2023年高考數(shù)學一輪復習講義：第六章 6-6數(shù)列中的綜合問題

§6.6數(shù)列中的綜合問題

題型一數(shù)學文化與數(shù)列的實際應用

例1（1）（2020?全國II）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層.上層中心

有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增

加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層

環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）

--

A.3699塊B.3474塊

C.3402塊D.3339塊

答案C

解析設每一層有"環(huán)，由題意可知，從內(nèi)到外每環(huán)之間構(gòu)成公差為"=9,首項為“∣=9的

等差數(shù)列.由等差數(shù)列的性質(zhì)知Sn,S2n-Sn,‰成等差數(shù)列，且（S3L‰ι）-（S2LSH）

則9層=729,解得〃=9,

則三層共有扇面形石板N"=S27=27X9+―廣?X9=3402（塊）.

（2）某顧客在2022年1月1日采用分期付款的方式購買一輛價值2萬元的家電，在購買一個

月后2月1日第一次還款，且以后每個月1日等額還款一次，如果一年內(nèi)還清全部貸款（12

月1日最后一次還款），月利率為0.5%.按復利計算，則該顧客每個月應還款多少元？（精確到

1元，參考值LOO51°=1.05,1.005"=1.06）（）

A.I767B.1818

C.1923D.1946

答案A

解析設每月還款X元，共還款11個月，

所以XX(LOo5∣0+1.0059HF1.005+1)

=20000X1.005",

20000Xl.00511

X=I+1.005+…+1.005H)

20OOOX1.005"

=l~1.005~

LLoo5

20OOOX1.06

≈?1767.

1―1.06

-0.005

思維升華數(shù)列應用問題常見模型

（1）等差模型：后一個量比前一個量增加（或減少）的是同一個固定值.

（2）等比模型：后一個量與前一個量的比是同一個固定的非零常數(shù).

（3）遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，那么

應考慮如與小+∣（或者相鄰三項）之間的遞推關(guān)系，或者S“與S,,+∣（或者相鄰三項）之間的遞推

關(guān)系.

跟蹤訓練I（1）（2022.佛山模擬）隨著新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革持續(xù)推進，以數(shù)字化、網(wǎng)絡

化、智能化以及融合化為主要特征的新型基礎設施建設越來越受到關(guān)注?5G基站建設就是

“新基建”的眾多工程之一，截至2020年底，我國已累計開通5G基站超70萬個，未來將

進一步完善基礎網(wǎng)絡體系，穩(wěn)步推進5G網(wǎng)絡建設，實現(xiàn)主要城區(qū)及部分重點鄉(xiāng)鎮(zhèn)5G網(wǎng)絡覆

蓋.2021年1月計劃新建設5萬個5G基站，以后每個月比上一個月多建設1萬個，預計我國

累計開通500萬個5G基站時要到（）

A.2022年12月B.2023年2月

C.2023年4月D.2023年6月

答案B

解析每個月開通5G基站的個數(shù)是以5為首項，1為公差的等差數(shù)列，

設預計我國累計開通500萬個5G基站需要"個月，則70+5〃+若LDXl=500,

化簡整理得，/+9〃-860=0,

解得”=25.17或“七一34.17（舍），

所以預計我國累計開通500萬個5G基站需要25個月，也就是到2023年2月.

（2）（2022.濰坊模擬）南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，

后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，

設各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列{m},則（）

A?CIA~~12

B?α〃十］=a"+n

C.?ιoo=5050

D.2?！??=cιlran+2

答案C

解析由題意知，s=l,?2=3,?3=6,—,

an=afl-↑+n9故斯=，

,4×(4+l)LL…

，〃4=2=10,故A錯樂；

〃“+1=斯+〃+1,故B錯誤；

moo=--------5---------=5050,故C正確；

2an+I=(H+l)(n+2),

n(n+l)(∕t+2)(〃+3)

dn?an+2~,

顯然2%+]+2,故D錯誤.

題型二等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運算

例2(2022?濱州模擬)已知等差數(shù)列｛斯｝和等比數(shù)列｛勿｝滿足勾=2,岳=4,%=21og2小，

〃∈N".

(1)求數(shù)列｛斯｝,｛5｝的通項公式;

(2)設數(shù)列｛四｝中不在數(shù)列｛d｝中的項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列｛金｝,記數(shù)列｛c〃｝的前〃項和

為Sn,求51(X).

解(1)設等差數(shù)列｛m｝的公差為4

因為岳=4,所以Z=21θg2&2=4,

所以d=a2~a↑=2f

所以.=2+(〃-1)X2=2M.

z

又a,l=2log2bn9即2〃=21Og2為，

所以∏=lθg2?,

所以九=2”.

(2)由(1)得"=2"=2?2"?=ci2n-\t

即兒是數(shù)列｛斯｝中的第2〃r項.

設數(shù)列｛?！ǎ那啊椇蜑镻n,數(shù)列｛仇｝的前〃項和為Q”，

因為岳=。26=〃64,68=。27=。128,

所以數(shù)列｛0｝的前100項是由數(shù)列｛%｝的前107項去掉數(shù)列｛瓦｝的前7項后構(gòu)成的,

所以SIoO=尸107—。7

107X(2+214)2—28

Il302.

【教師備選】

已知等差數(shù)列｛斯｝的首項0≠O,前W項和為S”且S4+α2=2S3;等比數(shù)列M"｝滿足6∣=S,

b2=a4.

(1)求證：數(shù)列｛九｝中的每一項都是數(shù)列｛?。械捻?；

2

(2)若0=2,設C"=?j~~ri―「，求數(shù)列｛C"｝的前〃項的和乙；

IogIog2?！?1

(3)在(2)的條件下，若有_/(〃)=log3T;,,求y∏)+A2)+…+人〃)的最大值.

(1)證明等差數(shù)列｛斯｝的首項mW0,

設公差為d,由S4+α2=2S3,

可得4αι+6d+αι+d=2(3αι+3<∕),

所以a?=d,

所以alt-a?+(n-?)d-nd,

等比數(shù)列｛瓦>｝滿足bi="2=2",Z>2=α4=4d,

設公比為4,則公比q=/=2,

可得b,,=2d?2"-∣=2"d,

由d≠0,"∈N*,

可得2"GN

所以數(shù)列｛仇｝中的每一項都是數(shù)列｛a,J中的項.

(2)解若0=2,

2

由(1)可得Cn=i7~^j7

Iθg2θnlθg2θn+1

_2

=Iog22"+Uog22"+2

L

=_2_一一■)

(n+l)(∕ι+2)~\?+1n+2J,

則數(shù)列｛金｝的前n項的和

(\1,1I,11?

325+廠/1…+市一3

=2?-?)

n

=n+2'

(3)解在(2)的條件下，

fl

若fin)=Iog3Tn-l0g3百萬，

1234n

則,?1)+7(2)H------=log??+?og?4+log?^+?og?en------------F1鳴群5

_1X2X3><4><???X"

=log?×4×5×6×???×(∕ι+2)

2

°^3(∕?÷l)(∕t+2)'

2

由10g3及+1)5+2,在"GN*時單調(diào)遞減，

21

可得"=1時，Iog3(〃-IrDQ在2)取得最大值?θg??=-I，

故式1)+八2)+…的最大值為-1.

思維升華對等差、等比數(shù)列的綜合問題，應重點分析等差、等比數(shù)列項之間的關(guān)系.數(shù)列

的求和主要是等差、等比數(shù)列的求和及裂項相消法求和與錯位相減法求和，本題中利用裂項

相消法求數(shù)列的和，然后利用歷=1,上0證明不等式成立.另外本題在探求｛斯｝與｛c“｝的通

項公式時，考查累加、累乘兩種基本方法.

跟蹤訓練2已知等差數(shù)列｛?。偷缺葦?shù)列｛d｝滿足“ι=Zη=l,a2+α4=lθ,h2b4=a5.

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)求?1÷?3÷?5÷?"÷?2H-∣.

解(1)設等差數(shù)列｛如｝的公差為4.

因為“ι=l,α2+a4=10,

所以24ι+4d=10,

解得d=2.

所以an-2n-l.

⑵設等比數(shù)列｛d｝的公比為q.

因為b2b4=a5,

所以b?qb?(f=9.

又∕η=l,所以∕=3.

所以岳"-ι=6ι∕"-2=3"r.

則加+>+加+…+?2”-l

3H—1

=1+3+32+???+3,,^1≈-7-.

題型三數(shù)列與其他知識的交匯問題

命題點1數(shù)列與不等式的交匯

例3已知數(shù)列｛m｝滿足0=(=1+2("∈N*).

ZCln+?Cln

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式;

(2)求證：a?+ai+cA-?---?~aτl<^.

(1)解因為」-=；+2(〃∈N*),

d∏-?^1a，】

所以;十=2("CN*),

Cln-V?a∏

因為的=],所以;=2,

2a?

所以數(shù)列？｝是以首項為2,公差為2的等差數(shù)列，所以;=2+2(L1)=2"5∈N*),

I以〃JCln

所以數(shù)列｛〃“｝的通項公式是‰=?n∈N*).

⑵證明依題意可知

β"≈(?)2=4??4??

=XVT-加^)，

所以a?+a?+?H------I-屆

<K1+1-2+2-3+???+?-n)

=K2-∏H

故山+后+屈-I----F^<∣.

命題點2數(shù)列與函數(shù)的交匯

例4(2022?淄博模擬)已知在等比數(shù)列｛斯｝中，首項0=2,公比q>l,S,G是函數(shù)√U)=53

-6Λ2+32X的兩個極值點，則數(shù)列｛斯｝的前9項和是.

答案1022

解析由兀V)=W%3—6Λ2+32X,

得/(X)=Λ2-12x+32,

又因為“2,的是函數(shù)犬X)=53—6Λ2+32Λ的兩個極值點，

所以政，的是函數(shù)/(X)=f-12x+32的兩個零點，

〃2+〃3=12,

故一C

32,

因為q>l,所以。2=4,。3=8,故q=2,

2(1—24

則前9項和S9=-p二=242=1。22.

【教師備選】

1.已知函數(shù)√U)=log2X,若數(shù)列｛斯｝的各項使得2,IaI),犬㈤，…，［斯)，2〃+4成等差數(shù)

列，則數(shù)列｛知｝的前〃項和S"=.

答案y(4n-l)

解析設等差數(shù)列的公差為"，

則由題意,得2〃+4=2+(〃+l)d,解得d=2,

于是lθg20=4,10g2G2=6,k>g2α3=8,…，

8

從而01=24,42=26,α3=2,―,

易知數(shù)列｛〃“｝是等比數(shù)列，其公比4=籌=4,

所以S,尸竽尸=事4，一).

2'求證：2+l+22+2+23+3-1k2"+.<2("eN)"

證明因為就二學，

所以不等式左邊<1+宗+宗+…+/.

令A=4+聶仔H----吟,

,?I.1,2,3.n

則rl］A=g+尹+研H------

兩式相減得/A=；+*+----一黃7

1-?-?

一=12M2π+j，

所以A=2—勺<2,即得證.

思維升華數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題關(guān)鍵在于通過函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求

出數(shù)列的通項或前附項和，再利用數(shù)列或數(shù)列對應的函數(shù)解決最值、范圍問題，通過放縮進

行不等式的證明.

跟蹤訓練3(1)(2022?長春模擬)已知等比數(shù)列｛α,J滿足：al+a2=20,α2+α3=8O.數(shù)列｛與｝滿

足兒=log2"",其前”項和為S,”若E?γ≤a恒成立，則2的最小值為_______.

?/iI11

答案23

解析設等比數(shù)列｛“"｝的公比為q,

Ial+αq=20,

由題意可得,,n

zSJ

[a↑q+a↑q=S09

解得0=4,g=4,

故｛斯｝的通項公式為斯=4〃，n∈N*.

n

bn=log2%=Iog24=2n,

S“=2〃+T〃(〃—1)?2=/+",

bn_____2n_________2*

S+11rr-?-n-?-11∣?1∣,n,

wn-r—十1

n1

令式X)=X+￥，

則當x∈(0,迎)時，./(x)=x+3?單調(diào)遞減，

當X∈(S^j,+8)時，/(χ)=χ+，單調(diào)遞增，

11201127

又；A3)=3+w=?y,人4)=4+1=彳，

且"GN*,.?.〃十：》,，

l-,

Srt+11^20+123

故臺，故力的最小值為最.

(2)若SI是公差不為0的等差數(shù)列｛0.｝的前八項和，且S,S2,S4成等比數(shù)列，S2=4.

①求數(shù)列｛〃”｝的通項公式：

②設與=」一，。是數(shù)列｛b｝的前”項和，求使得7“?器對所有〃∈N*都成立的最小正整數(shù)

m.

解①設｛?！ǎ墓顬閐(d≠O),

則S[=α],S2=2αI+d,S4=4。1+6d.

因為S,S2,S4成等比數(shù)列，

所以a↑?(4a↑+6d)=(2a?+d)2.

所以2αM=/.

因為d≠0,所以d=2〃i.

又因為S2=%所以3=1,d=2,

所以an=2n-?.

要使7；嗡對所有“CN*都成立,

3

則有42],即〃7230.

因為m∈N*,

所以加的最小值為30.

課時精練

W基礎保分練

1.（2022,青島模擬）從“①S,="（"；②）S2=α3,ci4=ci\ci2i（3）<∕ι=2>“4是

。2,。8的等比

中項.”三個條件中任選一個，補充到下面的橫線處，并解答.

已知等差數(shù)列｛4.｝的前"項和為S”公差dW0,，"∈N*.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

⑵若C=S2rt+ι-%,數(shù)列｛d｝的前n項和為Wn,求Wn.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

解⑴選①：

2

Sn-+?=π÷yn,

令〃=1,得0=1+矍，即n∣=2,

2

所以Sn-n+n.

當〃》2時，SLl=（〃一ιy+,一ι,

=

當"N2時，Cln~Sn—Sn-I2n,又〃1=2,滿足上式，

所以Cin=2n.

選②：

由§2=。3,得。1+。2=。3,得4]=d,

又由〃4=。1。2,得〃1+3d=。]（。]+"）,

因為dWO,則m=d=2,所以〃”=2幾

選③：

由44是〃2,。8的等比中項，得屈=。2〃8，

則(aI+34=(a]+J)3+7"),

z=

因為ci?-29d≠O,所以d=2,則an2n.

2π+12

(2)Sw=n+n,?rt=(2)+2〃r-(2〃)2—2〃

=3?22W+2”,

12X(1—4")2X(1—2〃)

所以W,,=3X22+2+3X24+22+???+3X22"+2"=二4(41)+2(2"

-l）=4,,+l+2w+l-6.

2?（2022?沈陽模擬）已知正項數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S〃，且\+I=2SI+M+La2=2.

⑴求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式〃〃；

⑵若為=斯?2〃，數(shù)列｛6〃｝的前〃項和為〃，求使7?2022的最小的正整數(shù)〃的值.

解（1）當〃22時，

由若+1=25〃+拉+1,〃2=2,

得c^l=2Sn-]+n-?÷I,

兩式相減得a^?-a∏=2an+1,

即W+1=就+2%+1=(?！?Ip.

:是正項數(shù)列，,0,+1=""+L

當Yi=I時，龍=2勾+2=4,

α1=1,??〃2-〃1=1,

；?數(shù)列｛如｝是以αι=l為首項，1為公差的等差數(shù)列，.??斯=〃.

=,1

(2)由(1)知bncιn?2"=n?2,

7],=1×2I+2×22+3×23H------?-n-2",

27],=1×22+2×23H------F(n-l)?2n+n?2,,+,,

兩式相減得一A=七尹一〃2匹

=(l-n)2n+1-2,

Λ7j,=(n-l)2,'+1+2.

?Ffτ="?2">0,

二北單調(diào)遞增.

8

當”=7時，T'7=6×2+2=l538<2022,

當〃=8時,7?=7X29+2=3586>2022,

使7?2022的最小的正整數(shù)〃的值為8.

3.(2022?大連模擬)已知等差數(shù)列｛a.｝的前“項和為5”,$5=25,且s—1，如+1,3+3成

等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)若瓦=(-1)%1+1,C是數(shù)列｛4｝的前"項和,求為

解(1)由題意知，等差數(shù)列｛期｝的前〃項和為S”由S5=25,可得55=5〃3=25,所以的=5,

設數(shù)列｛如｝的公差為“，

由俏一1,，“+1,s+3成等比數(shù)列，

可得(6+m2=4(8+44，

整理得法-44+4=0,解得4=2,

所以4"=43+(〃-3)4=2”-1.

⑵由⑴知

?=(-1),?+1=(-l),*(2n-1)+1,

所以72?—(-1+1)+(3+1)+(—5+1)+(7+1)H-----F[—(4∏-3)+1]+(4∏-1+1)=4”.

應技能提升練

4.已知數(shù)列｛斯｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前”項和為S,”滿足$5=35,且3,α4.α∣3

成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)若兒=占，數(shù)列｛瓦J的前〃項和為T,,,實數(shù)2使得尹八W3對任意"∈N*恒成立,

求2的取值范圍.

解(1)設數(shù)列｛”“｝的公差為d,d≠0,

因為｛斯｝是等差數(shù)列，

濟2C5(的+的)

所以§5=2=5。3=35,

故的=7,

又。4,。13成等比數(shù)列,

所以θ4=a↑a↑3f

故(俏+d)2=(〃3—2J)(°3+1Od)，

將的=7代入得(7+J)2=(7-2J)(7+10d),

即d(d-2)=0,

又知d≠0,故d=2,

所以〃“=〃3+(〃-3)d=7+2(∕ι—3)—2/?+1.

,,77(3+2/1+1)

(2)由(1)知，Sn=-一~2-------=n(n+2)t

故