（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三章 選考部分 第1講 幾何證明選講練習(xí) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

1.(2014·江蘇卷)如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn).求證：∠OCB＝∠D.證明因?yàn)锽，C是圓O上的兩點(diǎn)，所以O(shè)B＝OC.故∠OCB＝∠B.又因?yàn)镃，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，故∠B，∠D為同弧所對的兩個圓周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.2.(2013·江蘇卷)如圖，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，AC經(jīng)過圓心O，且BC＝2OC.求證：AC＝2AD.證明連接OD.因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因?yàn)椤螦＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以eq\f(BC,OD)＝eq\f(AC,AD).又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.3.(2012·江蘇卷)如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長至點(diǎn)C，使BD＝DC，連接AC，AE，DE.求證：∠E＝∠C.證明如圖，連接OD，因?yàn)锽D＝DC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥AC，于是∠ODB＝∠C.因?yàn)镺B＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因?yàn)辄c(diǎn)A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以∠E和∠B為同弧所對的圓周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.4.(2011·江蘇卷)如圖，圓O1與O2內(nèi)切于點(diǎn)A，其半徑分別為r1與r2(r1>r2).圓O1的弦AB交圓O2于點(diǎn)C(O1不在AB上).求證：AB∶AC為定值.證明如圖，連接AO1，并延長分別交兩圓于點(diǎn)E和點(diǎn)D，連接BD、CE.∵圓O1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，∴點(diǎn)O2在AD上，故AD、AE分別為圓O1，圓O2的直徑.從而∠ABD＝∠ACE＝90°.∴BD∥CE，于是eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(2r1,2r2)＝eq\f(r1,r2)，∴AB∶AC為定值.5.(2015·湖南卷)如圖，在⊙O中，相交于點(diǎn)E的兩弦AB，CD的中點(diǎn)分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點(diǎn)F.證明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.證明(1)如圖所示，因?yàn)镸，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°，又四邊形的內(nèi)角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四點(diǎn)共圓，故由割線定理即得FE·FN＝FM·FO.6.(2016·無錫一模)如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點(diǎn)P，E為⊙O上一點(diǎn)，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(AE,\s\up8(︵))，DE交AB于點(diǎn)F.(1)證明：DF·EF＝OF·FP；(2)當(dāng)AB＝2BP時，證明：OF＝BF.證明：(1)如圖，連接EO，因?yàn)閑q\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(AE,\s\up8(︵))，所以∠AOE＝∠CDE，所以∠EOF＝∠PDF，又∠EFO＝∠PFD，所以△EFO∽△PFD，所以eq\f(OF,DF)＝eq\f(EF,PF)，所以DF·EF＝OF·FP.(2)設(shè)BP＝a，由AB＝2BP，得AO＝BO＝BP＝a，由相交弦定理得DF·EF＝AF·BF，由(1)得AF·BF＝OF·FP，所以(a＋OF)·BF＝OF·(a＋BF)，所以O(shè)F＝BF.7.(2016·蘇州一模)如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠BFE＝∠C.(1)求證：△ABF∽△EAD；(2)若∠BAE＝30°，AD＝3，求BF的長.(1)證明因?yàn)锳B∥CD，所以∠BAF＝∠AED.又因?yàn)椤螧FE＝∠C，∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠ADE，所以∠BFA＝∠ADE.所以△ABF∽△EAD.(2)解因?yàn)锽E⊥CD，AB∥DC，所以EB⊥AB，△ABE為直角三角形，因?yàn)椤螧AE＝30°，所以∠AEB＝60°，所以eq\f(AB,AE)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)，又△ABF∽△EAD，所以eq\f(BF,AD)＝eq\f(AB,AE)，所以BF＝eq\f(AB,AE)·AD＝eq\f(3\r(3),2).8.(2015·全國Ⅱ卷)如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，⊙O與△ABC的底邊BC交于M、N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB、AC分別相切于E、F兩點(diǎn).(1)證明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半徑，且AE＝MN＝2eq\r(3)，求四邊形EBCF的面積.(1)證明由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分線.又因?yàn)椤袿分別與AB，AC相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，所以AE＝AF，故AD⊥EF.從而EF∥BC.(2)解由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分線，又EF為⊙O的弦，所以O(shè)在AD上.連接OE，OM，則OE⊥AE.由AG等于⊙O的半徑得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等邊三角形.因?yàn)锳E＝2eq\r(3)，所以AO＝4，OE＝2.因?yàn)镺M＝OE＝2，DM＝eq\f(1,2)MN＝eq\r(3)，所以O(shè)D＝1.于是AD＝5，AB＝eq\f(10\r(3),3).所以四邊形EBCF的面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc