第06講 圓的方程-【寒假自學(xué)課】2023年高二數(shù)學(xué)寒假精品課（滬教版2020選修第一冊）（解析版）

第06講圓的方程【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.用待定系數(shù)法求圓的方程2.根據(jù)條件靈活的選擇設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或圓的一般方程【基礎(chǔ)知識】一．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點的認(rèn)識】1．圓的定義：平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓．定點叫做圓心，定長就是半徑．2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圓心C（a，b），半徑為r．特別地，當(dāng)圓心為坐標(biāo)原點時，半徑為r的圓的方程為：x2+y2＝r2．其中，圓心（a，b）是圓的定位條件，半徑r是圓的定形條件．【解題思路點撥】已知圓心坐標(biāo)和半徑，可以直接帶入方程寫出，在所給條件不是特別直接的情況下，關(guān)鍵是求出a，b，r的值再代入．一般求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要使用待定系數(shù)法．步驟如下：（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a，b，r的方程組；（3）求出a，b，r的值，代入所設(shè)方程中即可．另外，通過對圓的一般方程進(jìn)行配方，也可以化為標(biāo)準(zhǔn)方程．【命題方向】可以是以單獨(dú)考點進(jìn)行考查，一般以選擇、填空題形式出現(xiàn)，a，b，r值的求解可能和直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線、對稱等內(nèi)容相結(jié)合，以增加解題難度．在解答題中，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作為基礎(chǔ)考點往往出現(xiàn)在關(guān)于圓的綜合問題的第一問中，難度不大，關(guān)鍵是讀懂題目，找出a，b，r的值或解得圓的一般方程再進(jìn)行轉(zhuǎn)化．例1：圓心為（3，﹣2），且經(jīng)過點（1，﹣3）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x﹣3）2+（y+2）2＝5分析：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點的坐標(biāo)，求出半徑，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解答：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，由圓M經(jīng)過點（1，﹣3）得R2＝5，從而所求方程為（x﹣3）2+（y+2）2＝5，故答案為（x﹣3）2+（y+2）2＝5點評：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用了待定系數(shù)法，關(guān)鍵是確定圓的半徑．例2：若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x﹣3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1分析：要求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，半徑已知，只需找出圓心坐標(biāo)，設(shè)出圓心坐標(biāo)為（a，b），由已知圓與直線4x﹣3y＝0相切，可得圓心到直線的距離等于圓的半徑，可列出關(guān)于a與b的關(guān)系式，又圓與x軸相切，可知圓心縱坐標(biāo)的絕對值等于圓的半徑即|b|等于半徑1，由圓心在第一象限可知b等于圓的半徑，確定出b的值，把b的值代入求出的a與b的關(guān)系式中，求出a的值，從而確定出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心坐標(biāo)和圓的半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．解答：設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，b）（a＞0，b＞0），由圓與直線4x﹣3y＝0相切，可得圓心到直線的距離d＝＝r＝1，化簡得：|4a﹣3b|＝5①，又圓與x軸相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），∴圓心坐標(biāo)為（2，1），則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．故選：A點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，若直線與圓相切時，圓心到直線的距離d等于圓的半徑r，要求學(xué)生靈活運(yùn)用點到直線的距離公式，以及會根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．例3：圓x2+y2+2y＝1的半徑為（）A．1B．C．2D．4分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即可求出圓的半徑．解答：圓x2+y2+2y＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y+1）2＝2，故半徑等于，故選B．點評：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式及各量的幾何意義，把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，是解題的關(guān)鍵．二．圓的一般方程【知識點的認(rèn)識】1．圓的定義：平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓．定點叫做圓心，定長就是半徑．2．圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）其中圓心坐標(biāo)為（﹣，﹣），半徑r＝．3．圓的一般方程的特點：（1）x2和y2系數(shù)相同，且不等于0；（2）沒有xy這樣的二次項．以上兩點是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圓的必要非充分條件．三．圓的切線方程【知識點的認(rèn)識】圓的切線方程一般是指與圓相切的直線方程，特點是與圓只有一個交點，且過圓心與切點的直線垂直切線．圓的切線方程的類型：（1）過圓上一點的切線方程：對于這種情況我們可以通過圓心與切點的連線垂直切線求出切線的斜率，繼而求出直線方程（2）過圓外一點的切線方程．這種情況可以先設(shè)直線的方程，然后聯(lián)立方程求出他們只有一個解（交點）時斜率的值，進(jìn)而求出直線方程．【實例解析】例1：已知圓：（x﹣1）2+y2＝2，則過點（2，1）作該圓的切線方程為．解：圓：（x﹣1）2+y2＝2，的圓心為C（1，0），半徑r＝．①當(dāng)直線l經(jīng)過點P（2，1）與x軸垂直時，方程為x＝2，∵圓心到直線x＝2的距離等于1，∴直線l與圓不相切，即x＝2不符合題意；②當(dāng)直線l經(jīng)過點P（2，1）與x軸不垂直時，設(shè)方程為y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．∵直線l與圓：（x﹣1）2+y2＝2相切，∴圓心到直線l的距離等于半徑，即d＝＝，解之得k＝﹣1，因此直線l的方程為y﹣1＝﹣（x﹣2），化簡得x+y﹣3＝0．綜上所述，可得所求切線方程為x+y﹣3＝0．這里討論第一種情況是因為k不一定存在，所以單獨(dú)討論，用的解題思想就是我上面所說，大家可以對照著看就是．例2：從點P（4，5）向圓（x﹣2）2+y2＝4引切線，則圓的切線方程為．解：由圓（x﹣2）2+y2＝4，得到圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑r＝2，當(dāng)過P的切線斜率不存在時，直線x＝4滿足題意；當(dāng)過P的切線斜率存在時，設(shè)為k，由P坐標(biāo)為（4，5），可得切線方程為y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，∴圓心到切線的距離d＝r，即＝2，解得：k＝，此時切線的方程為y﹣5＝（x﹣4），即21x﹣20y+16＝0，綜上，圓的切線方程為x＝4或21x﹣20y+16＝0．這個例題用的方法也是前面所說，但告訴我們一個基本性質(zhì)，即圓外的點是可以做兩條切線的，所以以后解題只求出一條的時候就要想是不是少寫了一種．【考點分析】本考點也是比較重要的一個知識點，但解題方法很死板，希望大家都能準(zhǔn)確的掌握，確保不丟分．【考點剖析】一．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共6小題）1．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）不論k為何值，直線kx﹣y+1﹣3k＝0都與圓相交，則該圓的方程可以是（）A．（x+1）2+（y+2）2＝25 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝25 C．（x﹣3）2+（y+4）2＝25 D．（x+1）2+（y+3）2＝25【分析】由題意，利用點到直線的距離公式，判斷直線和圓的位置關(guān)系，從而得出結(jié)論．【解答】解：直線kx﹣y+1﹣3k＝0，即k（x﹣3）﹣（y﹣1）＝0，它經(jīng)過定點M（3，1）．而點M到點A（﹣1，﹣2）的距離MA＝5，故點A在圓（x﹣1）2+（y+2）2＝25上，故直線kx﹣y+1﹣3k＝0和圓（x+1）2+（y+2）2＝25相交或相切．而點M到點B（2，﹣1）的距離MB＝＜5，故點B在圓（x﹣1）2+（y+2）2＝25內(nèi)，故直線kx﹣y+1﹣3k＝0和圓（x+1）2+（y+2）2＝25相交．而點M到點C（3，﹣4）的距離為MC＝5，故點A在圓（x﹣3）2+（y+4）2＝25上，故直線kx﹣y+1﹣3k＝0和圓（x﹣3）2+（y+4）2＝25相交或相切．而點M到點D（﹣1，﹣3）的距離為MD＝4＞5，故點A在圓（x+1）2+（y+3）2＝25外，故直線kx﹣y+1﹣3k＝0和圓（x﹣3）2+（y+4）2＝25相交、相切、或相離．故選：B．【點評】本題主要考查點到直線的距離公式，直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．2．（2022秋?寶山區(qū)校級期中）圓心為（1，2）且與直線3x﹣4y﹣3＝0相切的圓的方程為．【分析】利用點到直線的距離公式可求出半徑，從而可求出圓的方程．【解答】由題意可得圓的半徑為，所以圓的方程為．故答案為：．【點評】本題主要考查圓的方程的求法，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（2022秋?寶山區(qū)月考）以（﹣2，1）為圓心，且經(jīng)過原點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）2+（y﹣1）2＝5．【分析】先求圓的半徑，然后求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．【解答】解：由題意可知所求圓的半徑為則以（﹣2，1）為圓心，且經(jīng)過原點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）2+（y﹣1）2＝5，故答案為：（x+2）2+（y﹣1）2＝5．【點評】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬基礎(chǔ)題．4．（2021秋?崇明區(qū)期末）以點（1，2）為圓心且與直線3x+4y﹣1＝0相切的圓的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．【分析】根據(jù)題意，求出點（1，2）到直線3x+4y﹣1＝0的距離，即可得圓的半徑，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，要求圓的半徑為點（1，2）到直線3x+4y﹣1＝0的距離，即r＝d＝＝2，故要求圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，故答案為：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．【點評】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及直線與圓相切的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．（2022春?崇明區(qū)校級期中）圓心為（﹣1，﹣3），半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+（y+3）2＝9．【分析】由已知直接代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得答案．【解答】解：圓的圓心為（﹣1，﹣3），半徑為3，即a＝﹣1，b＝﹣3，r＝3，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+（y+3）2＝9．故答案為：（x+1）2+（y+3）2＝9．【點評】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是基礎(chǔ)題．6．（2022春?金山區(qū)期中）過直線x+y＝2與直線x﹣y＝0的交點，圓心為C（﹣1，1）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x+1）2+（y﹣1）2＝4．【分析】先求出兩直線的交點坐標(biāo)，可得圓的半徑，從而得到圓的方程．【解答】解：由，求得，可得直線x+y＝2與直線x﹣y＝0的交點為M（1，1），故半徑為MC＝2，故要求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x+1）2+（y﹣1）2＝4，故答案為：（x+1）2+（y﹣1）2＝4．【點評】本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是求出半徑，屬于基礎(chǔ)題．二．圓的一般方程（共6小題）7．（2022秋?楊浦區(qū)校級期中）圓x2+y2﹣2x﹣3＝0的半徑為2．【分析】由圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓的半徑的值．【解答】解：圓x2+y2﹣2x﹣3＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+y2＝4，可得圓的半徑為2，故答案為：2．【點評】本題考查圓的半徑的求法，屬于基礎(chǔ)題．8．（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）已知2a2x2+（a+1）y2+2x+1＝0表示圓，則實數(shù)a的值是．【分析】直接利用圓的方程的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：2a2x2+（a+1）y2+2x+1＝0表示圓，故2a2＝a+1，解得a＝1或﹣，當(dāng)a＝1時，圓的方程為，由于，故不滿足圓的方程的條件，故舍去；當(dāng)a＝﹣時，滿足圓的方程構(gòu)成的條件，故a＝﹣．故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：圓的方程，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2021秋?虹口區(qū)期末）圓x2+y2+4sinθ?x+4cosθ?y+1＝0的半徑等于．【分析】把一般方程配成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解．【解答】解：由x2+y2+4sinθ?x+4cosθ?y+1＝0得（x+2sinθ）2+（y+2cosθ）2＝3，所以圓的半徑為．故答案為：．【點評】本題主要考查了由圓的一般方程求解圓的半徑，屬于基礎(chǔ)題．10．（2022春?金山區(qū)期中）過圓x2+y2﹣4x＝0的圓心且與直線2x+y＝0垂直的直線方程為x﹣2y﹣2＝0．【分析】先求出已知圓的圓心，所求直線的斜率，再用點斜式求出直線的方程．【解答】解：∵圓x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，故它的圓心為（2，0），由于所求直線與直線2x+y＝0垂直，故所求直線的斜率為，故要求直線的直線方程為y﹣0＝（x﹣2），即x﹣2y﹣2＝0，故答案為：x﹣2y﹣2＝0．【點評】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用點斜式求出直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．11．（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）圓x2+y2﹣2x+4y＝0的圓心到直線3x+4y﹣5＝0的距離等于2．【分析】根據(jù)題意，由圓的方程求出圓的圓心，由點到直線的距離公式計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓x2+y2﹣2x+4y＝0的圓心為（1，﹣2），則點（1，﹣2）到直線3x+4y﹣5＝0的距離d＝＝2，故答案為：2．【點評】本題考查圓的一般方程和點到直線距離的計算，注意求出圓的圓心坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題．12．（2022秋?靜安區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60＝0及其上一點A（2，4）．（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點，且BC＝OA，求直線l的方程；（3）設(shè)點T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得+＝，求實數(shù)t的取值范圍．【分析】（1）設(shè)N（6，n），則圓N為：（x﹣6）2+（y﹣n）2＝n2，n＞0，從而得到|7﹣n|＝|n|+5，由此能求出圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）由題意得OA＝2，kOA＝2，設(shè)l：y＝2x+b，則圓心M到直線l的距離：d＝，由此能求出直線l的方程．（3）法一：＝，即||＝，又||≤10，得t∈[2﹣2，2+2]，對于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為，由此能求出實數(shù)t的取值范圍．法二：＝，從而可以表示任何長度不超過圓M的直徑的向量，進(jìn)而問題等價于點T（t，0）在圓A：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝100的圓內(nèi)部（包含邊界），由此能求出實數(shù)t的取值范圍．【解答】解：（1）∵N在直線x＝6上，∴設(shè)N（6，n），∵圓N與x軸相切，∴圓N為：（x﹣6）2+（y﹣n）2＝n2，n＞0，又圓N與圓M外切，圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60＝0，即圓M：（x﹣6）2+（y﹣7）2＝25，∴|7﹣n|＝|n|+5，解得n＝1，∴圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣6）2+（y﹣1）2＝1．（2）由題意得OA＝2，kOA＝2，設(shè)l：y＝2x+b，則圓心M到直線l的距離：d＝＝，則|BC|＝2＝2，BC＝2，即2＝2，解得b＝5或b＝﹣15，∴直線l的方程為：y＝2x+5或y＝2x﹣15．（3）解法一：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），∵A（2，4），T（t，0），，∴，①∵點Q在圓M上，∴（x2﹣6）2+（y2﹣7）2＝25，②將①代入②，得（x1﹣t﹣4）2+（y1﹣3）2＝25，∴點P（x1，y1）既在圓M上，又在圓[x﹣（t+4）]2+（y﹣3）2＝25上，從而圓（x﹣6）2+（y﹣7）2＝25與圓[x﹣（t+4）]2+（y﹣3）2＝25有公共點，∴5﹣5≤≤5+5．解得2﹣2≤t，∴實數(shù)t的取值范圍是[2﹣2，2+2]．解法二：由題意，＝，而P，Q可以在圓M上任取，∴可以表示任何長度不超過圓M的直徑的向量，∴問題等價于點T（t，0）在圓A：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝100的圓內(nèi)部（包含邊界），即（t﹣2）2+（y﹣4）2≤100，解得2﹣2≤t≤2+2，∴實數(shù)t的取值范圍是[2﹣2，2+2]．【點評】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2022·上海金山·高二期中）設(shè)A為圓上的動點，是圓的切線且，則P點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】圓可化為，由題意可得圓心，半徑是1，又因為是圓的切線且，可得，從而得出P點的軌跡方程．【詳解】圓可化為，由題意可得圓心到P點的距離為，所以點P在以為圓心，為半徑的圓上，所以點P的軌跡方程是．故選：B．【點睛】本題考查圓的切線性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及圓的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．（2022·上海理工大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）若方程表示一個圓,則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次方程表示圓的充要條件列出不等式，通過解不等式求出k的范圍．【詳解】方程x2+y2+x+y+k=0表示一個圓，需滿足1+1﹣4k＞0∴故選D．【點睛】二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件為：D2+E2﹣4F＞0二、填空題3．（2022·上?！?fù)旦附中高二期中）圓的半徑為_________.【答案】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，可得出圓的半徑.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故該圓的半徑為.故答案為：.4．（2022·上海市崇明中學(xué)高二期中）圓心為，半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________.【答案】【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義，即可求解.【詳解】由題可先設(shè)出圓的方程：，再圓心為點，r=3代入圓的方程可求出則圓的方程為：故答案為：5．（2022·上海市寶山中學(xué)高二期中）圓心為且與直線相切的圓的方程為_________.【答案】.【分析】利用點到直線的距離公式可求出半徑，從而可求出圓的方程.【詳解】由題意可得圓的半徑為，所以圓的方程為.故答案為：.6．（2022·上海金山·高二期中）過圓的圓心且與直線垂直的直線方程為___________【答案】【分析】根據(jù)圓的方程求出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)兩直線垂直斜率乘積為求出所求直線的斜率，再由點斜式即可得所求直線的方程.【詳解】由可得，所以圓心為，由可得，所以直線的斜率為，所以與直線垂直的直線的斜率為，所以所求直線的方程為：，即，故答案為：.7．（2022·上海市寶山中學(xué)高二期中）方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】或【分析】根據(jù)圓方程的判斷方法：形如的方程表示圓的條件為，列出不等式，解之即可.【詳解】因為方程表示圓，則，解得：或，故答案為：或.8．（2022·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二階段練習(xí)）圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為______．【答案】【分析】求出圓心關(guān)于直線的對稱點，從而求出對稱圓的方程.【詳解】圓心為，半徑為1，設(shè)關(guān)于對稱點為，則，解得：，故對稱點為，故圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為.故答案為：9．（2022·上海市青浦高級中學(xué)高二階段練習(xí)）幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點M、N是銳角的一邊QA上的兩點，試在邊QB上找一點P，使得最大”，如圖，其結(jié)論是：點P為過M、N兩點且射線QB相切的圓的切點，根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點、，點P在x軸上移動，當(dāng)取最大值時，點P的坐標(biāo)為___________【答案】【分析】設(shè)的外接圓的圓心為，根據(jù)題設(shè)中給出的結(jié)論可構(gòu)建關(guān)于的方程組，解方程組后可得的坐標(biāo).【詳解】延長交軸于，則為銳角，由題設(shè)，當(dāng)在射線上時，若取最大值，則有的外接圓與軸相切且切點為，設(shè)為軸上的動點且在的左側(cè)，則，由為最大值角可得，故當(dāng)為軸上的動點且取最大值時，在射線上且的外接圓與軸相切且切點為.設(shè)該圓的圓心為，則且圓的半徑為，故，整理得到，解得或，又直線的方程為，故，故舍去，故的外接圓的圓心為，故.故答案為：.【點睛】方法點睛：本題為即時應(yīng)用類問題，注意根據(jù)給出的背景或結(jié)論來構(gòu)建所設(shè)變量的方程組，另外對不適合題設(shè)給出的背景的另一類問題的討論.10．（2022·上海·華師大二附中高二階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為20米，圓O的半徑為1米，圓心足正方形的中心，點P、Q分別在線段AD、CB上，若線段PQ與圓O有公共點，則稱點Q在點P的“盲區(qū)”中.已知點P以1.5米/秒的速度從A出發(fā)向D移動，同時，點Q以1米/秒的速度從C出發(fā)向B移動，則點P從A移動到D的過程中，點Q在點P的育區(qū)中的時長約為________秒（精確到0.1）【答案】4.4【分析】以為坐標(biāo)原點,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求得的坐標(biāo)和直線的方程,圓方程,運(yùn)用點到直線的距離公式,以及直線和圓相交的條件,解不等式即可得到所求時長.【詳解】以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：由題意可設(shè)，所以直線的方程為：，圓方程為：，因為直線與圓有交點，所以，化為，解得，所以點在點的盲區(qū)中的時長約為秒.故答案為：【點睛】本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系,坐標(biāo)法和二次不等式的解法,屬于中檔題.11．（2022·上海市洋涇中學(xué)高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點，，定義為點、之間的極距，已知點P是直線上的動點，已知點Q是圓上的動點，則、兩點之間的距離最小時，其極距為_____________.【答案】##0.8【分析】首先利用極距定義，以及點線距離公式，將問題轉(zhuǎn)化為求，即可求解.【詳解】如上圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，、，作出直角三角形，則由極距的定義可知，就是直角三角形中較小的直角邊的大小.因為點是直線：上的動點，是圓：上的動點，要使得最小，則，最小，此時，設(shè)直線交軸于點，交軸于點，因為直線的斜率為，則.如下圖所示，過點作平行于軸，過點作平行于軸，則，所以，在直角三角形中，，兩點之間的極距即為.設(shè)，則，所以，解得，即，兩點之間最小的極距為.故答案為：12．（2022·上海市洋涇中學(xué)高二階段練習(xí)）已知表示圓，則實數(shù)a的值是_______．【答案】##【分析】把方程化為，根據(jù)題意可得，解之即可得解.【詳解】解：把方程化為，因為此曲線表示圓，所以，解得.故答案為：.三、解答題13．（2022·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二階段練習(xí)）疫情期間，作為街道工作人員的王阿姨和李叔叔需要上門排查外來人員信息，王阿姨和李叔叔分別需走訪離家不超過200米、k米的區(qū)域，如圖，、分別是經(jīng)過王阿姨家（點）的東西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的東偏北方向，以點O為坐標(biāo)原點，、為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知健康檢查點（即點）和平安檢查點（即點）是李叔叔負(fù)責(zé)區(qū)域中最遠(yuǎn)的兩個檢查點.（1）求出k，并寫出王阿姨和李叔叔負(fù)責(zé)區(qū)域邊界的曲線方程；（2）王阿姨和李叔叔為交流疫情信息，需在姑山路（直線）上碰頭見面，你認(rèn)為在何處最為便捷、省時間（兩人所走的路程之和最短）？并給出理由.【答案】（1），，；（2）【解析】（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可設(shè)出圓心，利用圓上兩點距離到圓心相等，可算得圓心和半徑.（2）可先求圓心O關(guān)于的對稱點P,找到直線PC與l的交點，即為所求.【詳解】（1）易知，