第8章：概率 重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)（解析版）

第8章：概率題型一條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用【例1】（2023春·江蘇無錫·高二江陰市華士高級中學(xué)校聯(lián)考期中）在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，發(fā)現(xiàn)該100名患者中有30名的年齡位于區(qū)間內(nèi).已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，年齡位于區(qū)間內(nèi)人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?現(xiàn)從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間內(nèi)，則此人患該疾病的概率為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)此人年齡位于區(qū)間為事件A，此人患病為事件B.則所求概率為.故選：C【變式1-1】（2023春·云南曲靖·高二會澤縣實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）2022年12月4日是第九個(gè)“國家憲法日”.某中學(xué)開展主題為“學(xué)習(xí)憲法知識，弘揚(yáng)憲法精神”的知識競賽活動(dòng)，甲同學(xué)答對第一道題的概率為，連續(xù)答對兩道題的概率為.用事件A表示“甲同學(xué)答對第一道題”，事件表示“甲同學(xué)答對第二道題”，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依題意，故選：【變式1-2】（2023春·福建泉州·高二?？茧A段練習(xí)）高二甲、乙兩位同學(xué)計(jì)劃端午假期從“韓陽十景”中挑個(gè)旅游景點(diǎn)：廉村孤樹、龜湖夕照、南野桑、馬嶼香泉隨機(jī)選擇其中一個(gè)景點(diǎn)游玩，記事件甲和乙至少一人選擇廉村孤樹，事件甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則條件概率__________．【答案】【解析】對于事件，甲和乙至少一人選擇廉村孤樹，則其反面為“甲、乙兩人均不選擇廉村孤樹”，所以，，對于事件，甲和乙中只有一人選擇廉村孤樹，另一個(gè)人選擇其它村，所以，，因此，所求概率為.【變式1-3】（2023春·江蘇南京·高二江蘇省溧水高級中學(xué)?？计谥校┠硨W(xué)校高二1班有五名學(xué)生報(bào)名參加社團(tuán)活動(dòng)，社團(tuán)活動(dòng)共有“記者在線”、“機(jī)器人行動(dòng)”、“音樂之聲”三個(gè)項(xiàng)目，每人都要報(bào)名且限報(bào)其中一項(xiàng)．（1）求“每個(gè)項(xiàng)目都有人報(bào)名”的報(bào)名情況種數(shù)；（2）已知其中一項(xiàng)目恰只有三名學(xué)生報(bào)名，求只有甲同學(xué)一人報(bào)“記者在線”的概率.【答案】（1）150；（2）【解析】（1）“每個(gè)項(xiàng)目都有人報(bào)名”，則5名學(xué)生分三組，即人數(shù)分為3，1，1或2，2，1；故此時(shí)報(bào)名情況有種.（2）記事件為“其中一項(xiàng)目恰只有三名學(xué)生報(bào)名”，事件為“只有甲同學(xué)一人報(bào)記者在線”，事件為“其中一項(xiàng)目恰只有三名學(xué)生報(bào)名”，報(bào)名情況有種，所以，若同時(shí)發(fā)生，即其中一項(xiàng)目恰只有三名學(xué)生報(bào)名，且只有甲同學(xué)一人報(bào)“記者在線”，則有種，所以，所以.【變式1-4】（2023春·山西太原·高二山西大附中?？计谥校┠承?zhǔn)備從報(bào)名的7位教師（其中男教師4人，女教師3人）中選3人去邊區(qū)支教．（1）設(shè)所選3人中女教師的人數(shù)為X，寫出X的分布列，求X的數(shù)學(xué)期望及方差；（2）若選派的三人依次到甲、乙、丙三個(gè)地方支教，求甲地是男教師的情況下，乙地為女教師的概率．【答案】（1）分布列詳見解析，，；（2）【解析】（1）（1）X的所有可能取值為0，1，2，3，且，，，，所以X的分布列為：X0123P故，（2）設(shè)事件A為“甲地是男教師”，事件B為“乙地是女教師”，則，，所以.題型二全概率公式與貝葉斯公式【例2】（2023春·山西晉中·高二介休一中校考期中）假設(shè)有兩箱零件，第一箱內(nèi)裝有10件，其中有2件次品：第二箱內(nèi)裝有20件，其中有3件次品，現(xiàn)從兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取1個(gè)零件，則取出的零件是次品的概率為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)事件表示從第箱中取一個(gè)零件，事件B表示取出的零件是次品，則，即取出的零件是次品的概率為.故選：C.【變式2-1】（2023春·北京·高二?？茧A段練習(xí)）已知某地市場上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占，乙廠產(chǎn)品占，甲廠產(chǎn)品的合格率是，乙廠產(chǎn)品的合格率是，則從該地市場上買到一個(gè)合格產(chǎn)品的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】從某地市場上購買一個(gè)燈泡，設(shè)買到的燈泡是甲廠產(chǎn)品為事件，買到的燈泡是乙廠產(chǎn)品為事件，記事件從該地市場上買到一個(gè)合格燈泡，則，，，，所以.故選：B.【變式2-2】（2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期中）某工廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線，甲生產(chǎn)線的優(yōu)質(zhì)品率為70%，乙生產(chǎn)線的優(yōu)質(zhì)品率為65%，兩條生產(chǎn)線的產(chǎn)品統(tǒng)一進(jìn)入包裝車間進(jìn)行包裝.已知甲、乙兩條生產(chǎn)線的產(chǎn)品數(shù)分別占總數(shù)的60%，40%.質(zhì)檢部門從包裝好的產(chǎn)品中任取一個(gè)，則取到優(yōu)質(zhì)品的概率是______.【答案】/【解析】記任取一個(gè)產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品為事件，記產(chǎn)品由甲生產(chǎn)線生產(chǎn)為事件，產(chǎn)品由乙生產(chǎn)線生產(chǎn)為事件，根據(jù)題意得，因?yàn)椋一コ?所以根據(jù)全概率公式可得，.故答案為：【變式2-3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）有甲、乙、丙三個(gè)廠家生產(chǎn)同種規(guī)格的產(chǎn)品，甲、乙、丙三個(gè)廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率分別為、、，已知甲、乙、丙三個(gè)廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)所占比例為，將三個(gè)廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品混放在一起，從混合產(chǎn)品中任取件．（1）求這件產(chǎn)品為合格品的概率；（2）已知取到的產(chǎn)品是合格品，問它是哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性最大？【答案】（1）；（2）這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可能性最大（2）計(jì)算出、、的值，比較大小后可得出結(jié)論.【解析】（1）設(shè)事件表示取到的產(chǎn)品為合格品，、、分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)．則，且、、兩兩互斥，由已知，，，，，，由全概率公式得.（2）由貝葉斯公式得，．．所以，，故這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可能性最大．【變式2-4】（2023春·福建南平·高二?？茧A段練習(xí)）某同學(xué)買了7個(gè)盲盒，每個(gè)盲盒中都有一個(gè)禮物，有4個(gè)裝小兔和3個(gè)裝小狗．（1）依次不放回地從中取出2個(gè)盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；（2）依次不放回地從中取出2個(gè)盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)事件“第次取到的是小兔盲盒”，．∵，，∴，即第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率為．（2）設(shè)事件“第次取到的是小狗盲盒”，．∵，，，∴由全概率公式，可知第次取到的是小狗盲盒的概率為．【變式2-5】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）三部機(jī)器生產(chǎn)同樣的零件，其中機(jī)器甲生產(chǎn)的占，機(jī)器乙生產(chǎn)的占，機(jī)器丙生產(chǎn)的占.已知機(jī)器甲、乙、丙生產(chǎn)的零件分別有、和不合格，現(xiàn)從總產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一個(gè)零件，求：（1）它是不合格品的概率；（2）若它是不合格品，則它是由哪一部機(jī)器生產(chǎn)出來的可能性大．（計(jì)算說明理由）【答案】（1）；（2）它是由機(jī)器甲生產(chǎn)出來的可能性大，理由見解析【解析】（1）設(shè)、、分別表示事件：任取的零件為甲、乙、丙機(jī)器生產(chǎn)的，B表示事件：抽取的零件是不合格品，由題意可知，，，，，，則，所以它是不合格品的概率為.（2），，，因?yàn)椋运怯蓹C(jī)器甲生產(chǎn)出來的可能性大.題型三離散型隨機(jī)變量的均值與方差【例3】（2023春·河北邯鄲·高二?？计谥校┘?乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每局比賽都沒有平局（必須分出勝負(fù)），且每一局甲贏的概率都是，隨機(jī)變量表示最終的比賽局?jǐn)?shù)，若的數(shù)學(xué)期望為，則（）A．B．C．D．或【答案】D【解析】隨機(jī)變量可能的取值為2，3．，，故的分布列為：23故，由，解得或．故選：D．【變式3-1】（2023春·湖北·高二校聯(lián)考期中）已知隨機(jī)變量的分布列如表，則的均值等于（）0123A．B．C．1D．2【答案】C【解析】由，得，則.故選：C【變式3-2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如果是離散型隨機(jī)變量，，則下列結(jié)論中正確的是（）．A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】因?yàn)?，又，所以，，則，.故選：D.【變式3-3】（2023春·江蘇無錫·高二江陰市華士高級中學(xué)校聯(lián)考期中）（多選）已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示，且滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】依題意，解得，所以的分布列為：－102P則，則；所以的分布列為：02P則，，所以；故選：ACD.【變式3-4】（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為，k=1，2，3，4，5．求，．【答案】，【解析】∵，，，∴，．題型四二項(xiàng)分布中的概率最值【例4】（2023春·江蘇南京·高二南京市雨花臺中學(xué)校聯(lián)考期中）某人投籃命中的概率為0.6，投籃14次，最有可能命中_______次．【答案】8或9【解析】投籃命中次數(shù)，設(shè)最有可能命中次，則，，或．最有可能命中8或9次．故答案為：8或9.【變式4-1】（2023春·山東煙臺·高二山東省招遠(yuǎn)第一中學(xué)?？计谥校┠橙嗽诖紊鋼糁袚糁心繕?biāo)的次數(shù)為，若，若最大，則__________【答案】8【解析】在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為，當(dāng)時(shí)對應(yīng)的概率，因?yàn)槿≈底畲?，所以，即，即，解得，因?yàn)榍遥?，即時(shí)概率最大．故答案為：【變式4-2】（2023春·山西太原·高二太原師范學(xué)院附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在一次以“二項(xiàng)分布的性質(zhì)”為主題的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，金陵中學(xué)高二某小組的學(xué)生表現(xiàn)優(yōu)異，發(fā)現(xiàn)的正確結(jié)論得到老師和同學(xué)們的一致好評．設(shè)隨機(jī)變量，記，，1，2，…，n．在研究的最大值時(shí)，該小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若為正整數(shù)，則時(shí)，，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值；若為非整數(shù)，當(dāng)k取的整數(shù)部分，則是唯一的最大值．以此為理論基礎(chǔ)，有同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)，當(dāng)投擲到第35次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)5次，若繼續(xù)再進(jìn)行65次投擲試驗(yàn)，則當(dāng)投擲到第100次時(shí)，點(diǎn)數(shù)1一共出現(xiàn)的次數(shù)為______的概率最大．【答案】15或16【解析】繼續(xù)再進(jìn)行65次投擲實(shí)驗(yàn)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，由，結(jié)合題中的結(jié)論可知，當(dāng)或時(shí)概率最大．即后面65次中出現(xiàn)11或10次點(diǎn)數(shù)1的概率最大，加上前面35次中的5次．所以出現(xiàn)15或16次的概率最大．故答案為：15或16【變式4-3】（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某醫(yī)藥企業(yè)使用新技術(shù)對某款血夜試劑進(jìn)行試生產(chǎn).（1）在試產(chǎn)初期，該款血液試劑的I批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動(dòng)檢測與人工抽檢.已知該款血夜試劑在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為.①求批次I的血液試劑經(jīng)過前三道工序后的次品率；②第四道工序中智能自動(dòng)檢測為次品的血液試劑會被自動(dòng)淘汰，合格的血液試劑進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).已知批次I的血液試劑智能自動(dòng)檢測顯示合格率為，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)血液試劑恰為合格品的概率（百分號前保留兩位小數(shù)）；（2）已知某批次血液試劑的次品率為，設(shè)100個(gè)血液試劑中恰有1個(gè)為不合格品的概率為，求的最大值點(diǎn).【答案】（1）①②；（2）【解析】（1）①批次Ⅰ的血夜試劑經(jīng)過前三道工序后的次品率為②設(shè)批次Ⅰ的血夜試劑智能自動(dòng)檢測合格為事件A，人工抽檢合格為事件B，由已知得則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)血液試劑恰為合格品為事件，.（2）100個(gè)血液試劑中恰有1個(gè)不合格的概率因此，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí).所以的最大值為.題型五求二項(xiàng)分布的分布列【例5】（2023春·山東煙臺·高二統(tǒng)考期中）某精密儀器生產(chǎn)廠家計(jì)劃對本廠工人進(jìn)行技能考核，方案如下：每名工人連續(xù)生產(chǎn)出10件產(chǎn)品，若經(jīng)檢驗(yàn)后有不低于9件的合格產(chǎn)品，則將該工人技能考核評為合格等次，考核結(jié)束；否則，將不合格產(chǎn)品交回該工人，調(diào)試后經(jīng)再次檢驗(yàn)，若全部合格，則將該工人技能考核評為合格，考核結(jié)束，否則，將該工人技能考核評為不合格，需脫產(chǎn)進(jìn)行培訓(xùn)．設(shè)工人甲生產(chǎn)或調(diào)試每件產(chǎn)品合格的概率均為，且生產(chǎn)或調(diào)試每件產(chǎn)品是否合格互不影響．（1）求工人甲只生產(chǎn)10件產(chǎn)品即結(jié)束考核的概率；（2）若X表示工人甲生產(chǎn)和調(diào)試的產(chǎn)品件數(shù)之和，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)甲生產(chǎn)10件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為，則，則，所以甲只生產(chǎn)10件產(chǎn)品即結(jié)束考核的概率.（2）由（1）可知：，，可得隨機(jī)變量的期望，故，由題意可得：，或，則，故隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.【變式5-1】（2023·云南昆明·昆明市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測）某商場為了回饋廣大顧客，設(shè)計(jì)了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在抽獎(jiǎng)箱中放10個(gè)大小相同的小球，其中5個(gè)為紅色，5個(gè)為白色.抽獎(jiǎng)方式為：每名顧客進(jìn)行兩次抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)從抽獎(jiǎng)箱中一次性摸出兩個(gè)小球.如果每次抽獎(jiǎng)摸出的兩個(gè)小球顏色相同即為中獎(jiǎng)，兩個(gè)小球顏色不同即為不中獎(jiǎng).（1）若規(guī)定第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱，再進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）若規(guī)定第一次抽獎(jiǎng)后不將球放回抽獎(jiǎng)箱，直接進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.（3）如果你是商場老板，如何在上述問兩種抽獎(jiǎng)方式中進(jìn)行選擇？請寫出你的選擇及簡要理由.【答案】（1）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：（3）答案見解析【解析】（1）若第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱，再進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)的概率為，因?yàn)閮纱纬楠?jiǎng)相互獨(dú)立，所以中獎(jiǎng)次數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，所以的所有可能取值為，則，，所以的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望為.（2）若第一次抽獎(jiǎng)后不將球放回抽獎(jiǎng)箱，直接進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)次數(shù)的所有可能取值為，則，，，所以的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望為.（3）因?yàn)椋?）（2）兩問的數(shù)學(xué)期望相等，第（1）問中兩次獎(jiǎng)的概率比第（2）問的小，即，第（1）不中獎(jiǎng)的概率比第問小，即，回答一：若商場老板希望中兩次獎(jiǎng)的顧客多，產(chǎn)生宣傳效應(yīng)，則選擇按第（2）問方式進(jìn)行抽.回答二：若商場老板希望中獎(jiǎng)的顧客多，則選擇按第（1）問方式進(jìn)行抽獎(jiǎng).【變式5-2】（2023春·江蘇南京·高二南京市第十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一盒子中有8個(gè)大小完全相同的小球，其中3個(gè)紅球，4個(gè)白球，1個(gè)黑球.（1）若不放回地從盒中連續(xù)取兩次球，每次取一個(gè)，求在第一次取到紅球的條件下，第二次也取到紅球的概率；（2）若從盒中有放回的取球3次，求取出的3個(gè)球中白球個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】（1）設(shè)事件A=“第一次取到紅球”，事件B=“第二次取到紅球”，由于是不放回地從盒中連續(xù)取兩次球，每次取一個(gè)，所以第一次取球有8種方法，第二次取球是7種方法，一共的基本事件數(shù)是56，由于第一次取到紅球有3種方法，第二次取球是7種方法，，一次取到紅球有3種方法，第二次取到紅球有2種方法，，;（2）由題可知白球個(gè)數(shù)，且有，，故的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望為：.【變式5-3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）新疆棉以絨長、品質(zhì)好、產(chǎn)量高著稱于世．現(xiàn)有兩類以新疆長絨棉為主要原材料的均碼服裝，A類服裝為純棉服飾，成本價(jià)為120元/件，總量中有30%將按照原價(jià)200元/件的價(jià)格銷售給非會員顧客，有50%將按照8.5折的價(jià)格銷售給會員顧客．B類服裝為全棉服飾，成本價(jià)為160元/件，總量中有20%將按照原價(jià)300元/件的價(jià)格銷售給非會員顧客，有40%將按照8.5折的價(jià)格銷售給會員顧客．這兩類服裝剩余部分將會在換季促銷時(shí)按照原價(jià)6折的價(jià)格銷售給顧客，并能全部售完．（1）設(shè)A類服裝單件銷售價(jià)格為元，B類服裝單件銷售價(jià)格為元，分別寫出兩類服裝單件銷售價(jià)格的分布列，并通過計(jì)算比較這兩類服裝單件收益的期望（收益=售價(jià)-成本）的大?。唬?）某服裝專賣店店慶當(dāng)天，全場A，B兩類服裝均以會員價(jià)銷售，假設(shè)每位來店購買A，B兩類服裝的顧客只選其中一類購買，每位顧客限購1件，且購買了服裝的顧客中購買A類服裝的概率均為．已知該店店慶當(dāng)天這兩類服裝共售出5件，設(shè)X為該店當(dāng)天所售服裝中B類服裝的件數(shù)，若，求n的所有可能取值．【答案】（1）分布列見解析，B類服裝單件收益的期望大；（2）n可取的值為0，1，2．【解析】（1）依題意，的可能值為200，170，120，，的分布列為：200170120P0.30.50.2的期望，的可能值為300，255，180，，的分布列為：300255180P0.20.40.4的期望，設(shè)A類服裝、B類服裝的單件收益分別為元，元，則，，（元），（元），，所以B類服裝單件收益的期望大.（2）依題意，的可能值為0，1，2，3，4，5，顯然，，，，，，，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，n可取的值為0，1，2．【變式5-4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）食品安全問題越來越受到人們的重視，某超市在某種蔬菜進(jìn)貨前，要求食品安檢部門對每箱蔬菜進(jìn)行三輪各項(xiàng)指標(biāo)的綜合檢測，只有三輪檢測都合格，蔬菜才能在該超市銷售．已知每箱這種蔬菜第一輪檢測不合格的概率為，第二輪檢測不合格的概率為，第三輪檢測合格的概率為，每輪檢測只有合格與不合格兩種情況，且各輪檢測是否合格相互之間沒有影響．（1）求每箱這種蔬菜不能在該超市銷售的概率；（2）如果這種蔬菜能在該超市銷售，則每箱可獲利400元，如果不能在該超市銷售，則每箱虧損200元，現(xiàn)有4箱這種蔬菜，求這4箱蔬菜總收益的分布列．【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】（1）記Ai(i＝1，2，3)分別為事件“第一、二、三輪檢測合格”，A為事件“每箱這種蔬菜不能在該超市銷售”．由題設(shè)知P(A1)＝1－＝，P(A2)＝1－＝，P(A3)＝，所以P(A)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)＝1－××＝．（2）設(shè)這4箱蔬菜的總收益為隨機(jī)變量X，則X的所有可能取值為1600，1000，400，－200，－800，且P(X＝1600)＝，P(X＝1000)＝，P(X＝400)＝，P(X＝－200)＝，P(X＝－800)＝．故X的分布列為X16001000400－200－800P題型六求超幾何分布的分布列【例6】（2023春·山東煙臺·高二萊州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在全民抗擊新冠疫情期間，某校開展了“停課不停學(xué)”活動(dòng)，一個(gè)星期后，某校隨機(jī)抽取了100名居家學(xué)習(xí)的高二學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間(單位：)的頻率分布直方圖如下，若被抽取的這100名學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)時(shí)間不低于8小時(shí)有30人.（1）求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)的值；（2）每天學(xué)習(xí)時(shí)間在的7名學(xué)生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽2人進(jìn)行電舌訪談，已知抽取的學(xué)生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；(3)依據(jù)所抽取的樣本，從每天學(xué)習(xí)時(shí)間在和的學(xué)生中按比例分層抽樣抽取8人，再從這8人中選3人進(jìn)行電話訪談，求抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在的人數(shù)分布和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1），；（2）；（3）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】（1）.，解得.（2）已知抽取的學(xué)生有男生，則抽取的2人恰好為一男一女的概率為.（3）每天學(xué)習(xí)時(shí)間在和的學(xué)生比例為，所以在的學(xué)生中抽取人，在的學(xué)生中抽取人.再從這8人中選3人進(jìn)行電話訪談，抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在的人數(shù)的取值為，，，，所以的分布列如下：數(shù)學(xué)期望.【變式6-1】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？计谥校┠钞a(chǎn)品按照產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分為1等品、2等品、3等品、4等品四個(gè)等級．某采購商從采購的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100個(gè)，根據(jù)產(chǎn)品的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到下面柱狀圖：（1）若將頻率視為概率，從采購的產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3個(gè)，求恰好有1個(gè)4等品的概率；（2）按分層抽樣從這100個(gè)產(chǎn)品中抽取10個(gè)．現(xiàn)從這10個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3個(gè)，記這3個(gè)產(chǎn)品中1等品的數(shù)量為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析；期望為【解析】（1）從采購的產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3個(gè)，記4等品的數(shù)量為，由已知取1個(gè)產(chǎn)品為4等品的概率為，依題意，，則，即恰好有1個(gè)4等品的概率為；（2）分層抽樣從這100個(gè)產(chǎn)品中抽取10個(gè)產(chǎn)品中，1等品的有個(gè)，非1等品的有個(gè)，依題意，0，1，2，3，，，，，則的分布列為：0123．【變式6-2】（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期中）某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)的選擇一家餐廳用餐.如果第一天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6，如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.（1）計(jì)算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率；（2）王同學(xué)某次在A餐廳就餐，該餐廳提供5種西式點(diǎn)心，n種中式點(diǎn)心，王同學(xué)從這些點(diǎn)心中選擇三種點(diǎn)心，記選擇西式點(diǎn)心的種數(shù)為，求n的值使得最大.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）設(shè)“第1天去餐廳用餐”，“第1天去餐廳用餐”，“第2天去餐廳用餐”，根據(jù)題意得，，，由全概率公式，得：，所以，王同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率為.（2）由題意，的可能取值有：，由超幾何分布可知，令，又，所以，可得，解得，易知當(dāng)和時(shí)，的值相等，所以當(dāng)或時(shí)，有最大值為，即當(dāng)?shù)闹禐榛驎r(shí)，使得最大.【變式6-3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）2022年底，新冠病毒肆虐全國，很多高三同學(xué)也都加入羊羊行列．某校參加某次大型考試時(shí)采用了線上考試和線下考試兩種形式．現(xiàn)隨機(jī)抽取200名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績做分析，其中線上人數(shù)占40%，線下人數(shù)占60%，通過分別統(tǒng)計(jì)他們的數(shù)學(xué)成績得到了如下兩個(gè)頻率分部直方圖：其中稱為合格，稱為中等，稱為良好，稱為優(yōu)秀，稱為優(yōu)異．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這200名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分（同一組數(shù)據(jù)可取該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）現(xiàn)從這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取一名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)榱己?，試分析他是來自線上考試的可能性大，還是來自線下考試的可能性大．（3）現(xiàn)從樣本中線下考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取10名同學(xué)，且抽到k個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?yōu)橹械鹊目赡苄宰畲螅嚽髃的值．【答案】（1）分；（2）來自線下考試的可能性大，理由見解析；（3）.【解析】（1）線上同學(xué)平均分分；線下同學(xué)平均分分；又200名同學(xué)，線上人數(shù)占40%，線下人數(shù)占60%，所以所有200名同學(xué)的平均分分.（2）線上同學(xué)成績良好人數(shù)為人，線下同學(xué)成績良好人數(shù)為人，所以抽取數(shù)學(xué)成績?yōu)榱己?，且，故線下的可能性大.（3）由線下成績中等同學(xué)人數(shù)為人，其它同學(xué)人，所以從線下學(xué)生中隨機(jī)抽取10名同學(xué)，抽到k個(gè)學(xué)生的成績?yōu)橹械鹊母怕?，且，要使最大，則，即，所以，則，故.題型七正態(tài)分布對稱性的應(yīng)用【例7】（2023春·河南鄭州·高二鄭州市第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）在某項(xiàng)測試中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布，若，則（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4【答案】B【解析】由題意可知，變量所作的正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，則，，故.故選：B.【變式7-1】（2023春·河北·高二校聯(lián)考期中）（多選）在某次數(shù)學(xué)測試中，學(xué)生的成績，則（）A．B．若越大，則越大C．D．【答案】AC【解析】因?yàn)?，所以，A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，B不正確；因?yàn)?，所以，C正確；根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，D不正確.故選：AC.【變式7-2】（2023春·山東濱州·高二統(tǒng)考期中）某超市熱銷的一種袋裝面粉質(zhì)量X（單位：kg）服從正態(tài)分布且滿足，若從該超市中任意抽取一袋這種面粉，則其質(zhì)量在kg之間的概率為_________.【答案】/【解析】由于袋裝面粉質(zhì)量X（單位：kg）服從正態(tài)分布且滿足，故，則，故從該超市中任意抽取一袋這種面粉，則其質(zhì)量在kg之間的概率為，故答案為：【變式7-3】（2022·高二單元測試）“世界雜交水稻之父”袁隆平發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系．某水稻種植研究所調(diào)查某地雜交水稻的株高，得出株高（單位：cm）服從正態(tài)分布，其分布密度函數(shù)，，則（）A．該地雜交水稻的平均株高為100cmB．該地雜交水稻株高的方差為10C．該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多D．隨機(jī)測量該地的一株雜交水稻，其株高在和在的概率一樣大【答案】AC【解析】因?yàn)檎龖B(tài)分布密度函數(shù)為，所以，，即均值為100，標(biāo)準(zhǔn)差為10，方差為100，故A正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)正態(tài)曲線的特征可知函數(shù)關(guān)于軸對稱，故該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多，C正確，隨機(jī)測量該地的一株雜交水稻，其株高在和在的概率一樣大.故D錯(cuò)誤．故選：AC.【變式7-4】（2021春·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）某校統(tǒng)計(jì)了高三年級全體學(xué)生利用假期參加社會實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間X（單位：小時(shí)）.根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)X近似服從正態(tài)分布，且，該校高三年級學(xué)生利用假期參加社會實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間在的人數(shù)為1600，估計(jì)該校高三年級的學(xué)生人數(shù)為______.【答案】2000【解析】X近似服從正態(tài)分布，故，，估計(jì)該校高三年級的學(xué)生人數(shù)為.【變式7-5】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量，且正態(tài)分布密度函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，在上是嚴(yán)格減函數(shù)，．（1）求參數(shù)、的值；（2）求．（結(jié)果精確到0.01%）【答案】（1），；（2）【解析】（1）由題意得，正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，即參數(shù)．又，結(jié)合，可知．（2）．因?yàn)?，所以，可得．又因?yàn)?，所以．所以．題型八正態(tài)分布的綜合應(yīng)用【例8】（2023春·山東煙臺·高二統(tǒng)考期中）全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，最艱巨最繁重的任務(wù)仍然在農(nóng)村，強(qiáng)國必先強(qiáng)農(nóng)，農(nóng)強(qiáng)方能國強(qiáng)．某市為了解當(dāng)?shù)剞r(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，隨機(jī)抽取該地2000戶農(nóng)戶家庭年收入x（單位：萬元）進(jìn)行調(diào)查，并繪制得到如下圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）．（2）由直方圖可認(rèn)為農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．①估計(jì)這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數(shù)？（結(jié)果保留整數(shù)）②如果用該地區(qū)農(nóng)戶家庭年收入的情況來估計(jì)全市農(nóng)戶家庭年收入的情況，現(xiàn)從全市農(nóng)戶家庭中隨機(jī)抽取4戶，即年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)為，求．（結(jié)果精確到0.001）附：①；②若，則，；③．【答案】（1），；（2）①317戶；②【解析】（1）這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù).這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本方差.（2）①農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數(shù)為317.②年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)服從二項(xiàng)分布.所以.【變式8-1】（2021春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期末）2020年10月，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見》，各地各校積極開展中小學(xué)健康促進(jìn)行動(dòng)，發(fā)揮以體育智、以體育心功能.某中學(xué)初三年級對全體男生進(jìn)行了立定跳遠(yuǎn)測試，計(jì)分規(guī)則如下表：立定跳遠(yuǎn)（厘米）得分3.544.555.56該年級組為了了解學(xué)生的體質(zhì)，隨機(jī)抽取了100名男生立定跳遠(yuǎn)的成績，得到如下頻率分布直方圖.（1）現(xiàn)從這100名男生中，任意抽取2人，求兩人得分之和不大于7.5分的概率（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）；（2）若該校初三年級所有男生的立定跳遠(yuǎn)成績服從正態(tài)分布.現(xiàn)在全年級所有初三男生中任取3人，記立定跳遠(yuǎn)成績在215厘米以上（含215厘米）的人數(shù)為5，求隨機(jī)變量5的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若本市25000名初三男生在某次測試中的立定跳遠(yuǎn)成績服從正態(tài)分布.考生甲得知他的實(shí)際成績?yōu)?23厘米，而考生乙告訴考生甲：“這次測試平均成績?yōu)?10厘米，218厘米以上共有570人”，請結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識幫助考生甲辨別考生乙信息的真?zhèn)?附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.【答案】（1）；（2）分布列見解析，；（3）答案見解析.【解析】（1）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，兩人得分之和不大于7.5分，即兩人得分均為3.5分，或兩人中1人3.5分，1人4分，由題意知：得3.5分的分?jǐn)?shù)為6人，得4分的人數(shù)為9人，所以兩人得分之和不大于7.5分的概率為：.（2）依題意，得∴，∴∴，，∴的分布列為：0123（3）假設(shè)考生乙所說為真，則，，而，所以，從而，而，所以為小概率事件，即甲同學(xué)的成績?yōu)?23厘米是小概率事件，可為其不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認(rèn)為乙同學(xué)所說為假【變式8-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）為了更好地做好個(gè)人衛(wèi)生，某市衛(wèi)生組織對該市市民進(jìn)行了網(wǎng)絡(luò)試卷競答，制定獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：試卷滿分為100分，成績在分內(nèi)的市民獲二等獎(jiǎng)，成績在分內(nèi)的市民獲一等獎(jiǎng)，其他成績不得獎(jiǎng)．隨機(jī)抽取了50名市民的答題成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖．（1）現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取2名市民的成績，求這2名市民中恰有1名市民獲獎(jiǎng)的概率．（2）若該市所有市民的答題成績X近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：①若該市某小區(qū)有3000名市民參加了試卷競答，試估計(jì)成績不低于93分的市民數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；②若從該市所有參加了試卷競答的市民中（參加試卷競答市民數(shù)大于300000）隨機(jī)抽取4名市民進(jìn)行座談，設(shè)其中競答成績不低于69分的市民數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．【答案】（1）；（2）①該市某小區(qū)參加試卷競答成績不低于93分的市民數(shù)約為68；②分布列見解析，2【解析】（1）由樣本頻率分布直方圖，得樣本中獲一等獎(jiǎng)的有（人），獲二等獎(jiǎng)的有（人），所以有8人獲獎(jiǎng)，42人沒有獲獎(jiǎng)．從該樣本中隨機(jī)抽取2名市民的成績，樣本點(diǎn)總數(shù)為．設(shè)抽取的2名市民中恰有1名市民獲獎(jiǎng)為事件A，則事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．由古典概型概率計(jì)算公式，得，所以抽取的2名市民中恰有1名市民獲獎(jiǎng)的概率為．（2）由樣本頻率分布直方圖，得樣本平均數(shù)的估計(jì)值．故該市所有參加試卷競答的市民成績X近似服從正態(tài)分布．①因?yàn)椋裕?，故該市某小區(qū)參加試卷競答成績不低于93分的市民數(shù)約為68．②由，得，即從該市所有參加試卷競答的市民中隨機(jī)抽取1名市民，其成績不低于69分的概率為，所以隨機(jī)變量．隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，4．，，，，，隨機(jī)變量的分布列如下：01234P所以．【變式8-3】（2023·山西朔州·統(tǒng)考二模）2022年河南?陜西?山西?四川?云南?寧夏?青海?內(nèi)蒙古8省區(qū)公布新高考改革方案，這8省區(qū)的新高中生不再實(shí)行文理分科，今后將采用“3+1+2”高考模式.“3+1+2”高考模式是指考生總成績由全國統(tǒng)一高考的語文?數(shù)學(xué)?外語3個(gè)科目成績和考生選擇的3科普通高中學(xué)業(yè)水平選擇性考試科目成績組成，滿分為750分.“3”是三門主科，分別是語文?數(shù)學(xué)?外語，這三門科目是必選的；“1”指的是要在物理?歷史里選一門，按原始分計(jì)入成績；“2”指考生要在生物學(xué)?化學(xué)?思想政治?地理4門中選擇2門，但是這幾門科目不以原始分計(jì)入成績，而是等級賦分.（1）若按照“3+1+2”模式選科，求選出的六科中含有“語文，數(shù)學(xué)，外語，歷史，地理”的概率；（2）某教育部門為了調(diào)查學(xué)生語數(shù)外三科成績與選科之間的關(guān)系，現(xiàn)從當(dāng)?shù)夭煌瑢哟蔚膶W(xué)校中抽取高一學(xué)生4000名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡(luò)測試?滿分450分，并給前640名頒發(fā)榮譽(yù)證書，假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測試成績服從正態(tài)分布.①考生甲得知他的成績?yōu)?60分，考試后不久了解到如下情況：“此次測試