湖南省常德市三年（2021屆-2023屆）高考數(shù)學(xué)模擬題（一模）匯編

湖南省常德市三年（2021屆-2023屆）高考數(shù)學(xué)模擬題（一

模）按題型匯編

一、單選題

1.（2021?湖南常德?統(tǒng)考一模）已知集合A={x∣W-χ-2<θ},8={x∣l<x<m},若

ACB={x∣l<x<2},則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.{2}B.[2,+∞）C.（l,^o）D.[1,2]

2.（2021.湖南常德?統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)z=l+i,其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)三等于

（）

?.—1÷/B.1+zC?—1—iD.l-z"

3.（2021?湖南常德?統(tǒng)考一模）函數(shù)/（x）=x+sinx+l在X=O處的切線方程為（）

A.y=lB.y=χ+lC.y=2x+?D.y=3x+1

4.（2021?湖南常德?統(tǒng)考一模）某學(xué)校高一年級(jí)星期五隨機(jī)安排6節(jié)課，上午安排數(shù)學(xué)

2節(jié)，語(yǔ)文和音樂各1節(jié)，下午安排英語(yǔ)、體育各1節(jié)，則2節(jié)數(shù)學(xué)恰好相鄰的概率為

（）

A.-B.?C.—D.一

4234

5.（2021?湖南常德?統(tǒng)考一模）2021年3月全國(guó)兩會(huì)上，“碳達(dá)峰”碳中和”備受關(guān)注.為

應(yīng)對(duì)氣候變化，我國(guó)提出“二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取2060年

前實(shí)現(xiàn)碳中和”等莊嚴(yán)的目標(biāo)承諾.在今年的政府工作報(bào)告中，“做好碳達(dá)峰、碳中和工作”

被列為2021年重點(diǎn)任務(wù)之一；“十四五”規(guī)劃也將加快推動(dòng)綠色低碳發(fā)展列入其中.我國(guó)

自1981年開展全民義務(wù)植樹以來(lái)，全國(guó)森林面積呈線性增長(zhǎng)，第三次全國(guó)森林資源清

查的時(shí)間為1984-1988年，每5年清查一次，歷次清查數(shù)據(jù)如表：

第X次3456789

森林面積八億平方米）1.251.341.591.751.952.082.20

經(jīng)計(jì)算得到線性回歸直線為J）=O?1675x+d（參考數(shù)據(jù)：Zv=12.16）,據(jù)此估算我國(guó)森

（=1

林面積在第幾次森林資源清查時(shí)首次超過(guò)3億平方米（）

A.12B.13C.14D.15

6.（2021?湖南常德?統(tǒng)考一模）哥隆尺是一種特殊的尺子，對(duì)哥隆尺數(shù)碼的研究在雷達(dá)

和聲吶技術(shù)、模式匹配和信息檢索、同步光電探測(cè)器的代碼、射電天文學(xué)等有廣泛的應(yīng)

用，圖1的哥隆尺可以一次性度量的長(zhǎng)度為1,2,3,4,5,6,圖2的哥隆尺的刻度4

到12之間增加一個(gè)整數(shù)刻度〃，使得能一次性度量的長(zhǎng)度個(gè)數(shù)最多，則整數(shù)刻度”的

值為()

?*?

Ril

A.8B.9C.10D.11

22

7.(2021?湖南常德?統(tǒng)考一模)已知橢圓C:。+<?=l(a>h>0)的左、右焦點(diǎn)為「，F(xiàn)1,

ab

過(guò)右焦點(diǎn)作垂直于X軸的直線交橢圓于AB兩點(diǎn)，若∕AK8=120,則橢圓的離心率為

（）

A.√7-2B."C.√2-lD.2-√3

2

-^-1χ>l

8.（2021?湖南常德?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（幻=InX',若函數(shù)

—X"-2x÷5,%≤1

尸(X)=∕2(χ)+(J2")∕(x)+l恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是()

74337

A.B.D.

4,Ti2,4一*）

9.（2022?湖南常德?統(tǒng)考一模）已知集合A={xeZ∣f4i},3={χk2-ZnX+2=o},若

AC8={1},則AUB=()

A.{—1,0,1}B.{x|—l≤x≤l}

C.{-l,0,1,2}D.{x∣-l≤x≤2}

10.(2022?湖南常德?統(tǒng)考一模)若復(fù)數(shù)Z滿足Z(l+i)=2+i,則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

11.(2022?湖南常德?統(tǒng)考一模)設(shè)5“為等比數(shù)列{4}的前"項(xiàng)和,若包=4,53=S2+2,

則4=()

A.IB.1C.√2D.2

試卷第2頁(yè)，共14頁(yè)

12.（2022?湖南常德?統(tǒng)考一模）已知直線4：ax-4y-3=O,4：x-ay+l=0,則Q=2''

是“〃點(diǎn)'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

13.（2022?湖南常德?統(tǒng)考一模）函數(shù)/（X）=誓?的圖象大致是（）

e+e

14.（2022?湖南常德?統(tǒng)考一模）已知雙曲線C：W-與=l（O>08>0）的焦點(diǎn)尸到漸近線的

alb-

距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則雙曲線C的離心率為（）

A.√5B.√2C.—D.在

22

15.（2022?湖南常德?統(tǒng)考一模）已知αw（j∣,乃），cos2a=4sin%+sina,則tanα=（）

A.-立B.--C.-√3D.-2√2

34

16.（2022?湖南常德?統(tǒng)考一模）將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機(jī)派往①，②，③三個(gè)村

莊進(jìn)行義診活動(dòng)，每個(gè)村莊至少派1名醫(yī)生，A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”；B表示

事件”醫(yī)生乙派往①村莊”；C表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則（）

A.事件A與8相互獨(dú)立B.事件A與C相互獨(dú)立

C.P（B∣A）=D.P（C∣A）=

17.（2023?湖南常德.統(tǒng)考一模）已知集合A={x∣T<x<3},B={x*-5x+4<θ},

則AU8=()

A.{x?l<x<3}B.{x∣l<x<4}

C.{x∣-l<x<3}D.{x∣-l<x<4}

18.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)已知復(fù)數(shù)Z滿足z(2+i)=α+i(其中。>0,i為虛數(shù)單

位)，若復(fù)數(shù)Z的模為則實(shí)數(shù)4=()

A.1B.2C.3D.4

19.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)已知向量。為單位向量，向量Z?=(1,1),

(α+θ)?(2ɑ-θ)=l,則向量4與向量匕的夾角為()

κ_ππ_π

A.-B.-Cλ.—D.一

6432

20.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)已知拋物線的方程為爐=4)，，過(guò)其焦點(diǎn)廠的直線與拋

物線交于M、N兩點(diǎn)，且∣MF∣=5,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AMO尸的面積與..NO尸的面積之

比為()

A.—B.-C.5D.4

54

21.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)函數(shù)/(x)=XCOSX+(SinX)InlXl的部分圖像大致為()

22.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)將函數(shù)"x)=2Sin(OYJ(。>0)的圖像向左平移;

個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(χ)的圖像，若函數(shù)y=g(χ)的一個(gè)極值點(diǎn)是g且在|一弓3

0L??.

上單調(diào)遞增，則G的值為()

216

A.bD.

3?iT

元2V21

23.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)已知橢圓氏=+?=l(α>h>O),直線y=7x+。與橢

ab2

圓E相切，則橢圓E的離心率為()

√2D.正

A.?B.；r

4222

24.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,若函數(shù)f(2x+l)為奇函

2023

數(shù)，且"4-X)=/(x),∑∕(?)=1,則〃0)=()

k=?

A.-1B.0C.1D.2

試卷第4頁(yè)，共14頁(yè)

二、多選題

25.（202卜湖南常德?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（x）=sin3x-e）（0>O,∣e∣<］）的部分圖象如

圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.函數(shù)/W的最小正周期為3萬(wàn)

B.為函數(shù)/（x）的一個(gè)對(duì)稱中心

C./（O）?-?

D.函數(shù)/（x）向右平移g個(gè)單位后所得函數(shù)為偶函數(shù)

2

26.（2021?湖南常德?統(tǒng)考一模）下列不等式中成立的是（）

A.O.6o8>O.8o8B.O,608<O,806

06

C.Iog080.6>Iog060.8D.Iogn80.6<O.8

27.（2021?湖南常德?統(tǒng)考一模）下列說(shuō)法正確的是（）

A.命題p?.3x<Q,ex-x>?的否定->「：1/彳<0,6*-%,1

B.二項(xiàng)式（l+2x）5的展開式的各項(xiàng)的系數(shù)和為32

C.己知直線4U平面α,貝是〃/a”的必要不充分條件

D.函數(shù)y=sinx+-!-的圖象關(guān)于直線X=W對(duì)稱

Sinx2

28.（2021?湖南常德?統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)P在正方體4B8-ABCA的面對(duì)角線Ba上

運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.三棱錐A-PBQl的體積不變B.DP平面AgA

C.A1PYBD1D.平面AePJ?平面PBZ)

29.（2022?湖南常德?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（x）=2sin（2x-g）,則（）

O

A.函數(shù)/S）的周期為萬(wàn)B.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

TT

C.7（x）的最大值為2D.函數(shù)/O）在區(qū)間（0,彳）上單調(diào)遞增

30.（2022?湖南常德?統(tǒng)考一模）下列不等式一定成立的是（

132

A.Iogl11.3>Iogll1.2B.0.7>0.7L

C.-VH—≥2D.—,—I-----5-≥4

Xsin^Xcos^X

31.(2022?湖南常德?統(tǒng)考一模)已知拋物線C:y2=2pχ(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線/的距離

為2,則（）

A.焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1,0）

B.過(guò)點(diǎn)4-1,0）恰有2條直線與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

C.直線x+y-l=O與拋物線C相交所得弦長(zhǎng)為8

D.拋物線C與圓丁+丁=5交于M,N兩點(diǎn)，則IMVI=4

32.（2022?湖南常德?統(tǒng)考一模）如圖所示，三棱錐P-ABC中，AClBC,

AC=BC=PC=I,。為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（。不與AB重合），且Ar>=p0,則（）

A.PALCD

B.NDPC=45。

C.存在點(diǎn)。，使得R4_LBC

D.三棱錐P-BCD的體積有最大值走

24

33.（2023?湖南常德?統(tǒng)考一模）以下說(shuō)法正確的是（）

A.89,90,91,92,93,94,95,96,97的第75百分位數(shù)為95

B.具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量X,y的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（七,幾），（々，％），，（XQ“），

由此得到的線性回歸方程為y=hx+a,回歸直線?=治+4至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)（知匕），

（4,乙），，（%，%）中的一個(gè)點(diǎn)

試卷第6頁(yè)，共14頁(yè)

C.相關(guān)系數(shù)/?的絕對(duì)值越接近于1,兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)

D.已知隨機(jī)事件A,B滿足P（A）>0,P（B）>0,且P（BIA）=P（8）,則事件A與B

不互斥

34.（2023?湖南常德?統(tǒng)考一模）已知平面α,β,直線/,m,則下列命題正確的是（）

A.若aoβ=m,l,則/_L〃

B.若α〃小IUa,InUβ,yi∣J///m

C.若，*uα,則"/JLa”是“小W的充分不必要條件

D.若，“ua,a,則“/〃a”是“/利”的必要不充分條件

35.（2023?湖南常德?統(tǒng)考一模）己知圓C：（x-ay+y2="g>o）與圓

M-.x2+（y-4）2=4,P,Q分別為圓C和圓M上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.過(guò)點(diǎn)（2,1）作圓M的切線有且僅有一條

B.不存在實(shí)數(shù)m使得圓C和圓例恰有一條公切線

C.若圓C和圓M恰有3條公切線，則a=3

D.若IPQl的最小值為1,則a=l

36.（2023?湖南常德?統(tǒng)考一模）如圖，有一列曲線R,Ω2,……，Ωπ,....且Ql

是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，QM是對(duì)Cj（i=l,2,）進(jìn)行如下操作而得到：將曲線。,的每

條邊進(jìn)行三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線

段去掉得到。,M,記曲線C,,（"=l,2,）的邊數(shù)為4,周長(zhǎng)為Cn,圍成的面積為S“，則

下列說(shuō)法正確的是（）

△OGO-

Ω∣。304

A.數(shù)列｛〃｝是首項(xiàng)為3,公比為4的等比數(shù)列

B.數(shù)列｛CJ是首項(xiàng)為3,公比為:的等比數(shù)列

C.數(shù)列｛S,J是首項(xiàng)為手，公比為g的等比數(shù)列

D.當(dāng)〃無(wú)限增大時(shí)，5“趨近于定值苧

三、填空題

37.(2021?湖南常德?統(tǒng)考一模)已知數(shù)列｛%｝滿足/M+%T=2%("..2),且q=l,

能=13,則a2=.

38.(2021糊南常德?統(tǒng)考一模)已知向量5=("),1=(2-2,3),若。_1(2〃-力，且Z≠0,

貝(J8sV@,b>-.

39.(2021?湖南常德?統(tǒng)考一模)已知邊長(zhǎng)為1的正,.ABC的三點(diǎn)都在球。的球面上，AO

的延長(zhǎng)線與球面的交點(diǎn)為S,若三棱錐S-ABC的體積為則球。的體積為

6

40.(2021?湖南常德?統(tǒng)考一模)定義：點(diǎn)尸為曲線Z,外的一點(diǎn)，AB為Z,上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

則NAPB取最大值時(shí)，NAPB叫點(diǎn)P對(duì)曲線L的張角.已知點(diǎn)P為拋物線C-.y2=4x上的

動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P對(duì)圓M：(x-3)2+y2=l的張角為6,則cos。的最小值為.

41.(2022?湖南常德?統(tǒng)考一模)己知平面向量a〃6，?=(1,2),ft=(-3√),貝Ij

W=-------------------

42.(2022?湖南常德?統(tǒng)考一模)已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布

N(0,4),從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(2,4)內(nèi)的概率為.

(附：若隨機(jī)變量&服從正態(tài)分布N(〃。2),則—bvJvzγ+b)=0.6827,

P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545)

43.(2022?湖南常德?統(tǒng)考一模)已知A,8,C,。是球。的球面上的四點(diǎn)，8。為球。的直

徑，球。的表面積為167，且AB∕8C,AB=BC=2,則直線AE)與平面ABC所成角

的正弦值是.

44.(2022?湖南常德?統(tǒng)考一模)設(shè)函數(shù)/(x)=x(x+D(x-2”?)的兩個(gè)極值點(diǎn)為公三，若

∕U1)+∕(x2)>O,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

45.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)函數(shù)"力=In(X+l)+e'在X=O處的切線方程為

46.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)在學(xué)雷鋒志愿活動(dòng)中，安排4名志愿者完成5項(xiàng)工作,

每人至少完成一項(xiàng)，每項(xiàng)工作由一人完成，則不同的安排方式共有種.

47.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)在長(zhǎng)方體ABCD-AqGA中，AB=2,BC=I,點(diǎn)P

為長(zhǎng)方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，且PA?P8=0,當(dāng)CP最小時(shí)，_ABP的面積為.

48.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)已知不等式In(X+α)≤e*-α對(duì)Vx∈[l,+8)恒成立，貝IJa

試卷第8頁(yè)，共14頁(yè)

的取值范圍為.

四、解答題

49.（2021?湖南常德?統(tǒng)考一模）在45C中，角43,。所對(duì)的邊分別為4也0,已知

3

c2=ab,且CoS（A-8）+COSC=—.

2

（1）求角C；

（2）延長(zhǎng)BC至。，使得比＞=4,求A8面積的最大值.

50.（2021?湖南常德?統(tǒng)考一模）已知數(shù)列也｝的首項(xiàng)為q=3,S”是也｝的前"項(xiàng)和.

（1）若S,=g4用+L求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)；

⑵若“用＞3”“，證明：s”＞生?（〃-2）.

51.（2021?湖南常德.統(tǒng)考一模）為檢測(cè)某種抗病毒疫苗的免疫效果，某藥物研究所科研

人員從某市隨機(jī)選取20000名志愿者，并將該疫苗注射到這些人體內(nèi)，獨(dú)立環(huán)境下試驗(yàn)

一段時(shí)間后檢測(cè)這些人的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)值，統(tǒng)計(jì)得到如表頻率分布表：

醫(yī)學(xué)指標(biāo)值X19,11)[11,13)[13,15)[15,17)[17,19)119,21)[21,23]

頻率0.050.10.150.40.20.060.04

（1）根據(jù)頻率分布表，估計(jì)20000名志愿者的該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)平均值元（同一組數(shù)據(jù)用該

組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）；

（2）若認(rèn)為注射該疫苗的人群的此項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)值X服從正態(tài)分布N（4,C√）,用（1）中

的平均值T近似代替〃，且P（14≤X＜17.76）=0.5,且首次注射疫苗的人該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)

值不低于14時(shí)，則認(rèn)定其體內(nèi)已經(jīng)產(chǎn)生抗體；現(xiàn)從該市隨機(jī)抽取3人進(jìn)行第一次疫苗

注射，求能產(chǎn)生抗體的人數(shù)4的分布列與期望.

52.（2021糊南常德?統(tǒng)考一模）如圖，已知斜三棱柱ABC-AMG底面是邊長(zhǎng)2的正三

角形，。為/BC所在平面上一點(diǎn)且四邊形ABS是菱形，ACBD=O,四邊形

ACGA為正方形，平面A^G，平面ABC-

4

(1)證明：BΙ。，平面ABa)；

(2)求平面COG與平面AQG所成二面角的正弦值?

53.(2021?湖南常德?統(tǒng)考一模)已知在平面直角坐標(biāo)系XQy中，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(2,0)的

距離與到定直線X=:的距離的比等于常數(shù)2.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

(2)若直線PF與曲線E的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,以PQ為直徑的圓交直線X=；于AB兩

點(diǎn)，設(shè)劣弧AB所對(duì)的圓心角為。，求證：。為定值.

54.(2021?湖南常德?統(tǒng)考一模)設(shè)函數(shù)/(x)=αlnx+-!π,其中“為常數(shù)，且a>0.

x÷l

(1)討論函數(shù)F(X)的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)F(X)=/(x)+xln4,4電是函數(shù)/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：

F(x,)+F(x,)<l-41n2.

55.(2022?湖南常德?統(tǒng)考一模)如圖，..ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,

且Ia-c=2?cosC.

B

(1)求角B的大??；

(2)已知2=3,若。為-ABC外接圓劣弧AC上一點(diǎn)，求的最大值.

56.(2022.湖南常德.統(tǒng)考一模)設(shè)各項(xiàng)非負(fù)的數(shù)列｛a,J的前”項(xiàng)和為5“，已知

2Sn=a^l+l-nSeN*),且生嗎當(dāng)成等比數(shù)列.

(1)求｛為｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列出｝的前"項(xiàng)和人

試卷第10頁(yè)，共14頁(yè)

57.(2022?湖南常德.統(tǒng)考一模)為了研究注射某種抗病毒疫苗后是否產(chǎn)生抗體與某項(xiàng)指

標(biāo)值的相關(guān)性，研究人員從某地區(qū)10萬(wàn)人中隨機(jī)抽取了200人，對(duì)其注射疫苗后的該

項(xiàng)指標(biāo)值進(jìn)行測(cè)量，按[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分組，得到該項(xiàng)

指標(biāo)值頻率分布直方圖如圖所示.同時(shí)發(fā)現(xiàn)這200人中有120人在體內(nèi)產(chǎn)生了抗體，其

中該項(xiàng)指標(biāo)值不小于60的有80人.

⑴填寫下面的2x2列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為“注射疫苗后產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值

不小于60有關(guān)

指標(biāo)值小于60指標(biāo)值不小于60合計(jì)

有抗體

沒有抗體

合計(jì)

(2)以注射疫苗后產(chǎn)生抗體的頻率作為注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率,若從該地區(qū)注射疫苗

的人群中隨機(jī)抽取4人，求產(chǎn)生抗體的人數(shù)X的分布列及期望.

附:作百篇篇由其中n-a+b+c+d.

P(K2≥ko)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

58?(2022?湖南常德?統(tǒng)考一模)如圖，三棱柱ABC-A∕∣G的底面是等邊三角形，平面

4BB∣A"L平面A6C,AB_LAB,AC=2,ZAiAB=60,。為AC的中點(diǎn).

(1)求證：ACJ_平面ABO;

(2)試問(wèn)線段Cq是否存在點(diǎn)p,使得二面角P-OB-A的平面角的余弦值為班，若存

7

在，請(qǐng)計(jì)算是的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

59.(2022?湖南常德?統(tǒng)考一模)己知M(Xo,0),N(0,%)兩點(diǎn)分別在X軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，

且IMNI=3,若動(dòng)點(diǎn)G滿足NG=2GM，設(shè)動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為曲線E.

⑴求曲線E的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)G作直線MN的垂線/,交曲線E于點(diǎn)P(異于點(diǎn)G),求PMN面積的最大值.

60.(2022.湖南常德.統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(X)=地也-elnx(e=2.71828是自然對(duì)

X

數(shù)底數(shù)).

⑴當(dāng)α=e時(shí)，討論函數(shù)/(χ)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)α>e時(shí),證明：/(%)<(?-l)e

61.(2023.湖南常德.統(tǒng)考一模)已知數(shù)列｛%｝滿足A卷+L+$/SN*).

(1)求數(shù)列｛。,,｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列［b,,｝滿足4=-?-,求也｝的前〃項(xiàng)和5?,

a∣Λ+l

62.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)如圖，在多面體ABCDE/中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2

的正方形，OEL平面ABC四邊形BnEF為矩形.

(1)若。E=0,證明：平面4E尸，平面CER

(2)若四棱錐F-EBC的體積為2,求平面EBC與平面AEF的夾角的余弦值.

63.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)如圖，在ZiABC中，已知角A,B,C所對(duì)的邊分別為α,

試卷第12頁(yè)，共14頁(yè)

b,c,角4的平分線交BC于點(diǎn)。，且4)=1,，+'=6.

bc

⑴求NBAD的大?。?/p>

(2)若8。C。=；,求AABC的面積.

64.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)某水表制造有限公司，是一家十分優(yōu)質(zhì)的水表制造公司，

該公司有3條水表表盤生產(chǎn)線.

(1)某檢驗(yàn)員每天從其中的一條水表表盤生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100個(gè)表盤進(jìn)行檢測(cè),根據(jù)長(zhǎng)

期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為該條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的水表表盤尺寸服從正態(tài)分布N(〃,

σ2).記X表示一天內(nèi)抽取的100個(gè)表盤中其尺寸在(M-3b,4+3b)之外的個(gè)數(shù)，求

P(x≥l)及X的數(shù)學(xué)期望；

(2)該公司的3條水表表盤生產(chǎn)線其次品率和生產(chǎn)的表盤所占比例如下表:

生產(chǎn)線編號(hào)次品率所占比例

10.0235%

20.0150%

30.0415%

現(xiàn)從所生產(chǎn)的表盤中隨機(jī)抽取一只，若已知取到的是次品，試求該次品分別由三條生產(chǎn)

線所生產(chǎn)的概率，并分析該次品來(lái)自哪條生產(chǎn)線的可能性最大(用頻率代替概率).

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(〃產(chǎn)2),則3b<Z<4+3σ)=0.9973,

O.9973loo≈O.763l

22

65.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)已知雙曲線A=I(a>0力>0)的右頂點(diǎn)到漸近線

dh-

的距離為且，虛軸長(zhǎng)為2聲，過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)尸作直線MN(不與X軸重合)與

2

雙曲線C相交于M,N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線/：*=/(-4<，<4)的垂線〃芯，E為垂足.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在實(shí)數(shù)f,使得直線EN過(guò)X軸上的定點(diǎn)P,若存在，求/的值及定點(diǎn)P的坐標(biāo);

若不存在，說(shuō)明理由.

66.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(x)=hιx+*-24(α∈R).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)兩個(gè)極值點(diǎn)起，巧，且XTe白，求/㈤-〃々)的取值范圍.

試卷第14頁(yè)，共14頁(yè)

參考答案:

1.B

【分析】先求出集合A,再根據(jù)Ac5={x∣l<x<2}即可求實(shí)數(shù)用的取值范圍.

【詳解】解：VA={x∣-l<x<2},B={x11<X<m),且AC5={x∣l<x<2},

?\機(jī)≥2,

m的取值范圍為：［2,+∞)

故選：B.

2.A

【分析】將z=l+i代入復(fù)數(shù)二，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)計(jì)算，即得結(jié)果.

I-Z

【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z=l+i,

2

rcιxl_ss,z(l+i)22i(l+i)vι.、,.

所以復(fù)數(shù)口=丁=西幅rα+,)~+,?

故選：A.

3.C

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的兒何意義求出切線的斜率即可寫出切線的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)即可.

【詳解】函數(shù)/(x)=x+sinx+l,可得f'(x)=l+cosx,

所以在x=0處的切線的斜率為：∕,(0)=l+cos0=2,

切點(diǎn)坐標(biāo)為：(0,1),所以切線方程為：y-l=2(x-0),即2x-y+l=0.

故選：C

4.B

【分析】計(jì)算出基本事件總數(shù)和2節(jié)數(shù)學(xué)恰好相鄰的的基本事件數(shù)，由古典概型的概率計(jì)算

公式可得答案.

【詳解】某學(xué)校高一年級(jí)星期五隨機(jī)安排6節(jié)課，

上午安排數(shù)學(xué)2節(jié)，語(yǔ)文和音樂各1節(jié)，下午安排英語(yǔ)、體育各1節(jié)，

基本事件總數(shù)〃=A：&=48,

其中2節(jié)數(shù)學(xué)恰好相鄰包含的基本事件個(gè)數(shù)m=8用8=24,

m241

則2節(jié)數(shù)學(xué)恰好相鄰的概率為P=-=—=-.

〃482

故選：B.

5.C

答案第1頁(yè)，共46頁(yè)

【分析】先根據(jù)回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)求得4,再解不等式夕>3,即得結(jié)果.

3+4+5+6+7+8+9Z

【詳解】解：由題意可知，X-----------------=6>

7

-1V12.16,

丫=二%=工一asL7371,

/?=1'

又因?yàn)?=0.1675,

則4=歹一加=1.7371-0.1675X6=0.7321,

故$=0.1675x+0.7321,

令9=0.1675x+0.7321>3,得χ>13.5397,又X為整數(shù)，

所以X..14,X為整數(shù)，

即估算我國(guó)森林面積在第14次森林資源清查時(shí)首次超過(guò)3億平方米.

故選：C.

6.C

【分析】根據(jù)長(zhǎng)度與刻度的關(guān)系結(jié)合選項(xiàng)一一判斷即可.

【詳解】解：已有刻度0,1,4,12,17,

利用已有刻度可以測(cè)量出1,4,12,17,3,8,5,11,16,13共10個(gè)長(zhǎng)度，

在刻度4到12之間增加一個(gè)整數(shù)刻度n,盡量與以上刻度不重復(fù)，

若加8,可多測(cè)量出7,9,

若加9,可多測(cè)量出9,3,

若加10,可多測(cè)量出10,9,2,7,6,

若加11,可多測(cè)量出10,7,6,

故選：C.

7.D

,2￡1

【分析】由已知得NA耳工=60,可得M用=生，再由有=旦得點(diǎn)-I=K可得答案.

2c

【詳解】設(shè)A(%,%),Z?(C,O),

當(dāng)Xo=C時(shí),y；=f—1?

若∕AG8=120,所以NAfJg=60,

答案第2頁(yè)，共46頁(yè)

.2匕

可得M周=所以b=￡,

aIc

即-----=?/?,Ovevl,解得e=2-?/?.

Ie2

故選：D.

8.A

【分析】當(dāng)x>l時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)分析單調(diào)性并作出圖象，E(X)有5個(gè)零點(diǎn)，令/(χ)=r,即

d+(l-24)f+l=0有兩個(gè)不等實(shí)根，且一個(gè)根屬于(-∞,e-l),一個(gè)根屬于［2,6)內(nèi)，轉(zhuǎn)化為

相應(yīng)的不等式即可求解.

【詳解】解：當(dāng)χ>l時(shí)，/(X)=盧-1,/'O)=里匚

InxIn'X

當(dāng)Xe(I,e)時(shí)，f'{x)<O,/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xw(e,+∞)時(shí)，，f'(x)>OJ(x)單調(diào)遞增,

作出AX)的圖象如圖:

令/W=t,則函數(shù)F(X)=.尸(力+(1-2a)/(x)+1恰有5個(gè)零點(diǎn),

即方程f2(X)+(1-即方㈤+1=O恰有5個(gè)根,

即/+(1-2α)f+1=O有兩個(gè)不等實(shí)根，且一個(gè)根屬于(-∞,e-1),一個(gè)根屬于［2,6)內(nèi).

令g(r)=∕+(i-2a)r+l,

g(e-l)=(e-l)2-(l-2d)(e-l)+l<0

743

貝∣"g(2)=4+2(l-2α)+l≤0

‘解得Z<α?

^(6)=36+6(1-2Λ)+1>0

，實(shí)數(shù)。的取值范圍是“7不43｝、

故選：A

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法:

答案第3頁(yè)，共46頁(yè)

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍：

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

9.C

【分析】根據(jù)給定條件，求出集合4B,再利用并集的定義計(jì)算作答.

【詳解】解不等式f≤i得：-l≤χ≤l,于是得A={xeZ∣-l≤x≤l}={-l,O,l},

因Ac8={l},即IeB,解得機(jī)=3,則B={l,2},

所以AB={-l,0,1,2).

故選：C

10.D

【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得其對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，從而得結(jié)論.

【詳解】由題意Z=言=22i；i+l=|_gj,對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(∣,-J,在第

四象限.

故選：D.

11.A

【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)的基本量運(yùn)算求解.

【詳解】由已知為=S3-S2=2,9=幺=：=2,所以4=??=V=:?

故選：A.

12.A

【分析】根據(jù)兩直線平行，求得。的值，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.

【詳解】解：若4/〃2，

則有-/+4=0,解得a=±2,

當(dāng)α=2時(shí)，4:2x-4y-3=0,l1?.x-2y+?=G,∕l//I2,

當(dāng)α=-2時(shí)，《：2x+4y+3=0,I2-.x+2y+?=0,li//I2,

所以：若/"4，a=±2,

所以“。=2”是“4〃夕’的充分不必要條件.

答案第4頁(yè)，共46頁(yè)

故選：A.

13.C

【分析】分析函數(shù)的奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng)，再利用XCQI)時(shí)，值為正即可判斷作答.

【詳解】函數(shù)/(X)=等2定義域?yàn)镽,/(T)=粵=孕=等孕=?√(X),即/(X)是

e+ee+ee+e

奇函數(shù)，A,B不滿足；

當(dāng)Xe(0,1)時(shí)，即0<門<萬(wàn)，則Sing)>0,而e'+efO,因此/(x)>0,D不滿足,C滿

足.

故選：C

14.A

【分析】由已知得出關(guān)于Ac的齊次等式，變形后可求得離心率.

【詳解】不妨設(shè)F(C,0),一條準(zhǔn)線方程為y=?x,即加一-=0,

所以,產(chǎn)=2?,即6=勿，b2=4a2=c2-a2,所以e=￡=石.

y∣b2+a2a

故選：A.

15.B

【分析】由余弦的二倍角公式變形后求得Sina,由平方關(guān)系求得cosa,再由商數(shù)關(guān)系得

tana.

【詳解】因?yàn)閏os2a=4sin?a+sina,所以l-2sin2a=4si∏2a+sina,

6sin2a+sina-l=0,(3Sina-I)(2Sin?+1)=0,a∈咚,])，sina>(),

所以Sina=COSa=-Jl-口[=-2&,

3VUJ3

Sina√2

tancc=----=-----?

cosa4

故選：B

16.D

【分析】由古典概率公式求出P(A),P(3).P(C),P(A8),P(AC),再利用相互獨(dú)立事件的定義

判

斷A,B；用條件概率公式計(jì)算判斷C,D作答.

【詳解】將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生派往①，②，③三個(gè)村莊義診的試驗(yàn)有CjA；=36個(gè)基

答案第5頁(yè)，共46頁(yè)

本事件，它們等可能，

1211

事件A含有的基本事件數(shù)為A；+C：A；=12,則P(A)=9=彳，同理尸(3)=P(C)=B

3633

21

事件AB含有的基本事件數(shù)為A；=2,則P(A8)==,事件AC含有的基本事件數(shù)為

?3767Io7

C+CC=5,貝IJP(AC)=2，

=∣≠P(Afi),即事件A與B相互不獨(dú)立，A不正確;

對(duì)于A,P(A)P(B)

y

=I≠P(AC),即事件A與C相互不獨(dú)立，B不正確;

對(duì)于B,P(A)P(C)

P(AB)4,C不正確；

對(duì)于C,P(BIA)=

P(A)

P(AC)

對(duì)于D,P(CIA)==/D正確.

P(A)

故選：D

17.D

【分析】先求出集合B,再利用并集的運(yùn)算即可求解.

【詳解】Λ??β={x∣JC2-5x+4<0}={x∣(x-l)(x-4)<0}={x∣l<x<4},

則AB={x∣-l<x<4},

故選：D.

18.C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn),由模長(zhǎng)公式即可求解.

【詳解】由z(2+i)=α+i得Z=I^=^=

由模長(zhǎng)為拒得(2"+∣)'(2-蟲=2,解得a=±3,由于α>0,所以a=3,

25

故選：C

19.B

【分析】利用向量模長(zhǎng)的定義得到Ial=I,W=應(yīng)，再根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可求得向量

〃與向量b的夾角.

【詳解】因?yàn)橄蛄喀翞閱挝幌蛄?，向量b=(U),所以IaI=I,W=√∑,

X^i7+?)?^2α-bj=2∩2+a?h-h^=?,βp2∣α∣2+∣<z∣∣fc∣cos<a,b>-∣?∣=1,

答案第6頁(yè)，共46頁(yè)

所以cos<α,b>=,，又<α,∕>>e[0,π],則向量α與向量。的夾角為；，

故選：B.

20.D

【分析】通過(guò)拋物線的定義及解析式可得〃的坐標(biāo)，從而求得N的坐標(biāo)照面積比轉(zhuǎn)化為坐

標(biāo)關(guān)系即可.

【詳解】由解析式可知：焦點(diǎn)F(0,1),準(zhǔn)線為y=-l,

設(shè)”(％,*)、N(J?,%)JM/N=京+1，IMFl=M+l=5,.?.y∣=4,xl=±4

由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)M在第一象限，則M(4,4)

y=kx+?,2SS；■OF-IxlI

聯(lián)立:,,ΛX-4^-4=0,XI?X2=-4,即々=-1,所以τ≡=7ξ=4

4y=χSNOFOF↑XA

故選：D

21.A

【分析】先判斷函數(shù)f(x)的奇偶性排除選項(xiàng)C、D；再由J(T)=Inl>O,即可求解.

【詳解】函數(shù)/(x)=XCOSX+(SinX)InlXI的定義域?yàn)閧x∣x≠0},

且/(-X)=-XCOS(-x)+[sin(-x)]InI-Xl=-XCOSX-(SinX)InX=-/(X),

所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，其函數(shù)圖像關(guān)于(0,0)對(duì)稱，所以選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤；

又/(W)=-ICoS5+sin]?lnt卜ln5>O,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

故選：A.

22.A

【分析】先由函數(shù)的圖像平移變換得到函數(shù)g(x),再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)得到χ=3是

6

2

函數(shù)g(x)一條對(duì)稱軸，從而得出0=]+2A(?∈Z),

結(jié)合正弦函數(shù)的周期與單調(diào)性的關(guān)系得到型即可得到答案.

ω6?3√

【詳解】由題意得：