2023年貴州考研數(shù)學(xué)三試題及答案（真題）

2023年貴州考研數(shù)學(xué)三試題及答案

一、選擇題：1~10小題,每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)

是最符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.

1.已知函數(shù)/（乂?。?缶（尹|高”|）,則（）.

A.?不存在，?存在BW存在，或不存在

OX（OJ）②（0.1）dX(0.1)②((M)

C.?存在，笠存在D.g不存在，?不存在

Gx（0,1）8（0,1）dX(0,1)②(OJ)

【答案】A.

【解析】由已知/(x,y)=ln(y+1xsiny∣),則

/(x,l)=ln(l+∣xsinl∣)，f(0,y)=lny.

,

當(dāng)x>0時(shí)，/(%,l)=ln(l+xsinl),爪，d∕α,D=sinl;

?x

A=O

af(χ,i)

當(dāng)x<0時(shí)，/(x,l)=ln(l-xsinl),=-sinl;

OXdx

(0,1)A-O

所以不存在.

又中(χ,y)df(O,y)

=1,ffi?

(0.1)?7

>-1

故選A.

I,j,,,X≤0

2.函數(shù)/O)=Ji77的一個(gè)原函數(shù)為().

I(Λ+1)COSX,X>0

In(+x2-xj,x≤O

A.F(x)=<

(X+1)cosx-sin?,?>0

In(71+?2-X)+Lx≤O

B.F(X)=

(x+1)cosX-SinMX>0

ln[?/l+^2-x),x≤0

C.F(x)=]?/

(x+1)sinx+cos%,x>0

In(Jl+X?+xj+l,x<O

D.尸(X)=,

(x+I)Sinx+cosx,x>0

【答案】D.

【解析】由已知Iim/(x)=Iimf(x)=/(0)=l,BP∕(x)連續(xù).

Λ→0+x→0~

所以F(X)在X=O處連續(xù)且可導(dǎo)，排除A,C.

又工>0時(shí)，[(x÷1)cosX-sinx↑=cosx-(x÷1)sinx-cosx=-(x+1)sinxl

排除B.

故選D.

3.若y"+αy'+Λy=O的通解在(F,+∞)上有界，則().

A.aV0,b>0B.α>0,?>0

C.a=O,b<OD.a=O,b>O

【答案】D.

【解析】微分方程y"+ay'+by=O的特征方程為r2+ar+b=O.

C--X?∣4-hcΓJ4b一〃

①若,則通解為v

/-4b<0y(x)=e2'(C∣cos^^x+C2sin2x);

(a?'j4b-a2)(a?∣4b-a2)

②若/一,則通解為2i22

4b>oy(χ)=cj2+C2JJ;

a

③若/一4人=0,則通解為y(x)=(C,+C2x)e~^'.

由于y(x)在(-8,M)上有界，若-?∣>0,則①②③中X→E時(shí)通解無(wú)界，若-5<0，

則①②③中x→-∞時(shí)通解無(wú)界，故α=0.

α=0時(shí)，若。>0,貝!J/2=〃/，通解為MX）=（GCoS石X+C?sinGx）,在（一∞,+oo）

上有界.

α=O時(shí)，若b<O,則％=，通解為VO）=Ge而+Qe-瘋，在（-∞,+∞）上無(wú)界

綜上可彳導(dǎo)α=O,b>0.

CCCC8CC

4.設(shè)q,<么，且?>“與收斂，絕對(duì)收斂是?“絕對(duì)收斂的（）.

〃=1n=lW=In=1

A,充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既非充分又非必要條件

【解析】由已知條件可知￡3“-4）為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，進(jìn)而￡s,-??）絕對(duì)收斂.

〃=1π=l

設(shè)絕對(duì)收斂，則由同=W-4+4閆么一%|+|%|與比較判別法,得∑bn

M=I/1=1

絕對(duì)收玫；

設(shè)絕對(duì)收斂，則由㈤=|見(jiàn)-2+勿區(qū)四-q|+同與比較判別法，得Sa.絕

n=l

對(duì)收斂.故選A.

（AE?

5.A,B為可逆矩陣，E為單位陣，AT為M的伴隨矩陣，則=

I。B）

??A?Bt-B*A*Λ"?B?At

Λ.B.

kO∣B∣A*;、O?A?B?

(\B\X^?A?B,-AB、

C.D.

、O?MB)kO?B?A?

【答案】B-

【解析】由于

7EVAEY_AE(E

BOβ[θ

、0)[B)O0?A??B?^

故

7E1*jAEY'Γ∣A∣∣β∣0、

、OB)=[θB)[O?A??B?^

JAT-A-lβ-'V∣A∣∣β∣O、

=、0B'J〔OIAIlBL

_r?A?ATl?B?-∣A∣A-1∣β∣β^p

一、OB-'∣A∣∣B∣,

(A^?B?-ABy

=、OB*?A?γ'

故選B..

2

6./(x1,?,x3)=(x1+x2)+(x1+F)2-4(%2-*3)2的規(guī)范形為

2222

A.Ji+貨B.γl-y[C.γl+￥-4y；D.y∣+y1-y]

【答案】B

22

【解析】/(x1,x2,x3)=(x1+X2)+(X1+X3)-4(X2-X3)

2-3%2-+8xx,

=2XI+2ΛI(xiàn)Λ2+2X1X323

211

二次型的矩陣為A1-34

14

-3√

2-2112-210

?A-λE?=1-3-Λ4=(∕l+7)1—3—Λ1

14—3—Λ14-1

2-λ10

=(4+7)21-20=-2(2+7)(2-3)=0,

14-1

4=3,4=-7,4=0,故規(guī)范形為A-,故選B.

T

7.已知向量組α∣=2,4,若/既可由四,4線性表示，

B,

又可由以血線性表示，則V=()

'3、

B.k5,k￡R

2

r-P

C.k1，kGR

J,

【答案】D.

[解析】設(shè)y=Kal+k2a2=kiβi+k4β2,則klai+k2a2-kiβi-k4β2=O,對(duì)關(guān)于

kl,k2,%,h的方程組的系數(shù)矩陣作初等變換化為最簡(jiǎn)形,

"12-2-Γ'1003、

A=(ai,a2,-βi,-β2)=21-50→010-1

(31-9-1；、0°11>

ττττ

解得(?1Λ2,?Λ4)=C(-3,l,-l,l)+(3,-l,l,0)=(3-3C,-l+C,l-C,C),故

"I-C[

《

γ-?α+ka=(3—3C)a+(C-l)a=5(1-C)=5?,k≡R.

l122l2.8(1-C)J[s)

8.設(shè)X服從參數(shù)為1的泊松分布，則E(?X-E(X)I)=().

【答案】C.

【解析】方法一：由已知可得，P{X=k}=^-(k=0,1,2,),E(X)=I,故

k?

E(IX-E(X)D=E(IX-H)==e-∣

k=ok!A=O%!

2

=2e^'+fi(X-l)=-.

e

故選c.

x

方法二：由于e'=￡匚e-Y-I

于是

Mk!X

OOk

kx-'X(x-l)ev+l

=Y

ΣX2

A=I(4+1)!U?(Z+1)!

由已知可得，P{X=k}=^-(k=0,?,2,),E(X)=I,故

k?

Hk

E(IX-E(X)I)=E(IX-11)=e-∣+e-七(-D---=eJ+e"ιy--------

k=lk?金伏+1)!

v

-1-1U-l)e+ll

=e+e2—e-'+e'=—

X1e

E(IX-E(X)I)=E(Iy∣)=[e-1+E(Y)]=e^l+E(X)-I=e^'.

故選C.

9.設(shè)X∣,X2,,X,,為來(lái)自總體N(M,/)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，匕包,，匕,為來(lái)自總體

一1〃_1"J

9〃2,2/)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且兩樣本相互獨(dú)立，記乂=?12乂-γ=-tγil

〃Z=I機(jī)/=I

1___1相_

Si不―F(E則()

S2

A.或F(n,m)B.-?-F(π-l,m-l)

2

S2

2S22V2

C.1F(n,m)D.—5-F(n-l,m-l)

邑

【答案】D.

-DSj匕(加一1?2匚相互獨(dú)立，且

【解析】由兩樣本相互獨(dú)立可得

2

σ^2σ

…r(rt-i),?t-z‰-D,

σ^2σ~

(n-l)S.2L八

?5-1)2s,2

因此7-3c7√7——=UR(〃一1,，”一1)，故選D.

(加_“邑?)S

((2

2σ2)

10.已知總體X服從正態(tài)分布N(μ,4),其中b>O為未知參數(shù)，x∣,X2為來(lái)自總體X

的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記S=α∣X∣-X2∣，若石。)=6,則α=().

A五B叵C.aD.?

22

【答案】A.

【解析】由與％,X?為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X1,X?相互獨(dú)立，且

2

X1NQId),X2N(μ,σ),

因而屈一乂2~以0,2"),令丫=乂「乂2,所以丫的概率密度為

?e2?2σ2

所以

郎W)=U3T?TEdy=2//產(chǎn)dy=居，

由E(G)=αE(∣X∣-X2∣)=σ,即

aE(?Y?)=a-=σ

y∣π

解得α=g,故選A.

2

二.填空題：1∏6小題,每小題5分,共30分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.

11.求極限IimX212-XSinL-COSU=____________

“eIxxJ

【答案】j2.

Csinz

2---------cost

X=-

【解析】Iimx*22-%Sinl-CoSjIl-Llim

XXr→0,2

1---s-i-n--r---------1〃2

.1-cosr.t.2V-sinr

I1im----∑------1FIim-∑—=Ii1m——+Iim-------

z→0產(chǎn)z→0產(chǎn)∕→0/∕→0r'

11

—I——

26

2

3-

12.已知函數(shù)/(Q)滿足d∕(x,y)=γ,且加1)得，則八"3)=

TT

【答案】-

【解析】由已知竽=K27*?7，則

-yλXzx

/(χ,y)=J97dr=-arctan-+φ(y),

廠+yy

所以))?=—；,孑+夕'(y),即/(y)=(),0(y)=C,

?yX2+y

XTTTT

從而"”)=-arctan丁C,又“1)二，解得C=5,故

/(x,y)二工一arctan'，/(?/?,3)=--arctan—=—

2y233

OO2n

B.y—

6(2〃)!

x

AΛ4-Q~

［答案］一

【解析】令S(X)=，則S(O)=I,且

to(2n)!

co2w-l

S3=自/'S'⑼=O，

QO2∕ι-2co2n

sa，='.-2)!=、西=S(X)'

從而可得微分方程S"(x)-S(X)=O,解得S(X)=Ce'，

又S(O)=i,s,(θ)=o,解得G=G=；，故

8Y2〃X,

SS氤子

14.某公司在r時(shí)刻的資產(chǎn)為/Q),則從0時(shí)刻到r時(shí)刻的平均資產(chǎn)等于四-，，假設(shè)

/?)連續(xù)且/(0)=(),貝U/Q)=

【答案】2(e,-r-l).

?'fWf(t)r/2

【解析】由已知可得蟲(chóng)------=--r,整理變形Jo/⑺出=?(r)-t2,

等式兩邊求導(dǎo)/(f)=∕'(f)-2r,gp,rω-∕ω=2r,解得一階線性微分方程通解為

∕ω=-2(f+l)+Ce,,

又/(0)=0,解得C=2,故/S=2(e'-f-1).

0r1+x3=1,

a01

x∣+g+占=0,

15.IJ3八有解，其中。涉為常數(shù)，若1a1=4,則

x+2X+以3=0，

l212a

axλ+bx2=2

1a1

12a

ab0

【答案】8

a011

1a1a01

1a10

【解析】方程組有解，則IAl=12a+21a10,故

12a0

h012

ab02

1a1

12a=8.

abO

16.設(shè)隨機(jī)變量X與丫相互獨(dú)立，且X3(l,p),y8(2,〃)，p∈(O,l)則X+Y

與X-丫的相關(guān)系數(shù)為.

【答案】二

3

【解析】由題意可得，r>(X)=p(l-p),。(丫)=2爪1一〃)，又由X與Y相互獨(dú)立可

知，D(X+Y)=D(X)+D(Y),故

CoV(X+匕X-丫)_________D(X)-D(Y)________

Pgf-S(X+Y)?JD(X-Y)-dD(X)+D(Y)yD(X)+D(Y5

=D(X)"(Y)=p(l-p)-2p(l-p)=」

—D(X)+D(Y)—p(l-p)+2p(l-p)一^3

三、解答題：17~22小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(本題滿分10分)

已知函數(shù)y=y(x)滿足cze'+γ2+y-ln(l+x)CoSy+。=0,且y(0)=0,/(0)=0.

(1)求α,6的值;

(2)判斷X=O是否為函數(shù)y=y(x)的極值點(diǎn).

【解】(1)將y(0)=0代入oe'+V+y—ln(l+X)CoSy+b=0得a+/?=。.

方程ɑe*+V+y-]n(l+X)cosy+b=0兩邊對(duì)X求導(dǎo)得

aex+2yy'+y'----!—cosy+ln(l+x)sin??y,=0,

1+x

將V(O)=O代入上式得。一1=0,解得α=l,0=T.

⑵由(1)知e'+2y∕+y'——!一cosy+ln(l+x)Siny?y'=0,上式兩邊再對(duì)X求導(dǎo)得

1+x

e'+N療+2W+>"+而嚴(yán)S"=Sg"'+----siny+ln(l+x)cosy?y,y'+ln(l+x)siny?y

1+x

將XO)=0,y'(0)=0代入上式得)，〃(0)=-2,所以X=0是函數(shù)y=y(x)的極大值點(diǎn).

18.(本題滿分12分)

1

已知平面區(qū)域。=<(χ,y)∣0≤y≤,無(wú)≥1》,

xj?+χ2

(1)求平面區(qū)域D的面積S.

⑵求平面區(qū)域D繞X一周所形成得旋轉(zhuǎn)體的體積

,any/?cΓ+°o1f^∑SCCtfτ1

［解］⑴S=I-,----1dx=---------d1/=~I

Jlx√l+x2j4tanZsecr匕sιnf

π?.π1

=∫J^-ηdt=-p---------ηdCoSt

*4sintjT4!-cost

1cCOoSs"r-11211√2+l

—1In-------=—In—7=——

2cost+1π2√2-l'

4

∣?+XI

(2)V=π?------∑-dx=

Jlx2(l+x2)

19.(本題滿分12分)

已知。={(刈。-+》金},求

31)22JJQd+y2-ildχdy.

D

【解】令則

2={(x,y)|(x-l)2+y2≤l,χ2+y2≤l},

∫∫∣7χ2÷/-Iklvdy

D

D-DiDI

222

+y-IjCUdy+2∫∫ɑ-λ∕x+yjdrdy

2cθ夕七加。-乃+*百+32-7萬(wàn)

=∫o"β2∫2'COSJ?"d°de=

~9~

2J3

20.(本題滿分12分)

設(shè)函數(shù)f(x)在?］上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù).

(1)證明：若/(())=。，存在J∈(一α,a),使得/"C)=4"(α)+∕(-。)］；

a

(2)若/(%)在(-a,a)上存在極值，證明：存在”(-α,α),使得

∣Γ(7)I≥A∣∕(Λ)-∕(-Λ)I?

2a

【證明】(D將/U)在％=0處展開(kāi)為

〃加八。)+，儂+等=〃。).+誓,

其中5介于0與X之間.

分別令x=-α和x=4,則

/(F)=F(O)(F)+V2,-a<ξ,<0,

/(.)=尸(0)(幻+/”孝2,Q<ξ2<a,

兩式相加可得

〃j”、Γ(?)+m)

f(-a)+f(a)=zaγ2------L?------=-,

又函數(shù)/(x)在［~a,a］上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由介值定理知存在?∈［?,?2］<=(-α,“)，使得

f④)9

即，C)=-I"(-。)+./W

a~

⑵設(shè)/G)在可處取得極值，則/'(%)=0.

將/(X)在Λo處展開(kāi)為

())

/(X)=/(?)+/'(Xo)(XTo)+)"弋一XOy=/(X)+rJ^~X°2,

0

其中5介于.％與X之間.

分別令X=-。和X=α,則

2

t..e..f"(ηi)(a+x0)

/(-?)=/(?)+-———~~—,~a<ηλ<X0,

2

((、、f?η2)(a-x0)

f(a)=f(x0)+------——,x0<η2<a,

兩式相減可得

_〃一G=f”(%)(a-XOY_/Si-"+--

八)八一22'

所以

22

I/(?)-/(-?)I=∕?)^-?)-Γ(7I)(^+?)

./"(7)∣(α+x°)2I""(%)∣(α-χo)2

22

22ff

≤[(?+?)+(?-?)Kl∕(7)I=max(∣Γ(71)∣JΓ(?)∣))

≤^^?3+x°)+(α—/)]2=2/"〃(〃)|,

gpI∏7)l≥?I/(?)-/(-?)I-

2a

21.(本題滿分12分)

X1+X2+X3、

設(shè)矩陣A滿足對(duì)任意的均有A

x1,x2,X34=2x1-x2+x3.

//

⑴求A

(2)求可逆矩陣尸與對(duì)角陣力,使得PTAP=4.

xi+x2+Xi、

【解】(DffiA?2X1-X2+??,得

?-?，

111、

Ax22-11

01-1

、77

111、Xl(\

即方程組A-2-11

0對(duì)任意的xi,x2,%3均成立，故A=2

-3

01-I7,0