三省三校2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

三省三校2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)的定義域是且滿足如果對于,都有不等式的解集為A. B.C. D.2．中國古代十進(jìn)制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造.據(jù)史料推測，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期或戰(zhàn)國初年.算籌記數(shù)的方法是：個(gè)位、百位、萬位、…上的數(shù)按縱式的數(shù)碼擺出；十位、千位、十萬位、…上的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出，如可用算籌表示為.這個(gè)數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如圖所示，則的運(yùn)算結(jié)果用算籌表示為（）A. B.C. D.3．函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為A. B.C. D.4．關(guān)于三個(gè)數(shù)，，的大小，下面結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.5．已知直線、、與平面、，下列命題正確的是（）A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則6．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）①兩條直線，沒有公共點(diǎn)，那么，是異面直線②若直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則③空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)④若直線與平面平行，則直線與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)A. B.C. D.7．圓過點(diǎn)的切線方程是（）A. B.C. D.8．若，則A. B.C.1 D.9．函數(shù)在上的最小值為，最大值為2，則的最大值為（）A. B.C. D.210．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（）①；②；③；④A.①② B.①④C.②③ D.③④二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正數(shù)、滿足，則的最大值為_________12．函數(shù)f(x)＝log2(x2－1)的單調(diào)遞減區(qū)間為________13．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，,則__________.14．函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______15．已知定義在區(qū)間上的奇函數(shù)滿足：，且當(dāng)時(shí)，，則____________.16．已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，，則f(-8)的值是____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在三棱錐S—ABC中，SC⊥平面ABC，點(diǎn)P、M分別是SC和SB的中點(diǎn)，設(shè)PM=AC=1，∠ACB=90°，直線AM與直線SC所成的角為60°.（1）求證：平面MAP⊥平面SAC.（2）求二面角M—AC—B的平面角的正切值；18．已知向量，，函數(shù)，且的圖像過點(diǎn).（1）求的值；（2）將的圖像向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，若圖像上各點(diǎn)最高點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為1，求的單調(diào)遞增區(qū)間.19．已知函數(shù).（1）求的值；（2）設(shè)，求的值.20．已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且.（1）求及的解析式及定義域；（2）如果函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．如圖,天津之眼，全稱天津永樂橋摩天輪，是世界上唯一一個(gè)橋上瞰景摩天輪，是天津的地標(biāo)之一.永樂橋分上下兩層，上層橋面預(yù)留了一個(gè)長方形開口，供摩天輪輪盤穿過，摩天輪的直徑為110米，外掛裝48個(gè)透明座艙，在電力的驅(qū)動(dòng)下逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一圈大約需要30分鐘.現(xiàn)將某一個(gè)透明座艙視為摩天輪上的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，距離下層橋面的高度為113米，點(diǎn)在最低點(diǎn)處開始計(jì)時(shí).（1）試確定在時(shí)刻(單位:分鐘)時(shí)點(diǎn)距離下層橋面的高度(單位:米)；（2）若轉(zhuǎn)動(dòng)一周內(nèi)某一個(gè)摩天輪透明座艙在上下兩層橋面之間的運(yùn)行時(shí)間大約為5分鐘，問上層橋面距離下層橋面的高度約為多少米？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】令x=，y=1，則有f（）=f（）+f（1），故f（1）=0；令x=，y=2，則有f（1）=f（）+f（2），解得，f（2）=﹣1，令x=y=2，則有f（4）=f（2）+f（2）=﹣2；∵對于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），∴函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，故f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2可化為f（﹣x（3﹣x））≥f（4），故，解得，﹣1≤x＜0．∴不等式的解集為故選D點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，的原型函數(shù)為的原型函數(shù)為，.2、A【解析】先利用指數(shù)和對數(shù)運(yùn)算化簡，再利用算籌表示法判斷.【詳解】因?yàn)?，用算籌記數(shù)表示為，故選：.3、C【解析】利用零點(diǎn)存在性定理計(jì)算，由此求得函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】依題意可知在上為增函數(shù)，且，，，所以函數(shù)零點(diǎn)在區(qū)間.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查零點(diǎn)存在性定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】引入中間變量0和2，即可得到答案；【詳解】，，，，故選：D5、D【解析】利用線線，線面，面面的位置關(guān)系，以及垂直，平行的判斷和性質(zhì)判斷選項(xiàng).【詳解】A.若，則或異面，故A不正確；B.缺少垂直于交線這個(gè)條件，不能推出，故B不正確；C.由垂直關(guān)系可知，或相交，或是異面，故C不正確；D.因，所以平面內(nèi)存在直線，若，則，且，所以，故D正確.故選：D6、C【解析】①由兩直線的位置關(guān)系判斷；②由直線與平面的位置關(guān)系判斷；③由空間角定理判斷；④由直線與平面平行的定義判斷.【詳解】①兩條直線，沒有公共點(diǎn)，那么，平行或異面直線，故錯(cuò)誤；②若直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則或相交，故錯(cuò)誤；③由空間角定理知，正確；④由直線與平面平行的定義知，正確；故選：C7、D【解析】先求圓心與切點(diǎn)連線的斜率，再利用切線與連線垂直求得切線的斜率結(jié)合點(diǎn)斜式即可求方程.【詳解】由題意知，圓：，圓心在圓上，，所以切線的斜率為，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：D.8、A【解析】由，得或，所以，故選A【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，倍角公式【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)求值：①“給角求值”將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過相消或相約消去非特殊角，進(jìn)而求出三角函數(shù)值；②“給值求值”關(guān)鍵是目標(biāo)明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系9、B【解析】將寫成分段函數(shù)，畫出函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合，即可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)x≥0時(shí)，，當(dāng)＜0時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如圖：當(dāng)時(shí)，由=，解得=2當(dāng)時(shí)，當(dāng)＜0時(shí)，由,即，解得=，∴此時(shí)=，∵[]上的最小值為，最大值為2，∴2，，∴的最大值為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查含絕對值的二次型函數(shù)的最值，涉及圖象的繪制，以及數(shù)形結(jié)合，屬綜合基礎(chǔ)題.10、D【解析】對每個(gè)函【解析】判斷奇偶性及單調(diào)性即可.【詳解】對于①，，奇函數(shù)，在和上分別單增，不滿足條件；對于②，，偶函數(shù)，不滿足條件；對于③，，奇函數(shù)，在R上單增，符合題意；對于④，，奇函數(shù)，在R上單增，符合題意；故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】利用均值不等式直接求解.【詳解】因?yàn)榍遥?，即，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最大值為.故答案為：.12、【解析】由復(fù)合函數(shù)同增異減得單調(diào)減區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間，且，解得故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為13、12【解析】由函數(shù)的奇偶性可知，代入函數(shù)解析式即可求出結(jié)果.【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，則，.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題型.14、【解析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算和奇函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以．故答案為：15、【解析】由函數(shù)已知的奇偶性可得、，再由對稱性進(jìn)而可得周期性得解.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上是奇函數(shù)，所以，，，得，因?yàn)?，，所以的周期?.故答案為：.16、【解析】先求，再根據(jù)奇函數(shù)求【詳解】，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由已知可證BC⊥平面SAC，又PM∥BC，則PM⊥面SAC，從而可證平面MAP⊥平面SAC；（2）由AC⊥平面SBC，可得∠MCB為二面角M—AC－B的平面角，過點(diǎn)M作MN⊥CB于N點(diǎn)，連接AN，則∠AMN=60°，由勾股定理可得，在中，可得，從而在中，即可求解二面角M—AC—B的平面角的正切值.【小問1詳解】證明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，又∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又ACSC=C，∴BC⊥平面SAC，又∵P，M是SC、SB的中點(diǎn)，∴PM∥BC，∴PM⊥面SAC，又PM平面MAP，∴平面MAP⊥平面SAC；【小問2詳解】解：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥AC，又AC⊥BC，BCSC=C，∴AC⊥平面SBC，∴AC⊥CM，AC⊥CB，從而∠MCB為二面角M—AC－B的平面角，∵直線AM與直線PC所成的角為60°，∴過點(diǎn)M作MN⊥CB于N點(diǎn)，連接AN，則∠AMN=60°，在△CAN中，由勾股定理可得，在中，，在中，.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩角和的正弦公式化簡函數(shù)的解析式，再把點(diǎn)代入，求得的值（2）根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律求得的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得的單調(diào)遞增區(qū)間【詳解】（1）已知，過點(diǎn)解得:；（2）左移后得到設(shè)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為，解得，解得，，，的單調(diào)增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)與向量的簡單運(yùn)算知識點(diǎn)，以及函數(shù)的圖象變換，屬于中檔題.19、（1）；（2）【解析】（1）直接帶入求值；（2）將和直接帶入函數(shù)，會(huì)得到和的值，然后根據(jù)的值試題解析：解：（1）（2）考點(diǎn)：三角函數(shù)求值20、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，結(jié)合，以取代入上式得到，聯(lián)立求解；（2）易得，，設(shè)，轉(zhuǎn)化為，，根據(jù)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)，在有一個(gè)零點(diǎn)求解.【小問1詳解】解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，，∵，①∴令取代入上式得，即，②聯(lián)立①②可得，，【小問2詳解】，，，可得，∴，.設(shè)，∴，，∵當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即使得函數(shù)，在有一個(gè)零點(diǎn)，（時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)）即方程在內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根，∵，令，則使即可，∴或.∴的取值范圍.21、（1）米.（2）米.【解析】（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，以為始邊，為終邊的角為，計(jì)算得到答案.（