第23講 圓錐曲線中定點定值定直線問題（解析版）-2024高考數學常考題型

第23講圓錐曲線中定點定值定直線問題【考點分析】考點一：直線過定點問題①設直線為，根據題目給出的條件找出與之間的關系即可②求出兩點的坐標（一般含參數），再求出直線的斜率，利用點斜式寫出直線的方程，再化為的形式，即可求出定點?？键c二：定值問題探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據特殊位置和數值求出定值，再證明這個值與變量無關；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.③求斜率，面積等定值問題，把斜率之和，之積，面積化為坐標之間的關系，再用韋達定理帶入化簡一般即可得到定值考點三：定直線問題①一般設出點的坐標，寫出兩條直線的方程，兩直線的交點及兩個直線中的相同，然后再用韋達定理帶入化簡即可得的關系即為定直線【題型目錄】題型一：直線圓過定點問題題型二：斜率面積等定值問題題型三：定直線問題【典型例題】題型一：直線過定點問題【例1】已知點在橢圓上，橢圓C的左右焦點分別為，，的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設點A，B在橢圓C上，直線PA，PB均與圓相切，記直線PA，PB的斜率分別為，.（i）證明：；（ii）證明：直線AB過定點.【答案】(1)，(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）利用，結合三角形的面積公式，求出，即可求橢圓的方程.(2)（i）設直線的方程為，直線的方程為，由題意可知，可得是方程的兩根，利用韋達定理即可證明.（ii）設直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合，可得與的關系式，即可證明直線過定點.（1）解：由題知，，的面積等于，所以，解得，，所以，橢圓C的方程為.（2）（i）設直線PA的方程為，直線PB的方程為，由題知，所以，所以，同理，，所以，是方程的兩根，所以.（ii）設，，設直線AB的方程為，將代入得，所以，①，②所以，③，④又因為，⑤將①②③④代入⑤，化簡得，所以，所以，若，則直線，此時AB過點P，舍去.若，則直線，此時AB恒過點，所以直線AB過定點.【例2】已知橢圓的離心率為，一個焦點與拋物線的焦點重合．(1)求橢圓的方程；(2)若直線交于兩點，直線與關于軸對稱，證明：直線恒過一定點．【答案】(1)；(2)詳見解析.【分析】（1）由題可得，進而可得，即得；（2）利用韋達定理法，利用斜率互為相反數得與的一次關系即得.（1）由，可得，∴，又離心率為，∴，，∴橢圓C的方程為.（2）設，由，可得，∴，可得，，由直線與關于軸對稱，∴，即，∴，即，∴，可得，所以直線方程為，恒過定點.【例3】已知橢圓的上頂點為，右頂點為，其中的面積為1（為原點），橢圓離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若不經過點的直線與橢圓交于，兩點，且，求證：直線過定點．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】(1)根據的關系求橢圓方程；(2)利用韋達定理結合的坐標表示，即可求定點.【詳解】（1）由已知得：，，又，解得：，，故橢圓的方程為.（2）證明：當直線的斜率不存在時，不滿足的條件．當直線的斜率存在時，設的方程為，聯(lián)立，消去整理得：，，得①設，，則，②由，得，又，，所以③由②③得，化簡得，解得（舍），滿足①此時的方程為，故直線過定點．【例4】已知橢圓C：過點．右焦點為F，縱坐標為的點M在C上，且AF⊥MF．(1)求C的方程；(2)設過A與x軸垂直的直線為l，縱坐標不為0的點P為C上一動點，過F作直線PA的垂線交l于點Q，證明：直線PQ過定點．【答案】(1)；(2)過定點；證明過程見詳解【分析】（1）由題可得，結合條件可知，將點的坐標代入橢圓的方程，即可得解；（2）設點，求出點的坐標，寫出直線的方程，結合條件變形即得.【詳解】（1）設點，其中，則，因為橢圓過點，則，將點的坐標代入橢圓的方程得，所以，解得，因此橢圓的標準方程為；（2）設點，則，所以直線的垂線的斜率為，由題可知，故直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點，所以直線的方程為，即，因為，所以，所以，所以，所以直線過定點．【點睛】求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．【例5】已知橢圓：（）的離心率為，其左?右焦點分別為，，為橢圓上任意一點，面積的最大值為1.(1)求橢圓的標準方程；(2)已知，過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，直線，與軸的交點分別為，，證明：以為直徑的圓過定點.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）依題意可得，即可求出、、，即可得解；（2）設直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，由直線、的方程，得到、的坐標，即可得到以為直徑的圓的方程，再令，得到，即可得解；(1)解：因為橢圓的離心率為，所以.又當位于上頂點或者下頂點時，面積最大，即.又，所以，.所以橢圓的標準方程為.(2)解：由題知，直線的斜率存在，所以設直線的方程為，設，，將直線代入橢圓的方程得：，由韋達定理得：，，直線的方程為，直線的方程為，所以，，所以以為直徑的圓為，整理得：.①因為，令①中的，可得，所以，以為直徑的圓過定點.【題型專練】1．已知橢圓的短軸長為，左頂點A到右焦點的距離為．(1)求橢圓的方程(2)設直線與橢圓交于不同兩點，（不同于A），且直線和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數，求證：經過定點．【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）依題意可得、，再根據，即可求出、，從而求出橢圓方程、離心率；（2）設直線為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，依題意可得，即可得到方程，整理得到，即可得到、的關系，從而求出直線過定點；(1)解：依題意、，又，解得，，所以橢圓方程為，離心率；(2)解：由（1）可知，當直線斜率存在時，設直線為，聯(lián)立方程得，消去整理得，設，，所以，；因為直線和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數，所以；即所以，即，所以，即，所以或，當時，直線：，恒過定點，因為直線不過A點，所以舍去；當時，直線：，恒過定點；當直線斜率不存在時，設直線，，，則，且，解得或（舍去）；綜上可得直線恒過定點.2.已知橢圓的離心率為，且過點.(1)求橢圓的方程；(2)點，在橢圓上，且.證明：直線過定點，并求出該定點坐標.【答案】(1)；(2)證明詳見解析，定點坐標【分析】（1）根據已知條件列方程組，由此求得，從而求得橢圓的方程.（2）根據直線的斜率進行分類討論，結合根與系數關系以及求得定點坐標.【詳解】（1）由題意可得：，解得：故橢圓方程為：.（2）設點，若直線斜率存在時，設直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因為，所以，即，根據,有整理可得：，

所以，整理化簡得，則有，得或，若，則直線MN的方程為：，恒過，若，則直線MN的方程為：，過A點，舍去.所以直線MN過定點P，當直線MN的斜率不存在時，可得，由得：，得，結合，解得：或（舍去），此時直線MN方程為,過點P.綜上，直線MN過定點P.3.已知橢圓的左，右焦點分別為，，且，與短軸的兩個端點恰好為正方形的四個頂點，點在E上.(1)求E的方程；(2)過點作互相垂直且與x軸均不重合的兩條直線分別交E于點A，B和C，D，若M，N分別是弦AB，CD的中點，證明：直線MN過定點.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）由條件列出關于的方程，解方程求得a和b的值，即可求得橢圓的標準方程；（2）設直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標公式，即可求得M和N點坐標，求分情況求MN方程，由此證明直線MN過定點.；（1）設，因為兩個焦點和短軸的兩個端點為正方形的四個頂點，所以，因為點在E上，所以，又，解得，所以E的方程為.（2）由（1）知，由題意知直線AB和直線CD的斜率都存在且不為0，設直線AB方程為：，與E的方程聯(lián)立，消去x并整理，得，且，設，則，所以，所以點M的坐標為，因為，則直線CD的方程為，同理得，當，即時，直線MN的斜率，所以直線MN的方程為，所以，因為，所以直線MN的方程即為，顯然直線MN過定點；當，即時，則或，此時直線MN的方程為，也過點.綜上所述，直線MN過定點.【點睛】本題第二小問解決的關鍵在于聯(lián)立方程組求出的坐標，由此確定直線方程，并判斷直線過定點.4.焦距為2c的橢圓（a＞b＞0），如果滿足“2b=a+c”，則稱此橢圓為“等差橢圓”．(1)如果橢圓（a＞b＞0）是“等差橢圓”，求的值；(2)對于焦距為12的“等差橢圓”，點A為橢圓短軸的上頂點，P為橢圓上異于A點的任一點，Q為P關于原點O的對稱點（Q也異于A），直線AP、AQ分別與x軸交于M、N兩點，判斷以線段MN為直徑的圓是否過定點？說明理由．【答案】(1)，(2)是，定點（0，±10），理由見解析【分析】（1）由新定義得出的關系，結合可求得；（2）設P（x0，y0）（x0≠0），則Q（﹣x0，﹣y0），寫出方程求得點坐標，同理得點坐標，然后可得出以線段MN為直徑的圓的方程，由方程可確定定點坐標．(1)因為橢圓（a＞b＞0）是“等差橢圓”，所以2b=a+c，所以c=2b﹣a，又c2=a2﹣b2，所以（2b﹣a）2=a2﹣b2，化簡得．(2)過定點（0，±10），理由如下：由得，由得，橢圓方程為：，所以A（0，8），設P（x0，y0）（x0≠0），則Q（﹣x0，﹣y0），所以直線AP的方程為：，令y=0，得，所以，同理可得，所以以MN為直徑的圓的方程為，結合，化簡得，令x=0，得y=±10，所以該圓恒過定點（0，±10）．題型二：斜率面積等定值問題【例1】動點與定點的距離和到定直線的距離之比是常數．(1)求動點的軌跡的方程；(2)經過定點的直線交曲線于，兩點，設，直線，的斜率分別為，，求證：恒為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設點，利用條件可得等式，化簡，可得軌跡的軌跡方程；（2）由題意可得直線的斜率存在，設直線的方程為：，，，，．直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，消去，可得根與系數的關系，由斜率公式，化簡計算可得常數，即可得證．【詳解】（1）設點，則根據題意有，則，即，所以，所以動點的軌跡的方程為．（2）由題意可得直線的斜率存在，設直線的方程為：，，．聯(lián)立，消去得：，所以，，從而，即恒為定值．【例2】已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上且位于第一象限，的面積為，．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若M，N是橢圓C上異于點Q的兩動點，記QM，QN的傾斜角分別為，，當時，試問直線MN的斜率是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)；(2)是定值，【分析】（1）由三角形面積公式求得c的值，數量積公式求得Q點的橫坐標，Q點坐標代入橢圓方程，再由可得結果.（2）設出QM的直線方程，聯(lián)立QM的直線方程與橢圓方程可求得點M的坐標，同理可得點N的坐標，進而可得.【詳解】（1）∵△的面積為，∴，解得．又∵，，，∴，解得．又∵點Q位于第一象限，∴．將點代入橢圓中得．聯(lián)立，解得，．所以橢圓C的標準方程為.（2）依題意可知，直線QM和直線QN的斜率存在，不為零且互為相反數．設直線QM的斜率為k，則直線QN的斜率為．由（1）可知，所以直線QM的方程為．由，消去y并化簡，得．，則，根據直線QM，直線QN的對稱性，可知．設，則．所以．所以．故．以替換k，得．所以．所以直線MN的斜率為定值．【例3】已知點在橢圓上，的長軸長為，直線與交于兩點，直線的斜率之積為.(1)求證：為定值；(2)若直線與軸交于點，求的值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】(1)根據題意求出橢圓方程為，將橢圓，及相關直線、點進行平移，將看作方程的兩不等實根，進而可得，代入直線方程化簡即可；(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理得，化簡，代入韋達定理即可求解.【詳解】（1）由題意知橢圓方程為.將橢圓平移至即，此時點平移至分別平移至，設直線方程為代入橢圓，整理得，兩邊同除以，令，則可看作關于的一元二次方程，的兩不等實根，，即，直線方程為，的斜率為定值，即的定值.（2）設，，即，故，，【例4】已知橢圓的離心率,且橢圓C的右頂點與拋物線的焦點重合．(1)求橢圓C的方程．(2)若橢圓C的左、右頂點分別為,直線與橢圓C交于E,D兩點,且點E的縱坐標大于0,直線與y軸分別交于兩點,問:的值是否為定值？若是,請求出該定值;若不是,請說明理由．【答案】(1)；(2)是,【分析】(1)橢圓C的右頂點與拋物線的焦點重合,即可求得,根據離心率即可求得,進而求得橢圓方程;(2)設兩點坐標,聯(lián)立直線與橢圓方程,得,進而得到之間的關系,根據兩點坐標,根據兩點式求出直線方程,使即可求得,同理求得,寫出,將代入化簡即可求得.【詳解】（1）解:由題知,橢圓,設橢圓的焦距為,因為橢圓C的離心率,所以,又橢圓C的右頂點與拋物線的焦點重合,而拋物線的焦點為,所以,則,故橢圓C的方程為;（2）由題意可知直線l的斜率不為0,故直線l的方程可化為,與橢圓方程聯(lián)立得,消去x,整理可得,設,則,所以,因為所以,由題可知,且直線的斜率存在,所以直線的方程為,令,可得,即,同理可得,于是,故的值是定值,定值為.【點睛】思路點睛:本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用中的定值問題,屬于難題,關于定值的問題思路有:(1)先根據題意考慮特殊情況,斜率不存在,或斜率為零;(2)根據特殊情況求出定值;(3)設普通的直線方程,聯(lián)立方程組;(4)判別式大于零,韋達定理;(5)寫出所求的式子,用代換,化簡即可.【例5】已知橢圓的左、右頂點分別為，且，離心率為，為坐標原點.(1)求橢圓的方程；(2)設是橢圓上不同于的一點，直線與直線分別交于點.證明：以線段為直徑作圓被軸截得的弦長為定值，并求出這個定值.【答案】(1)；(2)證明見解析，定值為【分析】（1）根據、離心率和橢圓之間關系可直接求得結果；（2）設，可得直線方程，進而確定兩點坐標，設橢圓右焦點為，利用平面向量數量積的坐標運算可證得，可知以為直徑的圓過點，由此可確定線段為直徑作圓被軸截得的弦長.【詳解】（1）由題意知：，解得：，又離心率，，，橢圓的方程為：.（2）由（1）得：，，設，則，即；直線，直線，點縱坐標，點縱坐標，即，，又橢圓右焦點為，，，，即，以為直徑的圓過點，又圓心橫坐標為，以為直徑的圓被軸截得的弦長為.即以線段為直徑作圓被軸截得的弦長為定值.【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與橢圓綜合應用中的定值問題的求解，本題求解定值問題的關鍵是能夠利用平面向量數量積的坐標運算說明橢圓右焦點即為所求圓與軸的其中的一個交點，由圓的對稱性可確定定值.【例6】已知為圓上一動點，過點作軸的垂線段為垂足，若點滿足.(1)求點的軌跡方程；(2)設點的軌跡為曲線，過點作曲線的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點分別為，過點作直線的垂線，垂足為點，是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在點，使得為定值.【分析】（1）先利用得到點坐標關于點坐標的表示，再利用直接代入法即可求得點的軌跡方程；（2）分類討論兩條相交弦的斜率情況，利用韋達定理證得直線恒過定點，又由得到點的軌跡，從而得到定點使得為定值，由此得解.【詳解】（1）由題意得，設點，則點，因為，所以，則，因為點在圓上，所以，則，即，所以點軌跡方程為.（2）①若兩條互相垂直的弦所在直線的斜率均存在，則可設直線，聯(lián)立，得，設直線與曲線兩交點的坐標分別為，則，；直線，同理可得：，設直線與軸交于點，則當直線斜率存在時，由得，，即直線恒過點；當直線斜率不存在時，由得，則，則直線恒過點；②若兩條互相垂直的弦所在直線中有一條斜率不存在，則直線為軸，恒過，綜上：直線恒過點在以中點為圓心，為直徑的圓上，取，則為定值；存在點，使得為定值..【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線位置關系的題目，往往需要聯(lián)立兩者方程，利用韋達定理解決相應關系，其中的計算量往往較大，需要反復練習，做到胸有成竹.【例7】已知橢圓：的右焦點為在橢圓上，的最大值與最小值分別是6和2.(1)求橢圓的標準方程.(2)若橢圓的左頂點為，過點的直線與橢圓交于（異于點）兩點，直線分別與直線交于兩點，試問是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)；(2)是定值，定值為【分析】（1）根據橢圓的標準方程列方程組求解即可；（2）當直線斜率不存在時，易得，當直線斜率存在時，設直線：，，，將直線與橢圓成聯(lián)立，利用韋達定理結合向量數量積的坐標公式求解即可.【詳解】（1）設橢圓的焦距為，由題意可得，解得，故橢圓的標準方程為.（2）由（1）得，當直線垂直于軸時，，代入橢圓方程，解得，.所以直線的方程為，令，得，則，直線的方程為，令，得，則，所以，，則，即，若為定值，則必為，當直線的斜率存在時，設直線，，，聯(lián)立整理得，，則，，直線的方程為，令，得，則，直線的方程為，令，得，則，因為，所以，，則，故，即.綜上，為定值.【題型專練】1．已知橢圓的離心率為，點為橢圓的右焦點，點在橢圓上，且在軸上方，軸，斜率為的直線交于兩點，(1)若直線過點，求的面積.(2)直線和的斜率分別為和，當直線平行移動時，是否為定值？若是，請求出該定值，若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是定值，【分析】（1）先根據題意求橢圓方程，結合弦長公式以及點到直線的距離公式求面積；（2）設直線方程，根據題意利用韋達定理分析運算.【詳解】（1）由題意可得：，解得，則，故橢圓的方程：，令，則，解得或（舍去），即，∵若直線過點，設直線，聯(lián)立方程，消去y得：，則，可得，點到直線直線的距離，故的面積.（2）是定值，，理由如下：設直線，聯(lián)立方程，消去y得：，則，故，即是定值，定值為0.【點睛】方法點睛：探究性問題求解的思路及策略：(1)思路：先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在；若結論不正確則不存在．(2)策略：①當條件和結論不唯一時要分類討論；②當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件；③當條件和結論都不知，按常規(guī)法解題很難時，可先由特殊情況探究，再推廣到一般情況．2．已知橢圓：過點，且該橢圓長軸長是短軸長的二倍.(1)求橢圓的方程；(2)設點關于原點對稱的點為，過點且斜率存在的直線交橢圓于點M，N，直線MA，NA分別交直線于點P，Q，求證為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）根據已知條件求得，從而求得橢圓的方程.（2）根據直線是否與軸重合進行分類討論，求得的坐標，進而證得為定值.【詳解】（1）依題意知，∴橢圓的方程為，又∵橢圓過點，∴有，解得，∴，∴橢圓的方程為.（2）∵點D與點A關于原點對稱，∴點，當直線MN與軸重合時，不妨設，，則直線：，直線：，則，，（定值）.當直線MN與軸不重合時，設直線MN：，與橢圓方程聯(lián)立，化簡得，，解得.設，，則，.直線的方程為，則，即.直線的方程為，則，即.∴（定值）.綜上，為定值1.【點睛】當題目需要假設直線方程時，要注意一些特殊的情形，如要設，則需要討論直線的斜率是否存在；如要設，則需要討論直線是否與軸平行.3．如下圖，過拋物線上一定點，作兩條直線分別交拋物線于，．（1）求該拋物線上縱坐標為的點到其焦點的距離；（2）當與的斜率存在且傾斜角互補時，求的值，并證明直線的斜率是非零常數．【答案】（1）（2）見解析【分析】(1)由拋物線定義可知拋物線上一點到焦點距離等于到準線距離，即可求出結果(2)將點坐標代入拋物線方程，分別計算出直線與的斜率，由題意得傾斜角互補，則斜率互為相反數，即可計算出結果，然后計算出直線的斜率【詳解】（1）當時，，又拋物線的準線方程為，由拋物線定義得，所求距離為.（2）設直線的斜率為，直線的斜率為，由，，相減得，故．同理可得．由、傾斜率角互補知，即.∴，故.設直線的斜率為，由，，相減得.∴．將代入得，所以是非零常數．【點睛】本題考查了直線與拋物線的位置關系，在解答過程中，代入點坐標，兩式相減來求出直線斜率，需要掌握此解題方法，并能熟練計算4．如圖，橢圓的左右焦點分別為，，點是第一象限內橢圓上的一點，經過三點P，，的圓與y軸正半軸交于點，經過點且與x軸垂直的直線l與直線交于點Q．(1)求證：．(2)試問：x軸上是否存在不同于點B的定點M，滿足當直線，的斜率存在時，兩斜率之積為定值？若存在定點M，求出點M的坐標及該定值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在點，可使得直線與的斜率之積為定值，該定值為．【分析】（1）設、圓的方程，代入、及可解得，即可證；（2）設，由A，P，Q三點共線得，即可表示出討論定值是否存在.【詳解】（1）由可得，設，則，設圓的方程為，代入及，得，兩式相減，得，所以圓的方程為即，令，得，由，可得，即．（2）設，由（1）知，由A，P，Q三點共線，得，解得，則，代入，得，當且僅當，即時，為定值．綜上，存在點，可使得直線與的斜率之積為定值，該定值為．【點睛】探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據特殊位置和數值求出定值，再證明這個值與變量無關；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.5．已知橢圓的離心率為，點為橢圓的右焦點，點在橢圓上，且在軸上方，軸，斜率為的直線交于兩點，(1)若直線過點，求的面積.(2)直線和的斜率分別為和，當直線平行移動時，是否為定值？若是，請求出該定值，若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是定值，【分析】（1）先根據題意求橢圓方程，結合弦長公式以及點到直線的距離公式求面積；（2）設直線方程，根據題意利用韋達定理分析運算.【詳解】（1）由題意可得：，解得，則，故橢圓的方程：，令，則，解得或（舍去），即，∵若直線過點，設直線，聯(lián)立方程，消去y得：，則，可得，點到直線直線的距離，故的面積.（2）是定值，，理由如下：設直線，聯(lián)立方程，消去y得：，則，故，即是定值，定值為0.【點睛】方法點睛：探究性問題求解的思路及策略：(1)思路：先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在；若結論不正確則不存在．(2)策略：①當條件和結論不唯一時要分類討論；②當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件；③當條件和結論都不知，按常規(guī)法解題很難時，可先由特殊情況探究，再推廣到一般情況．6．已知橢圓的左焦點為，左、右頂點及上頂點分別記為、、，且.(1)求橢圓的方程；(2)設過的直線交橢圓于P、Q兩點，若直線、與直線l：分別交于M、N兩點，l與x軸的交點為K，則是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由.【答案】(1)；(2)為定值【分析】（1）首先表示，的坐標，即可得到，，根據及，求出，即可求出，從而得解；（2）設直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，即可得到直線的方程為，令求出，同理得到，則，代入計算可得.【詳解】（1）解：依題意，，，所以，，由，可得，即，解得或（舍去），故，，所以橢圓的方程為.（2）解：設直線的方程為，，，聯(lián)立，消去整理得，所以，，直線的方程為，令，得，同理可得，所以，故為定值.7．已知平面上一動點到的距離與到直線的距離之比為．(1)求動點的軌跡方程；(2)曲線上的兩點，，平面上點，連結，并延長，分別交曲線于點A，B，若，，問，是否為定值，若是，請求出該定值，若不是，請說明理由．【答案】(1)；(2)是定值，.【分析】（1）設，根據已知可得，整理即可得到動點的軌跡方程；（2）當點在軸上時，以右端點為例，寫出點的坐標，由已知求出，的值，即可得出；當點不在軸上時，設直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程得到，由韋達定理得到，同理可得到.根據向量關系，表示出，，根據斜率公式推得，結合點滿足橢圓方程，化簡即可得出結果.【詳解】（1）解：設，則，點到直線的距離.由已知可得，整理可得.所以，動點的軌跡是橢圓，方程為.（2）解：是定值，.當點在軸上時，不妨設點為橢圓右端點，由已知可得，，所以，，，，所以，，即，，所以.同理可得，當點為橢圓左端點時，，，所以；當點不在軸上時，設，直線方程為，直線方程為.聯(lián)立直線方程與橢圓方程，整理可得，根據韋達定理有.聯(lián)立直線方程與橢圓方程，整理可得，根據韋達定理有.又，，，，因為，，所以，所以.又，，所以，所以，又，所以，所以.綜上所述，.所以，是定值，.8．已知橢圓，過點直線，的斜率為，，與橢圓交于，兩點，與橢圓交于，兩點，且，，，任意兩點的連線都不與坐標軸平行，直線交直線，于，.(1)求證：；(2)的值是否是定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)為定值【分析】（1）依題意可得直線，直線，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，即可求出、的值，即可得證；（2）設，，依題意可得、、三點共線，則，即可求出，同理可得，再結合（1）的結論得到，即可得到，從而得證.【詳解】（1）證明：依題意直線，直線，由，消去整理得，顯然，所以，，所以，由，消去整理得，顯然，所以，，所以，所以.（2）解：為定值，設，，由已知可得，，即，，因為、、三點共線，所以，即，解得，同理可得，由（1）知，可得，整理得，即，所以，所以，所以，即.9．已知橢圓的左、右焦點分別為且離心率為，橢圓的長軸長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)設分別為橢圓的左、右頂點，過點作軸的垂線，為上異于點的一點，以線段為直徑作圓，若過點的直線（異于軸）與圓相切于點，且與直線相交于點試判斷是否為定值，并說明理由.【答案】(1)(2)是定值，理由見解析【分析】（1）根據橢圓的幾何關系，定義，離心率代入即可求解；（2）點到直線的距離公式，軌跡方程，和橢圓的定義即可求解.【詳解】（1）由題意可知：，解得，則橢圓的標準方程為.（2）由（1）可知，則，設點則圓的半徑為，則直線直線方程為，設的方程為則可得，聯(lián)立,所以點的軌跡方程為,則為定值.10．已知橢圓的左頂點和上頂點分別為、，直線與圓相切，切點為，且.(1)求橢圓的標準方程；(2)過圓上任意一點作圓的切線，交橢圓于、兩點，試判斷：是否為定值？若是，求出該值，并證明；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是定值，證明見解析【分析】（1）設，則，，根據勾股定理可得出關于、、的方程組，解出、的值，即可得出橢圓的方程；（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，當軸時，直接計算出的值；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設、，由直線與圓相切可得出，然后將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，計算可得出，利用三角形相似可得出，綜合可證得結論成立.【詳解】（1）解：依題意，得，，設，則，，①.由知，∴②.由①②，解得，，∴橢圓的標準方程為.（2）解：①當直線的斜率不存在時，即軸時，或，直線的方程為或，代入方程中，得，所以；②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，、.∵直線與圓相切于點，∴圓心到的距離，即（*）.聯(lián)立，整理得，恒成立，且，，，∴，將（*）式代入上式，得，∴.又∵，∴，∴，∴.綜上可得，為定值.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．11．已知橢圓，左、右焦點分別為、，左、右頂點分別為，若為橢圓上一點，的最大值為，點在直線上，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為，其中不與左右頂點重合.(1)求橢圓的標準方程；(2)從點向直線作垂線，垂足為，證明：存在點，使得為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用已知條件建立方程求出的值即可；（2）分析直線斜率是否存在，存在時設直線方程，聯(lián)立方程組消元，寫出韋達定理，然后設直線，直線的方程，由兩直線聯(lián)立可知交點為，且點在直線上，建立等式，代入韋達定理求解即可.【詳解】（1）由題意可得：，設，，那么，可知，當且僅當取得等號，所以，即的最小值為.又的最大值為，所以，所以，又，所以解得，，所以橢圓C的標準方程為.（2）證明：由題意可知，直線斜率為0時，顯然不成立；設直線，點，，聯(lián)立直線與橢圓，整理可得：，，，設直線，直線，兩直線聯(lián)立可知交點為，且點在直線上解之：，所以：，即：.而，代入上式，，即：，然后韋達定理代入可得：，解之可得：或（舍）.可知直線MN過定點，又由條件：，所以Q在以AE為直徑的圓上，圓心即為，為定值.題型三：定直線問題【例1】已知如圖，長為，寬為的矩形，以為焦點的橢圓恰好過兩點，(1)求橢圓的標準方程；(2)根據（1）所得橢圓的標準方程，若是橢圓的左右頂點，過點的動直線交橢圓與兩點，試探究直線與的交點是否在一定直線上，若在，請求出該直線方程，若不在，請說明理由.【答案】(1)(2)直線與的交點在定直線上.【分析】（1）根據橢圓的幾何關系和即可求解；（2）假設直線方程后進行聯(lián)立，利用比值即可進一步求解.【詳解】（1）根據題意可得，所以，令，可得，由可得，所以橢圓的標準方程為.（2）當斜率為時，直線與都和軸重合，當斜率不為時，設直線方程為，代入橢圓方程可得，設，有，，，所以直線方程為，直線方程為，聯(lián)立兩直線方程可得：，所以，解得，故直線與的交點在定直線上.【例2】已知橢圓（）的離心率為，且為上一點.(1)求的標準方程；(2)點，分別為的左?右頂點，，為上異于，的兩點，直線不與坐標軸平行且不過坐標原點，點關于原點的對稱點為，若直線與直線相交于點，直線與直線相交于點，證明：點位于定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）依題意得到關于、、的方程組，解得即可求出橢圓方程；（2）設，，，則，聯(lián)立直線與橢圓，消元、列出韋達定理，表示出直線與的方程，聯(lián)立即可表示出的橫縱坐標之間的關系，即可得到的方程，再與直線方程聯(lián)立，即可求出動點的方程.【詳解】（1）解：設橢圓的焦距為，由題意得，解得，的標準方程為.（2）解：由題可知，，設，，則，設，聯(lián)立消去得，，，又，，，又點為直線和的交點，故可得，故.聯(lián)立消去得，因此，點位于定直線上.【例3】已知為橢圓的左焦點，直線與C交于A，B兩點，且的周長為，面積為2.(1)求C的標準方程；(2)若關于原點的對稱點為Q，不經過點P且斜率為的直線l與C交于點D，E，直線PD與QE交于點M，證明：點M在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將代入曲線C的方程中求得，繼而由三角形的面積公式得.再由橢圓的對稱性和橢圓的定義得，由此可求得C的標準方程；（2）設，，直線l的方程為，，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，并消去y得，得出直線PD的方程，直線QE的方程，聯(lián)立直線PD與直線QE的方程，求得點M的坐標，繼而求得，可得證.(1)解：將代入中，解得，則，所以的面積為，所以.①設C的右焦點為，連接，由橢圓的對稱性可知，所以的周長為，所以，②由①②解得，，所以C的標準方程為.(2)解：設，，直線l的方程為，，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，并消去y得，則，得且，且，，，所以直線PD的方程為，即，直線QE的方程為，即，聯(lián)立直線PD與直線QE的方程，得，得，，所以.所以，即點M