一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用講義-高三數(shù)學一輪復(fù)習

專題專題5一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識結(jié)構(gòu)

單元目標：1感知微積分的基本思想，理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，體會極限思想，提升數(shù)學抽象、直觀想象素養(yǎng)。2強調(diào)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最大（?。┲档刃再|(zhì)的一般步驟，體現(xiàn)程序化思想，體會導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的基本工具，具有普適性。3通過利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)值，求簡單初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，體會極限思想，提升數(shù)學運算素養(yǎng)。4通過微積分創(chuàng)立的史實，讓學生感受理性精神。知識清單1.導(dǎo)數(shù)的定義函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)記作：2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在點處切線的斜率是。于是相應(yīng)的切線方程是：。注意兩種情況：①曲線在點處切線：。相應(yīng)的切線方程是：②曲線過點處切線：先設(shè)切點，切點為,則斜率k=，切點在曲線上，切點在切線上，切點坐標代入方程得關(guān)于a,b的方程組，解方程組來確定切點，最后求斜率k=，確定切線方程。3.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧4.導(dǎo)數(shù)的四則運算和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（1）(2)（3）（4）5.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：

設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，①在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；②在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；注意：當在某個區(qū)間內(nèi)個別點處為零，在其余點處為正（或負）時，在這個區(qū)間上仍是遞增（或遞減）的。=3\*GB3③在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在該區(qū)間內(nèi)恒成立；=4\*GB3④在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在該區(qū)間內(nèi)恒成立；（2）利用導(dǎo)數(shù)求極值：定義：設(shè)函數(shù)在點附近有定義，如果對附近所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極大值。記作＝，如果對附近所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極小值。記作＝。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。求函數(shù)在某個區(qū)間上的極值的步驟：

（i）求導(dǎo)數(shù)；

（ii）求方程的根；

（iii）檢查在方程的根的左右的符號：

“左正右負”在處取極大值；“左負右正”在處取極小值

特別提醒：=1\*GB3①是極值點的充要條件是點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不僅是＝0，＝0是為極值點的必要而不充分條件。=2\*GB3②給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉(zhuǎn)化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！3.利用導(dǎo)數(shù)求最值：比較端點值和極值（1）定義：函數(shù)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點值中的“最大值”；函數(shù)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點值中的“最小值”。（2）求函數(shù)在[]上的最大值與最小值的步驟：=1\*GB3①求函數(shù)在（）內(nèi)的極值（極大值或極小值）；=2\*GB3②將的各極值與，比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值?？键c探究題型一導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）的理解【典例精講】例1.已知：。計算：的值。解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義得到：?！咀兪接?xùn)練】練11.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，則（）A．0 B． C．1 D．2【分析】因為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，則.故選：B.練12.若，則（）A．－4B．4C．－1 D．1【分析】因為，所以．故選：C練13.已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則（）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】由得，當時，，解得，所以，.故選：B題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義【典例精講】例2.已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線方程；(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標；(3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程．【分析】(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13.∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)設(shè)切點為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)=＋1，∴直線l的方程為又∵直線l過點(0，0)，∴0＝(3＋1)(－x0)＋＋x0－16.整理得，＝－8，∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)．(3)∵切線與直線y＝－eq\f(x,4)＋3垂直，∴切線的斜率k＝4.設(shè)切點坐標為(x0，y0)，則f′(x0)＝3＋1＝4，∴x0＝±1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝－14))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝－18.))即切點為(1，－14)或(－1，－18)．切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.【變式訓(xùn)練】練21.曲線在點處的切線方程為()A.B.C.D.【分析】由已知得，即，故選A練22.函數(shù)的圖象在點處的切線與軸交點的橫坐標為為正整數(shù)，，則_______.【分析】由已知，，點處的切線的斜率，在點處的切線方程為當時，解得，所以.【答案】21練23.已知點在曲線上，為曲線在點處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【解析】由已知得，所以，綜合可得：，故選D練24.若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離為_______.【答案】【分析】由已知，設(shè)點曲線上一點，則有，因為，所以，所以，所以曲線在處的切線斜率為，則曲線在處的切線方程為，即．要求得曲線上任意一點，到直線的最小距離即找到曲線上距離直線最近的點，即，解得或（舍去），此時，以點為切點，曲線的切線方程為：，此時，切點為曲線上距離直線最近的點，即點與點重合，最小距離為直線與直線之間的距離，設(shè)最小距離為，所以.故答案為：.題型三導(dǎo)數(shù)的運算【典例精講】例3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，∴．（2）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，∴.（3）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，∴．（4）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，∴．（5）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，∴．（6）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，∴．【變式訓(xùn)練】練31．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)練32.設(shè)若則（）A.B.C.D.【分析】由已知得，所以，故選B練33.等比數(shù)列中，，函數(shù)，則（）A．B.C.D.`【分析】觀察函數(shù)，變形為所以所以，故選C練34.函數(shù)，滿足，則________.【分析】由已知，所以所以題型四利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題【典例精講】例4.已知定義在上的函數(shù)滿足，，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，則，所以在單調(diào)遞減，不等式可以轉(zhuǎn)化為，即，所以.故選：D.【變式訓(xùn)練】練41.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(1)；(2)(3)；(4).【答案】(1)增區(qū)間為，，減區(qū)間為；(2)增區(qū)間為，，減區(qū)間為，；(3)增區(qū)間為，，減區(qū)間為；(4)增區(qū)間為，，減區(qū)間為；【解析】（1）解：因為，所以，由，得或，由，得，所以函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；（2）因為，所以，由，得或，由，得，，所以函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，；（3）因為，所以，由，得或，由，得，所以函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；（4）因為，所以，由，得或，由，得，所以函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；練42.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則，當?shù)茫?，當時，，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，又，所以，即c<a<b．故選：D．練43.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，所以，故的取值范圍是．故答案為：．練44.已知函數(shù)，則不等式的解集為__________．【答案】【分析】函數(shù)的定義域為，且，則是偶函數(shù)，，且，是奇函數(shù)，又，即是為增函數(shù)，當時，，即在上為增函數(shù)，則不等式等價于，，平方得，化簡得，解得或，故答案為：題型五利用導(dǎo)數(shù)解決極值最值問題【典例精講】例5已知函數(shù)在上有最小值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】因為函數(shù)在上有最小值，所以函數(shù)在上先減后增，即在上先小于0，再大于0，令，得，，，故只需的斜率大于過的的切線的斜率即可，設(shè)切點，則切線方程為：，把代入切線方程可得，故切點為，切線斜率為，故只需.故選：A【變式訓(xùn)練】練51.函數(shù)的極小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】因為，所以.令得，當時，，當時，.故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.則當時，取得極小值，且極小值為.故選：C練52．若函數(shù)在區(qū)間上有極值點，則實數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【解析】函數(shù)在區(qū)間上有極值點，所以在區(qū)間上有變號零點．且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，所以，即，解得．故答案為：．練53．已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線的方程；(2)若函數(shù)在處取得極大值，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得，所以，，故曲線在點處的切線的方程；（2）由（1）可得當時，，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以此時在處取得極大值，滿足題意；當時，令，解得下面對進行分類討論①當時，，在上單調(diào)遞增，無極值點，舍去；②當時，當或時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，此時在處取得極小值，故舍去；③當時，當或時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，此時在處取得極大值，滿足題意；④當時，當或時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，此時在處取得極大值，滿足題意；綜上：的取值范圍為題型六函數(shù)零點與極值點的綜合性問題【典例精講】例6若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【分析】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．當時，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，不可能有兩個零點；當時，令，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為．令，則．當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，所以，所以的最小值為，函數(shù)有兩個零點．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．故選C【變式訓(xùn)練】練61.函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．B．C．D．【分析】由題意，函數(shù)的定義域為，且，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以函數(shù)在定義域內(nèi)沒有零點．故選A．練62.已知在有零點．求實數(shù)的取值范圍；【解析】（1），①當時，在時恒成立，在上遞增，，不符合題意，②當時，，當時，；當時，，在上遞增，在上遞減，，當時，，滿足題意；③當時，在時恒成立，在上遞減，，不符合題意．綜上所述，的取值范圍是．練63.設(shè)函數(shù)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點．【解析】（1），令得(舍負)，列表如下：0↘極小值↗綜上：的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；極小值為，無極大值；（2）由（1）知，在區(qū)間上的最小值為．因為存在零點，所以，從而．當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點．當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，所以在區(qū)間上僅有一個零點．綜上可知，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點．題型七利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題【典例精講】例7某銀行準備設(shè)一種新的定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為，貸款的利率為4.8%，假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.若存款利率為,則銀行獲得最大收益的存款利率為()A.3.2% B.2.4% C.4% D.3.6%【解析】依題意知,存款量是,銀行應(yīng)支付的利息是,銀行應(yīng)獲得的利息是0.048,所以銀行的收益，所以令,得或(舍去).因為,所以當時,，當時,.因此,當時,取得極大值,也是最大值,即當存款利率定為3.2%時,銀行可獲得最大收益.故選A.【變式訓(xùn)練】練71.如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為5cm，該紙片上的等邊的中心為.為圓上的點，分別是以為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以為折痕折起，使得重合，得到三棱錐.當?shù)倪呴L變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為.【分析】如圖，連接交于點，設(shè)重合于點，正三角形的邊長為，則.，三棱錐的體積.設(shè)，，則，令，則，解得，易知在處取得最大值.∴.【答案】練72.設(shè)為實數(shù)，函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間及極值；（Ⅱ）求證：當且時，【分析】（Ⅰ）由已知得由得，所以，由得，所以的變化如下表：－0＋單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，在處取得極小值，（Ⅱ）證明：欲證，即證設(shè)，即證且時，可得（這個形式下不易解）令，則由，由所以當且時，，所以在上成立因此，即所以當且時，題型八隱零點問題、極值點偏移問題【典例精講】例8已知函數(shù)．(1)當時，求的極值；(2)若不等式恒成立，求整數(shù)a的最小值．【詳解】解：(1)當時，，令得(或舍去)，∵當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，∴，無極大值．(2)，即，即，∴，即，∴原問題等價于在上恒成立，設(shè)，則只需．由，令，∵，∴在上單調(diào)遞增，∵，∴存在唯一的，使得，∵當時，，則單調(diào)遞增，當時，，則單調(diào)遞減，∴，∴即可．∴，∴，故整數(shù)a的最小值為2練81已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(x>0)，a為常數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個零點x1，x2(x1≠x2)．求證：x1x2>e2.證明：不妨設(shè)x1>x2>0，因為lnx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0，所以lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2)，lnx1－lnx2＝a(x1－x2)，所以eq\f(lnx1－lnx2,x1－x2)＝a，欲證x1x2>e2，即證lnx1＋lnx2>2.因為lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2)，所以即證a>eq\f(2,x1＋x2)，所以原問題等價于證明eq\f(lnx1－lnx2,x1－x2)>eq\f(2,x1＋x2)，即lneq\f(x1,x2)>eq\f(2（x1－x2）,x1＋x2)，令t＝eq\f(x1,x2)(t>1)，則不等式變?yōu)閘nt>eq\f(2（t－1）,t＋1).令h(t)＝lnt－eq\f(2（t－1）,t＋1