廣西壯族自治區(qū)玉林市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

玉林市2023年秋季期高一年級期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)（試卷總分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出補集，進(jìn)而求出交集.【詳解】由題意可得或，則.故選：A2.函數(shù)的定義域為（）A且 B.C.且 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義的要求列不等式求函數(shù)定義域.【詳解】由函數(shù)解析式有意義可得且所以函數(shù)的定義域是且，故選：A.3.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角和的正切公式化簡得，由得最小，再利用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較即可.【詳解】由，又，所以最??；由冪函數(shù)在單調(diào)遞增，所以；又由指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故，即；綜上，.故選：A.4.若，且為第三象限角，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系得到，利用正切二倍角公式計算出答案.【詳解】，且為第三象限角，故，，則.故選：D5.下列說法中正確的是（）A.若，且，則B.函數(shù)的圖象是一條直線C.命題“，”的否定是“，”D.函數(shù)的最小值為4【答案】C【解析】【分析】利用作差法可得，即A錯誤；根據(jù)函數(shù)圖象可知的圖象是一系列的散點，即B錯誤；由含有一個量詞命題的否定形式可知C正確；利用基本不等式可得等號不成立，所以D錯誤.【詳解】對于A，利用作差法可得，由，且可得，所以，可知A錯誤；對于B，函數(shù)的圖象是不連續(xù)的散點，并不是直線，即B錯誤；對于C，由含有一個量詞命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”，即C正確；對于D，當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，顯然等號取不到，所以D錯誤；故選：C6.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】得出平移后的方程后，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】的圖像向左平移個單位長度后為，由關(guān)于軸對稱，即有，解得，又，故的最小值為.故選：C.7.已知函數(shù)的值域為R，則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分段函數(shù)值域為R，在x＝1左側(cè)值域和右側(cè)值域并集為R.【詳解】當(dāng)，∴當(dāng)時，，∵的值域為R，∴當(dāng)時，值域需包含，∴，解得，故選：C.8.2024年1月5日，第40屆中國·哈爾濱國際冰雪節(jié)，在哈爾濱冰雪大世界園區(qū)開幕，現(xiàn)場流光溢彩，游客如湖，充滿熱情與活力．該園區(qū)為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量）與時間的關(guān)系為（為最初污染物數(shù)量）．如果前2個小時消除了20%的污染物，那么前6個小時消除了污染物的（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先通過前2小時消除了20%的污染物求出，再令可求出答案.【詳解】依題意有，可得，當(dāng)時，因此，前6個小時消除了污染物的.故選∶B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列論述中，正確的有（）A.正切函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)B.若是第一象限角，則是第一或第三象限角C.銳角一定是第一象限的角D.圓心角為且半徑為2的扇形面積是【答案】BCD【解析】【分析】由正切函數(shù)單調(diào)性判斷選項A；列不等式求的范圍判斷選項B；由象限角的定義判斷選項C；求扇形面積驗證選項D.【詳解】正切函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，在定義域內(nèi)不單調(diào)，A選項錯誤；若是第一象限角，則，得，為偶數(shù)時，是第一象限角；為奇數(shù)時，是第三象限角，B選項正確；銳角的范圍是，一定是第一象限的角，C選項正確；圓心角為且半徑為2的扇形面積是，D選項正確.故選：BCD10.函數(shù)s=f（t）的圖像如圖所示（圖像與t正半軸無限接近，但永遠(yuǎn)不相交），則下列說法正確的是（）A.函數(shù)s=f（t）的定義域為[-3，+∞）B.函數(shù)s=f（t）的值域為（0，5]C.當(dāng)s∈[1，2]時，有兩個不同的t值與之對應(yīng)D.當(dāng)時，【答案】BD【解析】【分析】由函數(shù)的定義域值域與單調(diào)性結(jié)合圖象逐一判斷即可求解【詳解】對于A：由圖象可知：函數(shù)s=f（t）在沒有圖象，故定義域不是[-3，+∞），故A錯誤；對于B：由圖象可知函數(shù)s=f（t）的值域為（0，5]，故B正確；對于C：由圖象可知，當(dāng)時，有3個不同的t值與之對應(yīng)，故C錯誤；對于D：由圖象可知函數(shù)s=f（t）在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，故D正確；故選：BD11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點O為圓心的圓與x軸正半軸交于點．已知點在圓O上，點T的坐標(biāo)是，則下列說法中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.，則 D.若，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)弧長公式可判斷A的正誤；由正弦線余弦線的定義即可判斷B的正誤；當(dāng)時，可知可判斷C的正誤；當(dāng)時成立，故也一定滿足，此時可判斷D的正誤.【詳解】由于單位圓的半徑為1，根據(jù)弧長公式有，所以A正確．由于B是∠AOB的一邊與單位圓的交點，是對應(yīng)∠AOB的正弦值，即，所以是對應(yīng)∠AOB的余弦值，即，所以B錯誤．當(dāng)時，，，所以C錯誤．反過來，當(dāng)，即時，一定成立，所以D正確．故選：AD．12.已知函數(shù)，則下列選項中結(jié)論正確的是（）A.由可得是的整數(shù)倍B.函數(shù)為偶函數(shù)C.函數(shù)在為減函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間上有19個零點【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換求得的解析式，對于A，取特殊值，，即可得出判斷，對于B，求出的表達(dá)式，由三角函數(shù)的奇偶性即可判斷，對于C，當(dāng)時，求得，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性即可判斷；對于D，令，則，由題意解得，由此即可判斷．【詳解】由題意得函數(shù)，對于A，當(dāng)時，，但不是的整數(shù)倍，A錯誤；對于B，是偶函數(shù)，B正確；對于C，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，知在上為減函數(shù)，C正確；對于D，令，則，即，由，解得，因為，所以，因此在區(qū)間上有20個零點，D錯誤，故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.計算：______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的運算公式進(jìn)行求解.【詳解】，故答案為：2.14.設(shè)函數(shù)，則_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式代入即可得出答案.【詳解】由題意，在中，，故答案為：.15.已知函數(shù)，，則的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】由得到，再根據(jù)余弦函數(shù)圖象和性質(zhì)得到答案.【詳解】因為，所以，所以由余弦函數(shù)圖象和性質(zhì)可知，所以的最小值為，故答案為：.16.若函數(shù)在其定義域內(nèi)的給定區(qū)間上存在實數(shù)，滿足，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，是它的一個均值點．設(shè)函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，1是函數(shù)的一個均值點，則所有滿足條件的實數(shù)對為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件表示出，化簡整理可得，結(jié)合k的范圍可求出t的范圍.【詳解】由題意的，則，且，由題意可知，即，所以，因為，所以，則，又因為，且，則，則當(dāng)時，成立，所以是滿足條件的實數(shù)對.故答案為：【點睛】方法點睛：函數(shù)類新定義的題型，要緊緊圍繞新定義的規(guī)則解題，由，代入函數(shù)解析化簡，結(jié)合，且，求值即可.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟．17.已知1與2是三次函數(shù)的兩個零點.（1）求的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)零點的定義得，解方程即可得答案；（2）由（1）得，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)解不等式即可.【詳解】解：（1）因為1與2是三次函數(shù)的兩個零點所以根據(jù)函數(shù)的零點的定義得：，解得：.（2）由（1）得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得不等式的解集為：所以不等式的解集為18.在平面直角坐標(biāo)系中，角以原點為頂點，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點.求:(1)的值；(2)的值.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)定義求出，用誘導(dǎo)公式化簡求值式后代入可得；（2）把的二次齊次式化為的式子，再代入求值．【詳解】(1)由三角函數(shù)定義可得:，所以，.又.所以，原式.(2).由.所以，原式.【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義，考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式．三角函數(shù)公式較多，在理解基礎(chǔ)上加強(qiáng)記憶是正確解決問題的關(guān)鍵．19.已知函數(shù)（且）在區(qū)間上的最大值是2．（1）求的值；（2）若函數(shù)的定義域為，求關(guān)于的不等式的解集．【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性和最值，求的值；（2）由的定義域為，求的值，利用單調(diào)性解對數(shù)不等式.【小問1詳解】已知函數(shù)（且）在區(qū)間上的最大值是2．時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有或，解得或.小問2詳解】函數(shù)的定義域為，則恒成立，有，由（1）可知，，即，得，解得，即不等式的解集為.20.專家研究高一學(xué)生上課注意力集中的情況，發(fā)現(xiàn)注意力指數(shù)與聽課時間（單位：）之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線．當(dāng)時，曲線是二次函數(shù)圖象（其對稱軸為）的一部分，當(dāng)時，曲線是函數(shù)圖象的一部分．專家認(rèn)為，當(dāng)注意力指數(shù)大于或等于80時定義為聽課效果最佳．（1）試求的函數(shù)關(guān)系式．（2）若不聽課效果最佳，建議老師多提問，增加學(xué)生活動環(huán)節(jié)．請問應(yīng)在哪一個時間段建議老師多提問，增加學(xué)生活動環(huán)節(jié)？并說明理由．【答案】（1）（2）和這兩個時間段建議老師多提問，增加學(xué)生活動環(huán)節(jié)，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題目信息和圖象，分和兩種情況，代入點，求出解析式；（2）分和兩種情況，得到不等式，解不等式求出解集，得到結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時，設(shè)，將代入得，，解得，故，將代入得，解得，故，綜上，【小問2詳解】時，令，解得，時，，解得，故和這兩個時間段建議老師多提問，增加學(xué)生活動環(huán)節(jié).21.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有兩個不等實根，求實數(shù)的取值范圍．【答案】21.22.【解析】【分析】（1）利用最值求，利用周期求，利用圖象上的點，可得的解析式；（2）由函數(shù)圖象變換得解析式，利用單調(diào)性結(jié)合區(qū)間端點處的函數(shù)值，判斷實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由圖象可知，，最小正周期，，，，，則，所以.【小問2詳解】的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，時，，其中時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，在上有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍為22.已知函數(shù)；．（1）解關(guān)于的不等式；（2）對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性化簡抽象不等式得出正弦型函數(shù)，再根據(jù)其圖象求得解集；（2）利用巧妙替換，將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化成的不等式，