《向量在物理中的應(yīng)用舉例》教學(xué)設(shè)計、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例》教學(xué)設(shè)計【教材分析】本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊》（人教A版）第六章《平面向量及其應(yīng)用》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)用向量方法解決物理問題。用向量知識研究物理問題的基本思路和方法．(1)通過抽象、概括，把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問題；(2)認(rèn)真分析物理現(xiàn)象，深刻把握物理量之間的相互關(guān)系；(3)利用向量知識解決這個向量問題，并獲得這個向量的解；(4)利用這個結(jié)果，對原物理現(xiàn)象作出合理解釋，即用向量知識圓滿解決物理問題．教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生通過對現(xiàn)實原型的觀察、分析和比較，得出抽象的數(shù)學(xué)模型．例如，物理中力的合成與分解是向量的加法運(yùn)算與向量分解的原型．同時，注重向量模型的運(yùn)用，引導(dǎo)解決現(xiàn)實中的一些物理和幾何問題．這樣可以充分發(fā)揮現(xiàn)實原型對抽象的數(shù)學(xué)概念的支撐作用．【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.經(jīng)歷用向量的方法解決物理當(dāng)中的關(guān)于力學(xué)，運(yùn)動學(xué)等的相關(guān)問題。B、體會向量在解決物理當(dāng)中相關(guān)問題的工具性特點(diǎn)。C、發(fā)展學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)能力，運(yùn)算能力及解決實際問題的能力。1.數(shù)學(xué)抽象：向量在解決物理當(dāng)中相關(guān)問題的工具性特點(diǎn)；2.邏輯推理：用向量的方法解決物理當(dāng)中的關(guān)于力學(xué)，運(yùn)動學(xué)等的相關(guān)問題；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：用向量知識解決物理中有關(guān)“速度的合成與分解”等問題；4.直觀想象：掌握利用向量方法研究物理中相關(guān)問題的步驟；5.數(shù)學(xué)建模：發(fā)展學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)能力，運(yùn)算能力及解決實際問題的能力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：運(yùn)用向量的有關(guān)知識對物理中的力的作用、速度分解進(jìn)行相關(guān)分析來計算；【教學(xué)難點(diǎn)】：將物理中有關(guān)矢量的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中向量的問題?！窘虒W(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖一、復(fù)習(xí)回顧，溫故知新1.你能掌握物理中的哪些矢量？向量運(yùn)算的三角形法則與四邊形法則是什么？【答案】力，速度，加速度。向量加法的三角形法則注意：各向量“首尾相連”，和向量由第一個向量的起點(diǎn)指向最后一個向量的終點(diǎn).向量加法的平行四邊形法則注意：起點(diǎn)相同.共線向量不適用。二、探索新知例1.在日常生活中，我們有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，兩個拉力夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動，兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種形象嗎？探究：（1）當(dāng)為何值時，最??？最小值是多??？能等于嗎？為什么？【解析】（1）要使最小，只需最大，此時，即，的最小值為。（2）要使，只需，即。思考：你能總結(jié)用向量解決物理問題的一般步驟嗎?【解析】(1)問題的轉(zhuǎn)化：把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；(2)模型的建立：建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3)參數(shù)的獲得：求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值；(4)問題的答案：回到問題的初始狀態(tài)，解決相關(guān)物理現(xiàn)象。例2：如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m,一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行，已知船的速度V1的大小為|v1|＝10㎞/h，水流速度V2的大小為|v2|＝2㎞/h，那么當(dāng)航程最短時，這艘船行駛完全程需要多長時間（精準(zhǔn)到0.1min）？解：設(shè)點(diǎn)B是河對岸一點(diǎn)，AB與河岸垂直，那么當(dāng)這艘船實際沿著AB方向行駛時，船的航程最短。如圖，設(shè)，則，此時，船的航行時間所以，當(dāng)航程最短時，這艘船行駛完全程需要3.1min。通過復(fù)習(xí)向量的加法法則，引入本節(jié)新課。建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。通過例題讓學(xué)生了解用向量方法解釋日常生活中的現(xiàn)象，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。通過探究、思考，進(jìn)一步完善用向量方法解釋實際現(xiàn)象及其步驟，提高學(xué)生分析問題、概括能力。通過例題讓學(xué)生進(jìn)一步了解用向量方法解釋日常生活中的現(xiàn)象，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。三、達(dá)標(biāo)檢測1.用兩條成120°角的等長的繩子懸掛一個燈具，如圖所示，已知燈具重10N，則每根繩子的拉力大小為______N.【答案】10【解析】設(shè)重力為G，每根繩的拉力分別為F1，F(xiàn)2，則由題意得F1，F(xiàn)2與－G都成60°角，且|F1|＝|F2|.∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10N，∴每根繩子的拉力都為10N.2．已知一個物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100m，且F與s的夾角為60°，則力F所做的功W＝________J.【答案】300【解析】W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉＝6×100×cos60°＝300(J)．3．一條河寬為800m，一船從A處出發(fā)垂直到達(dá)河正對岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達(dá)B處所需時間為________min.【答案】3【解析】∵v實際＝v船＋v水＝v1＋v2，|v1|＝20km/h，|v2|＝12km/h，∴|v|＝eq\r(|v1|2－|v2|2)＝eq\r(202－122)＝16(km/h)．∴所需時間t＝eq\f(0.8,16)＝0.05(h)＝3(min)．∴該船到達(dá)B處所需的時間為3min.4．一艘船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡．根據(jù)測量，這一天水流速度為3km/h，方向正東，風(fēng)的方向為北偏西30°，受風(fēng)力影響，靜水中船的漂行速度為3km/h，若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以2eq\r(3)km/h的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向．【解析】如圖，設(shè)水的速度為v1，風(fēng)的速度為v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏東30°，a的大小是3km/h.設(shè)船的實際航行速度為v，方向由南向北，大小為2eq\r(3)km/h.船本身的速度為v3，則a＋v3＝v，即v3＝v－a，由數(shù)形結(jié)合知，v3的方向是北偏西60°，大小是eq\r(3)km/h.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。四、小結(jié)1.用向量法解決物理問題；五、作業(yè)習(xí)題6.45.（1）（2）題通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力?！窘虒W(xué)反思】在教學(xué)中,我們盡量向課堂要效率,希望在有限的時間能夠把我們預(yù)先設(shè)計的內(nèi)容能夠呈現(xiàn)出來,第一:在前面思考問題壞節(jié)浪費(fèi)了太多的時間,導(dǎo)致后面一道例題沒有完整的呈現(xiàn)出來,第二:還是學(xué)生計算能力不夠熟練,對知識運(yùn)用不能得新應(yīng)手,因此,延長了幾分鐘?！?.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.經(jīng)歷用向量的方法解決物理當(dāng)中的關(guān)于力學(xué)，運(yùn)動學(xué)等的相關(guān)問題。2、體會向量在解決物理當(dāng)中相關(guān)問題的工具性特點(diǎn)。3、發(fā)展學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)能力，運(yùn)算能力及解決實際問題的能力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：運(yùn)用向量的有關(guān)知識對物理中的力的作用、速度分解進(jìn)行相關(guān)分析來計算；【教學(xué)難點(diǎn)】：將物理中有關(guān)矢量的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中向量的問題?！局R梳理】1．物理問題中常見的向量有等．2．向量的加減法運(yùn)算體現(xiàn)在．3．功是與的數(shù)量積．【學(xué)習(xí)過程】一、探索新知例1.在日常生活中，我們有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，兩個拉力夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動，兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種形象嗎？探究：（1）當(dāng)為何值時，最??？最小值是多??？能等于嗎？為什么？思考：你能總結(jié)用向量解決物理問題的一般步驟嗎?例2：如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m,一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行，已知船的速度V1的大小為|v1|＝10㎞/h，水流速度V2的大小為|v2|＝2㎞/h，那么當(dāng)航程最短時，這艘船行駛完全程需要多長時間（精準(zhǔn)到0.1min）？【達(dá)標(biāo)檢測】1.用兩條成120°角的等長的繩子懸掛一個燈具，如圖所示，已知燈具重10N，則每根繩子的拉力大小為______N.2．已知一個物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100m，且F與s的夾角為60°，則力F所做的功W＝________J.3．一條河寬為800m，一船從A處出發(fā)垂直到達(dá)河正對岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達(dá)B處所需時間為________min.4．一艘船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡．根據(jù)測量，這一天水流速度為3km/h，方向正東，風(fēng)的方向為北偏西30°，受風(fēng)力影響，靜水中船的漂行速度為3km/h，若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以2eq\r(3)km/h的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向．參考答案：例1.探究：1）要使最小，只需最大，此時，即，的最小值為。（2）要使，只需，即。思考：(1)問題的轉(zhuǎn)化：把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；(2)模型的建立：建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3)參數(shù)的獲得：求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值；(4)問題的答案：回到問題的初始狀態(tài)，解決相關(guān)物理現(xiàn)象。例2.設(shè)點(diǎn)B是河對岸一點(diǎn)，AB與河岸垂直，那么當(dāng)這艘船實際沿著AB方向行駛時，船的航程最短。如圖，設(shè)，則，此時，船的航行時間所以，當(dāng)航程最短時，這艘船行駛完全程需要3.1min。達(dá)標(biāo)檢測1.【答案】10【解析】設(shè)重力為G，每根繩的拉力分別為F1，F(xiàn)2，則由題意得F1，F(xiàn)2與－G都成60°角，且|F1|＝|F2|.∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10N，∴每根繩子的拉力都為10N.2.【答案】300【解析】W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉＝6×100×cos60°＝300(J)．3.【答案】3【解析】∵v實際＝v船＋v水＝v1＋v2，|v1|＝20km/h，|v2|＝12km/h，∴|v|＝eq\r(|v1|2－|v2|2)＝eq\r(202－122)＝16(km/h)．∴所需時間t＝eq\f(0.8,16)＝0.05(h)＝3(min)．∴該船到達(dá)B處所需的時間為3min.4.【解析】如圖，設(shè)水的速度為v1，風(fēng)的速度為v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏東30°，a的大小是3km/h.設(shè)船的實際航行速度為v，方向由南向北，大小為2eq\r(3)km/h.船本身的速度為v3，則a＋v3＝v，即v3＝v－a，由數(shù)形結(jié)合知，v3的方向是北偏西60°，大小是eq\r(3)km/h.《6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例》同步練習(xí)一、選擇題1．一物體受到相互垂直的兩個力、的作用，兩力大小都為，則兩個力的合力的大小為A． B．0C． D．2．已知兩個力的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與的夾角為60°，那么的大小為（）A．N B．5NC．10N D．N3．用力F推動一物體水平運(yùn)動sm，設(shè)F與水平面的夾角為，則對物體所做的功為（）A．|F|·s B．F·cos·sC．F·sin·s D．|F|·cos·s4．已知三個力同時作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個力，則等于（）A． B． C． D．5.（多選題）在水流速度的自西向東的河中，如果要使船以的速度從河的南岸垂直到達(dá)北岸，則船出發(fā)時行駛速度的方向和大小為（）A．北偏西 B．北偏西，C． D．（多選題）如圖，在重的物體上有兩根繩子，繩子與鉛垂線的夾角分別為，物體平衡時，兩根繩子拉力的大小分別為（）A． B．C． D．二、填空題7．如圖，一個力作用于小車G，使小車G發(fā)生了40米的位移，的大小為50牛，且與小車的位移方向的夾角為60°，則在小車位移方向上的正射影的數(shù)量為牛，力做的功為牛米．8．如圖，用兩條繩提起一個物體處于平衡狀態(tài)，此時每條繩用力5N，且兩條繩的夾角是120°，則物體G的重量是N．9．若向量eq\o(OF1,\s\up6(→))＝(1，1)，eq\o(OF2,\s\up6(→))＝(－3，－2)分別表示兩個力F1，F(xiàn)2，則|F1＋F2|為。A．eq\r(10)B．2eq\r(5)C．D．eq\r(15)10.已知=（2，3）作用一物體，使物體從A（2，0）移動到B（4，0），則=，力對物體作的功為．三、解答題11．已知兩恒力F1＝（3,4），F(xiàn)2＝（6，－5）作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A（20,15）移動到點(diǎn)B（7,0）．（1）求F1，F(xiàn)2分別對質(zhì)點(diǎn)所做的功；（2）求F1，F(xiàn)2的合力F對質(zhì)點(diǎn)所做的功．12．如圖，用兩條同樣長的繩子拉一物體，物體受到的重力為G，兩繩受到的拉力分別為F1、F2，夾角為θ.（1）求其中一根繩子受的拉力|F1|與G的關(guān)系式，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)分析|F1|的大小與夾角θ的關(guān)系；（2）求|F1|的最小值；（3）如果每根繩子的最大承受拉力為|G|，求θ的取值范圍．《6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．一物體受到相互垂直的兩個力、的作用，兩力大小都為，則兩個力的合力的大小為A． B．0C． D．【答案】C【解析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，合力的大小為．本題選擇C選項.2．已知兩個力的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與的夾角為60°，那么的大小為（）A．N B．5NC．10N D．N【答案】A【解析】對應(yīng)向量如圖由于α=60°，則的大小為||sin60°=10×=N．故選A。3．用力F推動一物體水平運(yùn)動sm，設(shè)F與水平面的夾角為，則對物體所做的功為（）A．|F|·s B．F·cos·sC．F·sin·s D．|F|·cos·s【答案】D【解析】W=|F|·cos·s．故選D。4．已知三個力同時作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個力，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】為使物體平衡，即合外力為零，即4個向量相加等于零向量，∴．故選D。5.（多選題）在水流速度的自西向東的河中，如果要使船以的速度從河的南岸垂直到達(dá)北岸，則船出發(fā)時行駛速度的方向和大小為（）A．北偏西 B．北偏西，C． D．【答案】AC【解析】如圖，船從O點(diǎn)出發(fā)，沿OC方向行駛，才能垂直到達(dá)河的對岸，則，所以，即船以的速度，向北偏西方向行駛，才能垂直到達(dá)對岸.故選AC。如圖，在重的物體上有兩根繩子，繩子與鉛垂線的夾角分別為，物體平衡時，兩根繩子拉力的大小分別為（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】作，使.在中，，，，.選C.二、填空題7．如圖，一個力作用于小車G，使小車G發(fā)生了40米的位移，的大小為50牛，且與小車的位移方向的夾角為60°，則在小車位移方向上的正射影的數(shù)量為牛，力做的功為牛米．【答案】1000【解析】∵||=50，且與小車的位移方向的夾角為60°，∴在小車位移方向上的正射影的數(shù)量為||cos60°=50×=25（牛）．∵力作用于小車G，使小車G發(fā)生了40米的位移，∴力做的功w=25×40=1000（牛米）．8．如圖，用兩條繩提起一個物體處于平衡狀態(tài)，此時每條繩用力5N，且兩條繩的夾角是120°，則物體G的重量是N．【答案】5【解析】由題意知，物體G的重量與兩條繩用力的合力的大小相等.根據(jù)每條繩用力5N，且兩條繩的夾角是120°，可得.∴=25+25+2×5×5×cos120°=25，∴兩條繩用力的合力的大小為5N∴物體G的重量為5N．9．若向量eq\o(OF1,\s\up6(→))＝(1，1)，eq\o(OF2,\s\up6(→))＝(－3，－2)分別表示兩個力F1，F(xiàn)2，則|F1＋F2|為。A．eq\r(10)B．2eq\r(5)C．D．eq\r(15)【答案】eq\r(5)【解析】由于F1＋F2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F1＋F2|＝eq\r(（－2）2＋（－1）2)＝eq\r(5)，故選C．10.已知=（2，3）作用一物體，使物體從A（2，0）移動到B（4，0），則=，力對物體作的功為．【答案】（2，3）4【解析】根據(jù)題意，力對物體作的功為W==（2，3）=2×2+3×0=4．三、解答題11．已知兩恒力F1＝（3,4），F(xiàn)2＝（6，－5）作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A（20,15）移動到點(diǎn)B（7,0）．（1）求F1，F(xiàn)2分別對質(zhì)點(diǎn)所