《直線與平面垂直的性質(zhì)》教案、導(dǎo)學(xué)案、課后作業(yè)

《8.6.2直線與平面垂直》教案第2課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì)【教材分析】在直線與平面的位置關(guān)系中，垂直是一種非常重要的關(guān)系，本節(jié)內(nèi)容既是直線與直線垂直關(guān)系延續(xù)和提高，也是后續(xù)研究平面與平面垂直的基礎(chǔ)，既鞏固了前面所學(xué)的內(nèi)容，又為后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)做了知識(shí)上和方法上的準(zhǔn)備，在教材中起著承前啟后的作用?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1．理解直線和平面垂直的性質(zhì)定理并能運(yùn)用其解決相關(guān)問(wèn)題.2．通過(guò)對(duì)空間距離的理解和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理能力．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.邏輯推理：探究歸納直線和平面垂直的性質(zhì)定理，線線垂直與線面垂直轉(zhuǎn)化；2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求空間點(diǎn)面、線面、面面距離.3.直觀想象：題中幾何體的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：直線和平面垂直的性質(zhì)定理.難點(diǎn)：直線和平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用.【教學(xué)過(guò)程】一、情景導(dǎo)入問(wèn)題1：長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間是有什么位置關(guān)系？問(wèn)題2：已知直線a⊥α、b⊥α、那么直線a、b一定平行嗎？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本153-155頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題1、垂直與同一條直線的兩條直線有什么位置關(guān)系？2、與線面垂直有關(guān)的結(jié)論有哪些？3、怎樣定義直線與平面的距離、平面與平面的距離？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。三、新知探究1、直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.a⊥α常用結(jié)論:(1)過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知平面垂直.(2)已知a⊥α.若平面α外的直線b與直線a垂直，則b//α(3)已知a⊥α.β//α，2、距離(1)直線與平面的距離：一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.(2)平面與平面的距離：兩個(gè)平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離.四、典例分析、舉一反三題型一直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用例1如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一點(diǎn),N是A1C的中點(diǎn),MN⊥平面A1DC.求證：（1）MN∥AD1;（2）M是AB的中點(diǎn).【答案】證明見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為正方體,所以AD1⊥A1D.又因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1,AD1?平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因?yàn)锳1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因?yàn)镸N⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.(2)設(shè)AD1∩A1D=O,連接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC.所以O(shè)NCDAB,即ON∥AM.又因?yàn)镸N∥OA,所以四邊形AMNO為平行四邊形,所以O(shè)N=AM.因?yàn)镺N=AB,所以AM=AB,即M是AB的中點(diǎn).解題技巧（證明兩條直線平行的常見(jiàn)方法）(1)公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行;(2)線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線與一個(gè)平面平行,那么經(jīng)過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;(3)面面平行的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行;(4)線面垂直的性質(zhì)定理:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.跟蹤訓(xùn)練一1、如圖，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，B為垂足，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)镋B⊥β，a?β，所以EB⊥a.又因?yàn)閍⊥AB，AB∩EB=B，所以a⊥平面ABE.因?yàn)棣痢搔?l，所以l?α，l?β.因?yàn)镋A⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l.又因?yàn)镋A∩EB=E，所以l⊥平面ABE.所以a∥l.題型二空間中的距離問(wèn)題例2如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱錐E-BB1C1C的體積.【答案】18.【解析】由長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，所以B1C1⊥BE，因?yàn)锽E⊥EC1，B1C1∩EC1=C1，所以BE⊥平面EB1C1，所以∠BEB1=90°，由題設(shè)可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=∠A1EB1=45°，所以AE=AB=3，AA1=2AE=6，因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，所以E到平面BB1C1C的距離即為點(diǎn)A到平面BB1C1C的距離，AB=3，所以四棱錐E-BB1C1C的體積V=13解題技巧(空間中距離的轉(zhuǎn)化)（1）利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距、面面距的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平面上的另一點(diǎn)到平面的距離.（2）利用中點(diǎn)轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點(diǎn)條件，將一個(gè)點(diǎn)到平面的距離，借助中點(diǎn)(等分點(diǎn))，轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到平面的距離.（3）通過(guò)換底轉(zhuǎn)化：一是直接換底，以方便求幾何體的高；二是將底面擴(kuò)展(分割)，以方便求底面積和高.跟蹤訓(xùn)練二1、如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC的中點(diǎn)，M是PD的中點(diǎn).(1)求證：AE⊥平面PAD.(2)若AB=AP=2，求三棱錐P-ACM的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【解析】解析(1)連接AC，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，∠ABC=60°，所以△ABC為正三角形，因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC，因?yàn)锳D∥BC，所以AE⊥AD，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE，又因?yàn)镻A∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.(2)因?yàn)锳B=AP=2，則AD=2，AE=3，所以VP-ACM=VC-PAM=13

S△PAM五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書(shū)設(shè)計(jì)8.6.2直線與平面垂直第8.6.2直線與平面垂直第2課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì)直線與平面平行的性質(zhì)定理例1例2常用結(jié)論空間距離線面距離面面距離七、作業(yè)課本155頁(yè)練習(xí)，162頁(yè)習(xí)題8.6的13、14、15、16題.【教學(xué)反思】通過(guò)本節(jié)課性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步了解線線垂直和線面垂直時(shí)刻相互轉(zhuǎn)化的，即空間問(wèn)題和平面問(wèn)題可以相互轉(zhuǎn)化.《8.6.2直線與平面垂直》教案第2課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識(shí)目標(biāo)1．理解直線和平面垂直的性質(zhì)定理并能運(yùn)用其解決相關(guān)問(wèn)題.2．通過(guò)對(duì)空間距離的理解和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理能力．核心素養(yǎng)1.邏輯推理：探究歸納直線和平面垂直的性質(zhì)定理，線線垂直與線面垂直轉(zhuǎn)化；2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求空間點(diǎn)面、線面、面面距離.3.直觀想象：題中幾何體的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】：直線和平面垂直的性質(zhì)定理.【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】：直線和平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用.【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本153-155頁(yè)，填寫(xiě)。1、直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_______.a⊥α常用結(jié)論:(1)過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知平面垂直.(2)已知a⊥α.若平面α外的直線b與直線a垂直，則b//α(3)已知a⊥α.β//α，2、距離(1)直線與平面的距離：一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條_____________.(2)平面與平面的距離：兩個(gè)平面平行時(shí)，其中一個(gè)_______________.小試牛刀1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線l⊥平面A1C1(l與棱不重合),則()A.B1B⊥l B.B1B∥lC.B1B與l異面 D.B1B與l相交2.已知a,b為兩條不同的直線,α,β為兩個(gè)不同的平面,下列四個(gè)命題:①a∥b,a∥α?b∥α;②a⊥b,a⊥α?b∥α;③a∥α,β∥α?a∥β;④a⊥α,β⊥α?a∥β.其中不正確的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)3.如果直線l,m與平面α,β,γ之間滿足:l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么()A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ4.線段AB在平面α的同側(cè)，A，B到α的距離分別為3和5，則AB的中點(diǎn)到α的距離為_(kāi)_______.

【自主探究】題型一直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用例1如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一點(diǎn),N是A1C的中點(diǎn),MN⊥平面A1DC.求證：（1）MN∥AD1;（2）M是AB的中點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練一1、如圖，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，B為垂足，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l.題型二空間中的距離問(wèn)題例2如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱錐E-BB1C1C的體積.跟蹤訓(xùn)練二1、如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC的中點(diǎn)，M是PD的中點(diǎn).(1)求證：AE⊥平面PAD.(2)若AB=AP=2，求三棱錐P-ACM的體積.【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．直角三角形的斜邊在平面內(nèi)，頂點(diǎn)在平面外，則△ABC的兩條直角邊在平面內(nèi)的射影與斜邊組成的圖形是（）．A．一條線段 B．一個(gè)銳角三角形C．一個(gè)鈍角三角形 D．一條線段或一個(gè)鈍角三角形2．已知正方體中，，則點(diǎn)到平面的距離為（）A．1 B． C． D．3．如圖所示，在斜三棱柱中，，則點(diǎn)在底面上的射影必在（）A．直線上 B．直線上C．直線上 D．內(nèi)部4．如圖，設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，分別為棱的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)______.5．如圖所示，已知PA⊥圓O所在的平面，是圓O的直徑，，是圓O上一點(diǎn)，且，與圓O所在的平面成角，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)；（1）求證：平面；（2）求三棱錐-的體積．答案小試牛刀1．B.2．D.3．A.4.4.自主探究例1【答案】證明見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為正方體,所以AD1⊥A1D.又因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1,AD1?平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因?yàn)锳1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因?yàn)镸N⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.(2)設(shè)AD1∩A1D=O,連接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC.所以O(shè)NCDAB,即ON∥AM.又因?yàn)镸N∥OA,所以四邊形AMNO為平行四邊形,所以O(shè)N=AM.因?yàn)镺N=AB,所以AM=AB,即M是AB的中點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練一1、【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)镋B⊥β，a?β，所以EB⊥a.又因?yàn)閍⊥AB，AB∩EB=B，所以a⊥平面ABE.因?yàn)棣痢搔?l，所以l?α，l?β.因?yàn)镋A⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l.又因?yàn)镋A∩EB=E，所以l⊥平面ABE.所以a∥l.例2【答案】18.【解析】由長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，所以B1C1⊥BE，因?yàn)锽E⊥EC1，B1C1∩EC1=C1，所以BE⊥平面EB1C1，所以∠BEB1=90°，由題設(shè)可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=∠A1EB1=45°，所以AE=AB=3，AA1=2AE=6，因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，所以E到平面BB1C1C的距離即為點(diǎn)A到平面BB1C1C的距離，AB=3，所以四棱錐E-BB1C1C的體積V=13跟蹤訓(xùn)練二1、【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【解析】解析(1)連接AC，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，∠ABC=60°，所以△ABC為正三角形，因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC，因?yàn)锳D∥BC，所以AE⊥AD，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE，又因?yàn)镻A∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.(2)因?yàn)锳B=AP=2，則AD=2，AE=3，所以VP-ACM=VC-PAM=13

S△PAM當(dāng)堂檢測(cè) 1-3.DBA4.17.5．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）23【解析】（1）證明：∵是圓O的直徑，是圓O上一點(diǎn)，∴．∵PA⊥圓∴．又分別是的中點(diǎn)，∴EF//BC，∴，．又，∴平面．（2）由（1）知，且，，∴．∵PA⊥圓∴為與圓O所在的平面所成的平面角，∴，∴．故．《8.6.2直線與平面垂直》課后作業(yè)第2課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固1．已知直線平面，直線，則（）A． B．l∥C．異面 D．相交而不垂直2．如圖，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，是內(nèi)異于和的動(dòng)點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)所組成的集合是（）A．一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C．半圓 D．半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)3．在長(zhǎng)方體中，M，N分別為，AB的中點(diǎn)，，則MN與平面的距離為（）A．4 B． C．2 D．4．如圖，，點(diǎn)，點(diǎn)，且，，那么直線l與直線的關(guān)系是（）A．異面 B．平行 C．垂直 D．不確定5．如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直6．在長(zhǎng)方體中，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點(diǎn)，，則平面ABCD與平面EFGH的距離為_(kāi)_______.7．已知矩形的邊，平面.若邊上有且只有一點(diǎn)，使，則的值為_(kāi)_____.8．如圖，平面，平面，，分別為，上的點(diǎn)，且.求證：.能力提升9．如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)．現(xiàn)有結(jié)論：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長(zhǎng)．其中正確的是()A．①② B．①②③ C．① D．②③10．如圖，在直角梯形中，，，、分別是、的中點(diǎn)，將三角形沿折起，則下列說(shuō)法正確的是______________.（1）不論折至何位置（不在平面內(nèi)），都有平面；（2）不論折至何位置，都有；（3）不論折至何位置（不在平面內(nèi)），都有；（4）在折起過(guò)程中，一定存在某個(gè)位置，使.11．如圖所示，已知平面，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，//，，.（1）求證：平面；（2）求證：.素養(yǎng)達(dá)成12．如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離．《8.6.2直線與平面垂直》課后作業(yè)答案解析第2課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固1．已知直線平面，直線，則（）A． B．C．異面 D．相交而不垂直【答案】A【解析】根據(jù)線面垂直的定義，若直線與平面垂直，則直線垂直與該平面內(nèi)的任意一條直線，因此，故選A2．如圖，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，是內(nèi)異于和的動(dòng)點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)所組成的集合是（）A．一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C．半圓 D．半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)【答案】B【解析】連接，，由于，，所以平面，平面所以，說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的圓上，但不與點(diǎn)重合.所以B正確故選：B3．在長(zhǎng)方體中，M，N分別為，AB的中點(diǎn)，，則MN與平面的距離為（）A．4 B． C．2 D．【答案】C【解析】如圖，BC1,又平面，平面.∴MN與平面的距離為N到面的距離.又N到平面的距離為.∴MN與平面的距離為2.故選：C4．如圖，，點(diǎn)，點(diǎn)，且，，那么直線l與直線的關(guān)系是（）A．異面 B．平行 C．垂直 D．不確定【答案】C【解析】，，，；同理；又，平面.平面，.故選：C.5．如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直【答案】C【解析】∵BD是菱形ABCD的一條對(duì)角線，菱形對(duì)角線互相垂直，∴AC⊥BD.∵M(jìn)C⊥平面ABCD，∴MC⊥BD，∵M(jìn)C和AC相交于點(diǎn)C，∴BD⊥平面ACM，∵M(jìn)A?平面AMC，∴MA⊥BD.又∵M(jìn)A與BD是異面直線，∴MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交.故選C.6．在長(zhǎng)方體中，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點(diǎn)，，則平面ABCD與平面EFGH的距離為_(kāi)_______.【答案】2【解析】如圖平面ABCD//平面EFGH又平面.平面ABCD與平面EFGH的距離為.故答案為：27．已知矩形的邊，平面.若邊上有且只有一點(diǎn)，使，則的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】平面，平面，.邊上存在點(diǎn)，使，且，平面.平面，∴以為直徑的圓和有公共點(diǎn).，∴圓的半徑為.∴點(diǎn)是唯一的，和半徑為的圓相切，，即.故答案為：．8．如圖，平面，平面，，分別為，上的點(diǎn)，且.求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】∵平面，平面，又平面，平面∴，，.又，平面∴平面.又，，平面∴平面，∴//，∴.能力提升9．如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)．現(xiàn)有結(jié)論：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長(zhǎng)．其中正確的是()A．①② B．①②③ C．① D．②③【答案】B【解析】對(duì)于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC，又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴BC⊥PC，對(duì)于②，∵點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)，∴OM∥PA，∵PA?平面PAC，OM?平面PAC，∴OM∥平面PAC，對(duì)于③，由①知BC⊥