第1講 分類(lèi)討論思想在導(dǎo)數(shù)解答題中的應(yīng)用（解析版）

第1講分類(lèi)討論思想在在導(dǎo)數(shù)解答題中的應(yīng)用在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)。有時(shí)會(huì)遇到很多情況，需要對(duì)各種情況加以分類(lèi)，并逐步求解，然后綜合理解，這就是分類(lèi)討論法。分類(lèi)討論是一種邏輯方法。是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零，積零為整的思想，與歸類(lèi)整理的方法有關(guān)。分類(lèi)討論思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的。邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理和概括性。導(dǎo)數(shù)中分類(lèi)討論思想的應(yīng)用之所以難，是因?yàn)榧尤肓藚?shù)，使得確定的函數(shù)變得不確定。因此，對(duì)參數(shù)的討論而確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間極值、最值趨勢(shì)圖像。在高考中每年必考的內(nèi)容。利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，分類(lèi)討論的思想又是高中階段著重培養(yǎng)的思想方法。導(dǎo)數(shù)大題的共同點(diǎn)就是求完導(dǎo)數(shù)后往往轉(zhuǎn)化為帶參數(shù)的函數(shù)。因此，需要利用分類(lèi)討論來(lái)解決含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題是近幾年高考考察的一個(gè)重要重點(diǎn)和熱點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)單調(diào)性、最值等問(wèn)題十分有利的工具。【應(yīng)用一】分類(lèi)討論思想在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件結(jié)論函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)f'(x)>0f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增

f'(x)<0f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減

f'(x)=0f(x)在(a,b)內(nèi)是常數(shù)函數(shù)

可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(減)的充要條件是?x∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a,b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.【例1.1】（2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷））已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；【解析】【分析】先求導(dǎo)，再分類(lèi)討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【變式1-1】（2022年江蘇徐州市中學(xué)高三月考模擬試卷）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為與，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為與，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，令得，當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，綜上：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】要證，即證，令，，令，，顯然在上為增函數(shù)，所以，在上為增函數(shù)，又，，即，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，令，顯然在上為減函數(shù)，所以，，所以，，即當(dāng)時(shí)，成立.【變式1-2】（2022年福建德化高中模擬試卷）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【解析】（1）定義域?yàn)?，且，令得，或，①?dāng)時(shí)，與，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，③當(dāng)時(shí)，與，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減；（2）由已知，，則，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，令，只需，故，又，，所以，要證，即證，只需證，令，，則，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，，由零點(diǎn)存在性定理得，使得，即，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則，∵由對(duì)勾函數(shù)知在上單調(diào)遞增，∴，∴，即，得證．【變式1-3】（2022·遼寧·育明高中一模）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.（其中常數(shù)…，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【分析】（1）先求導(dǎo)，需要分類(lèi)討論，分當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，當(dāng)a＝1時(shí)，當(dāng)a＞1時(shí)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性求出即可.（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，借助第一問(wèn)的單調(diào)性得到極值，在每一類(lèi)情況下通過(guò)構(gòu)造函數(shù)解不等式，求得a的范圍，取交集即可．【詳解】因?yàn)?，其定義域?yàn)椋瑒t，且，①若a≤0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，即函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，令f′（x）＝0，解得x＝1，或x＝a，當(dāng)a＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1或0＜x＜a時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）在（a，1）上單調(diào)遞增，在（0，a），（1，+∞）單調(diào)遞減；③當(dāng)a＝1時(shí)，f′（x）0恒成立，即函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；④當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)1＜x＜a時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞a或0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）在（1，a）上單調(diào)遞增，在（0，1），（a，+∞）單調(diào)遞減.（2）令，即有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，∴依題意，與的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，∴由（1）知，必有和，①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（a，1）上單調(diào)遞增，在（0，a），（1，+∞）單調(diào)遞減；∴f（x）的極小值為，極大值為，又，∴與的圖像至多有1個(gè)交點(diǎn)，所以舍去；②當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，a）上單調(diào)遞增，在（0，1），（a，+∞）單調(diào)遞減.∴f（x）的極小值為，極大值為，∴只有當(dāng)成立，與的圖像才有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，下面只需要求解不等式即的解集，令，則等價(jià)于設(shè)，則，令，則，令，則，且當(dāng)t＜2時(shí)，u′（t）＞0，函數(shù)u（t）單調(diào)遞增，當(dāng)t＞2時(shí)，u′（t）＜0，函數(shù)u（t）單調(diào)遞減，又，所以，即單調(diào)遞減，又，所以時(shí)，，即，得到，綜上【思維提升】導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性就是解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式，即f'(x)>0或f'(x)<0。最終要轉(zhuǎn)化為解方程f'(x)=0，對(duì)于方程的解由三種題型，一是能進(jìn)行因式分解得到方程的跟，進(jìn)而對(duì)方程的跟進(jìn)行比較大小。而是方程的根不能因式分解就要運(yùn)用求根公式進(jìn)行求解，要特別注意此方程有無(wú)實(shí)根。三是給定區(qū)間的討論，此類(lèi)問(wèn)題要對(duì)方程的根與區(qū)間的端點(diǎn)進(jìn)行討論。【應(yīng)用二】分類(lèi)討論思想在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)的應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題是我們?cè)谧鲱}過(guò)程中常見(jiàn)的問(wèn)題，但是往往在解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，函數(shù)解析式總是十分復(fù)雜，所以為了研究較復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，我們一般會(huì)通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、極值、圖象的變化趨勢(shì)等求解；【例2】【2022年全國(guó)乙卷】已知函數(shù)f(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線(xiàn)y=fx在點(diǎn)0,f(2)若fx在區(qū)間-1,0,0,+【解析】【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對(duì)a分類(lèi)討論,對(duì)x分(-1,0),(0,+∞(1)f(x)的定義域?yàn)?-1,+當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ln(1+x)+xex,f(0)=0,所以切點(diǎn)為所以曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線(xiàn)方程為y=2x(2)f(x)=設(shè)g(x)=1°若a>0,當(dāng)x∈(-1,0),g(x)=ex所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增,f(x)<f(0)=0故f(x)在(-1,0)上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意2°若-1?a?0,當(dāng)x∈(0,+∞)所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增所以g(x)>g(0)=1+a?0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增故f(x)在(0,+∞)上沒(méi)有零點(diǎn)3°若(1)當(dāng)x∈(0,+∞),則g'(x)=exg(0)=1+a<0,g(1)=所以存在m∈(0,1),使得g(m)=0,即f當(dāng)x∈(0,m),f當(dāng)x∈(m,+∞所以當(dāng)x∈(0,m),f(x)<f(0)=0當(dāng)x→+所以f(x)在(m,+∞又(0,m)沒(méi)有零點(diǎn),即f(x)在(0,+∞(2)當(dāng)x∈(-1,0),g(x)=設(shè)h(x)=所以g'(x)在(-1,0)所以存在n∈(-1,0),使得g當(dāng)x∈(-1,n),g當(dāng)x∈(n,0),g'(x)>0,g(x)又g(-1)=所以存在t∈(-1,n),使得g(t)=0,即f當(dāng)x∈(-1,t),f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(t,0),f(x)單調(diào)遞減有x→-1,f(x)→-而f(0)=0,所以當(dāng)x∈(t,0),f(x)>0所以f(x)在(-1,t)上有唯一零點(diǎn),(t,0)上無(wú)零點(diǎn)即f(x)在(-1,0)上有唯一零點(diǎn)所以a<-1,符合題意所以若f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn),求a【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)a的范圍進(jìn)行合理分類(lèi)，否定和肯定并用，否定只需要說(shuō)明一邊不滿(mǎn)足即可，肯定要兩方面都說(shuō)明.【思維提升】函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從本質(zhì)上看還是與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)，果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.分類(lèi)討論求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于難題.分類(lèi)討論求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，（1）先從函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)得到參數(shù)的一個(gè)范圍；（2）函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)，再判斷函數(shù)零點(diǎn)是否在給定區(qū)間內(nèi)，得到參數(shù)下一步的范圍【變式2-1】（2022年廣東真光中學(xué)-深圳二高高三月考模擬試卷）已知函數(shù)，，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）證明：若，則在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【小問(wèn)1詳解】，設(shè)，，①當(dāng)時(shí)，若，則，在上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，若，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴在上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，若，則，∴在上單調(diào)遞增，∵，，∴存在唯一，使得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，，故在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；綜上，的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】記，，由（1）知：若，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故存在唯一，使得，且.注意到，可知在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且，即.【變式2-2】（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．(1)求函數(shù)的最小值；(2)若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系判斷單調(diào)性得其最小值；（2）對(duì)進(jìn)行二次求導(dǎo)，分為，和三種情形，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理得結(jié)果.(1)因?yàn)椋?，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．(2)由題設(shè)：所以，令，因?yàn)?，則，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由（1）知只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，故存在，使得，即，，所以當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，則．所以沒(méi)有零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，且，，所以存在滿(mǎn)足，所以，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，又，先證：，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，.單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋宜?，，，，所以時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值主要是通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，若導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)討論標(biāo)準(zhǔn)的制定可考慮判別式、零點(diǎn)分布等知識(shí)，對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)主要依據(jù)為函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的情形，難點(diǎn)在與端點(diǎn)處函數(shù)值符號(hào)的判定.【變式2-3】（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知，.(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；(2)或【分析】（1）直接求導(dǎo)，討論和，求出對(duì)應(yīng)單調(diào)區(qū)間即可；（2）將題設(shè)轉(zhuǎn)化為有一個(gè)零點(diǎn)，由知函數(shù)除0之外無(wú)其他零點(diǎn)，分，，和依次討論函數(shù)的零點(diǎn)情況，即可求解.(1)易得，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；(2)函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于有一個(gè)零點(diǎn)，，顯然，即函數(shù)除0之外無(wú)其他零點(diǎn)，，令，，當(dāng)時(shí)，，則，即在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，即除0之外無(wú)其他零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，又，則存在使，即在單增，單減，又，時(shí)，，故在至少存在1個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由上知在單調(diào)遞減，，則在單調(diào)遞增，即，當(dāng)時(shí)，令，則，即單調(diào)遞減，，即，令，則，即單調(diào)遞減，，即，則，即除0之外無(wú)其他零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由上知在單調(diào)遞減，又，，，則存在使，即在單增，單減，又，時(shí)，，故在存在1個(gè)零點(diǎn)，不合題意；綜上：或.【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于將題設(shè)轉(zhuǎn)化為有一個(gè)零點(diǎn)，由知函數(shù)除0之外無(wú)其他零點(diǎn)，然后借助分類(lèi)討論分，，和依次分析函數(shù)的零點(diǎn)情況即可求解【變式2-4】（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)m＝1時(shí)，求f（x）在[1，e]上的值域；(2)設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)答案詳見(jiàn)解析【分析】（1）通過(guò)多次求導(dǎo)的方法判斷出在區(qū)間上的單調(diào)性，由此求得在上的值域.（2）令，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，，，′所以在上遞增，，所以在上遞增，，所以在上遞增，.所以在上的值域.(2)，，當(dāng)時(shí)，，，即是的唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，結(jié)合的圖象以及性質(zhì)可知，，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，所以，故.，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，所以，所以在區(qū)間上有.所以，沒(méi)有零點(diǎn).當(dāng)時(shí)：令，，所以在上遞增，由與的圖象可知，在區(qū)間上，存在唯一，使①，即.所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值也即是最小值，由①得，所以；由①得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)，即時(shí)，，則也即沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，也即有唯一零點(diǎn).當(dāng)，即，，則也即有個(gè)零點(diǎn).綜上所述：當(dāng)或時(shí)，有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)，時(shí)，有個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】在利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的過(guò)程中，若一次求導(dǎo)無(wú)法解決的，可考慮二次或多次求導(dǎo)來(lái)進(jìn)行求解.求解過(guò)程中要注意導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間的關(guān)系【應(yīng)用三】分類(lèi)討論思想在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究極值與最值的應(yīng)用若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,f'(a)=0,而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,則點(diǎn)a叫作函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫作函數(shù)y=f(x)的極小值.

若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,f'(b)=0,而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,則點(diǎn)b叫作函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),f(b)叫作函數(shù)y=f(x)的極大值.

極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn),極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值.函數(shù)的最值1.在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值.2.若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則f(a)為函數(shù)的最小值,f(b)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則f(a)為函數(shù)的最大值,f(b)為函數(shù)的最小值.

【例3.1】（2022年廣東梅州市高三月考模擬試卷）已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】【小問(wèn)1詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，在恒成立，在單調(diào)遞減，故無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令，則，時(shí)，，在單調(diào)遞減；時(shí)，，在單調(diào)遞增；故在取極小值，且，無(wú)極大值綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，在取極小值，且，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴，即且∴且，即，為的兩個(gè)零點(diǎn)∴由（1）知，當(dāng)時(shí)，在取極小值，且，故又∵，∴，又∵恒成立，∴對(duì)任意恒成立，∵，∴，且∴對(duì)任意恒成立∴令，則，對(duì)任意恒成立，則.∴對(duì)任意恒成立令，則當(dāng)，即時(shí)，恒成立故在為單調(diào)遞增函數(shù)，又∵，∴對(duì)恒成立當(dāng)，即時(shí)，為單調(diào)增函數(shù)，又∵，，∴使，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)，，不合題意綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【例3.2】（2022·河北保定·高三期末）已知函數(shù).(1)若，討論在上的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在上的最大值小于，求的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分和判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由題意得，然后分，，和四種情況求在的最大值，使其最大值小于，從而可求出的取值范圍(1).令，得；令，得.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)由題意得.若，，則在上單調(diào)遞增，，不合題意.若，則在上單調(diào)遞增，，不合題意.若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則.若，則在上單調(diào)遞減，.綜上，的取值范圍是.【思維提升】函數(shù)的極值問(wèn)題歸根還是要轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性。函數(shù)的最值問(wèn)題也好根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)何時(shí)取得最值。因此，函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的討論問(wèn)題。【變式3-1】【2019年新課標(biāo)3卷理科】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)或.【解析】【分析】(1)先求的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2)根據(jù)的各種范圍，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行最大值和最小值的判斷，最終得出,的值.【詳解】(1)對(duì)求導(dǎo)得.所以有當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)若在區(qū)間有最大值1和最小值-1，所以若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，代入解得，，與矛盾，所以不成立.若，區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間.所以，代入解得.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.即相減得，即，又因?yàn)?，所以無(wú)解.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.即相減得，解得，又因?yàn)椋詿o(wú)解.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.所以有區(qū)間上單調(diào)遞減，所以區(qū)間上最大值為，最小值為即解得.綜上得或.【點(diǎn)睛】這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少．考查的函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計(jì)算．思考量不大，由計(jì)算量補(bǔ)充【變式3-2】（2022·山東·勝利一中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）若在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）時(shí)，討論關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)．【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）若在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在內(nèi)有兩個(gè)不相等的變號(hào)根，等價(jià)于在上有兩個(gè)不相等的變號(hào)根．令，分類(lèi)討論有兩個(gè)變號(hào)根時(shí)的范圍；（2）化簡(jiǎn)原式可得：，分別討論和時(shí)的單調(diào)性，可得的最小值，分類(lèi)討論最小值與0的關(guān)系，結(jié)合的單調(diào)性可以得到零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）由題意可求得，因?yàn)樵趦?nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以在內(nèi)有兩個(gè)不相等的變號(hào)根，即在上有兩個(gè)不相等的變號(hào)根．設(shè)，則，①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，不符合條件．②當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，不符合條件；當(dāng)，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，不符合條件；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，若要在上有兩個(gè)不相等的變號(hào)根，則，解得．綜上所述，．（2）設(shè)，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（?。┊?dāng)時(shí)，，則，所以．因?yàn)?，所以，因此在上單調(diào)遞增．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，則，所以．因?yàn)榧矗炙?，因此在上單調(diào)遞減．綜合（ⅰ）（ⅱ）可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，故關(guān)于x的方程根的個(gè)數(shù)為0，當(dāng)，即時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，故關(guān)于x的方程根的個(gè)數(shù)為1，當(dāng)，即時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，要使，可令，即；②當(dāng)時(shí)，，要使，可令，即，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，故關(guān)于x的方程根的個(gè)數(shù)為2，綜上所述：當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程根的個(gè)數(shù)為0，當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程根的個(gè)數(shù)為1，當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程根的個(gè)數(shù)為2．【應(yīng)用四】分類(lèi)討論思想在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題的應(yīng)用恒成立問(wèn)題便是考查綜合素質(zhì)的很好途經(jīng)，它經(jīng)常以函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)為載體，滲透轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論等思想方法。近幾年的數(shù)學(xué)高考中頻頻出現(xiàn)恒成立問(wèn)題，其形式逐漸多樣化，但都與函數(shù)知識(shí)密不可分。遇到恒成立問(wèn)題，我們的第一想法大多是利用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行分類(lèi)討論進(jìn)行求解，【例4】（2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)乙卷））已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程．（2）若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．【解析】【分析】（1）由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線(xiàn)方程即可；（2）原問(wèn)題即在區(qū)間上恒成立，整理變形可得在區(qū)間上恒成立，然后分類(lèi)討論三種情況即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，據(jù)此可得，所以函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為，即.【小問(wèn)2詳解】由函數(shù)的解析式可得，滿(mǎn)足題意時(shí)在區(qū)間上恒成立.令，則，令，原問(wèn)題等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，則，當(dāng)時(shí)，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，不合題意;令，則，當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿(mǎn)足題意.當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，注意到，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，由于，故當(dāng)時(shí)，，不合題意.綜上可知：實(shí)數(shù)得取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）求切線(xiàn)方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線(xiàn)的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.（2）由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上(或)恒成立．②函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是(或)在該區(qū)間上存在解集．【思維提升】函數(shù)的恒成立問(wèn)題在高考中常見(jiàn)由兩種解決途徑。一是進(jìn)行參數(shù)分離。構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，這種方法主要困難就是一階求導(dǎo)后方程的根不易求。要涉及到二次求導(dǎo)；二是轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程。通過(guò)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行討論。通過(guò)分類(lèi)討論的方法是這種題目常用的方法?！咀兪?-1】（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）設(shè)函數(shù).(1)若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，求的值；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）求出，令，求解可得答案；（2）令得，，當(dāng)由可得，令，求導(dǎo)利用單調(diào)性可得答案；當(dāng)根據(jù)，令可得求解可得答案.【詳解】（1），所以，解得；（2），令得，解得，或時(shí)且，當(dāng)即時(shí)，，對(duì)任意恒成立，得可得，，時(shí)成立，時(shí)，有在恒成立，令，，所以在單調(diào)遞減，有，所以；當(dāng)即時(shí)，，對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍，即在上恒成立，因?yàn)椋傻?，解得，?dāng)即時(shí)，重合，不符合題意，綜上所述，或.【變式4-2】（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行．(1)求a的值；(2)若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】(1)根據(jù)題意先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出實(shí)數(shù)的值即可；(2)將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得最值即可求解.【詳解】（1）由題意可知：的定義域?yàn)椋?，因?yàn)榍€(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，所以，即．解得：或，由已知條件，故可求得實(shí)數(shù)．（2），不等式，即．設(shè)，，則恒成立．，令，．①若，則，在上單調(diào)遞增，，不符合題意；②若，則，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，在上單調(diào)遞增，則，，所以，不符合題意；③若，則，（?。┊?dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，所以，在上單調(diào)遞減，，符合題意；（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，不符合題意；綜上所述，m的取值范圍為【變式4-3】（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)校考一模）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）先判斷在上單調(diào)遞增，再利用單調(diào)性解不等式得解；（2）等價(jià)于對(duì)恒成立，令，利用二次求導(dǎo)對(duì)分類(lèi)討論求函數(shù)的最大值得解.【詳解】（1）解：，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理得在上單調(diào)遞增，由得，即.（2）解：對(duì)恒成立令，，，在上單調(diào)遞減，，若，即時(shí)，在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，符合題意.若，即時(shí)，（i）若，則，在上單調(diào)遞增，這與題設(shè)矛盾，舍去.（ii）若，則存在使，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)這與題設(shè)也矛盾，舍去.綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為.鞏固練習(xí)1、（2023年全國(guó)新高考Ⅱ卷）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．【解析】【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類(lèi)討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.【詳解】（1）構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.當(dāng)時(shí)，令因?yàn)椋?，所以函?shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時(shí)，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點(diǎn)，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對(duì)恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，且，則，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為2、【2021年新高考2卷】已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)①；②．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類(lèi)討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時(shí)：，當(dāng)時(shí)，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3、（2022年河北衡水中學(xué)高三月考模擬試卷）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，①求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；②求證：在上有唯一極大值點(diǎn)；（2）若沒(méi)有零點(diǎn)，求取值范圍.【答案】（1）①；②證明見(jiàn)解析（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】若，則，.①在處，，.所以曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為.②令，，在區(qū)間上，，則在區(qū)間上是減函數(shù).又，所以在上有唯一零點(diǎn).列表得：+-極大值所以在上有唯一極大值點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】，令，則.①若，則，在上是增函數(shù).因?yàn)椋?，所以恰有一個(gè)零點(diǎn).令，得.代入，得，解得.所以當(dāng)時(shí)，的唯一零點(diǎn)為0，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，符合題意.②若，此時(shí)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上是增函數(shù).所以.又，由題意，當(dāng)，即時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，符合題意.綜上，的取值范圍是.4、（2022年江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)高三月考模擬試卷）已知函數(shù).（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意的x>1，f（x）>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）證明：若函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)，則f（x）必有3個(gè)不同的零點(diǎn).【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【小問(wèn)1詳解】定義域?yàn)?，令，即，（i）若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增.（ii）若時(shí)，在上恒成立，則有，在上單調(diào)遞增.（iii）若時(shí)，令，則；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有.因此在上