備戰(zhàn)2023年海南新高考數(shù)學(xué)仿真卷（四）（解析版）

備戰(zhàn)2023年海南新高考數(shù)學(xué)仿真卷（四）一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）已知集合，，，．則等于A． B． C． D．【答案】【詳解】由中，，得到，即，由中，，得到，即，則，故選：．2．（5分）設(shè)，為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)，則A． B．， C． D．，【答案】【詳解】由可得，所以，解得，，故選：．3．（5分）若曲線在點(diǎn)，（1）的切線為，則有A．， B．， C．， D．，【答案】【詳解】由，得．曲線在點(diǎn)，（1）的切線為，（1），即，又（1），，即．，．故選：．4．（5分）已知，則A． B．30 C． D．40【答案】【詳解】，令，則，，（1）故選：．5．（5分）已知函數(shù)圖象與函數(shù)圖象相鄰的三個(gè)交點(diǎn)依次為，，，且是鈍角三角形，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】【詳解】作出函數(shù)和的圖象，如圖所示：由圖可知，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槭氢g角三角形，所以，則，即，由，得，，即，，則，即的縱坐標(biāo)為，故，因?yàn)?，所以，所以．故選：．6．（5分）某高校校黨委計(jì)劃開展“學(xué)黨史，爭(zhēng)當(dāng)新時(shí)代先鋒”活動(dòng)月，并在活動(dòng)月末舉辦黨史知識(shí)競(jìng)賽．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)院初步推選出2名教師和6名學(xué)生共8名黨史知識(shí)學(xué)習(xí)優(yōu)秀者，并從中隨機(jī)選取5名組成院代表隊(duì)參加學(xué)校黨史知識(shí)競(jìng)賽，則在代表隊(duì)中既有教師又有學(xué)生的條件下，教師甲被選中的概率為A． B． C． D．【答案】【詳解】記“代表隊(duì)中既有教師又有學(xué)生”為事件，“教師甲被選中”為事件，則，，故在代表隊(duì)中既有教師又有學(xué)生的條件下，教師甲被選中的概率．故選：．7．（5分）由點(diǎn)射出的兩條光線與分別相切于點(diǎn)，，稱兩射線，上切點(diǎn)右側(cè)部分的射線和優(yōu)弧右側(cè)所夾的平面區(qū)域?yàn)榈摹氨趁妗保籼幱诘摹氨趁妗?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】【詳解】設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，，，直線的方程為，即，直線的方程為，即，處于的“背面”，與相切時(shí)取最小值，由，解得或，結(jié)合圖形可得的最小值為，同理與相切時(shí)可得的最大值為，．故選：．8．（5分）若正三棱臺(tái)的各頂點(diǎn)都在表面積為的球的表面上，且，則正三棱臺(tái)的高為A． B．4 C．或3 D．3或4【答案】【詳解】設(shè)球的半徑為，則，所以．設(shè)△的外接圓半徑為，由正弦定理有，解得，所以球心到平面的距離為．設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理有，解得，所以球心到平面的距離為．當(dāng)球心在正三棱臺(tái)外時(shí)，高；當(dāng)球心在正三棱臺(tái)內(nèi)時(shí)，高．故選：．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）2019年中國(guó)建設(shè)有序推進(jìn)，新型信息基礎(chǔ)設(shè)施能力不斷提升，有力支撐社會(huì)的數(shù)字化轉(zhuǎn)型，電信業(yè)務(wù)發(fā)展迅速，下圖是年中國(guó)移動(dòng)電話用戶數(shù)及增速走勢(shì)圖．根據(jù)該圖，下列說法正確的是A．年中國(guó)移動(dòng)電話用戶數(shù)逐年增加 B．年中國(guó)移動(dòng)電話用戶數(shù)增速的中位數(shù)為 C．年中國(guó)移動(dòng)電話用戶數(shù)在2011年增速最快 D．中國(guó)移動(dòng)電話用戶數(shù)在年的增速逐年遞減，因此用戶數(shù)逐年減少【答案】【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，2014年到2015年，中國(guó)移動(dòng)電話用戶減少，錯(cuò)誤；對(duì)于，2011年到2019年，移動(dòng)用戶從小到大順序?yàn)椋?，，，，，，，，則其中位數(shù)為，正確；對(duì)于，在2011年移動(dòng)用戶增速為，是增速最大的一年，故年中國(guó)移動(dòng)電話用戶數(shù)在2011年增速最快，正確；對(duì)于，中國(guó)移動(dòng)電話用戶數(shù)在年的增速逐年遞減，但增速為正值，則用戶數(shù)目依然增加，錯(cuò)誤；故選：．10．（5分）下列各式中，最小值是2的有A． B． C． D．【答案】【詳解】，當(dāng)日僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則符合題意；當(dāng)時(shí)，，則不符合題意；，此時(shí)無解，即，則不符合題意；因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則符合題意．故選：．11．（5分）已知為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點(diǎn)，為底面圓的直徑，是底面圓的內(nèi)接正三角形，，則下列說法正確的是A． B．平面 C．在圓錐側(cè)面上，點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為3 D．圓錐內(nèi)切球的表面積為【答案】【詳解】對(duì)選項(xiàng)，因?yàn)槭堑酌鎴A的內(nèi)接正三角形，為底面圓的直徑，所以，，又，所以，故，正確；對(duì)選項(xiàng)，因?yàn)闉閳A錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點(diǎn)，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋?，由勾股定理得：，則，故，同理可得，因?yàn)椋?，因?yàn)?，平面，且，所以平面，正確；對(duì)選項(xiàng)，將側(cè)面展開，如圖所示，設(shè)中點(diǎn)為，連接，則為點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離，其中，故底面周長(zhǎng)為，故，則，若，由，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以在圓錐側(cè)面上，點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離不為3，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)，由對(duì)稱性可知，圓錐內(nèi)切球球心在上，作出圖形，如圖所示，設(shè)內(nèi)切球球心為，設(shè)內(nèi)切球半徑為，，，則，其中，故，在中，由勾股定理得，即，解得，故圓錐內(nèi)切球的表面積為，正確．故選：．12．（5分）如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則A．直線與底面所成的角為 B．平面與底面夾角的余弦值為 C．直線與直線的距離為 D．直線與平面的距離為【答案】【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于，，1，，，1，，，0，，平面的法向量，0，，設(shè)直線與底面所成的角為，則，直線與底面所成的角為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，設(shè)平面與底面夾角為，則，平面與底面夾角的余弦值為，故正確；對(duì)于，，0，，，0，，，，，直線與直線的距離為：，故正確；對(duì)于，，平面，平面，平面，又，1，，平面的法向量，，，直線與平面的距離為：，故正確．故選：．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）若的展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．【答案】45【詳解】展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，共有11項(xiàng)，則，則的通項(xiàng)公式，由，得，得，即常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：45．14．（5分）在中，，和．則的外接圓方程為．【答案】【詳解】由題意可設(shè)圓的方程為，代人三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可得，解得，所以的外接圓方程為，故答案為：．15．（5分）在等比數(shù)列中，若，．【答案】31【詳解】，，解得，，，，；故答案為：31．16．（5分）在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，則以該四棱錐外接球的球心為球心且與平面相切的球的體積為．【答案】【詳解】將四棱錐放入如下圖所示的正四棱柱中，可知其外接球的球心為與的交點(diǎn)，因此以該四棱錐外接球的球心為球心且與平面相切，其半徑為點(diǎn)到平面的距離，由題意可知，此正四棱柱的高，即為等腰直角三角形斜邊上的高，此高為1，所以由，即，解得，所以此球的體積為，故答案為：．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，．（1）求；（2）若的面積為，求的值．【答案】（1）；（2）【詳解】（1），，，，，，，，．（2）的面積為，，，，，，由余弦定理得．18．（12分）已知數(shù)列滿足，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）數(shù)列滿足，整理得：（常數(shù)），所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．且，，成等差數(shù)列．所以，整理得，解得，所以．（2）由（1）得：，所以，故①，②，①②得：，整理得：．19．（12分）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，，是的中點(diǎn)．（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角；（3）點(diǎn)在棱上，且直線與底面所成角為，求二面角的余弦值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)為，連接，，如圖1所示：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且；又因?yàn)?，所以，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以直線平面．（2）解：取的中點(diǎn)，連接，，如圖2所示：因?yàn)槊鏋榈冗吶切?，所以，又因?yàn)槊婷?，所以面，所以為直線與平面所成角；設(shè)，則，易得四邊形為矩形，所以，所以，所以，即直線與平面所成角為．（3）解：在底面的射影落在在上，如圖2所示：設(shè)，由（Ⅱ）知，又直線與底面所成的角為，所以，所以；又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，且，所以，，，作于，連接，如圖因?yàn)?，所以面，所以，所以為二面角的平面角，?jì)算，所以，即二面角的余弦值為．20．（12分）在高考結(jié)束后，程浩同學(xué)回初中母校看望數(shù)學(xué)老師，順便幫老師整理初三年級(jí)學(xué)生期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．在整個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，將成績(jī)分為，，，，，，，，，，，，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．記分?jǐn)?shù)不低于90分為優(yōu)秀．（1）從樣本中隨機(jī)選取一名學(xué)生，已知這名學(xué)生的分?jǐn)?shù)不低于70分，問這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率；（2）在樣本中，采取分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)?，?nèi)的學(xué)生中抽取13名，再?gòu)倪@13名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，記這3名學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】見解析【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，，，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?，的有名，?shù)學(xué)成績(jī)?cè)?，的有名，?shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢挠忻?，從樣本中隨機(jī)選取一名學(xué)生，設(shè)“這名學(xué)生的分?jǐn)?shù)不低于70分”為事件，“這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀“為事件，則（A），，；（2）采取分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)?，?nèi)的學(xué)生中抽取13名，在，抽取名，在，抽取名，在，抽取名，從這13名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，記這3名學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為，則的可能取值為0，1，2，，，，的分布列為：012．21．（12分）已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是，點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)是，且．（1）求橢圓的方程；（2）直線過點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，求△的內(nèi)切圓面積的最大值．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）根據(jù)直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是，點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，可知焦點(diǎn)在軸上且點(diǎn)坐標(biāo)．，．，，．設(shè)橢圓方程：點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，又，，．橢圓方程為；（2）直線過點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，則△的周長(zhǎng)為，則為三角形內(nèi)切圓半徑），要使△的內(nèi)切圓面積最大，即使△的面積最大，為定長(zhǎng)，△的面積為，，分別為，的縱坐標(biāo)），可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程可得，，，，顯然上式取得最大值，當(dāng)且僅當(dāng)直線過，與軸垂直時(shí)△的面積最大．此時(shí)，，．設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為，則，其面積．22．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，是的一個(gè)極值點(diǎn)且，求及的值；（2）已知，設(shè)，若，，且，求的最小值．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）解：因?yàn)?，其中，則，令，則對(duì)任意的恒