2023年江西省九江市普通高校對(duì)口單招數(shù)學(xué)自考模擬考試(含答案)

2023年江西省九江市普通高校對(duì)口單招數(shù)

學(xué)自考模擬考試（含答案）

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題（10題）

?■"

1.在AABC中，A=60o,IABI=2,2則邊BC的長(zhǎng)為（）

A.-7

B.7

C.悟

D.3

06ca04,

2?若a?<a?則a的取值范圍為（）<∕a

A.a>IB.O<a?lC.a>0D.無(wú)法確定

3.已知a<0,0VbVr則下列結(jié)論正確的是（）

A.a>ab

B.a>ab2

C.ab<ab2

D.ab>ab2

XX

4.函數(shù)y=3sin5+4cosJ的周期是<）

A.2πB.3πC.5πD.6π

5.實(shí)數(shù)4與16的等比中項(xiàng)為

A.-8

±8

B.

C.8

6.下列雙曲線中，漸近線方程為y=±2χ的是()

A.x2-y2/4=1

B.x2∕4-y2=l

C.x2-y2/2=1

D.x2∕2-y2=l

7.拋物線y=2x2的準(zhǔn)線方程為()

A.y=-1/8B.y=-1/4C.y=-1/2D.y=-1

8.已知全集u={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A={0,1,3,5,8}，集合B={2,4,5,6,8卜則(CUA)∩(CLJB)=()

A.(5,8)B.[7,9)C.{0,l,3)D.{2,4,6)

9.在等差數(shù)列E}中，^a3+a17=10.則等于()

A.75B.85C.95D.65

10.下列函數(shù)為偶函數(shù)的超

?=X2-1

A.'

y=(x+1)2

B.

X

y=--r

l÷x

C.

y=?

D.

二、填空題(io題)

IL直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(/,3)，其傾斜角為135°，則直線1的方程為.

12.

過(guò)在線3x÷y÷8=O與2x+y+5=0的交點(diǎn)且「直線“一尸1=。垂直的直線

方程為

13.某工廠生產(chǎn)A、B'C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2:3:4,現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，樣本中A

種型號(hào)產(chǎn)品有6件，那么n=。

14.五位同學(xué)站成一排，其中甲既不站在排頭也不站在排尾的排法有種.

15.函數(shù)f(χ)=sin2x-cos2x的最小正周期是

16.101g2=."

17.函數(shù)/(x,=∣0g(-35-X)的定義域是.

18.1+3+5+...+(2n-b)=.

19.某學(xué)校共有師生2400人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為］60的樣本，已知從學(xué)生中抽取的人數(shù)為］50,那

么該學(xué)校的教師人數(shù)是.

20.函數(shù)f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值為.

三、計(jì)算題(5題)

21.甲、乙兩人進(jìn)行投籃訓(xùn)練，己知甲投球命中的概率是1/2,乙投球命中的概率是3/5,且兩人投球命中與否相互之間沒(méi)有影響.

(1)若兩人各投球1次，求恰有1人命中的概率；

(2)若兩人各投球2次，求這4次投球中至少有1次命中的概率.

22.某小組有6名男生與4名女生，任選3個(gè)人去參觀某展覽，求

(1)3個(gè)人都是男生的概率；

(2)至少有兩個(gè)男生的概率,

23.近年來(lái)，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為“廚余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四類，并

分別垛置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾的正確分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市四類垃圾箱總計(jì)噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

K）O

如下（單位：噸）：

“廚余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱

廚余垃圾24412

可回收垃圾41923

有害垃圾^^

22141

其他垃圾15313

（1）試估計(jì)“可回收垃圾，，投放正確的概率;

（2）試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率。

24.從含有2件次品的7件產(chǎn)品中，任取2件產(chǎn)品，求以下事件的概率,

（D恰有2件次品的概率p?；

（2）恰有1件次品的概率P2.

.已知函數(shù)巳求：

25y=?/?cos2x+3sin2x，XR

（1）函數(shù)的值域；

（2）函數(shù)的最小正周期。

四、簡(jiǎn)答題（io題）

等差數(shù)列;%:的前項(xiàng)和為已知

26.nSna[0=3Sa2θ=50?

（1）求通項(xiàng)公式a。

（2）若S=242,求?r

n

27.已知函數(shù)/C）=501g+ACK與

（1）求函數(shù)f（X）的最小正周期及最值

⑵令g（x）=?∕（x+?判斷函數(shù)g（χ）的奇偶性，并說(shuō)明理由

28.已知函數(shù)〃X）=√?！蘬α>0.fiα≠1）-且“7）=孝.

（1）求a的值：

（2）求f（χ）函數(shù)的定義域及值域.

29.某中學(xué)試驗(yàn)班有同學(xué)50名，其中女生30人，男生20人，現(xiàn)在從中選取2人取參加校際活動(dòng)，求

（1）選出的2人都是女生的概率。

（2）選出的2人是1男1女的概率。

30.點(diǎn)A是BCD所在平面外的一點(diǎn)，且AB=AOBAC=BCD=90。，BDC=60°，平面ABC?h平面BCD。

（1）求證平面ABD,平面ACD：

（2）求二面角A-BD-C的正切值。

A

31.以點(diǎn)(0,3)為頂點(diǎn)，以y軸為對(duì)稱軸的拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線3x2-y2+12=0的一條準(zhǔn)線重合，求拋物線的方程,

32.已知函數(shù)：守:"咸'，求X的取值范圍。

33.求過(guò)點(diǎn)P(2,3)且被兩條直線/丁3x+4y-7=0?：3x+4y+8=0所截得的線段長(zhǎng)為3尬的直線方程.

34.已知t∞(*+α)=2,求血2α-28524的值

35.平行四邊形ABCD÷'CBD沿對(duì)角線BD折起到平面CBD-L平面ABD'求證：AB」-DE

C

A

五、解答題(io題)

36.

已知數(shù)列(bn)是等差數(shù)列，bj=I,b1+b2÷...÷b∣o=145.

⑴求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式b?；

(2)設(shè)數(shù)歹∣J｛an｝的通項(xiàng)an=loga(l+y)(其中a>()且a≠l)記Sn是數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，試比較

Sn與2IOgabn”的大小，并證明你的結(jié)論.

37.

一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示,

在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為M,6〃的中點(diǎn)為N。

(I)請(qǐng)將字母標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說(shuō)明理由)

(II)證明：直線MN〃平面BDH

(III)求二面角A—EG—例余弦值

38.已知圓c的圓心在n線y=χ上，半徑為5且過(guò)點(diǎn)A(4,5)?B(l，6)兩點(diǎn).

(1)求圓C的方程：

(2)過(guò)點(diǎn)M(-2,3)的直線］被例C所截得的線段的長(zhǎng)為8,求宜線］的方程.

3)已如等差致對(duì)｛%I港足：%=7,4+%=26,｛%｝的前“項(xiàng)加為S”.求明及S11；

40.已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2(a>1)在X=-I時(shí)有極值().

(1)求常數(shù)a，b的值：

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

41.已知圓χ2+y2=5與直線2x-y-m=0相交于不同的A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(D求m的取值范圍：

(2)若OA-LOB-求實(shí)數(shù)m的值.

42.如圖，在正方體ABCD—A[B]C[D]中，E，F(xiàn)分別為棱AD，AB的中點(diǎn).

(1)求證：EF//平面CB]D「

(2)求證：平面CAA[C]，平面CB]D]

43.

已知向以"=(-LcosO)B=(SIne?2)Haj.(求3COT(Λ1-6)+4sιn26

的他

44.

已知S”是等差數(shù)列｛4｝的前?項(xiàng)和，且％=-L=15.

(1)求4；(2)令以=2"?(〃=1.2.3.|.)，計(jì)算匕也和久，由此推測(cè)數(shù)列出｝

是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，證明你的結(jié)論.

45.已知數(shù)列｛a｝是首項(xiàng)和公差相等的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S-且5期=55.

(1)求a和S

nn

(2)設(shè)=b=1∕S，數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和為T=，求T的取值范圍

nnnnn

六、單選題(0題)

46.若aθ.6<a<aθ.4,則a的取值范圍為()v/a

A.a>lB.O<a<lC.a>OD.無(wú)法確定

參考答案

LC

?IΛB11ACI?inA=?×

計(jì)笄??；S-

22

2IACI?BfIAC

ΛCI-1.BCP-IABI*/.IAB∣,+∣ACI

—2IABIIAClcosΛ=4+1—2X2X1X

解三角形余弦定理.而枳coβ60?=3.ΛI(xiàn)BC∣≡√3.微選C.

2.B

已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，當(dāng)a在(0,1)范圍內(nèi)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以選B

3.C

命題的真假判斷與應(yīng)用.由題意得ab-ab2=ab(l-b)<0?所以ab<ab2

4.D

y=3sin(x∕3)+4cos(x∕3)=5[3∕5sin(x∕3)+4∕5cos(x∕3)]=5sin(x∕3+α),所以最小正周期為6π

5.B

6.A

雙曲線的漸近線方程.由雙曲線漸近線方程的求法知，雙曲線χ2-y2∕4=l的漸近線方程為y=±2x

7.A

?；拋物線“=2/寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=?^/,

P=p開(kāi)口向上，焦點(diǎn)在〃軸正半軸上，

???準(zhǔn)線方程為沙=一(。

8.B

集合補(bǔ)集，交集的運(yùn)算.因?yàn)镃uA={2,4,6,7,9}，CUB={0，1，3,7,9}，所以(<^￡)0(CuB)={7,9}.

9.C

由題意可得：

Q]+。19—ɑ?+。17—10

10.A

?1.x+y-2=0

12.x+y+2=0

13.72

4種型號(hào)產(chǎn)品所占的比例為一--=-,

2+3÷49

16÷-=72,

9

故樣本容量rι=72,

14.72-

假設(shè)5個(gè)人分別對(duì)應(yīng)5個(gè)空位，甲不排在排頭

也不排在排尾，有3個(gè)位置可選；

則其他4人對(duì)應(yīng)其他4個(gè)位置，有4：=24種

情況，

則不同排列方法種數(shù)3x24=72?；

故答案為72.

15.π

f〈X)=2(1∕2sin2x-1∕2cos2x)=2sin(2x-π∕4),因此最小正周期為Tr

16.1g1024

101g2=lgI024

17.(x∣l<x<5且x≠2｝，

函數(shù)/(%)=Zog(6-1)(5-力)的定義域是多少

1一1>0且宏一IWl

5-a7>0

解得

I∈(1,2)U(2,5)

18.n2,

1+3+5+…+(2九一1)共有幾項(xiàng)

.".1+3+5+…+(2九—1)

=i×[l+(2τi—l)]×n

1

=^×2on×n

=n2.

19.150.分層抽樣方法.該校教師人數(shù)為240OX（160-150）/160=150（人）.

20.1.二角函數(shù)最值.因f(x)=sinxcosφ÷cosxsinφ-2sinφcosx=sinxcosφ-cosxsinφ=sin(x-φ)<l'故函數(shù)f(x)=sin(x+φ)-

2sinφcosx的最大值為I.

21.

解：記甲投球命中為事件A?甲投球未命中為事件N：乙投球命中為事件B，乙投球未命中為事件5。則：

?-13-2

P(A)=-;PM)?-；P(B)==-

(1)記兩人各投球1次,恰有1人命中為事件C,則

一一12131

P(C)=PG4)?P⑹+P(4)?P(B)=QXg+QXg=Q

(2)記兩人各投球2次4次投球中至少有1次命中為驅(qū)件D,則?兩人各投球2次，4次投球中全未命中為事

件方

-----1122.124

P(D)≈?-P(D)≈l-P(A)?P(A)?P(B)?P(B)≈?--×-×-×-≈?--≈-

22.

解：(1)3個(gè)人都是男生的選法：Cl

任意3個(gè)人的選法：Cf0

1

3個(gè)人都是男生的概率:

6

(2)兩個(gè)男生一個(gè)女生的選法：

C；+C：C：_2

至少有兩個(gè)男生的概率P

』3

23.

解：⑴依題意得，“可回收垃圾”共有4+19+2+3=28(噸)

其中投放正確的，即投入了“可回收垃圾”箱的有19噸

19_19

所以，可估計(jì)“可回收垃圾”投放正確的概率為：19+4+2+3—28

0據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，總共抽取了IOO噸生活垃圾，其中“廚余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃

圾”,“其他垃圾”投放正確的數(shù)量分別為24噸，19噸，14噸，13噸。故生活垃圾投放正

確的數(shù)量為24+19+14+13=70盹，所以，生活拉圾投放錯(cuò)誤的總量為IoO-70=30噸，

100-(19+24+14+13)_3

所以生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率：-------ioδ--------=Io

24.

,解：7件產(chǎn)品中有2件次品.5件合格品

（I）恰有2件次品的概率為

2

K=CJ=-L1

C；21

（2）恰有1件次品的概率為

C^_=10

2C；21

25.

常r：y=>∕3cos2A-+3sin2x

=2?∕3(?-cos2x+?y-sin2x)

=2?∕3(sincos2x÷cos-sin2x)

=2y∕3sin(2x+二)

6

(1)函數(shù)的值域?yàn)閇一2百,20].

(2)函數(shù)的最小正周期為T=生=π.

2

26.

(1)4=Ql+(〃+MaIO=30,α2o=50

,

..al+9d=30,QI+19d=50得α∣=12,d=2

則ae=2n+10

(2)5“=叫+型羅/且品=242

.?.12n+^?^×2=24

2

得n=ll或n=-22(舍去)

、,xWXX/X、c,不“、

J(X)≡εm—+√3cos—=2(—sm-÷—cos—)=2sm(-He一)

27.⑴22222223

T=早=4τr/(x)最小值=-2∕(x)最大值=2

2

t^∕(x)=2sm(→?)

...g(?)?/(?+j)=2s≡(-^+-?)β2cos?^

-XX

g(-x)=2cos-=2cos-=g(x)

又22

???函數(shù)是偶函數(shù)

28.<1JSD="^r=專

Λ1-α^l=—a~i=?.BPa=2

22

/(x)=√l-2"ι-2?>αx≤0

..函數(shù)“X刪定義域?yàn)?-?⑼

v2,>0.0<l-2t<l/(x)e[θ.l)

(21.函數(shù)/(x的fi域加-∞.θ]

29.(I)2人都是女生的概率P=C(2,30)∕C(2,50)=30*29/(50*49)=0.35510

(2)2人都是男生的概率P=C(2,20)∕C(2,50)=20*19/(50*49)=0.15510

選出的一男?一女的概率P=C(1,20)*C(l,30)∕C(2,50)=20*30/((50*49)/2)=0.4897

30.分析：本題考查面面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法。

（1）推導(dǎo)出CD?LAB，AB-LAo由此能證明平面ABDL平面ACD。

（2）取BC中點(diǎn)0，以O(shè)為原點(diǎn)，過(guò)0作CD的平行線為X軸，OC為y軸，OA為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能

求出二面角A-BD-C的正切值。

解答：

證明：（［）???而ABC?L底面BCD，NBCD=90%而ABCn面BCD=BC，

Z

???CD?L平面ABC>??CD?LAB，

vzBAC=90θjΛAB1AC*

vAC∩CD=C^

???平面ABD_L平面ACD

解：（II）取BC中點(diǎn)O，Y面ABCL底面BCD-zBAC=90o*AB=AC>

???AO,BC??AO?L平面BDO

以O(shè)為原點(diǎn)，過(guò)O作CD的平行線為X軸，OC為y軸，OA為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

A(0,0,√2a),B(0,-√2a,0),D,√2a,0)

O

AB=(0,-√2a,-√2a),啟=√2a,-√2a),

O

設(shè)平面ABD的法向量盛=(x,y,z),

?AB=—√z2αυ—?∕2az=0T

則T.L,取y=l,得H=(-√6,1,-1),

n?AD—八H+χ∕2ay—y∕2az=0

平面BDC的法向量有=(00,1),

設(shè)二面角A-BD-C的平面角為仇

?m?^n?1∕r^I2√7

貝!∣cosθ==------=——,sinθ=,/1-(——)=——tanθ=√7.

?m??InI2vz2y2?∕22√2

.?.二面角A-BD-C的正切值為0.

3].由題意可設(shè)所求拋物線的方程為χ)=2p(βy-3)(p〉。)

準(zhǔn)線方程/-3二一]

則y=_3代入得：p=12

所求拋物線方程為X2=24(y?3)

32.

3x-4>0

解，由題意如/_.4>0

[3x-4<F-X-4

X>4

33?x-7y+19=0或7x+y-17=0

34.

,7t、l+tanα.

tao(-+a)=----------=2

4l-tana

1.1

.tana=-,sma=-CoSa

33

C3c4

.sin2as-cos2as—

55

則Sm2a-2cos2a=-l

35.

證明：在AABD中，AB=2,AD=4,NDAB=60°

.*.BD=√22+42-2×2×4COS60=2√3

則加+BD2=AD2

即AB±DE

平面EBD_L平面ABD

ABJL平面EBD,則AB?DE

36.

b?=∣[?,=I,

(I)設(shè)數(shù)列｛/，”｝的公差為4.由題意得叫+叫)一%=|457/=3;也=3〃-2

(2)由6=3〃-2知

Sn=IOgu(I+1)+lθgtj(1+-!-)÷...-lθSd(1+-!—)

43〃一2

=log^[(1+1)(1+-!-)...(1÷—!—)]

43/J—2

而?k)g,ΛυM=k)gd33〃+].于是，比較Sn與∣logJ%+∣的大小u>比較(1+1)(1+1)...(1-

j?)與師TT的大小?

3〃一2.

取〃=1,有(1+1)=有>6=V3?l+1

取〃=2,有(l+l)(l+')K、孫2+1

4

推測(cè)：(1+1X1+：)…(1+3二)>師IC

①當(dāng)〃=1時(shí)，已驗(yàn)證「)式成立

②假設(shè)”=A(A≥1)時(shí)Q式成立，即(1+1)(1+?L)…(I-J;>>√3E∏

43"-2

則當(dāng)〃=用時(shí)，α+∣)α+f…α+不三川+忌方)>Eα+[π)

3A+1

,

?.?(2i12√3A+i)?_(力：+41

3k+1

(3*+2尸一(34+4)(34+1)2M+4八

=----------------------；------------=-----------r>0

2

(3?+l)(3A+1)-

/.7；；(3λ+2)>"31=海TirTT

從而(1+1)(]+，)…(1+——)(∣+-ri-)>海工亦T,即當(dāng)“=A+1時(shí)，(?)式成立

4狀_?狀_IV

由①②知，()式對(duì)任意正整薪〃都成立.

于是，當(dāng)a>l時(shí)，S->?logi?.:,當(dāng)O<K1時(shí)，logJ?<

37.

(I)如圖

(II)連接BI),取8。的中點(diǎn)0,連接MQ

因?yàn)镸`。為線段4C、8。中點(diǎn)，所以MQHCDHGll且MQ=:?Gll

又因N為GH中點(diǎn)，所以NH=-GH

?

得到NH=MQ且NHuMQ

所以四邊形QMN〃為￡7

得到JQH/IMN

又因?yàn)?。〃U平面8/)，

所以MNU平面BDH(得證)

(ΠI)連接ΛC,EG,過(guò)點(diǎn)M作MK?ΛC,垂足在AC±,過(guò)點(diǎn)K作平面八WO垂

線，交EG于點(diǎn)L,連接ML,則二面角A-EG-M=NMLK

因?yàn)镸KU平面ABCD,且八EJ.AliCD,所以MK±ΛE

又八￡,ΛC?平面AEG所以MK1平面4KG

且KLUAEG,所以MK1KL,所以三角形MKL為RrA

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則ΛB=BC=KL=a,

所以MC=

因?yàn)镹MCK=45。，三角形MCK為"TA,所以MK=MCcosN45。=容

V∑t∕

WK-戶2>∣2

所以IanZMLK=------=-----=—>所以cos/MLK=---

KLa43

所以cos<A-EG-M>=cos/MLK=—

3&(1)由題意，設(shè)網(wǎng)心坐標(biāo)為包，a>則(a,-l)2+(a-6)2=(a-4)2+(a-5)2=25,a=1;所以園C的方程(x∕)2+(y-1)2=25.

(2)當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)A(-2,3)的

宜線/：工=-2,此時(shí)過(guò)點(diǎn)A(—2.3)的直線/被

圓所截得的線段的長(zhǎng)為：2，25—9=3,:.1.X

=-2符合題意.當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)

A(-2,3)的直線/的方程為了-3=A(Z+2)即

?x-j+2Λ+3=O1圓心到/的距離d=

I3A+2I?由題意?得(里坦?。?42=52,解

Vki+1√FTT

得"白，直線/的方程為?c-y+:=0,即

工4IZ6

5工一12?+46=0綜上，直線/的方程為］=-2.

或5工一12y+46=0.

39.

設(shè)爭(zhēng)麥以利8］的首項(xiàng)用q,公善為d,@為

ay-7.45=26

(a.+2J=7

所以J■,2分

24+1(￡=26

解得q=3,d=24分

從而4=q+5—1)d=2/t?16分

SJq+4)=n~-?-2n8分

?

40.(1)f(x)=3x2+6ax+b,由題知:

/(-1)=0/3—6a÷6≡0???(l)

f(~?)tsO1-1+3。一〃+°,=0???(2)

產(chǎn)=2?，

立(1).(2)有（舍去）或■??0?2.

?=9

6=9.

⑵由⑴可知rCr)?3F+12?r+9.H=7.

Ah-3.當(dāng)/Xjr)>0時(shí).工<一3或工>一人當(dāng)

FCr)VO時(shí)?一3V<rV-I的單調(diào)增

區(qū)間為(8.-3>?《-1.+°).單陽(yáng)城區(qū)間為

(-3>—1).

41.

(I)曲已???一,一>MH^(O?O)

JHAttirwrκ——?-V

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Λ,?119-3<?<5.MW4的僮■為1-5.

1).

(2)tftOΛ?<W