（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 加練半小時(shí) 專題8 立體幾何 第61練 表面積與體積 理（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第61練表面積與體積[基礎(chǔ)保分練]1．母線長為1的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于eq\f(4,3)π，則該圓錐的體積為________．2．已知正六棱柱的高為8，側(cè)面積為144，則它的外接球的表面積為________．3.如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為________．4．(2019·江蘇常州期中)底面半徑都是3且高都是4的圓錐和圓柱的全面積之比為________．5．直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，側(cè)棱長等于底面三角形的斜邊長，若其外接球的體積為eq\f(32π,3)，則該三棱柱體積的最大值為________．6.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長最短為50cm，最長為80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2.7．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為________．8．(2019·江蘇省如東中學(xué)調(diào)研)在正四棱錐S—ABCD中，點(diǎn)O是底面中心，SO＝2，側(cè)棱SA＝2eq\r(3)，則該棱錐的體積為________．9.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________cm.10．在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝BC＝1，則三棱錐P－ABC外接球的表面積為________．[能力提升練]1．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高為6，AB＝4，點(diǎn)D為棱BB1的中點(diǎn)，則四棱錐C—A1ABD的表面積是________．2．在四面體A－BCD中，AB＝AC＝AD＝BC＝BD＝2，若四面體A－BCD的外接球的體積V＝eq\f(8\r(2),3)π，則CD＝________.3．(2018·江蘇泰州中學(xué)月考)如圖所示的圖形是一個(gè)底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6cm，高為20cm的圓錐體鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降________cm.4.如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥AB，平面ABD⊥平面ABC，AC＝BC，且AD＋BC＝4，若BD與平面ABC所成角的正切值為eq\f(1,2)，則四面體A－BCD的體積的最大值為________．5．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，線段EF，GH分別在AB，CC1上移動，且EF＋GH＝eq\f(1,2)，則三棱錐F－HGE的體積最大值為________．6．已知三棱錐P－ABC滿足PA⊥底面ABC，△ABC是邊長為4eq\r(3)的等邊三角形，D是線段AB上一點(diǎn)，且AD＝3BD，球O為三棱錐P－ABC的外接球，過點(diǎn)D作球O的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為34π，則球O的表面積為________．

答案精析基礎(chǔ)保分練1.eq\f(4\r(5),81)π2.100π3.eq\f(\r(3),12)4.eq\f(4,7)5.4eq\r(2)6．2600π解析將相同的兩個(gè)幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，由題意得所求側(cè)面展開圖的面積為S＝eq\f(1,2)×(50＋80)×(2π×20)＝2600πcm2.7.eq\f(5π,3)解析如圖，過點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為H.則由旋轉(zhuǎn)體的定義可知，該梯形繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體為一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐．其中圓柱的底面半徑R＝AB＝1，高h(yuǎn)1＝BC＝2，其體積V1＝πR2h1＝π×12×2＝2π；圓錐的底面半徑r＝DH＝1，高h(yuǎn)2＝1，其體積V2＝eq\f(1,3)πr2h2＝eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(π,3).故所求幾何體的體積為V＝V1－V2＝2π－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).8.eq\f(32,3)解析∵在正四棱錐S－ABCD中，側(cè)棱SA＝2eq\r(3)，高SO＝2，∴底面中心到頂點(diǎn)的距離AO＝eq\r(SA2－SO2)＝2eq\r(2)，因此，底面正方形的邊長AB＝4，底面積S＝AB2＝16，該棱錐的體積為V＝eq\f(1,3)SABCD·SO＝eq\f(1,3)×16×2＝eq\f(32,3).9．4解析設(shè)球的半徑為rcm，依等體積法知，eq\f(4,3)πr3·3＋πr2·8＝πr2·6r，∴2r＝8，r＝4.10．6π解析因?yàn)镻A⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以三棱錐的外接球等同于以AC，BC，PA為長、寬、高的長方體的外接球，且PA＝2，AC＝BC＝1，所以長方體的體對角線長等于其外接球的直徑，即2R＝eq\r(12＋12＋22)，解得R＝eq\f(\r(6),2)，所以三棱錐的外接球的表面積為S＝4πR2＝6π.能力提升練1．2eq\r(39)＋4eq\r(3)＋362.2eq\r(2)3．0.6解析因?yàn)閳A錐形鉛錘的體積為eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2×20＝60π(cm3)．設(shè)水面下降的高度為xcm，則小圓柱的體積為π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))2×x＝100πx(cm3)．所以60π＝100πx，解得x＝0.6.則鉛錘取出后，杯中水面下降了0.6cm.4.eq\f(256\r(5),375)解析設(shè)AD＝x(0<x<4)，則AC＝BC＝4－x.因?yàn)锳D⊥AB，平面ABD⊥平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，AD?平面ABD，所以AD⊥平面ABC，三棱錐D－ABC的高為AD＝x.又BD與平面ABC所成角的正切值為eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,2)，故AB＝2x.在△ABC中，AB邊上的高為eq\r(4－x2－x2)＝eq\r(16－8x)＝2eq\r(2)×eq\r(2－x)(0<x<2)，故VD－ABC＝eq\f(1,3)×x×eq\f(1,2)×2x×2eq\r(2)×eq\r(2－x)＝eq\f(2\r(2),3)×eq\r(2x4－x5)，令g(x)＝2x4－x5,0<x<2，g′(x)＝8x3－5x4＝x3(8－5x)，當(dāng)0<x<eq\f(8,5)時(shí)，g′(x)>0，當(dāng)eq\f(8,5)<x<2時(shí)，g′(x)<0，所以g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(8,5)))上為增函數(shù)，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，2))上為減函數(shù)，故在x∈(0,2)上，x＝eq\f(8,5)時(shí)，g(x)取得最大值，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))＝eq\f(2×84,55)，此時(shí)體積最大，VA－BCD＝VD－ABC＝eq\f(2\r(2),3)×eq\r(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5))))＝eq\f(256\r(5),375).5.eq\f(1,48)解析連結(jié)CE，CF，C1E，C1F，HE，HF，GE，GF，設(shè)EF＝m，GH＝n(m>0，n>0)，則m＋n＝eq\f(1,2).因?yàn)镾△HGE∶S△C1CE＝n∶2，所以V三棱錐F－HGE∶V三棱錐F－C1CE＝n∶2.又因?yàn)閂三棱錐F－C1CE＝V三棱錐C1－CEF＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×2×m＝eq\f(2,3)m，所以V三棱錐F－HGE＝eq\f(1,3)mn.因?yàn)閙＋n＝eq\f(1,2)，所以m·n≤eq\f(m＋n2,4)＝eq\f(1,16)，故V三棱錐F－HGE≤eq\f(1,48)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝\f(1,4)時(shí)“＝”成立)).6．100π解析將三棱錐P－ABC補(bǔ)成正三棱柱，且三棱錐和該正三棱柱的外接球都是球O，記三角形ABC的中心為O1，設(shè)球的半徑為R，PA＝2x，則球心O到平面ABC的距離為x，即OO1＝x，連結(jié)O1C，則O1C＝4，∴R2＝x2＋16，在三角形ABC中，取AB的中點(diǎn)為E，連結(jié)O1D，O1E，則O1E＝eq\f(1,2)O1C＝2，DE＝eq\f(1,4)