jié)合思想

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）記S,為數(shù)列｛”“｝的前項(xiàng)和，己知點(diǎn)（",《,）在直線y=IO-2x上，若有且只有

兩個(gè)正整數(shù)〃滿足s.2k,則實(shí)數(shù)上的取值范圍是()

A.(8,14]B.(14,18]

Q1

C.(18,20]D.(18,—]

4

【答案】C

【解析】由已知可得數(shù)列｛4“｝為等差數(shù)列,首項(xiàng)為8,公差為-2,由等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式可得S.=-/+9〃，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得〃=4或5時(shí)，S”取得最大值為20,根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求得

Z的取值范圍.

【詳解】解：由已知可得4=10-2”,

由α.-∕τ=-2,所以數(shù)列｛α,,｝為等差數(shù)列，首項(xiàng)為8,公差為-2,

所以S“=8〃+X(-2)=一"+9〃，

當(dāng)〃=4或5時(shí)，S11取得最大值為20,

因?yàn)橛星抑挥袃蓚€(gè)正整數(shù)〃滿足S,,≥k,

所以滿足條件的〃=4和〃=5,

因?yàn)镾3=E=18,

所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是(18,20].

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：最值范圍問題常用的方法有：(1)函數(shù)單調(diào)性法；(2)數(shù)形結(jié)合法；(3)導(dǎo)數(shù)法；(4)

基本不等式法.要根據(jù)已知靈活選擇合適的方法求解.

2.(2020?黑龍江?牡丹江一中高三階段練習(xí)(理))定義max｛a,。｝=1'"?',若函數(shù)

，J?b,a<b

/(x)=max｛-χ2+2,χ-4｝,數(shù)列｛%｝滿足的=〃％)(〃eN*),若｛αz,｝是等差數(shù)列，則4的取值范圍是()

A.｛-2,1｝B.(―∞,-3]∣j[2,+∞)

C.(F,-3]∣｛-2,1｝D.(7,—3][2,^)∣｛-2,1｝

【答案】C

【解析】求得/(x)的解析式，根據(jù)｛4｝是等差數(shù)列，取得4的取值范圍.

產(chǎn)一二+2解得「或

【詳解】由于定義max｛α,b｝=而函數(shù)/(幻=0m｛-』+2?-4｝,由,

y=x-4

fx=2

jy=-2畫出3=-爐+2,丁=%-4的圖像如下圖所示,

X-4?,X≤—3

由圖可知/(x)=,-/+2,-3<X<2.

x-4,x≥2

由于數(shù)列｛q｝滿足("cN*),且｛4｝是等差數(shù)列.當(dāng)4≤-3時(shí)，?=/(?,)=?,-4≤-7,

α,=∕(α2)=?-4≤-ll............推辭類推，數(shù)列｛5｝是首項(xiàng)為4,公差為T的等差數(shù)列，符合題意.

當(dāng)-3<%<2時(shí)，-7<-d+2<2,要使｛%｝是公差為Y的等差數(shù)列，則需-d+2-q=-4,解得

4=-3或q=2不符合.由-￡+2=χ,解得x=-2或x=l.則當(dāng)q=-2時(shí)，q=-2為常數(shù)歹ij；當(dāng)q=1時(shí)，an=1

為常數(shù)列.此時(shí)｛α,,｝為等差數(shù)列.

當(dāng)q22時(shí)，由于色=4-42-2,故｛《,｝不能構(gòu)成公差為Y的等差數(shù)列，也不是常數(shù)列，不符合題意.

綜上所述，4的取值范圍是(9,-3],｛-2,1｝

故選：C

【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)解析式的求法，考查等差數(shù)列的知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題.

二、填空題

3.(2020?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知max｛a,。｝=[：'?-“',?(?)=max?ln?-/?-?x2-∕x-el(e為自然對(duì)

?b,b>aI2J

數(shù)的底數(shù))，若/(x)≥-2在xw[l,e]上恒成立，則實(shí)數(shù)r的取值范圍為.

(2?[e

【r合案】-8,---

IeJ

[^??τ]^?^(?y)=max∣ln-^-p?^2-^,則.f(x)N-2在xe[l,e]上恒成立等價(jià)于g(x)2fx—2在x∈[l,e]上

恒成立，在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=lnx-g,y=/_e,y=g(x)的圖像，結(jié)合圖像，進(jìn)而可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)g(x)=max,nx-J,χ2-e1,

則人力N-2在X∈[1,e]上恒成立等價(jià)于g(x)N枕一2在X∈[1,e]上恒成立，

在直角坐標(biāo)系中分別畫出y=∣nx-g,y=χ2-e的圖象，

函數(shù)y=lnx-g與y=χ2-e都過點(diǎn)A(G,0),

又當(dāng)X=e時(shí)，函數(shù)J=W-e與函數(shù)X=e相交于C(e,/-e),

當(dāng)X=I時(shí)，函數(shù)y=lnx-；與函數(shù)χ=l相交于點(diǎn)O(I

根據(jù)條件得＞=g*)圖象如下圖所示，

顯然函數(shù)y=rχ-2,過定點(diǎn)3(0,-2),

由圖象易得，當(dāng)fe[l,e]時(shí)，將函數(shù)y=a-2旋轉(zhuǎn)到過點(diǎn)A時(shí)，函數(shù)y=rx-2的斜率為％α=型，

e

所以f≤2叵時(shí)，/SR-2在χ∈[l,e]上恒成立，

e

【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的問題，考查數(shù)形結(jié)合的思想，熟記分段函數(shù)的性質(zhì)等即可，屬于?？碱}

型.

4.(2020.山西長(zhǎng)治?高三階段練習(xí)(理))定義R在上的函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，并且其圖象關(guān)于x=l對(duì)稱；

當(dāng)x∈(0,1］時(shí),f(x)=9X-3.若數(shù)列｛“"｝滿足an=f｛log?(64+n))(n∈W)；若n<50時(shí)，當(dāng)Sn=a∣+a2+...+an

取的最大值時(shí)，∏=.

【答案】26

【解析】先山函數(shù)/(x)的奇偶性和對(duì)稱性求得函數(shù)的周期,再根據(jù)函數(shù)的值域及對(duì)數(shù)運(yùn)算求得q>0及

an<0時(shí)"的取值范圍,即可求得4+4+%+…+4取得最大值時(shí)”的值.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù),所以/(T)=-/6),

又因?yàn)槠鋱D象關(guān)于直線X=I對(duì)稱，

所以"Jx)="l+x),即/(τ)=∕(2+x),

所以〃2+x)=-∕(x),可得/(x+4)f(x+2)"(x)

即函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

因?yàn)楫?dāng)Xe(0,1］時(shí)，/(x)=9x-3,

所以/(；)=9二3=0,

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)=9'-3為(0,1］上的增函數(shù)，

所以當(dāng)xw(θ,g)時(shí),J?(χ)<O,當(dāng)xe(g,l時(shí),/(x)>0,

作出函數(shù)/(x)在(-2,2)上的圖象如圖所示:

13is

x∈,)時(shí)，/(x)<0.

22

因?yàn)?≤〃≤50,〃∈N',

所以6Vlog2(64+〃)<log2∣14<7.

1O

而當(dāng)6VI0g2(64+〃)<—=Iog2MyflB't∕∕∏>O

即當(dāng)64<64+n<64√2≈90.496,πn>0

.?.∕7≤26時(shí)，an>0.

當(dāng)27S"W50時(shí)，TVlOg2(64+〃)Vk>g2l14V7,此時(shí)助V0,

?*.當(dāng)幾=26時(shí),S〃=a/+〃2+...+〃〃取的最大值.

故答案為:26

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性、圖象的對(duì)稱性、函數(shù)的周期性，對(duì)數(shù)的運(yùn)算及數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題;

考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、抽象概括能力、分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想；屬于綜合型、難度大型試題.

題型三：分類與整合思想

一、單選題

1.(2022?北京?北大附中高三開學(xué)考試)在等比數(shù)列｛4｝中，4=-9,%=T記T11=a,a,a5...a2,,.l(rt=l,2,

則數(shù)列億｝()

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

【答案】A

【分析】根據(jù)題意易求得等比數(shù)列｛4｝的公比0，設(shè)數(shù)列也｝為等比數(shù)列｛q｝的奇數(shù)項(xiàng)《，生，%，…。a

Cn=i,2,...),則數(shù)列也“｝是以4為首項(xiàng)，不為公比的等比數(shù)列，再分奇偶討論數(shù)列｛1｝的項(xiàng)，即可得

出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列｛〃,,｝的公比為4，

則，=q4=:,所以q'；,

設(shè)數(shù)列也｝為等比數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項(xiàng)49嗎，…,％,,τ(n=l.2,

則數(shù)列他,｝是以-9為首項(xiàng)，?為公比的等比數(shù)列，

所以(=卅345?2,,-I=b?blbibn，

當(dāng)〃“時(shí)，同<1,當(dāng)1≤W≤3時(shí)，戰(zhàn)歸1,

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，刀,<0,因?yàn)?=τ,

所以(≥q=-27,

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，Tn>0,因?yàn)?=7,

所以(≤(=27,

綜上所述，數(shù)列億｝有最大項(xiàng)(=27和最小項(xiàng)7；=-27.

故選：A.

nπ?〃sin號(hào)］,其前〃項(xiàng)和為S,,,貝1］與8為（）

2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)4=ncos-I

A.173B.174C.175D.176

【答案】B

【分析】化簡(jiǎn)可得為="2COS等，討論“取不同值時(shí)勺的通項(xiàng)公式，并項(xiàng)求和.

【詳解】

當(dāng)w=3k(%eN*)時(shí)，/A=")?；∕ι=3%-l(左eN*)時(shí),%,∣=一12^_9_；

〃=302(丘")時(shí)，*=-(女;2)2

…τ+"-曰-曰+…W

所以S"=9（l+2+L+6）-∣×6=9×^1+^x6-y=174

故選：B

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足4=2,。2=3且。什2-4,=1+（-1）"，"€.，則該數(shù)列的前

9項(xiàng)之和為（）

A.32B.43C.34D.35

【答案】C

【分析】討論“為奇數(shù)、偶數(shù)的情況數(shù)列｛4｝的性質(zhì)，并寫出對(duì)應(yīng)通項(xiàng)公式，進(jìn)而應(yīng)用分組求和的方法求數(shù)

列的前9項(xiàng)之和.

,

【詳解】an+2-an=l+(-l)",neN,

二當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，，向-%z=0,則數(shù)列｛%τ｝是常數(shù)列，%T=4=2;

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí),a2n+2-a2n=2,則數(shù)歹1_|｛4“｝是以4=3為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列,

4×3

,

..6Zl+?++a9=(ai+?++Λ9)+(?+a4++?)=2×5+(3×4+——-×2)=34.

故選：C

4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則取它的項(xiàng)：第一次取1；第二次

取2個(gè)連續(xù)偶數(shù)2,4；第三次取3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5,7,9；第四次取4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10,12,14,16；第五次

取5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17,19,21,23,25,按此規(guī)律取下去，得到一個(gè)子數(shù)列I,2,4,5,7,9,10,12,14,

16,17,19...,則在這個(gè)子數(shù)列中第2020個(gè)數(shù)是()

A.3976B.3974

C.3978D.3973

【答案】A

【分析】根據(jù)題意分析出第〃次取〃個(gè)數(shù)，前〃次共取國(guó)P個(gè)數(shù)，且第〃次取的最后一個(gè)數(shù)為序,然后

算出前63次共取了2016個(gè)數(shù)，從而能得到數(shù)列中第2020個(gè)數(shù)是3976.

【詳解】由題意可得，奇數(shù)次取奇數(shù)個(gè)數(shù)，偶數(shù)次取偶數(shù)個(gè)數(shù)，前〃次共取了1+2+3+…+〃=吟D個(gè)數(shù),

且第n次取的最后一個(gè)數(shù)為二,

當(dāng)“=63時(shí)，63x(63+1)=20①

2

即前63次共取了2016個(gè)數(shù)，第63次取的數(shù)都為奇數(shù)，并且最后一個(gè)數(shù)為63‘=3969,

即第2016個(gè)數(shù)為3969,

所以當(dāng)〃=64時(shí)，依次取3970,3972,3974,3976,所以第2020個(gè)數(shù)是3976.

故選：A.

二、多選題

5.(2021.江蘇常州.高三階段練習(xí))數(shù)列｛4｝滿足q=1,的用-(〃+1)4=1,w∈N*,其前〃項(xiàng)和為S“，下列

選項(xiàng)中正確的是()

A.數(shù)列｛%｝是公差為2的等差數(shù)列B.S,,除以4的余數(shù)只能為1或0

C.滿足S,,≤100的”的最大值是9D.2Sn=n(an+?)

【答案】ABD

【分析】由題意-5+1)/=1,可得巴一%=丁==1一一再由疊加法求出｛%｝的通項(xiàng)公式，

進(jìn)而求｛4,｝的通項(xiàng)公式，可判斷A；再求｛4｝的前"項(xiàng)和S“代數(shù)式可判斷D,分別令“為奇數(shù)，偶數(shù)兩種情

況判斷B；令￡,100,求出〃的最大值，判斷出C,從而選出答案.

]

【詳解】解：nα,-(n+l)α=l,可得落斗

n+πn(n+l)nn÷l

n-?nn-2n-?

可得q=2〃-l,

則q.∣-4=2("+l)T-2N+1=2,所以｛α,,｝為公差為2的等差數(shù)列，所以A正確;

可得S,=-------------=n，

當(dāng)〃=2&一1時(shí)，k∈Z,貝IJS),=(2k-l)2=4公-4k+l,顯然S.除以4的余數(shù)為1；

當(dāng)〃=2&,keZ,則S,,=442,可得S“除以4的余數(shù)為0,所以B正確；

因?yàn)镾"=",JOO,4,10,UJ得此時(shí)的〃的最大值為10,故C不正確；

因?yàn)镾.=幽押=*S1,所以2S.="(α,,+l),故D正確.

故選：ABD.

三、填空題

6.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知qeN*(i=l,2,…9),且對(duì)任意左∈N*(2≤A≤8)都有4=為1+1或

ak=4+ιT中有且僅有一個(gè)成立，4=6,a9=9,則q+,+%的最小值為.

【答案】31

【分析】根據(jù)題意分兩種情況討論求出4++%的值，即可求得4++的的最小值.

【詳解】解：由題設(shè)，知：ai≥?.

%=4+1或4=4-1中恰有?個(gè)成立；

%=%+l或％=4-l中恰有一個(gè)成立：

4=%+1或%=%-1中恰有一個(gè)成立；

貝|]①%=4∣+1=7,ɑ?=α4-1,a5=a6-I,a1=αg—1,

則4+%++%=25+2(%+4+%),當(dāng)％=%=%=1時(shí)，at+a2++4,的和為最小值為：31：

②％=”3-1,=α5-1,α6=6f7—1,as=a9—I,

則4+/++%=26+2(4+%+<?),當(dāng)4=4=/=1時(shí)，4+生++處的和為最小值為：32：

因此,ai+a2+?+%的最小值為:31.

故答案為：31.

四、解答題

7.(2022?北京?二模)已知數(shù)列A：%,a2,...,a2,ll,其中用是給定的正整數(shù)，且帆W2.令=,

i=l,???,m,X(A)=max{?l,?2,,2},q=max{02"∣,%},i=l,…，y(A)=min{q,C2,?,?n}.這里，max{}

表示括號(hào)中各數(shù)的最大值，Inin{}表示括號(hào)中各數(shù)的最小值.

(1)若數(shù)列A：2,0,2,1,-4,2,求X(A),Y(A)的值；

(2)若數(shù)列A是首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列，且X(A)=Y(A),求q的值；

(3)若數(shù)列A是公差4=1的等差數(shù)列，數(shù)列8是數(shù)列A中所有項(xiàng)的一個(gè)排列，求X(B)T(B)的所有可能值(用

加表示).

【答案】(I)X(A)=1,V(A)=2；⑵4=1；(3)所有可能值為Tl,2,...,2m-3.

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)定義寫出X(A),Y(A)即可.

(2)討論數(shù)列A的項(xiàng)各不相等或存在相等項(xiàng)，當(dāng)各項(xiàng)都不相等，根據(jù)題設(shè)q定義判斷

{b,,b2,...,bm}r>{cl,c2,...,cm)=0,當(dāng)存在相等項(xiàng)，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求g,進(jìn)而確定9的值；

(3)利用數(shù)列A的單調(diào)性結(jié)合(2)的結(jié)論求X(B)-FCB)的取值范圍，估計(jì)所有可能取值，再應(yīng)用分類討

論求證X(B)-V(B)對(duì)應(yīng)所有可能值均可取到，即可得結(jié)果.

(1)由題設(shè),(=0,b2=l,b3=-4,則X(A)=max{0,1,-4}=1,

c1=2,c2=2,C3=2,則Y(A)=min{2,2,2}=2,

所以X(A)=1,Y(A)=2.

(2)若數(shù)列A任意兩項(xiàng)均不相等，

當(dāng)i=l,...,w時(shí)2≠q?;

當(dāng)i,Je{1,…,利}且i≠/時(shí)，{%τ,?}n{?7.l,α2J=0,

又白=min{a2j-l,i