《1.4充分條件與必要條件》同步練習及答案（共五套）

《1.4充分條件與必要條件》分層同步練習（一）基礎鞏固1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的()A.充分不必要條件 B．充分必要條件C.必要不充分條件 D．非充分非必要條件2.設四邊形ABCD的兩條對角線為AC,BD,則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不必要條件 B．必要不充分條件C.充要條件 D．既不充分也不必要條件3.已知命題“若p,則q”,假設其逆命題為真,則p是q的().A.充分條件B.必要條件C.既不充分也不必要條件D.無法判斷4．若x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分條件，則實數A．x|-3C．x|x≤-5.若a,b為實數,則“0<ab<1”是“b<1aA.充分不必要條件 B．必要不充分條件C.充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6.已知p:x2+x-2>0,q:x>a,若q是p的充分不必要條件,則a的取值范圍是()A.a<-2C.-2<a7.若集合A={1,m2},B={2,4},則“m=2”是“A∩B={4}”的條件.

8.不等式(a+x)(1+x)<0成立的一個充分而不必要條件是-2<x<-1,則a的取值范圍是.

能力提升9．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一個正根和一個負根的充分不必要條件是()A．a<0B．a>0C．a<－1D．a<110．設p：eq\f(1,2)≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是()A.0<a<eq\f(1,2) B．0≤a≤eq\f(1,2)C.0≤a<eq\f(1,2) D.0<a≤eq\f(1,2)11.已知p是r的充分條件而不是必要條件,s是r的必要條件,q是r的充分條件,q是s的必要條件.現有下列命題:①s是q的充要條件②p是q的充分條件而不是必要條件③r是q的必要條件而不是充分條件④r是s的充分條件而不是必要條件則正確命題序號是.

12．求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.素養(yǎng)達成13．已知p：關于x的方程4x2－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有兩個子集，q：1－m≤a≤1＋m，m>0.若q是p的必要不充分條件，求實數m的取值范圍．【答案解析】基礎鞏固1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的()A.充分不必要條件 B．充分必要條件C.必要不充分條件 D．非充分非必要條件【答案】A【解析】當x>3,則x2-2x>0,充分性成立;當x2-2x>0時,則x<0或x>2,必要性不成立.故選A.2.設四邊形ABCD的兩條對角線為AC,BD,則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不必要條件 B．必要不充分條件C.充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當四邊形ABCD為菱形時,其對角線互相垂直,必有AC⊥BD;但當AC⊥BD時,四邊形不一定是菱形,因此“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要條件.故選A.3.已知命題“若p,則q”,假設其逆命題為真,則p是q的().A.充分條件B.必要條件C.既不充分也不必要條件D.無法判斷【答案】B【解析】原命題的逆命題是“若q,則p”,它是真命題,即q?p,所以p是q的必要條件.4．若x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分條件，則實數A．x|-3C．x|x≤-【答案】D【解析】由x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分條件得x|-1<x<4x|x>2m5.若a,b為實數,則“0<ab<1”是“b<1aA.充分不必要條件 B．必要不充分條件C.充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】當0<ab<1,a<0,b<0時,有b>1a;反過來,b<1a,當a<0時,有ab>1.所以“0<ab<1”是“b<6.已知p:x2+x-2>0,q:x>a,若q是p的充分不必要條件,則a的取值范圍是()A.a<-2C.-2<a【答案】D【解析】由x2+x-2>0得x>1或x<-2,若q是p的充分不必要條件,則a≥1.故選D.7.若集合A={1,m2},B={2,4},則“m=2”是“A∩B={4}”的條件.

【答案】充分不必要【解析】當A∩B={4}時,m2=4,所以m=±2.所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要條件.8.不等式(a+x)(1+x)<0成立的一個充分而不必要條件是-2<x<-1,則a的取值范圍是.

【答案】x|x>2【解析】根據充分條件、必要條件與集合間的包含關系,應有x|-2<x<故有a>2.能力提升9．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一個正根和一個負根的充分不必要條件是()A．a<0B．a>0C．a<－1D．a<1【答案】C【解析】一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一個正根和一個負根的充要條件是eq\f(1,a)<0，即a<0，則充分不必要條件的范圍應是集合{a|a<0}的真子集，故選C．10．設p：eq\f(1,2)≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是()A.0<a<eq\f(1,2) B．0≤a≤eq\f(1,2)C.0≤a<eq\f(1,2) D.0<a≤eq\f(1,2)【答案】B【解析】∵q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要條件，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<\f(1,2)，,a＋1≥1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1>1，))解得0≤a≤eq\f(1,2).11.已知p是r的充分條件而不是必要條件,s是r的必要條件,q是r的充分條件,q是s的必要條件.現有下列命題:①s是q的充要條件②p是q的充分條件而不是必要條件③r是q的必要條件而不是充分條件④r是s的充分條件而不是必要條件則正確命題序號是.

【答案】①②【解析】由p是r的充分條件而不是必要條件,可得p?r,由s是r的必要條件可得r?s,由q是r的充分條件得q?r,由q是s的必要條件可得s?q,故可得推出關系如圖所示:據此可判斷命題①②正確.12．求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.【答案】見解析．【解析】(1)必要性：因為方程有一正根和一負根，所以為方程的兩根)，所以ac<0.(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2為方程的兩根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相異實根，且兩根異號，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根．綜上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.素養(yǎng)達成13．已知p：關于x的方程4x2－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有兩個子集，q：1－m≤a≤1＋m，m>0.若q是p的必要不充分條件，求實數m的取值范圍．【答案】見解析．【解析】∵q是p的必要不充分條件，∴p是q的充分不必要條件．對于p，依題意，知Δ＝(－2a)2－4×4(2a＋5)＝4(a2－8a－20)≤0，∴－2≤a≤10.設P＝{a|－2≤a≤10}，Q＝{a|1－m≤a≤1＋m，m>0}，由題意知PQ，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤－2，,1＋m＞10，))解得m≥9，∴實數m的取值范圍是m|m《1.4充分條件與必要條件》分層同步練習（二）（第一課時）鞏固基礎1．“ab≠0”是“直線ax＋by＋c＝0與兩坐標軸都相交”的()A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．既是充分條件，也是必要條件D．既不是充分條件，也不是必要條件2．a<0，b<0的一個必要條件為 ()A．a＋b<0 B．a－b>0C.eq\f(a,b)>1 D.eq\f(a,b)<－13．“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的()A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．既不是充分條件，也不是必要條件D．既是充分條件，也是必要條件4．設a，b為實數，則“0<ab<1”是“a<eq\f(1,b)或b>eq\f(1,a)”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一個正根和一個負根的充分不必要條件是()A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<1綜合應用6．設x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的 ()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．設x，y是兩個實數，命題：“x，y中至少有一個數大于1”成立的充分不必要條件是()A．x＋y＝2 B．x＋y>2C．x2＋y2>2 D．xy>18．使x(y－2)＝0成立的一個充分條件是()A．x2＋(y－2)2＝0 B．(x－2)2＋y2＝0C．x2＋y2＝1 D．x＋y－2＝09．設a，b，c∈R，在下列命題中，真命題是()A．“ac>bc”是“a>b”的必要條件B．“ac>bc”是“a>b”的充分條件C．“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分條件10．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一個充分而不必要條件是－2<x<－1，則a的取值范圍是________．11．已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．12．已知條件p：|x－1|>a和條件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要條件的最小正整數a.【參考答案】1.C解析ab≠0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,b≠0))，此時直線ax＋by＋c＝0與兩坐標軸都相交；又當ax＋by＋c＝0與兩坐標軸都相交時，a≠0且b≠0.2.A解析a＋b<0a<0，b<0，而a<0，b<0?a＋b<0.3.C解析∵－2<x<1D?/x>1或x<－1且x>1或x<－1D?/－2<x<1，∴“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的既不充分條件，也不必要條件．4.A解析∵0<ab<1，∴a，b同號，且ab<1.∴當a>0，b>0時，a<eq\f(1,b)；當a<0，b<0時，b>eq\f(1,a).∴“0<ab<1”是“a<eq\f(1,b)或b>eq\f(1,a)”的充分條件．而取a＝－1，b＝1，顯然有a<eq\f(1,b)，但不能推出0<ab<1，∴“0<ab<1”是“a<eq\f(1,b)或b>eq\f(1,a)”的充分而不必要條件．5.C解析∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一負根．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1x2<0.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－4a>0，,\f(1,a)<0))?a<0，本題要求的是充分不必要條件．由于{a|a<－1}{a|a<0}，故答案為C.6.A解析x2＋y2≥4表示以原點為圓心，以2為半徑的圓以及圓外的區(qū)域，即|x|≥2且|y|≥2，而x≥2且y≥2時，x2＋y2≥4，但x2＋y2≥4不一定推出x≥2且y≥2.故A正確．7.B解析對于選項A，當x＝1，y＝1時，滿足x＋y＝2，但命題不成立；對于選項C、D，當x＝－2，y＝－3時，滿足x2＋y2>2，xy>1，但命題不成立，也不符合題意．8．A【解析】因x2＋(y－2)2＝0?x＝0，且y＝2?x(y－2)＝0，故選A.9．C【解析】排除選項A，B，D項知，C項正確．10.a>2根據充分條件，必要條件與集合間的包含關系，應有(－2，－1){x|(a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.11.解p：－2≤x≤10.q：x2－2x＋1－m2≤0?[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)?1－m≤x≤1＋m(m>0)．因為q是p的充分不必要條件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2,1＋m<10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m>－2,1＋m≤10))，解得m≤3.又m>0，所以實數m的取值范圍為{m|0<m≤3}．12.解依題意a>0.由條件p：|x－1|>a得x－1<－a，或x－1>a，∴x<1－a，或x>1＋a.由條件q：2x2－3x＋1>0，得x<eq\f(1,2)，或x>1.要使p是q的充分不必要條件，即“若p，則q”為真命題，逆命題為假命題，應有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≤\f(1,2)，,1＋a>1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a<\f(1,2)，,1＋a≥1，))解得a≥eq\f(1,2).令a＝1，則p：x<0，或x>2，此時必有x<eq\f(1,2)，或x>1.即p?q，反之不成立．∴a＝1.《1.4充分條件與必要條件》分層同步練習（二）（第二課時）鞏固基礎1.設集合M＝{1,2}，N＝{a2}，則“a＝1”是“N?M”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件2.在下列三個結論中，正確的有()①x2>4是x3<－8的必要不充分條件；②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC為直角三角形的充要條件；③若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為0”的充要條件.A.①② B.②③C.①③ D.①②③3．“x，y均為奇數”是“x＋y為偶數”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4.設a，b是實數，則“a>b”是“a2>b2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5.函數f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關于直線x＝1對稱的充要條件是()A.m＝－2 B.m＝2C.m＝－1 D.m＝16.設p：實數x，y滿足x>1且y>1，q：實數x，y滿足x＋y>2，則p是q的______條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)7.已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}.(1)求實數a的取值范圍，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件；(2)求實數a的一個值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個充分不必要條件；(3)求實數a的取值范圍，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個必要不充分條件.綜合應用8．設x∈R，則“x>eq\f(1,2)”是“2x2＋x－1>0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是()A.m>eq\f(1,4) B.0<m<1C.m>0 D.m>110．設集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，則“x∈A∪B”是“x∈C”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件11.設計如圖所示的四個電路圖，條件p：“開關S閉合”；條件q：“燈泡L亮”，則p是q的充分不必要條件的電路圖是________.12.下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以為x2<1的充分條件的所有序號為________．13．求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.14．設x，y∈R，求證：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0.【參考答案】1.A解析a＝1時，N?M，但當a取-1時，也滿足N?M。2.C解析②AB2＋BC2＝AC2，也能推出，AB2＋AC2＝BC2是△ABC為直角三角形的充分不必要條件。A解析當x，y均為奇數時，一定可以得到x＋y為偶數；但當x＋y為偶數時，不一定必有x，y均為奇數，也可能x，y均為偶數．4.D解析可以從a、b同正、同負、一正一負分析。5.A解析二次函數對稱軸計算考查6.充分不必要7.解由M∩P＝{x|5<x≤8}知，a≤8.(1)M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件是－3≤a≤5.(2)M∩P＝{x|5<x≤8}的充分不必要條件，顯然，a在[－3,5]中任取一個值都可以.(3)若a＝－5，顯然M∩P＝[－5，－3)∪(5,8]是M∩P＝{x|5<x≤8}的必要不充分條件.故a<－3時為必要不充分條件.8.A解析解不等式后直接判斷．不等式2x2＋x－1>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)或x<－1))))，故由x>eq\f(1,2)?2x2＋x－1>0，但2x2＋x－1>0D?/x>eq\f(1,2).9.C解析從Δ入手，Δ<0即可C解析A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要條件．11.(1)(4)解析：觀察線路串并聯(lián)情況12.②③④解析由于x2<1即－1<x<1，①顯然不能使－1<x<1一定成立，②③④滿足題意．13.證明充分性：(由ac<0推證方程有一正根和一負根)∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac>0.∴方程一定有兩不等實根，設為x1，x2，則x1x2＝eq\f(c,a)<0，∴方程的兩根異號．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根．必要性：(由方程有一正根和一負根推證ac<0)∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根，設為x1，x2，則由根與系數的關系得x1x2＝eq\f(c,a)<0，即ac<0，綜上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.14.證明充分性：如果xy≥0，則有xy＝0和xy>0兩種情況，當xy＝0時，不妨設x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．當xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0時．又當x>0，y>0時，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．當x<0，y<0時，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．總之，當xy≥0時，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.綜上可知，“xy≥0”是“等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立”的充要條件．《1.4充分條件與必要條件》同步練習（三）[合格基礎練]一、選擇題1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A?B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A?B”的充分不必要條件．]2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，則當x＝5時，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0時，x＝5不一定成立，故選B.]3．下列條件中，是x2<4的必要不充分條件的是()A．－2≤x≤2 B．－2<x<0C．0<x≤2 D．1<x<3A[由x2<4得－2<x<2，必要不充分條件的x的范圍真包含{x|－2<x<2}，故選A.]4．“|x|＝|y|”是“x＝y(tǒng)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B[若x＝1，y＝－1，則|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y(tǒng)?|x|＝|y|，故選B.]5．a<0，b<0的一個必要條件為()A．a＋b<0 B．a－b>0C.eq\f(a,b)>1 D.eq\f(a,b)<－1A[a＋b<0a<0，b<0，而a<0，b<0?a＋b<0.故選A.]二、填空題6．已知△ABC，△A1B1C1，兩三角形對應角相等是△ABC≌△A1B1C必要不充分[由兩三角形對應角相等△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1?∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C17．已知a，b是實數，則“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的______條件．充要[因為a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，所以充分性成立；因為ab>0，所以a與b同號，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要條件．]8．條件p：1－x<0，條件q：x>a，若p是q的充分條件，則a的取值范圍是__________．{a|a≤1}[p：x>1，若p是q的充分條件，則p?q，即p對應集合是q對應集合的子集，故a≤1.]三、解答題9．指出下列各組命題中，p是q的什么條件：(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；(3)p：a<b，q：eq\f(a,b)<1.[解]在(1)中，由大角對大邊，且A>B知BC>AC，反之也正確，所以p是q的充要條件；在(2)中，若a＝3，則(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分條件但不是必要條件；在(3)中，若a<b<0，則推不出eq\f(a,b)<1，反之若eq\f(a,b)<1，當b<0時，也推不出a<b，所以p既不是q的充分條件，也不是必要條件．10．(1)是否存在實數m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分條件？(2)是否存在實數m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要條件？[解](1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分條件，則只要eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－\f(m,2)))))?{x|x<－1或x>3}，即只需－eq\f(m,2)≤－1，所以m≥2.故存在實數m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分條件．(2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要條件，則只要{x|x<－1或x>3}?eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－\f(m,2)))))，這是不可能的．故不存在實數m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要條件．[等級過關練]1．設甲、乙、丙是三個命題，如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件，那么()A．丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件B．丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件C．丙既不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件D．無法判斷A[因為甲是乙的必要條件，所以乙?甲．又因為丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，所以丙?乙，但乙丙，如圖．綜上，有丙?甲，但甲丙，即丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件．]2．若非空集合A，B，C滿足A∪B＝C，且B不是A的子集，則()A．“x∈C”是“x∈A”的充分條件但不是必要條件B．“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件C．“x∈C”是“x∈A”的充要條件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分條件也不是“x∈A”的必要條件B[由A∪B＝C知，x∈A?x∈C，x∈Cx∈A.所以x∈C是x∈A的必要不充分條件．]3．若p：x－3<0是q：2x－3<m的充分不必要條件，則實數m的取值范圍是________．{m|m＞3}[由x－3<0得x<3，由2x－3<m得x<eq\f(1,2)(m＋3)，由p是q的充分不必要條件知{x|x<3}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)m＋3))))，所以eq\f(1,2)(m＋3)＞3，解得m＞3.]4．設p：eq\f(1,2)≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分條件，則實數a的取值范圍是________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤\f(1,2)))))[因為q：a≤x≤a＋1，p是q的充分條件，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1≥1，))解得0≤a≤eq\f(1,2).]5．求關于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一個負實根的充要條件．[解]①當a＝0時，解得x＝－1，滿足條件；②當a≠0時，顯然方程沒有零根，若方程有兩異號實根，則a＜0；若方程有兩個負的實根，則必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＞0，,－\f(1,a)＜0，,Δ＝1－4a≥0，))即0＜a≤eq\f(1,4).綜上，若方程至少有一個負的實根，則a≤eq\f(1,4).反之，若a≤eq\f(1,4)，則方程至少有一個負的實根．因此，關于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一個負實根的充要條件是a≤eq\f(1,4).《1.4充分條件與必要條件》同步練習（四）一、選擇題1．有以下四種說法,其中正確說法的個數為()(1)“m是實數”是“m是有理數”的充分不必要條件;(2)“a>b>0”是“a2>b2”的充要條件;(3)“x=3”是“x2-2x-3=0”的必要不充分條件;(4)“A∩B=B”是“A=?”的必要不充分條件.A．0B．1C．2D．32．實數a，b，c不全為0的等價條件是()A．實數a，b，c均不為0B．實數a，b，c中至多有一個為0C．實數a，b，c中至少有一個為0D．實數a，b，c中至少有一個不為03．設甲、乙、丙是三個條件,如果甲是乙的必要條件,丙是乙的充分條件,但不是乙的必要條件,那么()A．丙是甲的充分條件,但不是甲的必要條件B．丙是甲的必要條件,但不是甲的充分條件C．丙是甲的充要條件D．丙既不是甲的充分條件,也不是甲的必要條件4．設，則“”是“，且”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件5．集合的關系如圖所示，那么“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6．已知，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件二、填空題7．設計如圖所示的四個電路圖，條件p：“開關S閉合”；條件q：“燈泡L亮”，則p是q的充分不必要條件的電路圖是__________．8．已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，則s是q的________條件，r是q的________條件，p是s的________條件．9．p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的兩根，q：x1＋x2＝－5，那么p是q的______________條件．10．設集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，則“A∪B=R”是“三、解答題11．設集合，，寫出的一個充分不必要條件．12．證明:△ABC是等邊三角形的充要條件是a2+b2+c2=ab+bc+ac(其中a,b,c是△ABC的三條邊).【答案解析】一、選擇題1．有以下四種說法,其中正確說法的個數為()(1)“m是實數”是“m是有理數”的充分不必要條件;(2)“a>b>0”是“a2>b2”的充要條件;(3)“x=3”是“x2-2x-3=0”的必要不充分條件;(4)“A∩B=B”是“A=?”的必要不充分條件.A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】若m是實數,則m可能是無理數,故(1)錯誤;a>b>0?x2-2x由A=?,有A∩B=正確說法的個數為0，故選A.2．實數a，b，c不全為0的等價條件是()A．實數a，b，c均不為0B．實數a，b，c中至多有一個為0C．實數a，b，c中至少有一個為0D．實數a，b，c中至少有一個不為0【答案】D【解析】實數a，b，c不全為0等價于為a，b，c中至少有一個不為0，故選：D．3．設甲、乙、丙是三個條件,如果甲是乙的必要條件,丙是乙的充分條件,但不是乙的必要條件,那么()A．丙是甲的充分條件,但不是甲的必要條件B．丙是甲的必要條件,但不是甲的充分條件C．丙是甲的充要條件D．丙既不是甲的充分條件,也不是甲的必要條件【答案】A【解析】由甲是乙的必要不充分條件，知甲不能推出乙，乙能推出甲，由丙是乙的充分不必要條件，知丙能推出乙，乙不能推出丙,所以，丙能推出甲，甲不能推出丙，即丙是甲的充分條件,但不是甲的必要條件，故選A.4．設，則“”是“，且”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，且可得到，反之不成立，所以“”是“，且”的必要而不充分條件5．集合的關系如圖所示，那么“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由Venn圖可知是的真子集，所以“”是“”的充分非必要條件，故選A．6．已知，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為，所以當時，成立，當時，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要條件.二、填空題7．設計如圖所示的四個電路圖，條件p：“開關S閉合”；條件q：“燈泡L亮”，則p是q的充分不必要條件的電路圖是__________．【答案】(1)(4)【解析】圖(1)開關S閉合則燈泡L亮，反之，燈泡L亮不一定有開關S閉合，∴p?q，但q/?p，所以p是q的充分不必要條件．圖(2)p?q，∴p是q的充要條件．圖(3)開關S，S1與燈泡L串聯(lián)，∴p/?q，q?p，∴p是q的必要不充分條件．圖(4)開關S閉合則燈泡L亮，反之，燈泡L亮不一定有開關S閉合，∴p?q，但q/?p，∴p是q的充分不必要條件．8．已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，則s是q的________條件，r是q的________條件，p是s的________條件．【答案】充分充分必要【解析】將題目條件借助于推出符號表示為s是q的充分條件，r是q的充分條件，p是s的必要條件．9．p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的兩根，q：x1＋x2＝－5，那么p是q的______________條件．【答案】充分不必要【解析】∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的兩根，∴x1＋x2＝－5.當x1＝－1，x2＝－4時，x1＋x2＝－5，而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的兩根10．設集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，則“A∪B=R【答案】必要不充分【解析】∵集合A={x|x≤1}，當A∪B=R時，∵a≤當a=1時一定可以得到a∴“A∪B=R”是“故答案為：必要不充分條件三、解答題11．設集合，，寫出的一個充分不必要條件．【答案】，，中之一即可．【解析】主要考查充要條件的概念及其判定方法。解：，等價于m=0，或=－3或=2，即，或，或，故的一個充分不必要條件是，，中之一即可。12．證明:△ABC是等邊三角形的充要條件是a2+b2+c2=ab+bc+ac(其中a,b,c是△ABC的三條邊).【答案】見解析【解析】充分性:∵a2+b2+c2=ab+bc+ac,∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,∴a-b=0,b-c=0,a-c=0,即a=b=c,∴△ABC是等邊三角形.必要性:∵△ABC是等邊三角形,∴a=b=c,∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=a2+b2+c2-a2-b2-c2=0,∴a2+b2+c2=ab+bc+ac.綜上所述,△ABC是等邊三角形的充要條件是a2+b2+c2=ab+bc+ac(其中a,b,c是△ABC的三條邊).《1.4充分條件與必要條件》同步練習（五）一．選擇題1．設集合M＝{1,2}，N＝{a2}，則“a＝1”是“N?M”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件2．“a＞0”是“|a|＞0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．函數f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關于直線x＝1對稱的充要條件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝14．王昌齡的《從軍行》中有兩句詩：“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”．其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的()A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要條件，則a的取值范圍是()A．[1，＋∞)