2023屆老高考數(shù)學(xué)練習(xí)題：第十單元 立體幾何

第十單元立體幾何

10.1空間幾何體的直觀圖、三視圖及其應(yīng)用

L給出下列四個命題，其中正確命題的個數(shù)是—

⑴一個棱柱至少有5個面.⑵平行六面體中相對的兩個面是全等的平行四邊形.

⑶有一個面是平行四邊形的棱柱一定是四棱柱.⑷正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形.

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案：D

解析:⑴三棱柱的面最少，有5個面，故（1）正確.⑵平行六面體的六個面都是平行四

邊形，且相對的面兩兩是全等的，故（2）正確.⑶棱錐的側(cè)面都是三角形，有一個

面為平行四邊形，這個面一定是底面，即為四棱錐，故（3）正確.⑷正棱錐的底面

是正多邊形，側(cè)棱長都相等，故側(cè)面都是全等的等腰三角形，所以（4）正確.

2.一個四棱錐的三視圖如圖所示,一只螞蟻從該四棱錐底面上的一個頂點出發(fā),經(jīng)過四棱錐的

側(cè)面爬到與其不相鄰的另-個頂點（同-條棱上的兩個端點稱為相鄰頂點）,則這只螞蟻

經(jīng)過的最短路程為（）.

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

A.l+√2.B.√3C.√2+√3D.√3+√6

答案：B

解析：四棱錐P-ABCD如圖所示,PD，平面ABCD,BD_LDC,底面為平行四

邊形,且PD=DC=1,AD=PC=√ΣPA=√3.

①沿著側(cè)面從A到C,若沿著側(cè)面PAD與側(cè)面PDC展成平面圖形，則最短的

路程為l+√2,若沿著側(cè)面PAB與側(cè)面PBC展成平面圖形，

則由余弦定理得最短路程為√3+√6;

②沿著側(cè)面從B到D,若沿著側(cè)面PAB與側(cè)面PAD展成平面圖形,得最短路

程為百.若沿著側(cè)面PBC與側(cè)面PCD展成平面圖形，則最短路程為安.

綜上，最短路程為次.故選B.

3.已知△ABC的平面直觀圖AABC，是邊長為a的正三角形，那么原△ABC的面積為（）

?WdzDWd2小后a2/Z2

A.-----B.-----C.-----D.√6αz

242

答案：C

解析:直觀圖的面積S=Osinf=竺，設(shè)原圖面積為S,則由S=fS,得S=2√5S'=2√2×

2344

空=叵,故選C.

42

4.如圖是利用斜二測畫法畫出的^ABO的直觀圖,已知OB=4J1AABO的面積為16,過A,

作AeX，軸，則AC的長為（））

A.2√2B.√2C.16√2.D.1

答案：A///di

解析：：AB∣y軸，二在AABO的中，AB±OB,又'FABO的面積為16

ΛIAB?0B=16,V0B=0,B,=4,ΛAB=8,,A'B'=4.如圖，作A'CUO'B'于C

?.?vA'B'C'=45cr...AC的長為:4sin45o=2VI故選A.

5.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中的四邊形都是邊長為4的正方形，兩條虛線互相垂直,

則該幾何體的體積是（）F-------HΓ^-------71

176D160

------D.------

答案:B

Dl

解析：根據(jù)三視圖可得幾何體為正方體中挖去一個倒置的四棱錐O-A1B1C1D1

''↑-V'

如圖所示，故其體積為：43-∣x4x4x2=等.故選B.

B

6.一個正方體挖去一個多面體后，剩余幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、左視圖和視

圖均為邊長等于2的正方形,則挖去多面體的體積為（）

2

A.8B.2C.4DI

答案:D

解析:將三視圖還原可得下圖,挖去多面體為正四棱錐,其體積為V

故選D.

7.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（)

?√3

A.—B苧D.2√3

3c.√F

答案:B

解析：由三視圖知:該幾何體是一個底面邊長為2的等邊三角形，高為2的

棱錐,如圖所示:

該幾何體的體積為V=4SΔABC×SB=∣×γ×22×2=手.故選B

8.（2021?北京）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（)

正（主）視圖便（左）視圖

俯視圖

A.』+且B.3+6C.-+√3D.3+—

2222

【答案】A

【解析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐O-AfiC,其側(cè)面為等腰直角三角形,

底面等邊三角形，由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長為1,故其表面積為

3X,X1X1+?^X（Λ∕Σ）=3+小,故選A.

24'/2

9.如圖所示的陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為（)

A.一個球體B.一個球體中間挖去一個圓柱

C.一個圓柱D.一個球體中間挖去一個棱柱

【答案】B

【解析】由題意，根據(jù)球的定義，可得圓面旋轉(zhuǎn)形成一個球，根據(jù)圓柱的概念，可得里面的

長方形旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱，所以繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為一個球中間挖去一個圓

柱，故選B.

10.如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形瓦G”為截面，長方形ABC。為底

面，則四邊形MG”的形狀為（）

A.梯形B.平行四邊形

C.可能是梯形也可能是平行四邊形D.不確定

【答案】B

【解析】由長方體的性質(zhì)：各對面平行，易知HG//EF,EH//FG,；.EFGH為平行四

邊形.

故選B.

10.如圖所示是水平放置的三角形的直觀圖，Zy是VA'B'C'中6'C’邊的中點，且A'。平行

于y'軸，那么A'B；A。',AC'三條線段對應(yīng)原圖形中的線段AB,A。,AC中（）

t

XA'

∕B%C]

/O'x

A.最長的是AB，最短的是4CB.最長的是AC,最短的是AB

C.最長的是A3，最短的是AZ）D.最長的是A。，最短的是AC

【答案】C

【解析】由題中的直觀圖可知，A'D'〃y軸，3'C'∕∕χ'軸，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知,

在原圖形中A￡>〃y軸，BC//X

又因為。為BC的中點,所以AABC為等腰三角形,且A。為底邊BC上的高,則有AB=AC

成立.故選C.

11.如圖，一個水平放置的圖形的直觀圖是一個等腰直角三角形Q46,斜邊長OB=1,那

么原平面圖形的面積是（）

B?TC?T

【答案】B

【解析】根據(jù)斜二測畫法可得原圖形為如圖所示AOAB',因為，OAB是等腰直角三角形,

根據(jù)斜二測畫法可得40A8'為直角三角形，OB=I,:.OB'=OB=I,

I-----?----------

OB'

12.（2021?安徽合肥質(zhì)檢）如圖，網(wǎng)格紙中小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是一個四棱

錐的三視圖，則該四棱錐最長棱的長度為（）

A.4√2B.4√JD.8√2

【答案】：B

【解析】：根據(jù)三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖為：該幾何體為四棱錐

體A-BCDE.如圖所示：所以，BC=A=DE=AE所以

CD=AD=AC=BE=yj42+42=4√2,BE=J（4√Σ1+4,=4"故

選B.

13.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為

V

工na

答案：32π

解析：根據(jù)三視圖作出原幾何體的直觀圖如下圖所示:由三視圖可知,該

幾何體為三棱錐ALABC,且AAJ底面ABC,由三視圖中的數(shù)據(jù)可

得AB=√32+3=2√3,BC=√3+I2=2,且AC=4.???AB2+BC2=AC2,

則ABLBC,將三棱錐A,-ABC補成長方體ABCD-AlBlCID∣三棱錐

Ai-ABC的外接球直徑為2R=√12+4+16=4√∑,...R=2√Σ因此,該幾何

體的外接球的表面積為S=4πR2=32π.故答案為:32π.

14.已知某圓錐被一過該圓錐頂點的平面所截得到的幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，若

該圓錐的頂點與底面圓周都在球O的球面上,則球O的表面積為.

答案號兀

解析：該幾何體如圖所示,由正視圖和側(cè)視圖可知,底面圓弧所在圓的半徑為0∣B=2,

且AoI=1,PA=√13.ΛP0ι=√13-1=2√3,設(shè)球O的半為R.

由球的性質(zhì)可知，R2=(2√5-R)2+22.解之，得R=W故球O的表面積為S=4πR2=4τr×(?)2=^τr

√3v?3

故答案為WTr.

15.如圖，四邊形ABC。是一水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，ABHCD,ADLCD,

且BC與N軸平行,若A8=6,Co=4,■,則原平面圖形的實際面積是.

【答案】204

【解析】由斜二測直觀圖的作圖規(guī)則知，原平面圖形是直角梯形，且AB，CO的長度不變,

仍為6和4,高BC=4應(yīng)，故所求面積5=；乂（4+6川4￠=20&.故答案為：20&

16.已知一正四面體的俯視圖如圖所示，它是邊長為2cm的正方形，則這個正四面體的主視

圖的面積為cm2.

【答案］可

【解析】根據(jù)題意，正四面體的棱長可取為2JWcm，且該正四面體的主視圖是一個底邊長

為α=2λ∕Ecm,腰長為Jfe根的等腰三角形.所以主視圖的高為

從而可得主視圖的面積為S=La/Z=Lx2√∑χ2=2億機2.故答案為：2垃.

22

10.2空間幾何體的表面積與體積

1.下列說法中正確的是（）.

A.棱柱的側(cè)面可以是三角形

B.正方體和長方體都是特殊的四棱柱

C.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形

D.棱柱的各條棱都相等

答案B

解析棱柱的側(cè)面都是四邊形,A不正確；

正方體和長方體都是特殊的四棱柱,B正確；

不是所有幾何體的表面都能展開成平面圖形,球不能展開成平面圖形,C不正確;

棱柱的各條棱并不是都相等,但棱柱的側(cè)棱都相等,D不正確；

故選B.

2.某幾何體由一個三棱錐和一個四棱錐組合而成，該幾何體的三視圖如圖所示，若三棱錐的

體積為匕，四棱錐的體積為匕，則K：匕=（）

D.3:4

【答案】A

114

【解析】由三視圖可知，該組合體的直觀圖如下：則K=-×-×2×2×2=-,

323

V/=l×2×2×4=y,所以K：%=g:與=1:4.故選A.

3.已知：AABC是面積為瘦的等邊三角形，且其頂點都在球。的球面上.若

4

球O的表面積為16%，則。到平面ABC的距離為（）

A.√3B.IC.1D./

答案C

解析設(shè)球。的半徑為R?則4TTR2=16兀，解之，得R=2.設(shè)△4BC外接圓

半徑為r,邊長為α???A4BC是面積為逋的等邊三角形，.?∕ɑ2χ蟲=些

4224

解之，得α=3.???r=gx=-2×9-'=b.二球心。到平面ABC的距離d=

3

y∕R2—r2—√4—3-1.故選C.

3.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將正四棱錐稱為方錐.已知半球內(nèi)有一個方錐，方錐的

底面內(nèi)接于半球的底面，方錐的頂點在半球的球面上，若方錐的體積為18,則半球的說法

正確的是（）

A.半徑是3B.體積為18τr

C.表面積為27兀D.表面積為18兀

答案：ABC

解析：如圖，AZMC是正四棱錐的對角面，設(shè)球半徑為r,AC是半圓的直

徑，則正四棱錐底面邊長為√∑r,棱錐體積為1/=[*(或丁)2'?^=|丁3=

18,r=3,半球體積為V=Iττr3=ITrX3?=18ττ,表面積為S=2ττ×32÷

π×32=27τr,故選：ABC.

4.(2021?四川成都三診)某幾何體的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上的小正方形邊長為1,

則該幾何體的表面積為()

?(20+8√2)?(20+4?χ歷)萬

A.nD.

c(24+8夜)乃D(24+4揚1

【答案】B

【解析】由三視圖還原原幾何體如圖，可知該幾何體為組合體，上半部分為圓

錐，下半部分為圓柱，圓錐的底面半徑為2,高為2,圓柱的底面半徑為2,高

為4.則該幾何體的表面積為：S=π×22+2π×2×4+π×2×2s∕2=(20+4?∕2)π

故選B.

5.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為1,√2,√3.則此三棱錐的外接球的表面

積為()

A.6πB.12πC,18τrD.24π

答案A

解析由題意，得三棱錐的外接球即為長寬高分別為l,√∑,√5的長方體的外接球，又Y長方

體的體對角線長為外接球的直徑.??球的半徑R=Jl2+(0)2+(GT=區(qū)J.球的表面積

22

S=4TΓR2=6兀.故選A.

6.（2021.安徽合肥調(diào)研）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某多面體的三

視圖，則該幾何體的體積為（）

4816

A.2√5+4^+10B.3C.?D.3

【答案】C

1C,

—×2×4

【解析】根據(jù)幾何體的三視圖，轉(zhuǎn)換為幾何體是由一個底面面積為2的直角三角形,

lie-8

τVz=-?一?2?4?2=—

高為2的三棱錐體，故323.故選c.

7.已知圓錐的表面積等于12兀cm?,其側(cè)面展開圖是一個半圓,則底面圓的半徑為（）.

答案：B

解析：Ss=πr2+πr?2r=3πr2=12π>/.r=2Cm.故選B.

8.《九章算術(shù)》中，將兩底面為直角三角形的正柱體，亦即長方體的斜截平分體，稱為塹堵.

今有如圖所示的塹堵形狀（AB=BC）容器裝滿水，當(dāng)水量使用了一半時，水面高度占AB的

A.-B.-

32

2-√2

2

【答案】C

【解析】水的一半就是體積的一半，柱體體積公式是底面積乘高，高沒變，底面積變?yōu)橐话?

因為底面是等腰直角三角形，所以邊長變?yōu)锳B的也，所以水面高度占AB的立史,

22

故選C.

9.（2021?浙江卷）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

-1—f*-ιT—ι-ψ-ι-

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

33

A.-B.3C.?-D.3壺

22Y

【答案】A

［解析］幾何體為如圖所示的四棱柱ABC。一A旦GA,其高為1,底面為等腰梯形ABCD，

該等腰梯形的上底為下底為20，腰長為1，故梯形的高為乎,

故匕BO-AlMGA=gx(J^+2J∑)x^xl=T,故選A?

10?如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（)

33

【答案】A

【解析】如圖，由三視圖知原幾何體是一個三棱錐A—BCO,ABL平面BC。，

Ij]2

BC-CD—y/2<BCLCD,AB=2>V=§AB?S[88=5x2x5x?^'x?>∕∑="故

選A.

11.（2021?北京卷）某一時間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而

在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：mm）.24h降雨量的等級劃分如

下:

等級24h降雨量精確到01）卜一200mmT

.............

小雨0.1-9.9

中雨10.0~24.9

大雨25.0?49.9

暴雨50.0~99.9

.............

在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm,高為30Omm的圓錐形雨量器.

若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示），則這24h降雨

量的等級是()

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】B

【解析】由題意，一個半徑為一=IOO(mm)的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為

一X詈=50(mm),高為150(mm)的圓錐，所以積水厚度

12

一"x5θ×150l≡,TU-HM3c

d='----------^=12?5(mm)'屬于中雨?故選區(qū)

12.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的樣卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如

圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，6根等長的正四棱柱體分成3組，經(jīng)

90°禪卯起來.若正四棱柱的高為8,底面正方形的邊長為2,現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形

容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為()(容器壁的厚度忽略不計，結(jié)果保留力).

【答案】B

【解析】若球形容器表面積最小，則正四棱柱與球內(nèi)接，此時球體的直徑等于一組正四棱柱

的體對角線長，即2R=茁+(2+2)2+2?=2?，所以R=0T，球形容器的表面積

S=4萬H?=84萬.故選B.

13.如圖所示，在正方體A88-A4CA中，S是棱Ag上任意一點，四棱錐S-ΛBCD的

體積與正方體ABC。-A4CR的體積之比為()

AB

111丁3

A.—B.一C.—D.不確定

234

【答案】B

【解析】設(shè)正方體的棱長為。，則正方體的體積V=/，易知四棱錐S-ΛBCD的高為S點

11〃3

2

到底面的距離，即側(cè)棱長,所以四棱錐S-ABCD體積為V'=3SABCD?M=∣β?β=y,

所以V'：V=L,故四棱錐S-ΛBCD的體積與正方體ABCD-AtBtCtDl的體積之比為1.

33

故選B.

14.正方體ABs-ABCR中，M為CG的中點，AB=2,下列說法正確的是（）

A.AjClBM

B.三棱錐C-BDM與剩余部分的體積比為《

c.直線G。與平面也加所成角的正弦值為正

6

TC

D.平面BDM截正方體內(nèi)切球的截面面積為一

3

【答案】BCD

【解析】因為ACLBG，所以AC不垂直于BM,所以選項A錯誤；

112222

=

^C-BDM^M-BCD=~×-×2×2×1=—,%余部分=8—ZW=8一§=§，所以

：FM=9,所以選項B正確；

V剩余部分U

設(shè)點C1到平面BDM距離為Zz,直線G。與平面BDM所成角為。.因為M為CG的中點，

12

所以Cl到平面BDM等于。到平面BDM的距離，VC.BDM=-S^BDMh=-f因為

12__

‰,w=τ×2√2×^=√6,所以/7=萬，所以Sine=-L=五=更，直線GD

2'OC1D2√26

與平面ADM所成角的正弦值為巫，所以選項C正確；

6

如圖，設(shè)。為正方體內(nèi)切球的球心，。,為截面圓的圓心，o∣為球。與底面ABer）的切點，

連接OlM,OOt,OM,OO2,則Oo21面BDM.Rt?0,0M中OiMOO2=OOiOM,

所以O(shè)a=°4°M隼OohN=、口，所以截面圓的面積為￡,

12

O1M√3√3V33

所以選項D正確.

故選：BCD.

15.在三棱錐P—ABC中，PA_L底面ABC,BCLPC,PA=AC=3,BC=a,動

點。從B點出發(fā)，沿外表面經(jīng)過棱PC上一點到點A的最短距離為加，則該棱錐的外接

球的表面積為（）

A.5萬B.8〃C.10〃D.20萬

【答案】B

【解析】將側(cè)面BBC沿PC翻折到與側(cè)面B4C共面，如下圖所示：

則動點。從B點出發(fā)，沿外表面經(jīng)過棱PC上一點到點A的最短距離為AB，

t?Λ4"L底面ABC,ACU平面ABC,.?.Λ4LAC,又BCLPC,PA^AC,

：.ZACB=-+-,

24

.?.AB2=AC1+BC2-2AC-SCcosZACB2+a2+2√2α×^=10,解得：a=2,

2

.?.PB=√PC2+BC2=√Λ42+AC2+BC2=2√2；取總中點。，連接AO,co，

/%_148,尸。，8。，，4。=。0=,23,，0為該棱錐的外接球的球心，其半徑

2

R=^-PB=-Jl,；?球O的表面積S=4乃R?=8%?故選B.

2

16.（2021?貴州模擬）如圖，在ABe中，AB=AC=6,CoSNBAC=-',D是梭BC

3

的中點，以AD為折痕把八48折疊，使點C到達點C'的位置，則當(dāng)三棱錐。-ABD體

積最大時，其外接球的表面積為（）

D.5π

【答案】D

【解析】在A6C中，因為AB=AC=石，cosZBAC=-1,由余弦定理可得

BC2^AB2+AC2-IAB-ACcosA=3+3-2XgX石x(—?)=8,所以BC=2√∑,

當(dāng)CD工BD,即CO_L平面他￡>,三棱錐C'-ABO體積最大，此時CZ>、O8、D4兩

兩垂直，可把三棱錐補形為一個長方體，且長方體長、寬、高分別為：1,JW,JΣ,所以三

棱錐C'-ABO的外接球半徑為：RXBD2+AD?+Ct+（應(yīng)）+（應(yīng)）=立,所

-2-22

以外接球的表面積為：S≈4πR2=4π×（^-）2=5π.故選D.

17.設(shè)正方體A88-AMGR內(nèi)部有兩個球。和色，已知球。與正方體的三個面相切，球

。2與正方體的六個面均相切，且球Q與球R也相切.設(shè)球。。2的半徑分別為4，弓，

則二=（）

r2

A.√3-λ^^B.2-√3C.D.I-立

22

【答案】B

【解析】不妨設(shè)正方體的棱長為2,球。I同時與以A為公共頂點的三個面相切.由題可知，

兩個球心Q,。2和兩球的切點均在體對角線AG上，兩個球在平面AACQ處的截面如圖所

示，則。2F=弓=1,Aa=竽=6，.?.AF=AO1-O2F=^3又

AF=Aa+。尸=石乙+4=（退+1）4，"=退-1=（有D=2￡、，；=2一6.

18.已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面.上，則該圓柱的

體積為（）

A.πB.-7ΓC.-D.-

424

答案B

解析繪制圓柱的軸截面如圖所示,由題意可得：AC=I,AB=；.結(jié)合勾股定理,得底面半徑

r=Jl-0=由圓柱的體積公式,可得圓柱的體積V=πr2h=π?X（J）=：兀.故選B.

19.（2021?全國）香水是香料溶于乙醇中的制品，早在公元前1500年，埃及艷后克婁巴特拉

七世就已經(jīng)開始用15種不同氣味的香水洗澡了.近年來，香水已經(jīng)逐漸成為眾多女士的日常

用品.已知“香奈兒”的一款飽受熱評的男士香水的包裝瓶如圖（1）所示，其三視圖如圖（2）

所示，其中圖（2）中方格小正方形的邊長為1,則該香水瓶的體積為（）

Il

A.乃+120B.2乃+120C.7+110D.2萬+110

【答案】D

【解析】由三視圖可得包裝瓶的直觀圖如圖所示：故其體積為

5×（24-2）+Λ-×12×2=110+2Λ?,

故選D.

20.（2021?山西太原模擬）如圖是某個四面體的三視圖，則下列結(jié)論正確的是（

健視圖

俯視圖

A.該四面體外接球的體積為48"

2萬

B.該四面體內(nèi)切球的體積為3

C.該四面體外接球的表面積為32島

D.該四面體內(nèi)切球的表面積為2萬

【答案】D

【解析】由三視圖還原原凡何體如圖，

可知該幾何體為三棱錐，底面三角形38為等腰直角三角形，BDLCD,BD=DC=2^2,

側(cè)棱A。_L底面38,且AQ=4夜.設(shè)三棱錐外接球的球心為°,BC的中點為E,連接紡,

則°E=5Λ°=2勺.外接球的半徑為如"（2偽2+2?=26,外接球的體積

4LL

V=—^×（2√3）3=32√3^,?ΓZ2Q

3,表面積為a4萬x（2W）=Λ48"；設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為r,由等

體積法可得：

IXL4χ2x4?∣2=LdX4χ2+2XLX20X4夜+-!-×4×6）rr=

323222解得：2,則三棱錐內(nèi)

匕x（也）3=也萬4兀x（也Y=2兀

切球的體積為323,表面積為2.綜上可知，A、3、C錯誤，

。正確.故選D.

21.兩個半徑都是r（r>l）的球。I和球R相切，且均與直二面角。一/一-的兩個半平面都

相切，另有一個半徑為1的小球。與這二面角的兩個半平面也都相切，同時與球。I和球。2

都外切，則廠的值為（）.

A.6+1B.√7+3C.也里D.五±2

22

答案D

解析?；三個球都與直二面角a-/一夕的兩個半平面相切，；./與。1、

。2、。共面.如圖所示，過點。1、。2分別作O2Nll,

垂足分別為點M,N,過點。分別作Q4_L/,OBIO1O2,則|。M=IaNI=J∑r,

QAI=&,I。網(wǎng)=I。2.=乙I=Ioal=r+l,|0卻=JOQJT。畫=√2r+l

?AB?=?OA?+?OB?=-J2+√2r+l=√2r.Λ√2T+T=0.近.等式兩邊平方得

2r+l=2∕-4r+2?化簡得2產(chǎn)—6r+l=0,Vr>b解之，得t?=史出,故選D.

2

22.已知一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的體積為（）

C."

πd

54542?r

【答案】D

【解析】由三視圖可知該幾何體是底面為邊長為2的正方形，斜高為的正四棱錐

S-ABCD,如下圖所示:

連接正方形ABCO的兩條對角線AC與3。，交于點。'，連接SO',則SO'是四棱錐

S-ABCD的高，設(shè)E為BC的中點，連接SE,則SELBC,設(shè)外接球的球心為0,則。

在SO'上.

連接。C,0'E,在R/ESOZ中，5E=√5.EO=I,EO'LSO',.?SOr=2.設(shè)外接

球的半徑為R,則。。'=|2-4，OC=R,OC=0,.??(2-A)2+(α)'=R-解得:

R=3,外接球的體積V=4%R3=3)[3]=2萬，故選D.

233⑵2

23.已知正多面體共有5種，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體.

任一個正多面體都有內(nèi)切球和外接球，若一個半徑為1的球既是一個正四面體的內(nèi)切球，又

是一個正六面體的外接球，則這兩個多面體的頂點之間的最短距離為（）

A.√3-1B.1C.2√2-1D.2

【答案】D

【解析】固定正四面體ABC。不動，則其內(nèi)切球也隨之固定，考慮頂點A與正六面體（即

正方體）的頂點的距離，當(dāng)正方體的頂點在球面上移動時，頂點A到球面上點的距離最小

值就是頂點A與正方體頂點距離的最小值，即當(dāng)球心和頂點A以及正方體的頂點共線且A

和正方體的頂點落在球心同側(cè)時取得最小值，由正四面體的內(nèi)切球半徑為1,根據(jù)正四面體

的特征，可知球心到頂點A的距離為3,所以頂點A到球面上點的距離最小值為3-1=2,

故選D.

24.已知圓柱的上、下底面的中心分別為0“。2,過直線5,0"的平面截該圓柱所得的截面是

面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為（）

A.12√2πB.12πC.8√2πD.10π

答案B

解析根據(jù)題意,可得截面是邊長為2√Σ的正方形，結(jié)合圓柱的特征,可知該圓柱的底面為半

徑是魚的圓，且高為2√Σ所以其表面積為$=2兀（&尸+2?！?.2√∑=12兀.故選B.

25.已知圓錐的表面積為9,且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面面積等

于.

答案:3

解析：S??=πrz+2r*πr=3τrr2=9.?.r2=??=Ttr2=3.

26.八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點A,B,C,D在同一個平面內(nèi)，如果四邊形

ABCD是邊長為30cm的正方形，則這個八面體的表面積為.

答案：1800√3cm2

解析：S≈8*-X302=1800√3cm2

4

27.（2021全國甲卷）己知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30乃則該圓錐的側(cè)面積為

【答案】39萬

【解析】：V=,萬62/=30萬.?.∕7=*.?./=病13

32^2^

=39萬.故答案為：39%.

28.球。的球心為點。,球O內(nèi)切于底面半徑為百、高為3的圓錐,三棱錐V-ABC內(nèi)接于球0,

已知OA±OB,AC±BC,則三棱錐V-ABC的體積的最大值為.

2+√2

答案

12

解析圓錐的母線長為行內(nèi)=2√3.設(shè)球O的半徑為r,則親=晶，解得

r=1,OA1OB,OA=OB=I：.AB=√2,"AC1BC,.??C在以AB為

直徑的圓上，???平面OABl平面ABC,；.O到平面4BC的距離為它

2

故U到平面ABC的最大距離為立+1,又C到AB的最大距離為立

22

???三棱錐V-ABC的體積的最大值為％×1×√2×^×(^+1)=?

322'2y12

故答案為?2叵

29.中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉喘.若三

棱錐P-ABC為鱉膈，且P4J_平面ABC,PA=2,AB=3,BC=4,AB1BC,則該攀席

的外接球的體積為._______

29π√^

解析可以把幾何體放在長方體中研究，如圖所示，['JJ

所以長方體的體對角線長為，√22+32+42=√29=2R：.R=a—LB

亭.所以該幾何體的外接球的體積為U=,R3=?XCPy二二竺

故答案為包竺

6

30.在三棱錐A-3CZ)中，AB=CD=?,AD=BC=2,ZΛfiC=90o,則該三棱錐的外接球的

表面積為該三棱錐的體積的最大值為.

答案：5π,莊

15

解析：取4C的中點E,連接DE,如圖在^ABC中，VAB=1,BC=2ZABC=90°

■'-AC=√5,在AACO中VCD=1,AD=2,AC=√5,'-AD2+CD2=AC2：.ZADC=

90°：.ABC,△?!CD都是以4C為斜邊的直角三角形二.AC的中點E到三棱錐A-BCD的四個

頂點A、B、C、。的距離相等.,AC的中點E是三棱錐的外接球的球心，.?.r=AE=*=更

22

.?.三棱錐的外接球的表面積：S=4τ∏?2=57r?.?三棱錐的體積：V=i?

?】/

AAB?

SdABC.%，由延息倚：SAABC—]Xlx2-1.??l4nαχ—Q.SCh7naχ.e；,

a

而hmax表示點D到平面ABC的最大距離.當(dāng)平面ACDL平面ABC時，,B

九取得最大值，此時九小以為^ACD中點D到邊AC的距離.?.%χ=?=黑=

mAC√5

2√5,1.C12√542√5

M-Vmax=；,h,SXABC=』

?j3maxjXk?Xl=-J.>?

31.在梯形A5C。中，NABC=NBAD=90，AB=BC=-AD=I,"為AC的中點，

2

將，ABC沿直線AC翻折成VAB0,當(dāng)三棱錐用-ACO的體積最大時，過點M的平面

截三棱錐Bi-ACD的外接球所得截面面積的最小值為.

TT

【答案】-

2

【解析】如下圖所示，連接與M,則4"LAC,

則NAgC=90,故4MJ/igC=孽=也,設(shè)

AC√22

二面角4-AC—。的平面角為a,設(shè)三棱錐A-AC。

的高為h,則〃=B.Msina=—,

12

.z_1c,_1c√2.

v111a≤

Bl-ACD=ISACD?〃=ACD'??~?ACD，

當(dāng)且僅當(dāng)a=90時，等號成立，即當(dāng)平面gAC_L平面AcD時，三棱錐與-ACO的體積

最大，AC=√2-AB=BC=I,ZABC=90)故ABC為等腰直角三角形，且

ZACB=45，

在梯形ABCo中，ZABC=ZBAD=90,則B0/AO,所以，ZCADZACB=45,

在/MCO中，AC=6，Az)=2，ZCAD=45，由余弦定理可得

CD=√AC2+AD2-2AC?ADCOS45=√2>故AC2+CD2=AD2):.CDVAC,

因為平面片AC_L平面AC。，平面目AC平面ACZ)=AC,CDVAC,CZ)U平面

λ

ACD,?CD平面片AC,ABlU平面與AC,則A用LCD,因為A用IB1C,

BCCCf>=C,.?.AB∣_L平面8∣CO,B