（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 專題10 計(jì)數(shù)原、概率與統(tǒng)計(jì) 79 排列與組合 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

訓(xùn)練目標(biāo)會(huì)應(yīng)用排列、組合的計(jì)算公式解決與排列組合有關(guān)的實(shí)際問題.訓(xùn)練題型(1)排列問題；(2)組合問題；(3)排列與組合綜合應(yīng)用問題.解題策略將常見的排列組合問題分成不同類型，并掌握各種類型的解法，弄清問題實(shí)質(zhì)，做到融會(huì)貫通.1．(2015·杭州市余杭區(qū)模擬)設(shè)集合A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，如果方程x2－mx－n＝0(m，n∈A)至少有一個(gè)根x0∈A，就稱方程為合格方程，則合格方程的個(gè)數(shù)為________．2．(2015·德陽診斷)學(xué)校計(jì)劃利用周五下午第一、二、三節(jié)課舉辦語文、數(shù)學(xué)、英語、理綜4科的專題講座，每科一節(jié)課，每節(jié)至少有一科，且數(shù)學(xué)、理綜不安排在同一節(jié)，則不同的安排方法共有________種．3．“2012”含有數(shù)字0,1,2，且有兩個(gè)數(shù)字2.則含有數(shù)字0,1,2，且有兩個(gè)相同數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為________．4．(2015·南昌二中期末)設(shè)集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}，A?S，a1，a2，a3滿足a1<a2<a3且a3－a2≤6，那么滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為________．5．(2015·濟(jì)南模擬)將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色，若只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)有________種．6．(2015·合肥一中、安師大附中等六校素質(zhì)測試)某動(dòng)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系第一象限的整點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)(含x，y正半軸上的整點(diǎn))，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為(m，n)→(m＋1，n＋1)或(m，n)→(m＋1，n－1)．若該動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過6步運(yùn)動(dòng)到(6,2)點(diǎn)，則有________種不同的運(yùn)動(dòng)軌跡．7．將數(shù)字1,2,3,4填入表格內(nèi)，要求每行、每列的數(shù)字互不相同，如圖所示，則不同的填表方式共有________種.12344312214334218.某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有________種．9．某電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中有3個(gè)不同的商業(yè)廣告，2個(gè)不同的兩會(huì)宣傳片，1個(gè)公益廣告，要求最后播放的不能是商業(yè)廣告，且兩會(huì)宣傳片與公益廣告不能連續(xù)播放，2個(gè)兩會(huì)宣傳片也不能連續(xù)播放，則不同的播放方式的種數(shù)是________．10．某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要先后單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行．那么安排這6項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是________(用數(shù)字作答)．11．將7名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安排兩名學(xué)生，那么互不相同的分配方案共有________種．12．(2015·湖北武漢武昌區(qū)調(diào)考)“漸升數(shù)”是指除最高位數(shù)字外，其余每一個(gè)數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如13456和35678都是五位的“漸升數(shù)”)．(1)共有________個(gè)五位“漸升數(shù)”(用數(shù)字作答)；(2)如果把所有的五位“漸升數(shù)”按照從小到大的順序排列，則第110個(gè)五位“漸升數(shù)”是____________．13．(2015·浙江名校交流卷一)A，B，C，D，E，F(xiàn)六位同學(xué)和一位數(shù)學(xué)老師站成一排合影留念，數(shù)學(xué)老師穿白色文化衫，A，B和C，D分別穿白色和黑色文化衫，E和F分別穿紅色和橙色文化衫．若老師站中間，穿著相同顏色文化衫的都不相鄰，則不同的站法種數(shù)為________．14.如圖所示，將圓分成n個(gè)區(qū)域，用3種不同顏色給每一個(gè)區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域顏色互異，把不同的染色方法種數(shù)記為an.(1)a4＝________；(2)an＝________.答案解析1．17解析當(dāng)m＝0時(shí)，取n＝0,1,4，方程為合格方程；當(dāng)m＝1時(shí)，取n＝0,2,6，方程為合格方程；當(dāng)m＝2時(shí)，取n＝0,3，方程為合格方程；當(dāng)m＝3時(shí)，取n＝0,4，方程為合格方程；當(dāng)m＝4時(shí)，取n＝0,5，方程為合格方程；當(dāng)m＝5時(shí)，取n＝0,6，方程為合格方程；當(dāng)m＝6時(shí)，取n＝0,7，方程為合格方程；當(dāng)m＝7時(shí)，取n＝0，方程為合格方程．綜上可得，合格方程的個(gè)數(shù)為17.2．30解析由于每科一節(jié)課，每節(jié)至少有一科，必有兩科在同一節(jié)，先從4科中任選2科看作一個(gè)整體，然后做3個(gè)元素的全排列，共Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種方法，再從中排除數(shù)學(xué)、理綜安排在同一節(jié)的情形，共Aeq\o\al(3,3)種方法，故總的方法種數(shù)為Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(3,3)＝36－6＝30.3．24解析依題意，就所含的兩個(gè)相同數(shù)字是否為0進(jìn)行分類計(jì)數(shù)：第一類，所含的兩個(gè)相同數(shù)字是0,則滿足題意的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6；第二類，所含的兩個(gè)相同數(shù)字不是0，則滿足題意的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3)＝18.由分類計(jì)數(shù)原理得，滿足題意的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為6＋18＝24.4．83解析在集合S中任取三個(gè)數(shù)共有Ceq\o\al(3,9)＝84種情況，這三個(gè)數(shù)大小關(guān)系確定，其中不滿足a3－a2≤6，即最大數(shù)減去次大數(shù)大于6的情況只有1種，即a1＝1，a2＝2，a3＝9，其他均滿足題意，所以滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(3,9)－1＝83.5．72解析共有選法：Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1)＝72種．6．9解析方法一如圖所示，該動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，第一次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)K(1,1)，第二次從K點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)I(2,2)或者J(2,0)，以此類推，最后到達(dá)A(6,2)，則不同的運(yùn)動(dòng)軌跡有：O→K→I→G→D→B→A；或O→K→J→H→E→B→A；……一共有9種不同的運(yùn)動(dòng)軌跡．方法二每一步向右上或右下，所以只關(guān)心在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)情況，即確定6步運(yùn)動(dòng)中哪兩步往下即可，共有Ceq\o\al(2,6)種，其中第一步不能向下，不符合要求的有Ceq\o\al(1,5)種，當(dāng)?shù)谝徊较蛏?，第二、三步向下時(shí)，也不符合要求，去掉這一種情況，所以不同的運(yùn)動(dòng)軌跡種數(shù)為Ceq\o\al(2,6)－(Ceq\o\al(1,5)＋1)＝9.7．576解析因?yàn)槊啃?、每列的?shù)字互不相同，所以每填一個(gè)數(shù)字，就會(huì)去掉一行一列，因此按全排列：42×32×22×1＝576.8．30解析方法一可分兩種互斥情況：A類選1門，B類選2門或A類選2門，B類選1門，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)＝18＋12＝30(種)選法．方法二總共有Ceq\o\al(3,7)＝35(種)選法，減去只選A類的Ceq\o\al(3,3)＝1(種)，再減去只選B類的Ceq\o\al(3,4)＝4(種)，故有30種選法．9．108解析首先排列3個(gè)商業(yè)廣告，有Aeq\o\al(3,3)種結(jié)果，再在3個(gè)商業(yè)廣告形成的4個(gè)空中排入另外3個(gè)廣告，注意最后一個(gè)位置的特殊性，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)種結(jié)果，故不同的播放方式的種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝108.10．20解析依題意，知工程甲、乙、丙、丁的進(jìn)行順序一定并且丙、丁相鄰，因此只需將剩余兩個(gè)工程插在甲、乙、eq\x(丙丁)的中間或兩端，由分步計(jì)數(shù)原理得不同排法的種數(shù)為4×5＝20.也可以這樣考慮，先把丙、丁捆綁看做一個(gè)工程，如果不考慮甲、乙、eq\x(丙丁)的順序，則有Aeq\o\al(5,5)種排法，而甲、乙、eq\x(丙丁)共有Aeq\o\al(3,3)種排法，因此共有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))＝20種排法．11．112解析不同的分配方案共有Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(5,7)Ceq\o\al(2,2)＝112(種)．12．(1)126(2)34579解析(1)根據(jù)題意，“漸升數(shù)”中不能有0，則在其他9個(gè)數(shù)字中任取5個(gè)，每種取法對(duì)應(yīng)一個(gè)“漸升數(shù)”，則共有“漸升數(shù)”Ceq\o\al(5,9)＝126個(gè)．(2)對(duì)于這些“漸升數(shù)”，1在首位的有Ceq\o\al(4,8)＝70個(gè)，2在首位的有Ceq\o\al(4,7)＝35個(gè)，3在首位的有Ceq\o\al(4,6)＝15個(gè)．對(duì)于3在首位的“漸升數(shù)”中，前四位數(shù)字是3456的五位“漸升數(shù)”有Ceq\o\al(1,3)＝3個(gè)，前四位數(shù)字是3457的五位“漸升數(shù)”有2個(gè)，依次為34578,34579，所以第110個(gè)五位“漸升數(shù)”是34579.13．160解析按先排白色，再排黑色，最后排紅色和橙色的順序進(jìn)行，白色分下面4種情況：白白白此時(shí)兩個(gè)黑色有Ceq\o\al(2,4)－1種位置；白白白此時(shí)兩個(gè)黑色有Ceq\o\al(2,4)－2種位置；白白白此時(shí)兩個(gè)黑色有Ceq\o\al(2,4)種位置；白白白此時(shí)兩個(gè)黑色有Ceq\o\al(2,4)－1種位置．排完白色和黑色后，紅色和橙色有2種排法，所以共有(4Ceq\o\al(2,4)－4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝160種排法．14．(1)18(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1,2n＋2－1n，n≥2))解析(1)設(shè)三種不同顏色分別為甲、乙、丙三種．n＝4時(shí)，第1區(qū)域有3種選擇，第2區(qū)域有2種選擇，因?yàn)榈?區(qū)域要與第1區(qū)域顏色不同，故對(duì)第3區(qū)域的選擇分類討論：當(dāng)?shù)?區(qū)域與第1區(qū)域顏色相同時(shí)，第4區(qū)域有2種選擇；當(dāng)?shù)?區(qū)域與第1區(qū)域顏色不同時(shí)，第4區(qū)域僅有1種選擇．所以a4＝3×2×(2＋1)＝18.(2)當(dāng)將圓分成n(n≥3)個(gè)區(qū)域，用3種不同顏色給每一個(gè)區(qū)域染色時(shí)，第1區(qū)域有3種染色方案，第2區(qū)域至第n－1區(qū)域有2種染色方案．此時(shí)考慮第n區(qū)域也有2種涂色方案，在此情況下有兩種情況：情況一：第n區(qū)域與第1區(qū)域同色，此時(shí)相當(dāng)于將這兩區(qū)域重合，這時(shí)問題轉(zhuǎn)化為用3種不同顏色給圓上n－1個(gè)區(qū)域涂色，且相鄰區(qū)域顏色互異，即為an－1種染色方案；情況二：第n區(qū)域與第1區(qū)域不同色，此時(shí)問題就轉(zhuǎn)化為用3種不同顏色給圓上n個(gè)區(qū)域染色，且相鄰區(qū)域顏色互異，即此時(shí)的情況就是an.根據(jù)分類原理可知3·2n－1＝an＋an－1，且滿足初始條件：a4＝18.即遞推公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝3·2n－1－an－1，,a4＝18.))由an＝3·2n－1－an－1變形得an－2n＝－(an－1－2n－1)，