《向量的數(shù)量積的物理背景和數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

6.2.4向量的數(shù)量積《第1課時向量的數(shù)量積的物理背景和數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計(jì)【教材分析】本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊》（人教A版）第六章《平面向量及其應(yīng)用》，本節(jié)內(nèi)容教材共分為兩課時,其中第一課時主要研究數(shù)量積的概念,第二課時主要研究數(shù)量積的運(yùn)算律,本節(jié)課是第一課時，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)平面向量的數(shù)量積的定義、投影向量、數(shù)量積的性質(zhì)。向量的數(shù)量積是繼向量的線性運(yùn)算(加法、減法、向量的數(shù)乘)后的又一種新的運(yùn)算,它的內(nèi)容很豐富。包括定義、幾何意義、性質(zhì)與運(yùn)算律,而且在物理和幾何中具有廣泛的應(yīng)用。向量數(shù)量積是代數(shù)、幾何與三角的結(jié)合點(diǎn),很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。但它與向量的線性運(yùn)算有著本質(zhì)的區(qū)別,運(yùn)算結(jié)果是一個數(shù)量?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解并掌握平面向量的數(shù)量積的定義、投影向量；B.會求平面向量的數(shù)量積、投影向量；C.熟記平面向量數(shù)量積的性質(zhì)；D.能運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)解決問題；E.通過數(shù)量積的引入和應(yīng)用，初步體會知識的發(fā)生、發(fā)展的過程過程，培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣。1.數(shù)學(xué)抽象：數(shù)量積的定義；2.邏輯推理：數(shù)量積的性質(zhì)；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求平面向量的數(shù)量積；4.直觀想象：投影向量?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：平面向量數(shù)量積的定義及投影向量；【教學(xué)難點(diǎn)】：平面向量數(shù)量積的定義的理解和對數(shù)量積的應(yīng)用。【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、復(fù)習(xí)回顧，溫故知新1.向量的數(shù)乘的定義：【答案】一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：；當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反。2.向量的數(shù)乘運(yùn)算律：【答案】設(shè)、為任意向量，、為任意實(shí)數(shù)，則有：（1）（2）（3）二、探索新知思考1：一個物體在力F的作用下產(chǎn)生的位移s，那么力F所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算？【答案】思考2：功是一個矢量還是標(biāo)量？它的大小由那些量確定？【答案】標(biāo)量，大小由力、位移及它們的夾角確定。1.向量的夾角的定義：已知兩個非零向量，O是平面上的任意一點(diǎn)，作則叫做向量的夾角。顯然，當(dāng)時，同向；當(dāng)時，反向。如果的夾角是，我們就說垂直，記作。思考3：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一般向量，其結(jié)果又該如何表述？【答案】功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。2.數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為。說明：（1）兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，符號由夾角決定.中間的“”在向量運(yùn)算中不能省略掉，也不能換成“”；運(yùn)用數(shù)量積公式時，一定注意兩向量的夾角范圍是[0°，180°]。思考4.向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候?yàn)檎?，什么時候?yàn)樨?fù)？【答案】當(dāng)0°≤θ＜90°時，為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時，為負(fù)；當(dāng)θ=90°時，為零。結(jié)論：數(shù)量積符號由的符號所決定。例1.已知的夾角，求。解：例2.設(shè)，求的夾角。解：投影向量的定義：如圖(1)設(shè)是兩個零向量,,我們考慮如下的變換:過AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作CD所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到，我們稱上述變換為向量在向量投影(project).,叫做向量在向量上的投影向量。如圖(2),我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作，過點(diǎn)M作直線ON的垂線,垂足為M1，則就是向量在向量上的投影向量。探究：如圖，設(shè)與方向相同的單位向量為，與的夾角為，那么與之間有怎樣的關(guān)系？【答案】。綜上可得，對于任意的，都有。探究：兩個非零向量相互平行或垂直時，投影向量具有特殊性，你能得出向量的數(shù)量積的特殊性質(zhì)嗎？設(shè)是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則：（1），（3）當(dāng)向量共線同向時，；當(dāng)向量共線反向時，。特別地，或。（4）牛刀小試：已知在當(dāng)時，試判斷的形狀。【答案】當(dāng)為鈍角三角形；當(dāng)為直角三角形。通過復(fù)習(xí)上節(jié)所學(xué)知識，引入本節(jié)新課。建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。通過思考，由物理知識引入本節(jié)知識，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。通過思考，建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生分析問題、概括能力。通過思考，讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)量積的定義，提高學(xué)生理解問題的能力。通過例題鞏固數(shù)量積的定義，提高學(xué)生解決問題的能力。通過探究，進(jìn)一步理解投影向量，提高學(xué)生的觀察、概括能力。通過探究，讓學(xué)生由投影向量來推導(dǎo)數(shù)量積的性質(zhì)，掌握知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生的理解、概括能力。通過練習(xí)進(jìn)一步理解數(shù)量積的性質(zhì)，提高學(xué)生解決問題的能力。三、達(dá)標(biāo)檢測1．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，則eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝()A．20B．－20C．20eq\r(3)D．－20eq\r(3)【解析】eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝|eq\o(BC,\s\up6(→))||eq\o(CA,\s\up6(→))|cos120°＝5×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－20.【答案】B2．設(shè)e1，e2是兩個平行的單位向量．則下面的結(jié)果正確的是()A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1C．|e1·e2|＝1 D．|e1·e2|<1【解析】e1·e2＝|e1||e2|cos<e1，e2>＝±1.【答案】C3．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，且b·a＝0，則△ABC是()A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．無法確定【解析】在△ABC中，因?yàn)閎·a＝0，所以b⊥a，故△ABC為直角三角形．【答案】C4.已知為單位向量，且的夾角為，求向量在上的投影向量?！窘馕觥肯蛄吭谏系耐队跋蛄繛?。通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。四、小結(jié)1.向量的數(shù)量積的定義；2.投影向量；3.數(shù)量積的性質(zhì);五、作業(yè)習(xí)題6.210,18題通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力?！窘虒W(xué)反思】通過本節(jié)課的教學(xué),我有以下幾點(diǎn)體會：(1)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成與應(yīng)用過程高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)知識的來龍去脈刨設(shè)問題情景,建立數(shù)學(xué)模型,讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成與應(yīng)用,可以更好的理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的形成過程,體會蘊(yùn)含在其中的思想方法,增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心。對于抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué),要關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成過程,幫助學(xué)生克服機(jī)械記憶概念的學(xué)習(xí)方法。(2)鼓勵學(xué)生自主探索、自主學(xué)習(xí)教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者,教師在教學(xué)中的作用必須以確定學(xué)生主體地位為前提,教學(xué)過程中要發(fā)揚(yáng)民主,要鼓勵學(xué)生質(zhì)疑,提倡獨(dú)立思考、動手實(shí)踐、自主探索、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方式。對于教學(xué)中問題情境的設(shè)計(jì)、教學(xué)過程的展開、練習(xí)的安排等,要盡可能地讓所有學(xué)生都能主動參與,提出各自解決問題的方案,并引導(dǎo)學(xué)生在與他人的交流中選擇合適的策略,使學(xué)生切實(shí)體會到自主探索數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決是學(xué)好數(shù)學(xué)的有效途徑。6.2.4向量的數(shù)量積《第1課時向量的數(shù)量積的物理背景和數(shù)量積》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1..理解并掌握平面向量的數(shù)量積的定義、投影向量；2.會求平面向量的數(shù)量積、投影向量；3.熟記平面向量數(shù)量積的性質(zhì)；4.能運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)解決問題；【教學(xué)重點(diǎn)】：平面向量數(shù)量積的定義及投影向量；【教學(xué)難點(diǎn)】：平面向量數(shù)量積的定義的理解和對數(shù)量積的應(yīng)用。【知識梳理】1．向量的夾角的定義：已知兩個非零向量，O是平面上的任意一點(diǎn)，作則叫做向量的。顯然，當(dāng)時，；當(dāng)時，。2.向量的數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量叫做a與b的(或)，記作，即．規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為．投影向量的定義：如圖(1)設(shè)是兩個零向量,,我們考慮如下的變換:過AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作CD所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到，我們稱上述變換為向量在向量投影(project).,叫做向量在向量上的。如圖(2),我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作，過點(diǎn)M作直線ON的垂線,垂足為M1，則就是向量在向量上的。4.向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a與b都是非零向量，θ為a與b的夾角．(1)a⊥b?．(2)當(dāng)a與b同向時，a·b＝；當(dāng)a與b反向時，a·b＝．(3)a·a＝或|a|＝eq\r(a·a)＝.(4)|a·b|≤.【學(xué)習(xí)過程】探索新知思考1：一個物體在力F的作用下產(chǎn)生的位移s，那么力F所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算？思考2：功是一個矢量還是標(biāo)量？它的大小由那些量確定？1.向量的夾角的定義：已知兩個非零向量，O是平面上的任意一點(diǎn)，作則叫做向量的。顯然，當(dāng)時，；當(dāng)時，。如果的夾角是，我們就說垂直，記作。思考3：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一般向量，其結(jié)果又該如何表述？2.數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為。說明：（1）兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，符號由夾角決定.中間的“”在向量運(yùn)算中不能省略掉，也不能換成“”；運(yùn)用數(shù)量積公式時，一定注意兩向量的夾角范圍是[0°，180°]。思考4.向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候?yàn)檎?，什么時候?yàn)樨?fù)？結(jié)論：數(shù)量積符號由的符號所決定。例1.已知的夾角，求。投影向量的定義：如圖(1)設(shè)是兩個零向量,,我們考慮如下的變換:過AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作CD所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到，我們稱上述變換為向量在向量投影(project).,叫做向量在向量上的。如圖(2),我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作，過點(diǎn)M作直線ON的垂線,垂足為M1，則就是向量在向量上的。探究1：如圖，設(shè)與方向相同的單位向量為，與的夾角為，那么與之間有怎樣的關(guān)系？探究2：兩個非零向量相互平行或垂直時，投影向量具有特殊性，你能得出向量的數(shù)量積的特殊性質(zhì)嗎？牛刀小試：已知在當(dāng)時，試判斷的形狀?！具_(dá)標(biāo)檢測】1．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，則eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝()A．20B．－20C．20eq\r(3)D．－20eq\r(3)2．設(shè)e1，e2是兩個平行的單位向量．則下面的結(jié)果正確的是()A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1C．|e1·e2|＝1 D．|e1·e2|<13．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，且b·a＝0，則△ABC是()A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．無法確定4.已知為單位向量，且的夾角為，求向量在上的投影向量。參考答案：思考1.思考2.標(biāo)量，大小由力、位移及它們的夾角確定。思考3.功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。思考4.當(dāng)0°≤θ＜90°時，為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時，為負(fù)；當(dāng)θ=90°時，為零。例1.探究1.。綜上可得，對于任意的，都有。探究2.設(shè)是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則：（1），（3）當(dāng)向量共線同向時，；當(dāng)向量共線反向時，。特別地，或。（4）牛刀小試：當(dāng)為鈍角三角形；當(dāng)為直角三角形。達(dá)標(biāo)檢測1.【解析】eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝|eq\o(BC,\s\up6(→))||eq\o(CA,\s\up6(→))|cos120°＝5×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－20.【答案】B2.【解析】e1·e2＝|e1||e2|cos<e1，e2>＝±1.【答案】C3.【解析】在△ABC中，因?yàn)閎·a＝0，所以b⊥a，故△ABC為直角三角形．【答案】C4.【解析】向量在上的投影向量為?！?.2.4向量的數(shù)量積》同步練習(xí)第1課時向量的數(shù)量積的物理背景和數(shù)量積一、選擇題1．在邊長為1的等邊三角形中，設(shè)，則（）A． B．0 C． D．32．下面給出的關(guān)系式中正確的個數(shù)是（）①；②；③；④；⑤.A．1 B．2 C．3 D．43．已知，，若，那么向量的夾角等于（）A．B．C．D．4．已知下列結(jié)論:①a·0=0;②0·a=0;③0-;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,則對任一非零向量b有a·b≠0;⑥若a·b=0,則a與b中至少有一個為0;⑦若a與b是兩個單位向量,則a2=b2.則以上結(jié)論正確的是()A．①②③⑥⑦ B．③④⑦C．②③④⑤ D．③⑦（多選題）下列命題中，正確的是（）對于任意向量，有；若，則；對于任意向量，有若共線，則（多選題）關(guān)于平面向量，下列命題中錯誤的是（）若，則存在使得。B.若，則的夾角為直角。C.若，則D.二、填空題7．若向量、滿足，為單位向量，且與夾角為，則在上的投影向量為________.8．在等邊三角形ABC中，邊長為2，則AB·9．已知|a|=6,|b|=4，a·b=12，向量b方向上的單位向量為e則向量a在向量b方向上的投影是_________已知，則，以的面積為_______三．解答題11.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝4，|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝3，∠DAB＝60°.求：(1)eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))；(2)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(CD,\s\up14(→))；(3)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(DA,\s\up14(→)).12.已知若向量在上的投影向量為，求。《6.2.4向量的數(shù)量積》同步練習(xí)答案解析第1課時向量的數(shù)量積的物理背景和數(shù)量積一、選擇題1．在邊長為1的等邊三角形中，設(shè)，則（）A． B．0 C． D．3【答案】A【解析】.同理，∴.故選A.2．下面給出的關(guān)系式中正確的個數(shù)是（）①；②；③；④；⑤.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①錯誤，正確的是，向量數(shù)乘的結(jié)果還是向量.②③正確，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算可判斷得出.④錯誤，，故⑤錯誤，.綜上所述，正確的個數(shù)為，故選B.3．已知，，若，那么向量的夾角等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故選A．4．已知下列結(jié)論:①a·0=0;②0·a=0;③0-;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,則對任一非零向量b有a·b≠0;⑥若a·b=0,則a與b中至少有一個為0;⑦若a與b是兩個單位向量,則a2=b2.則以上結(jié)論正確的是()A．①②③⑥⑦ B．③④⑦C．②③④⑤ D．③⑦【答案】D【解析】對于①：兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，應(yīng)有0·a=0；對于②：應(yīng)有0·a=0；對于④：由數(shù)量積定義有|a·b|=|a||b|·|cosθ|≤|a||b|，這里θ是a與b的夾角，只有θ=0或θ=π時，才有|a·b|=|a||b|；對于⑤：若非零向量a、b垂直，則有a·b=0；對于⑥：由a·b=0可知a⊥b，可以都非零.故③⑦正確.故選D。5.（多選題）下列命題中，正確的是（）對于任意向量，有；若，則；對于任意向量，有若共線，則【答案】ACD【解析】由向量加法的三角形法則可知選項(xiàng)A正確；當(dāng)時，，故選項(xiàng)B錯誤；因?yàn)椋蔬x項(xiàng)C正確；當(dāng)共線同向時，，當(dāng)共線反向時，，所以選項(xiàng)D正確。故選ACD。6.（多選題）關(guān)于平面向量，下列命題中錯誤的是（）若，則存在使得。B.若，則的夾角為直角。C.若，則D.【答案】BCD【解析】由共線向量定理可知選項(xiàng)A正確；當(dāng)時，，所以，選項(xiàng)B錯誤；因?yàn)椋?，所以選項(xiàng)C錯誤；對于非零向量，當(dāng)不共線，且時，，所以，選項(xiàng)D錯誤。故選BCD。二、填空題7．若向量、滿足，為單位向量，且與夾角為，則在上的投影向量為________.【答案】【解析】即在上的投影向量為故答案為：。8．在等邊三角形ABC中，邊長為2，則AB