2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第八章第5節(jié)　直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

第5節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

考綱要求1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)

性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單

命題.

知識(shí)分類落實(shí)回扣知識(shí)?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

如果一條直線/與平面α內(nèi)的任意直線都垂直,就說(shuō)直線/與平面α互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

LLa、

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相I-Lh

7

判定定理交直線都垂直,則該直線與此平aC?b=O>zz>∕±ɑ

面垂直gCg

bi>

i

兩直線垂直于同一個(gè)平面，那么aj_a\

性質(zhì)定理

這兩條直線平行

2.直線和平面所成的角

(1)定義：一條斜線和它在平面上的射影所成的銀魚叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一

條直線垂直于平面，則它們所成的角是直免；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成

的角是0°的角.

(2)范圍:[θ,∣]?

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角;

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂

直于棱的兩條射線,這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范圍：[O,π].

4.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂l±a]

判定定理

線，則這兩個(gè)平面互相垂直Lb

、

如果兩個(gè)平面互相垂直，則在一個(gè)a±β

a∏β=a

性質(zhì)定理平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直

I-La

于另一個(gè)平面

βbIU8,

?——常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

1.三個(gè)重要結(jié)論

(1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一

個(gè)重要方法).

(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.

2.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)

的無(wú)數(shù)條直線，就垂直于這個(gè)平面”.

3.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

a小正土判定定理“H壬士判定定理士

線線垂直性質(zhì)線面垂直性質(zhì)定理面面垂直

診斷自測(cè)

?■思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1)直線/與平面ɑ內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則/Lα.()

(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行.()

(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.()

(4)若平面ɑ內(nèi)的一條直線垂直于平面夕內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則α,..()

答案(I)X(2)×(3)×(4)×

解析(1)直線/與平面ɑ內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則有/La或/與α斜交或/Ua或/〃ɑ,

故⑴錯(cuò)誤.

(2)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交，故(2)錯(cuò)誤.

(3)若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平

行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi)，故(3)錯(cuò)誤.

(4)若平面ɑ內(nèi)的一條直線垂直于平面夕內(nèi)的所有直線，則α,萬(wàn)，故(4)錯(cuò)誤.

〉教材衍化

2.已知互相垂直的平面α,A交于直線/.若直線機(jī)，”滿足“〃α,”_1_4，貝!］（）

A.m//1B.m//nC.〃_!_/D.mA.n

答案C

解析由題意知，aC6=l,所以/U￡,因?yàn)椤ㄋ浴癠.

3.在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)0.

（1）若EI=PB=PC,則點(diǎn)。是AABC的心.

（2）若RIj_PB,PBlPC,PCVPA,則點(diǎn)。是448C的心.

答案⑴外⑵垂

解析（1）如圖1,連接。4,OB,OC,OP,在RtAPOA,RtZ?P0B和Rt△「（?C中，PA^

PB=PC,所以O(shè)A=OB=OC,即。為AABC的外心.

圖1

（2）如圖2,延長(zhǎng)A0,BO,CO分別交BC,AC,AB于H,D,G.因?yàn)镻C_LP4,PBLPC,

PA∩PB=P,所以PC-L平面PAB,又ABU平面PAB,所以PCLAB,因?yàn)镻OLAB,POHPC

=P,所以AB，平面PGC,又CGU平面PGC,所以ABLCG,即CG為aABC邊AB上的

高.同理可證8D,AH分別為AABC邊AC,8C上的高，即。為AABC的垂心.

圖2

〉考題體驗(yàn)

4.（2021?日照檢測(cè)）已知α,S表示兩個(gè)不同的平面，MJ為平面ɑ內(nèi)的一條直線，則"aJ_4"

是“帆」夕’的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析，葭Uα,mA-β^al.β,反過(guò)來(lái)，若，"Uα,aLβD#m1β（m"β或m與β斜交）,所以

,ta±β,'是"m邛”的必要不充分條件.

5.（2021?西安聯(lián)考）已知AB是圓柱上底面的一條直徑，C是上底面圓周上異于A,8的一點(diǎn),

。為下底面圓周上一點(diǎn)，且AC圓柱的底面，則必有（）

A.平面ABe，平面BCDB.平面BC￡>1.平面ACO

C.平面ABQ，平面AC。D.平面BCQ_L平面A8。

答案B

解析因?yàn)锳B是圓柱上底面的一條直徑，所以ACLBC,

又AO垂直于圓柱的底面，所以AQ"LBC,

因?yàn)锳C∩AO=A,所以BCj_平面4CD

由于BCU平面BCD.

所以平面BCDj"平面ACD.

6.（2018?全國(guó)I卷）在長(zhǎng)方體ABe。-AiBICIDI中，AB=BC=2,4C∣與平面BSGC所成的

角為30。，則該長(zhǎng)方體的體積為（）

A.8B.6√2C.8√2D.8√3

答案C

解析連接BG,因?yàn)锳BL平面BBlClC,所以NAGB=30。，AB±BCi,所以為直

角三角形.

又48=2,所以BCι=2√i

22

又BiG=2,所以ββ1=√（2√3）-2=2√2,

故該長(zhǎng)方體的體積V=2×2×2√2=8√2.

考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦?題型剖析

考點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì)師生共研

【例1】（2019?全國(guó)Il卷）如圖，長(zhǎng)方體ABC。-A^∣CQ∣的底面ABC。是正方形，點(diǎn)E在

棱AAl上，BE±ECi.

A

（1）證明：BEL平面EBIG;

（2）若AE=AE,48=3,求四棱錐E-BBIGC的體積.

⑴證明由已知得BICl_L平面ABBlAt,BEU平面ABBiAi,故BICJBE.又BE±ECi,

B∣C∣∩ECl=C∣,BiCl,EGU平面EBIG,所以BEjL平面EBlC∣.

⑵解由⑴知NBES=90°.

由題設(shè)知Rt?ABE^Rt?A∣BlE,

所以/AEB=/AIEBl=45。，

故AE=AB=3,AA↑—2,AE-6.

如圖，作EF_L8Bi,垂足為尸，則EF_L平面BBIGC,且EF=AB=3.

所以四棱錐E—BBICIC的體積V=∣×3×6×3=18.

感悟升華1.證明直線和平面垂直的常用方法有：

(1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(α〃仇“-La今6J?α);(3)面面平行的性質(zhì)(α~Lα,a∕∕β

≠,a±∕f);(4)面面垂直的性質(zhì)(aJL尸，aC?β=a,I±a,∕?∕J=>∕±a).

2.證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，

判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思路.

【訓(xùn)練1】如圖，在四棱錐P—ABC。中，用_L底面ABcD,AB±AD,AClCD,ZABC

=60。，PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).證明：

(I)CDlAE;

(2)PDJ_平面ABE

證明(1)在四棱錐P-A8C。中，

底面ABeO,COU平面ABa),

J.PALCD,

又?.?ACLCf),kPAHAC=A,

...C￡>_L平面PAC.

又AEU平面PAC,：.CDLAE.

(2)由抬=AB=BC,NABC=60。，可得AC=B4.

是尸C的中點(diǎn)，.,.AELPC.

由(1)知AE_LC。，且PCCCD=C,

.?.AE1,平面PCD.又PoU平面PCD,.?AE1,PD.

?.?∕?1^SABCD,ABC5FWABCD,：.PALAB.

又?.?AB_LAO,且B4Γ∣AC=A,

.?.AB1.平面力。，又POU平面以。，

：.ABA.PD.

ABQAE=A,；.PO_L平面ABE.

考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)師生共研

【例2】(2020?全國(guó)I卷)如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，0是圓錐底面的圓心，AABC是底面的

內(nèi)接正三角形，P為。。上一點(diǎn)，NAPC=90。.

(1)證明：平面以8_1_平面∕?C;

(2)設(shè)。0=√Σ圓錐的側(cè)面積為小兀，求三棱錐產(chǎn)一ABC的體積.

⑴證明由題設(shè)可知，PA=PB=PC.

由aABC是正三角形，

可得△/?C絲△/?8,∕?PAC^∕?PBC.

又NAPC=90°,故∕AP8=90°,ZBPC=90°.

從而PBLFA,PBLPC,又∕?,PeU平面∕?C,PAHPC=P,

故P3_L平面B4C,又PBU平面以8,

所以平面∕?B1.平面PAC.

(2)解設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為/,

由題設(shè)可得"=√5,P-r=2,解得r=l,∕=√3.

從而AB=yβ.

由⑴可得以2+尸82=4序，故必=PB=PC=坐.

所以三棱錐P—ABC的體積為

*∕??PB?PC=gx}x(半＞=鎏

3乙JZ?Z∕O

感悟升華1.判定面面垂直的方法主要是：

（1）面面垂直的定義；（2）面面垂直的判定定理（αJ"夕，a<^a^a±β）.

2.已知平面垂直時(shí)，解題一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，將問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

【訓(xùn)練2】（2021?安徽AIo聯(lián)盟檢測(cè)）如圖，在四棱錐4一BCDE中，AWE是邊長(zhǎng)為2的

等邊三角形，平面4￡>E_L平面BCE>E,底面Ba）E是等腰梯形，DE//BC,DE=ZjBC,BE

=Z）C=2,8O=2√5,點(diǎn)〃是。E邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上，且BN=3.

(1)證明：8￡>J_平面4MN；

(2)設(shè)BQnMN=G,求三棱錐A-BGN的體積.

(1)證明；ZSAOE是等邊三角形，M是OE的中點(diǎn)，

.?AM±DE.

又平面AZ)E_L平面BCDE,平面ADE∩平面BCDE=DE,

平面BCDE,

:BDU平面BCDE,.?AM±BD,

:MD=ME=1,BN=3,DE//BC,DE=^BC,

.?.MD^CN,二四邊形MNCQ是平行四邊形，

J.MN//CD.

又BD=2yβ,BC=4,CD=2,：.BD2+CDz=BC1,

：.BDLCD,：.BDLMN.

又AMCMN=M,；.8O_L平面AMN.

(2)解由(1)知AMl.平面BCDE,

二AM為三棱錐A-BGN的高.

?..△ADE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

33

.?.AM=Λ∕5.易知GN=ICD=亍

又由(1)知BDJ_MM.?.BG=y∣BN2-NG2=吟■.

.c=U義3=隨

???&BGN■N22,?28.

?AΛ∕=∣×^×√3=∣.

?,?VA-BGN=w

考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問(wèn)題多維探究

角度1平行與垂直關(guān)系的證明

【例3】如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A8C。為矩形，平面平面ABe￡>,PA

1PD,PA=-PD,E,尸分別為A。，PB的中點(diǎn).求證：

(I)PElBC;

(2)平面以BJ_平面PCD；

(3)EF〃平面PCD.

證明(1)因?yàn)椴?尸。，E為A。的中點(diǎn)，

所以PElAD.

因?yàn)榈酌鍭BCQ為矩形，所以BC〃AD

所以PELBC.

(2)因?yàn)榈酌鍭BC。為矩形，所以ABLAD

又因?yàn)槠矫娌糄_L平面ABC￡),平面∕?O∩平面ABCO=AC,Aβ?jF≡ABCD,

所以ABJ_平面PAD.

又PoU平面∕?O,所以A8_LPD

又因?yàn)橛肑_P。，且∕?ΓMB=A,

所以P￡>_L平面以氏又PoU平面PCD,

所以平面RW_L平面PCD.

(3)如圖，取PC中點(diǎn)G,連接尸G,DG.

因?yàn)榉睪分別為PB,PC的中點(diǎn)，

所以FG〃BC,FG=；BC.

因?yàn)锳BC。為矩形，且E為AO的中點(diǎn),

所以DE〃BC,DE=^BC.

所以QE〃尸G,DE=FG.

所以四邊形。EFG為平行四邊形.

所以EF//DG.

又因?yàn)镋/Y平面尸C￡),OGU平面PC。，

所以EF〃平面PCD.

感悟升華1.三種垂直的綜合問(wèn)題，一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.

2.垂直與平行的結(jié)合問(wèn)題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.如果有平

面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)

一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

角度2平行垂直關(guān)系與幾何體的度量

【例4】(2019?天津卷)如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面48C。為平行四邊形，N)CD

為等邊三角形，平面∕?C，平面PCC,PALCD,CD=2,AD=3.

(1)設(shè)G,”分別為PB,AC的中點(diǎn)，求證：G4〃平面用￡＞；

⑵求證：南，平面PCD；

(3)求直線AQ與平面PAC所成角的正弦值.

(1)證明連接BD,易知4CΓ∣BO=H,BH=DH.

又由BG=PG,故G”為aPBO的中位線，所以G”〃PD

又因?yàn)镚HQ平面南力，PoU平面力力，所以GH〃平面陰。.

(2)證明取棱PC的中點(diǎn)N,連接￡W.依題意，得DNLPC.

又因?yàn)槠矫鍮4C，平面PCZ),平面B4C∩平面PCZ)=PC,DNU平面PCD,所以Z)N，平

面PAC.

又∕?U平面∕?C,所以。MLRL

又已知LCD,CDCDN=D,

所以以，平面PCD.

⑶解連接AN,由⑵中IW，平面B4C,可知NDAN為直線Af)與平面B4C所成的角.

因?yàn)锳PCO為等邊三角形，CO=2且N為PC的中點(diǎn)，

所以DN=木.

又DNIAN,在Rt△ANQ中，SinNzMN=綜=坐.

∕?LJJ

所以直線與平面B4C所成角的正弦值為坐.

感悟升華1.平行垂直關(guān)系應(yīng)用廣泛，不僅可以證明判斷空間線面、面面位置關(guān)系，而且常

用以求空間角和空間距離、體積.

2.綜合法求直線與平面所成的角，主要是找出斜線在平面內(nèi)的射影，其關(guān)鍵是作垂線，找

垂足，把線面角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解.

【訓(xùn)練3】如圖，AB是。。的直徑，垂直于。。所在的平面，C是圓周上不同于A,B

的一動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：△尸8C是直角三角形：

⑵若∕?=A3=2,且當(dāng)直線PC與平面ABC所成角的正切值為啦時(shí)，求直線AB與平面PBC

所成角的正弦值.

(1)證明:AB是。。的直徑，C是圓周上不同于A,8的一動(dòng)點(diǎn).

：.BClAC,

?,?∕?±-ψ-SABC,：.PAYBC,

^PAΠAC=A,PA,ACU平面∕?C,

，BC_L平面∕?C,ΛBCA-PC,

...△■BPC是直角三角形.

(2)解如圖，過(guò)4作LPC于”，

：8C_L平面PAC,

：.BC±AH,

又PC∩BC=C,PC,BCU平面P8C,.?A∕ΛL平面P2C,

二/ABH是直線AB與平面PBC所成的角,

?.?∕?,平面ABC,

：.ZPCA是直線PC與平面ABe所成的角,

PA

VtanZPCA=77=√2,

又PA=29ΛΛC=√2,

，在Rl△勿C中，AH=-r=^==^?,

y∣PA2+AC23

2√3

在Rt∕?ABH中，sin/ABH=An=-?-,

ADZJ

故直線AB與平面P8C所成角的正弦值為坐.

核心素養(yǎng)/與垂直平行相關(guān)的探索性問(wèn)題

立體幾何中的探索性問(wèn)題是近年高考的熱點(diǎn)，題目主要涉及線面平行、垂直位置關(guān)系的探究,

條件或結(jié)論不完備的開(kāi)放性問(wèn)題的探究，重點(diǎn)考查邏輯推理,直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

【典例】如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCO為直角梯形，ZABC=ZBAD=

90o,4PCC和ABQC均為等邊三角形，且平面PQC，平面8。C

(1)在棱PB上是否存在點(diǎn)E,使得AE〃平面TOC?若存在，試確定點(diǎn)E的位置；若不存在,

試說(shuō)明理由.

(2)若APBC的面積為替，求四棱錐P-ABCD的體積.

解(1)存在點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn)時(shí)，使得AE〃面PDC,理由如下：

如圖所示，取PB的中點(diǎn)E,連接AE,取PC的中點(diǎn)/，連接EF,DF,取BC的中點(diǎn)G,

連接。G因?yàn)閍BCC是等邊三角形，所以/￡>GB=90。.

因?yàn)镹ABC=N8A￡>=90。，所以四邊形ABG。為矩形，

所以AD=BG=TBC,AD//BC.

因?yàn)镋F為ABCP的中位線，

所以EF=；BC,?EF//BC,故AQ=EF,且AZ)〃EF,

所以四邊形AoFE是平行四邊形，從而AE〃。下,

又AEa平面PDC,OFU平面尸。c,

所以AE〃平面PDC.

(2)取C。的中點(diǎn)M,連接PM,過(guò)點(diǎn)、P作PNLBC交BC于點(diǎn)、N,連接MN,如圖所示.

因?yàn)椤鱂￡>C為等邊三角形，所以PMLQC.

因?yàn)镻M_LOC,平面PDCI.平面BDC,平面P。Crl平面BOC=OC.

所以PM_L平面BCD,故PM為四棱錐尸一ABCZ)的高.

又BCU平面BCD,所以尸MJ_8C.

因?yàn)镻NLBC,PNCPM=P,PNU平面PMN,PMU平面PMN,所以BCj_平面PMN.

因?yàn)镸NU平面PMN,所以BCLMN.

由M為。C的中點(diǎn)，易知NC=；BC.

設(shè)BC=x,則Z?P8C的面積為以。一仔卜零,解得χ=2,即BC=2,

所以AQ=I,AB=DG=PM=事.

故四棱錐P—A8CZ)的體積為y=；XS卬BCDXPMuXq+2廣于χ√5=∣.

素養(yǎng)升華1.求條件探索性問(wèn)題的主要途徑：(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；

(2)先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.

2.涉及點(diǎn)的位置探索性問(wèn)題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)的存在問(wèn)

題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn).

平行或垂直關(guān)系入手，把所探究的結(jié)論轉(zhuǎn)化為平面圖形中線線關(guān)系，從而確定探究的結(jié)果.

【訓(xùn)練】如圖，三棱錐P-ABC中，平面4BC,RI=1,AB=I,AC=2,NBAC=

60°.

(1)求三棱錐P-ABC的體積；

PM

(2)在線段PC上是否存在點(diǎn)M,使得AC,BM,若存在點(diǎn)求出行的值；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

解(1)由題知AB=I,AC=2,ZBAC=60°,

可得SzxA8c=5?A3?AC?sin9

由%_L平面ABc可知是三棱錐P-ABC的高.

又布=1,所以三棱錐產(chǎn)一ABC的體積V=]?SZUBCRA=手.

（2）在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)8作BN±AC,垂足為M在平面BAe內(nèi)，過(guò)點(diǎn)N作MN〃以交PC

于點(diǎn)M,連接

由孫，平面4BC知附，AC,所以MNl_4C.

由于BNCMN=N,故ACLL平面M8N.

又BMU平面MBM所以4CJ_8M.

在RtZ?8AN中，AN=ABcosZBAC-τ:,從而NC=AC—AN=*由MN〃/?,得第=：

/LLVΛI(xiàn)VJ

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

I.（2021?淮北質(zhì)檢）已知平面α,直線如〃，若WUa,則“m_L””是“m」a”的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C?必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析由"Uα,,〃_!_〃，不一定得到m_La；反之，由"Uα,，〃J_a,可得〃z_L".

.?.若"Uα,則是"m_La"的必要不充分條件.

2.在正方體ABC￡>—4出IGDl中，E為棱CZ）的中點(diǎn)，則（）

A.AlE_Lz）ClB.AiELBD

C.AlE_LBelD.AiELAC

答案C

解析如圖，由題設(shè)知，4BiJ_平面BCG囪，且BGU平面BCG8∣,從而4SJ_BG.

又8|C_L8Ci,且AlBIC8ιC=B∣,所以BCl_L平面A∣3∣CD,又AlEU平面A山ICZ）,所以

AιEl.BC↑.

3.（2021?鄭州調(diào)研）已知〃?，/是兩條不同的直線，ɑ,夕是兩個(gè)不同的平面，則下列可以推

出aLβ的是（）

A.〃?_!_/,HIUβ,/_LaB.∕M±/,a∏β-l,mUa

C.m//1,/n?ɑ.lVβD./?et,m//1,m∕∕β

答案D

解析在A中，mL,mU0,1.La9則［與夕相交或平行，故A錯(cuò)誤;

在B中，mJJ,a∏β=lf機(jī)UQ,則α與￡有可能相交但不垂直，故B錯(cuò)誤；

在C中，機(jī)〃/,m.La9I工β,貝IJa〃夕，故C錯(cuò)誤；

在D中，/_LQ,tn///,則/九_(tái)La,又m〃B，貝∣Ja_LQ,故D正確.

ɑL

4.己知三棱柱ABC—4?G的側(cè)棱與底面垂直，體積為*底面是邊長(zhǎng)為小的正三角形，

若P為底面ABiG的中心，則勿與平面ABe所成角的大小為（）

a5πC兀

A?12B-3

C兀C兀

c?4d-6

答案B

解析如圖，取正三角形ABC的中心為0,連接OP,則/%。是％與平面ABC所成的角.

因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為仍，

所以AD=z^^3×Λ*^-==2>

223

---

332

三棱柱的體積為坐X（√5）2A4］=*

解得AΛ=√5,即OP=AAl=小，

所以tan/B4O=oA=*\/§,

因?yàn)橹本€與平面所成角的范圍是［θ,手，

TT

所以N%。=1.

5.（2020?昆明診斷）如圖，AC=2R為圓。的直徑，NPe4=45。，出垂直于圓O所在的平面,

B為圓周上不與點(diǎn)4、C重合的點(diǎn)，4S_LPC于S,AN工PB于N,則下列不正確的是（）

P

A.平面ANS_L平面P8C

B.平面ANSJ_平面∕?B

C.平面B45_L平面PBC

D.平面ABCJ_平面∕?C

答案B

解析：密1_平面ABC,BCU平面ABC,.?PA±BC,

又AC為圓O直徑，所以A8L8C,

又∕?Γ∣AB=A,；.BC_L平面B48,

又ANU平面A8P,.-.BCLAN,

又AΛLLPB,BCCPB=B,

；.ANJ_平面PBC,

又ANU平面ANS,：.平面ANSI.平面PBC,

：.A正確，C,D顯然正確.

6.（2020?衡水調(diào)研）如圖，點(diǎn)P在正方體ABeD-AIBlGd的面對(duì)角線BG上運(yùn)動(dòng)，則下列

四個(gè)結(jié)論：

①三棱錐A-APC的體積不變；

②AP〃平面ACz）I；

③。P_LBG；

④平面PDBl_L平面ACD1.

其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

答案C

解析對(duì)于①，由題意知AD1//BC1,從而B(niǎo)cl〃平面ADiC,故BC1上任意一點(diǎn)到平面AD1C

的距離均相等，

所以以尸為頂點(diǎn)，平面AZ）C為底面，則三棱錐A-GPC的體積不變，故①正確；

對(duì)于②，連接48,A∣Cl,A∣Cι??AC,由于①知：AD↑∕∕BC?,

所以面BAlG〃面AC。，從而由線面平行的定義可得，故②正確；

對(duì)于③，由于。CJ_平面BCGBI,所以。ULBC1,

若。P_LBC1,則BG_L平面OeP,

所以8G_LPC,則尸為中點(diǎn)，與P為動(dòng)點(diǎn)矛盾，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，連接。由。S_LAC且。8_LAA,

可得OBli,面AC￡>i,從而由面面垂直的判定知，故④正確.

二、填空題

7.（2019?北京卷）已知是平面α外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷：

①/_L/n；?m//?；③/_La.

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：.

答案若，“〃a,IjLa,則/（或若/_!_〃?，/.La,則,”〃a,答案不唯一）

解析已知/,"?是平面ɑ外的兩條不同直線，由①/_1_相與②》z〃a,不能推出③/_La,因?yàn)?/p>

/可以與α平行，也可以相交不垂直；由①/J_，〃與③/J_a能推出②m〃a；由②相〃α與③/

!?可以推出①機(jī)故正確的命題是②③今①或①③一②.

8.如圖，在直三棱柱ABC-A∣B∣C∣中，側(cè)棱長(zhǎng)為2,AC=BC=LZACB=90o,。是AlBl

的中點(diǎn)，尸是B8∣上的動(dòng)點(diǎn)，ABl,DF交于點(diǎn)E,要使ABi，平面CIoF,則線段S尸的長(zhǎng)

為.

答案I

解析設(shè)BIF=X,

因?yàn)锳S，平面CiDF,OFU平面CDF,

所以ABiLOF,

由已知可得AIBl=√5,

設(shè)Rt?AA∣βι斜邊AS上的高為〃，則DE=^!ι.

又;X2X也=T義八層"赤，

所以∕l=平,DE=建

在Rt△￡)BIE中，SIE=］閨2一停∣2=*

由面積相等得當(dāng)義乎X乎%

#x=1.

9.如圖所示，在四棱錐尸一ABC。中，布，底面ABCZZ且底面各邊都相等，M是PC上的

一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足.時(shí)，平面MB。，平面PCD(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條

件即可).

答案DM_LPC（或BM±PQ

解析連接AC,BD,則ACLBD,

因?yàn)楱M?，底面A8C。，8。U平面ABC。，所以B4_LBD

又MrIAC=A,所以BDJ_平面B4C,PCU平面3C,所以8OJ_PC

所以當(dāng)OM_LPC（或BMj_PC）時(shí),

有PC_L平面MBD.

PCU平面PC￡),所以平面MB。J_平面PeD

三、解答題

10.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=26,PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點(diǎn).

(1)證明：PO_L平面ABC；

(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC=IMB,求點(diǎn)C到平面POM的距離.

(1)證明因?yàn)锳P=CP=AC=4,。為AC的中點(diǎn)，

所以。PJ_AC,S.OP=2√3.

連接OB,因?yàn)锳B=BC,AB2+BC2^AC1,所以aABC為等腰直角三角形，且0B_L4C,

Og=%C=2.

由OP2+OB2=PB2知，。尸_LOB.

由OP_LOB,OPLACS.OBOAC=O,知PoJ_平面ABC

(2)解作CHLOM,垂足為H.

P

又由(1)可得。尸，CH,所以C4_L平面POM.

故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離.

由題設(shè)可知OC=V4C=2,

"=孤=華，NACB=45。.

斯門2√5OCMCsmZACB4√5

所以°nu"一§'CH-OM-5-

所以點(diǎn)C到平面POM的距離為竽.

II.(2021?昆明診斷)如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面4BC。是菱形，/540=60。，/XPAD

是正三角形，E為線段AO的中點(diǎn).

(1)求證：平面PBCL平面P8E；

3

若

-不

⑵是否存在滿足而=2危(AO)的點(diǎn)F,使得VB-PAE=4

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)證明因?yàn)椤魑锪κ钦切?，E為線段Ao的中點(diǎn),

所以PELAD.

因?yàn)榈酌鍭BCQ是菱形，所以AO=AB,

又/BAO=60°,

所以aABD是正三角形，

所以BELAD.

又BECPE=E,

所以A￡>_L平面PBE.

又AD//BC,

所以BC_L平面PBE.

又BCU平面PBC,

所以平面PBC_L平面PBE.

⑵解由際=4元：