2023版高考數(shù)學一輪復習講義：第三章導數(shù)及其應(yīng)用3-2 導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

第二節(jié)導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

,最新考綱,

1.了解函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系.

2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不會超過

三次).

3.了解函數(shù)在某點取得的極值的必要條件和充分條件.

4.會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).

5.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).

?考向預測?

考情分析：本節(jié)一直是高考的重點和難點，一般以基本函數(shù)為載體，利用導數(shù)研究函數(shù)

的單調(diào)性、極值及最值，求解中多利用分類討論思想，題型主要以解答題為主，屬中高檔題.

學科素養(yǎng)：通過利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)考查數(shù)學抽象、數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

積累必備知識——基礎(chǔ)落實贏得良好開端

一、必記3個知識點

1.函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系

函數(shù)y=/&)在某個區(qū)間內(nèi)可導：

(1)若/(x)>0,則xx)在這個區(qū)間內(nèi).

(2)若/(x)<0,則在這個區(qū)間內(nèi).

(3)若/(x)=0,則火x)在這個區(qū)間內(nèi).

［提醒］注意兩種表述“函數(shù)火X)在3,份上為減函數(shù)”與“函數(shù)兀V)的減區(qū)間為(4,3”

的區(qū)別.若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間不能用并集“U”及“或”連接,

只能用“，”或“和”字隔開.

2.函數(shù)的極值與導數(shù)

(1)函數(shù)的極小值與極小值點

若函數(shù)火x)在點x=a處的函數(shù)值_/(")比它在點x=”附近其他點的函數(shù)值,而

且在x=α附近的左側(cè),右側(cè),則α點叫做函數(shù)的極小值點，人。)叫做函數(shù)

的極小值.

(2)函數(shù)的極大值與極大值點

若函數(shù)負x)在點X=b處的函數(shù)值Hb)比它在點X=b附近其他點的函數(shù)值,

左側(cè);右側(cè),則〃點叫做函數(shù)的極大值點，負加叫做函數(shù)的極大值.

［提醒］(1)函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能稱為極值點.

(2)在函數(shù)的整個定義域內(nèi)，極值不一定是唯一的，有可能有多個極大值或極小值.

3.函數(shù)的最值與導數(shù)

(1)函數(shù)在他，句上有最值的條件

如果在區(qū)間［“，句上函數(shù)y=∕(x)的圖象是一條的曲線，那么

它必有最大值和最小值.

(2)求y=∕(x)在［α,加上的最大(小)值的步驟

①求函數(shù)y=∕(x)在3,份內(nèi)的.

②將函數(shù)y=∕(x)的各極值與端點處的函數(shù)值負。),人份比較，其中最大的一個是最大值，

最小的一個是最小值?

［提醒］極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值卻可以在區(qū)間的端點處取得，有極值的未

必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值.

二、必明4個常用結(jié)論

I./(χ)>o是函數(shù)為增函數(shù)的充分不必要條件.

2./(x)W0是函數(shù)火X)為減函數(shù)的必要不充分條件.

3.若函數(shù)在開區(qū)間(”,份內(nèi)的極值點只有一個，則相應(yīng)極值點為函數(shù)最值點.

4.若函數(shù)在閉區(qū)間［α,句的最值點不是端點，則最值點亦為極值點.

三、必練4類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

I.判斷下列說法是否正確(請在括號中打“"”或"X").

(1)若函數(shù)T(X)在3,6)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有了(χ)>0.()

(2)如果函數(shù)4X)在某個區(qū)間內(nèi)恒有/(x)=0,則4X)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.()

(3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.()

(4)對可導函數(shù)/(x),/(xo)=O是Xo點為極值點的充要條件.()

(5)函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值.()

(6)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值.()

(二)教材改編

2.［選修2-2?P26練習T2改編］函數(shù)於)的導函數(shù)/(x)有下列信息時，

②尸(x)<0時，x<-l或x>2；③-(X)=O時，X=-I或x=2.則函數(shù).穴x)的大致圖象是()

3.［選修2-2?P30例5改編］已知函數(shù)段)=Λ3-6χ2+9x,則於)在閉區(qū)間［-1,5］上的

最小值為,最大值為.

(三)易錯易混

4.(極值點存在的條件不清致誤)已知函數(shù)y=Λx)的導函數(shù)y=∕(x)的圖象如圖所示，則

函數(shù)y=∕(χ)在區(qū)間3,力內(nèi)的極小值點的個數(shù)為()

?VTObX

A.lB.2C.3D.4

5.(極值點存在的條件不清致誤)設(shè)α∈R,若函數(shù)y=e，+必有大于零的極值點，則實

數(shù)α的取值范圍是.

(四)走進高考

6.［全國卷I］已知函數(shù)y(x)=2sinx+sin2x,則火x)的最小值是.

第二節(jié)導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

積累必備知識

1.(1)單調(diào)遞增(2)單調(diào)遞減

(3)不具備單調(diào)性

2.(1)都小/(X)VO/(x)>0

(2)都大/(x)>0/(x)<0

3.(1)連續(xù)不斷(2)極值

-ΞZ2.、

1.答案：(I)X(2)√(3)√(4)×(5)×(6)√

2.解析：根據(jù)信息知，函數(shù)兀0在(-1,2)上是增函數(shù)，在(一8,-1),(2,+∞)±

是減函數(shù).

答案：C

3.解析：f(x)=3x2—12r+9,

令F(X)=0,即x~—4x+3=0,解得X=I或X=3,

當一IVKl或3<x<5時，/(Λ)>0,

所以式x)在(一1,1),(3,5)上為增函數(shù)，

當l<v<3時，f(x)<O,所以於)在(1,3)上為減函數(shù)，Λ-l)=-16,/3)=0,/1)=4,

15)=20,故7U)在閉區(qū)間［―1,5］上的最小值為一16,最大值為20.

答案：一1620

4.解析：如圖,在區(qū)間3,6)內(nèi),/(c)=0,

且在X=C附近的左側(cè)/(x)<0,右側(cè)/(x)>0,所以在區(qū)間(4,份內(nèi)只有1個極小值點.

答案：A

5.解析：?.?y=e'+αv,.'.y'=ex+a.

:函數(shù)y=e*+ox有大于零的極值點，且函數(shù)y=e*+α在R上單調(diào)遞增.

二只需方程e*+α=O有大于零的解.

：當Qo時，-e*<-l.

Λa=-ev<-l.

答案：(一8,—1)

6.解析：,.*y(x)=2sinx÷sinIx,

Vcos%÷120,

...當cosXq時，/(x)<0,危)單調(diào)遞減,

當CoSXW時，/(x)>0,7W單調(diào)遞