第4講 數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)（導(dǎo)數(shù)部分）中的應(yīng)用（解析版）

第4講數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)（導(dǎo)數(shù)部分）中的應(yīng)用數(shù)學(xué)結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法。運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合的方法，許多問(wèn)題迎刃而解，且解法簡(jiǎn)潔。所謂數(shù)形結(jié)合，就是依據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)。問(wèn)題的一種重要思想方法，數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)以形助數(shù)，以數(shù)解形，使困難問(wèn)題簡(jiǎn)潔化、抽象問(wèn)題詳細(xì)化。能夠變抽象思維為形象思維，有助于數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性和敏捷性的有機(jī)結(jié)合。我們?cè)诮鉀Q函數(shù)問(wèn)題的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的一種困境：做題時(shí)總是感覺(jué)看到的式子比較抽象，不容易理解，想來(lái)想去總是沒(méi)有頭緒。此時(shí)便需要我們將其具象化，而具體化最好的途徑便是借助圖象?！緫?yīng)用一】利用數(shù)形結(jié)合，解決函數(shù)不等關(guān)系的問(wèn)題在做題的過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到比大小問(wèn)題，遇到這類題，我們的想法往往是先算出所有數(shù)的大小，然后放在一起比較，但有的時(shí)候，題目中出現(xiàn)的數(shù)字我們難以計(jì)算，這種情況下我們一般借助于函數(shù)的圖像，若函數(shù)的解析式不是基本函數(shù)可以運(yùn)用求導(dǎo)的方法，做出函數(shù)的圖像?！纠?.1】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）（多選題）若正實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等式中可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，則，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)或，結(jié)合與的圖象也可得到所以或.故選：AC【思維提升】借助于函數(shù)的圖像比較大小，最主要的是做出函數(shù)的圖像，有些情況下要對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，變成常?jiàn)的函數(shù)，或者比較容易進(jìn)行求導(dǎo)做出函數(shù)的圖像。然后借助于函數(shù)的圖像進(jìn)行比較大小或者不等關(guān)系?！咀兪?.1】（2022?江蘇二模）已知實(shí)數(shù)，，且，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則A． B． C． D．【答案】【詳解】實(shí)數(shù)，，且，變形為，令，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即．①令，；令，，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，即．②令，（a）；令，，時(shí)，，，當(dāng)（a）時(shí)，，即．綜上，可得．故選：【變式1.2】【2021年新高考1卷】若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫(huà)出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.解法二：畫(huà)出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.【點(diǎn)睛】解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識(shí)范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)特性進(jìn)行估計(jì)，解法二是根據(jù)基于對(duì)指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，直觀解決問(wèn)題的有效方法.【應(yīng)用二】利用數(shù)形結(jié)合，研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題是我們?cè)谧鲱}過(guò)程中常見(jiàn)的問(wèn)題，但是往往在解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，函數(shù)解析式總是十分復(fù)雜，所以為了研究較復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，我們一般會(huì)通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、極值、圖象的變化趨勢(shì)等求解；根據(jù)題目要求畫(huà)出函數(shù)圖象，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題?！纠?】（（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】先分析函數(shù)的奇偶性，再轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，令，求出函數(shù)的最小值即得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以函?shù)為偶函數(shù)，又，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，即，令，則，；.故在上遞減，上遞增，故．畫(huà)出圖像如圖所示從而.故答案為：．【思維提升】函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，就是指兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，在解決這類問(wèn)題要構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，以便更好的做出函數(shù)的圖像，能從圖像中更直接的解決問(wèn)題?！咀兪?.1】（2022·河北衡水中學(xué)一模）已知函數(shù)，，當(dāng)實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______時(shí)，的零點(diǎn)最多.【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象，由得，設(shè)，分，，分別討論與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，求得與相切時(shí)切線的斜率，與相切時(shí)切線的斜率，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：作出函數(shù)的圖象如圖：由得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)；.當(dāng)時(shí)，設(shè)與相切，切點(diǎn)為，則，所以切線的斜率為，其切線方程為：，又因切線恒過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以切線的斜率為，當(dāng)時(shí)，設(shè)與相切，切點(diǎn)為，則，所以切線的斜率為，其切線方程為：，又因切線恒過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以切線的斜率為，所以當(dāng)時(shí)，與有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有4個(gè)交點(diǎn)；所以實(shí)數(shù)的取值范圍為時(shí)，的零點(diǎn)最多，故答案為：.【變式2.2】（2022?玄武區(qū)模擬）已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的范圍是A． B． C． D．【答案】【詳解】由得，當(dāng)時(shí)，方程不成立，即，則，設(shè)，且，則，且，由得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，則當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極小值，極小值為（1），當(dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞減，作出函數(shù)的圖象如圖：要使有兩個(gè)不同的根，則即可，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，方法2：由得，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，則為增函數(shù)，設(shè)與，相切時(shí)的切點(diǎn)為，切線斜率，則切線方程為，當(dāng)切線過(guò)，時(shí)，，即，即，得或（舍，則切線斜率，要使與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：．【變式2.3】（2022年徐州市高三月考試卷）設(shè)，若函數(shù)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】令，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，又因?yàn)閷?duì)于任意，在總存在，使得，在上由于的增長(zhǎng)速率比的增長(zhǎng)速率要快得多，所以總存在，使得，所以在與上都趨于無(wú)窮大；令，則開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故，.因?yàn)楹瘮?shù)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，而已經(jīng)有唯一零點(diǎn)，所以必須有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，則，即在處取不到零點(diǎn)，故至多只有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，，則，所以在處取得零點(diǎn)，結(jié)合圖像又知與必有兩個(gè)交點(diǎn)，故在與必有兩個(gè)零點(diǎn)，所以有且只有三個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；綜上：，即.故選：C.【應(yīng)用三】利用數(shù)形結(jié)合，研究函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題函數(shù)的極值問(wèn)題，既是重點(diǎn)題型又是難點(diǎn)題型，遇到此類題，我們一般的想法是進(jìn)行求導(dǎo)，實(shí)際上，對(duì)于已知的基本初等函數(shù)求極值的問(wèn)題，也可以直接做出基本初等函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象使問(wèn)題得到解決?！纠?】（【2022年全國(guó)乙卷】已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2（【答案】1【解析】解：f'因?yàn)閤1,x所以函數(shù)fx在-∞,x1所以當(dāng)x∈-∞,x1∪x若a>1時(shí)，當(dāng)x<0時(shí)，2lna?a故a>1不符合題意，若0<a<1時(shí)，則方程2lna?a即方程lna?ax即函數(shù)y=lna?a∵0<a<1,∴函數(shù)y=a又∵lna<0,∴y=lna?ax的圖象由指數(shù)函數(shù)設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)y=gx的圖象相切的直線的切點(diǎn)為x則切線的斜率為g'故切線方程為y-ln則有-lna?a則切線的斜率為ln2因?yàn)楹瘮?shù)y=lna?a所以eln2a<又0<a<1，所以1e綜上所述，a的范圍為1e【思維提升】本題由x1,x2分別是函數(shù)fx=2ax-ex2的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，可得x∈-∞,x1∪x2,+∞時(shí)，因此，對(duì)于函數(shù)的極值問(wèn)題借助于構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)研究交點(diǎn)問(wèn)題?！咀兪?.1】（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)校考一模）若函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【答案】或【分析】對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，分類討論3是否為極值點(diǎn)，結(jié)合的圖像性質(zhì)即可求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)極值點(diǎn)，所以若3是極值點(diǎn)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，所以；當(dāng)趨向于0時(shí)，趨向于1，趨向于0，則趨向于正無(wú)窮，當(dāng)趨向正無(wú)窮時(shí)，趨向正無(wú)窮的速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于趨向正無(wú)窮的速率，則趨向于正無(wú)窮，若3不是極值點(diǎn)，則3是即的一個(gè)根，且存在另一個(gè)根，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，令，解得；令，解得；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，滿足題意，綜上：或【變式3.2】已知函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（） B． C． D．【答案】A【解析】易知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，得，即．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，或，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．因?yàn)楹瘮?shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以直線與函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，作出的圖象如圖所示．由圖得或．當(dāng)時(shí)，恒成立，所以無(wú)極值，所以【變式3.3】（2022年福州高級(jí)中學(xué)高三月考模擬試卷）（多選題）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.的取值范圍是C. D.【答案】ACD【解析】【詳解】，有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，∴，有兩個(gè)零點(diǎn)，，且在，各自兩邊異號(hào)，∴與有兩個(gè)交點(diǎn)，，記，則，易知：時(shí)，時(shí)，∴在上遞增，在上遞減，即在上遞增，在上遞減．∴有最大值，且時(shí)；時(shí)，又，，由上的圖象如下，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)，才符合條件，且，故A正確，B不正確．又，∴，故C正確．令，則，∴，則，，∴要證，只需證，只需證，令，則，∴在上單調(diào)遞減，即時(shí)，不等式得證，故D正確．故選：ACD鞏固練習(xí)1、（2022?蘇州模擬）已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中一個(gè)極值點(diǎn)滿足，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】【詳解】，由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則等價(jià)于有兩個(gè)解，即與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以．直線過(guò)點(diǎn)由在點(diǎn)處的切線為，顯然直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與曲線交于不同兩點(diǎn)（如下圖），且，，令，則，所以單調(diào)遞增，，即，故選：．2、（2022·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的值為（）A．3 B．4 C．9 D．16【答案】C【解析】【分析】利用換元法轉(zhuǎn)換，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)求得正確答案.【詳解】，，有三個(gè)不同的零點(diǎn).令，在遞增，在上遞減，.時(shí)，.令，必有兩個(gè)根，，且，有一解，有兩解，且，故.故選：C3、（2022年江蘇泰州市高三月考模擬試卷）已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.必有兩個(gè)極值點(diǎn)B.有且僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的范圍是C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心D.當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)可以作曲線的3條切線【答案】B【解析】【詳解】對(duì)于A，，令，解得：或，因?yàn)?，所以令，得或，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值,所以A正確；對(duì)于B，要使有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，只需即，所以，所以的范圍是，故B不正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，所以C正確；對(duì)于D，，設(shè)切點(diǎn)為，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，解得：，令，所以過(guò)點(diǎn)可以作曲線的切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).,令，解得：或，因?yàn)椋粤?，得或，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，如下圖所示，當(dāng)時(shí)，與圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即過(guò)點(diǎn)可以作曲線的3條切線，故正確，故選：B4、（2022年福州八中高三月考模擬試卷）（多選題）已知函數(shù)和，有相同的極小值，若存在，使得成立，則（）A.B.C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，若所有根記為，，，，且，則【答案】ACD【解析】【詳解】，，，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在處取得極小值，而，且，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在處取得極小值，依據(jù)題意，和有相同的極小值，故，解得，故A正確；作出函數(shù)圖象如下圖所示，若，則與、相交時(shí)，或者，故B錯(cuò)誤.由圖像可知，當(dāng)時(shí)，，所以，C正確；若的所有根記為，，且時(shí)，則有，，可得，即，又，同理可得，，則，故D正確.故選：ACD.5、（2023·廣東揭陽(yáng)·校考模擬預(yù)測(cè)）（多選題）已知a為常數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】，，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．作出，的大致圖象，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，，且，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；又函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，，，故CD正確；故選：ACD6、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）（多選題）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)B．若關(guān)于x的方程恰有1個(gè)解，則C．函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)D．若，且，則無(wú)最值【答案】AC【分析】對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)并畫(huà)出函數(shù)圖象，由圖可知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即A正確；利用函數(shù)與方程的思想可得恰有1個(gè)解時(shí)或，可知B錯(cuò)誤；易知和是函數(shù)的兩條切線，分類討論參數(shù)并通過(guò)構(gòu)造函數(shù)證明即可得出的圖象與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故C正確；分別解出的表達(dá)式，代入并構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得有最小值，即D錯(cuò)誤.【詳解】由函數(shù)可得，函數(shù)的圖象如下圖所示：對(duì)于A，由圖可知，和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，若函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，可得或，故B不正確；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線為，函數(shù)在處的切線為，如圖中虛線所示，易知當(dāng)，即時(shí)，的圖象與直線恰有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，令，得，令，則，，由二次函數(shù)的圖象及零點(diǎn)存在定理可知，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)，即時(shí)，令，設(shè)，則（僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；故C正確．對(duì)于D，由，則，，，則，設(shè)，則，設(shè)，顯然在上單調(diào)遞增，且，，所以存在，使，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以存在最小值，故D不正確；故選：AC7、（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)