新教材數(shù)學(xué)人教A版作業(yè)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)綜合測試

第三章綜合測試考試時(shí)間120分鐘，滿分150分．一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．函數(shù)f(x)＝eq\r(1＋x)＋eq\f(1,x)的定義域是(C)A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．R[解析]要使函數(shù)有定義，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋x≥0,x≠0))，解得x≥－1且x≠0，故選C．2．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x(x≥0)有相同圖象的一個(gè)是(B)A．y＝eq\r(x2) B．y＝(eq\r(x))2C．y＝eq\r(3,x3) D．y＝eq\r(\f(x2,x))[解析]A、C、D選項(xiàng)中函數(shù)的定義域與題目中的定義域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)．3．(2021·山東煙臺(tái)高一期中測試)已知函數(shù)y＝f(x)的部分x與y的對應(yīng)關(guān)系如下表：x－3－2－101234y32100－1－2－3則f[f(4)]＝(D)A．－1 B．－2C．－3 D．3[解析]由圖表可知，f(4)＝－3，∴f[f(4)]＝f(－3)＝3.4．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點(diǎn)(2，eq\f(1,2))，則函數(shù)g(x)＝(x－2)f(x)在區(qū)間[eq\f(1,2)，1]上的最小值是(C)A．－1 B．－2C．－3 D．－4[解析]由已知得2α＝eq\f(1,2)，解得α＝－1，∴g(x)＝eq\f(x－2,x)＝1－eq\f(2,x)在區(qū)間[eq\f(1,2)，1]上單調(diào)遞增，則g(x)min＝g(eq\f(1,2))＝－3，故選C．5．已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0]上單調(diào)遞增，若f(－3)＝－2，則不等式f(x)≥－2的解集為(B)A．[－3，0] B．[－3，3]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]∪[3，＋∞)[解析]f(x)為偶函數(shù)，且在(－∞，0]上單調(diào)遞增，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(3)＝－2，所以f(x)≥－2的解集為[－3，3]．6．(2021·全國高考甲卷文科)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f(1＋x)＝f(－x)．若f(－eq\f(1,3))＝eq\f(1,3)，則f(eq\f(5,3))＝(C)A．－eq\f(5,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(5,3)[解析]由題意可得：f(eq\f(5,3))＝f(1＋eq\f(2,3))＝f(－eq\f(2,3))＝－f(eq\f(2,3))，而f(eq\f(2,3))＝f(1－eq\f(1,3))＝f(eq\f(1,3))＝－f(－eq\f(1,3))，故f(eq\f(5,3))＝eq\f(1,3).故選C．7．已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且對任意x1，x2∈(－∞，0]，當(dāng)x1≠x2時(shí)總有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，則滿足f(1－2x)－f(－eq\f(1,3))>0的x的范圍是(A)A．(eq\f(1,3)，eq\f(2,3)) B．[eq\f(1,3)，eq\f(2,3))C．(eq\f(1,2)，eq\f(2,3)) D．[eq\f(1,2)，eq\f(2,3))[解析]由題意可知，f(x)在(－∞，0]上為增函數(shù)，又f(x)為偶函數(shù)，故f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，由f(1－2x)>f(－eq\f(1,3))可得－eq\f(1,3)<1－2x<eq\f(1,3)，解得eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3).故選A．8．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－1，1]，圖象如圖(1)所示，函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇－2，2]，圖象如圖(2)所示，方程f[g(x)]＝0有m個(gè)實(shí)數(shù)根，方程g[f(x)]＝0有n個(gè)實(shí)數(shù)根，則m＋n＝(C)A．6 B．8C．10 D．12[解析]f[g(x)]＝0，令t＝g(x)，則t1＝－1，t2＝0，t3＝1，令g(x)＝－1，x有2個(gè)根；令g(x)＝0，x有3個(gè)根，令g(x)＝1，x有2個(gè)根，∴f[g(x)]＝0共有7個(gè)根．g[f(x)]＝0，令f(x)＝t，g(t)＝0，則t＝0，即f(x)＝0，x有3個(gè)值，所以m＋n＝10.故選C．二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得3分)9．關(guān)于函數(shù)f(x)＝eq\r(－x2＋2x＋3)的結(jié)論正確的是(CD)A．定義域、值域分別是[－1，3]，[0，＋∞)B．單調(diào)增區(qū)間是(－∞，1]C．定義域、值域分別是[－1，3]，[0，2]D．單調(diào)增區(qū)間是[－1，1][解析]要使函數(shù)有定義，則－x2＋2x＋3≥0，即(x－3)(x＋1)≤0，－1≤x≤3.所以函數(shù)的定義域?yàn)閇－1，3]，值域?yàn)閇0，2]，在[－1，1]上單調(diào)增，故選CD．10．函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，下列命題中是正確命題的是(ABD)A．f(0)＝0B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，則f(x)在(－∞，0]上有最大值1C．若f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，則f(x)在(－∞，－1]上為減函數(shù)D．若x>0時(shí)，f(x)＝x2－2x，則x<0時(shí)，f(x)＝－x2－2x[解析]奇函數(shù)在對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，故C錯(cuò)誤，其余都正確．11．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(xiàn)(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（x）（若f（x）≥g（x））,f（x）（若f（x）<g（x））))，則F(x)(BC)A．最小值－1 B．最大值為7－2eq\r(7)C．無最小值 D．無最大值[解析]作出F(x)的圖象，如圖實(shí)線部分，知有最大值而無最小值，且最大值不是3，故選BC．12．已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是冪函數(shù)，對任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿足eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值為負(fù)值，則下列結(jié)論可能成立的有(BC)A．a(chǎn)＋b>0，ab<0 B．a(chǎn)＋b<0，ab>0C．a(chǎn)＋b<0，ab<0 D．以上都可能[解析]由函數(shù)f(x)為冪函數(shù)可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.當(dāng)m＝－1時(shí)，f(x)＝eq\f(1,x3)；當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＝x3.由題意知函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，因此f(x)＝x3，在R上單調(diào)遞增，且滿足f(－x)＝－f(x)．結(jié)合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，即b<－a，所以a＋b<0.當(dāng)a＝0時(shí)，b<0，ab＝0；當(dāng)a>0時(shí)，b<0，ab<0；當(dāng)a<0時(shí)，ab>0(b<0)或ab<0(0<b<－a)，故BC都有可能成立．故選BC．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．)13．(2021·陜西黃陵中學(xué)高一期末測試)函數(shù)f(x)＝eq\r(4－2x)＋eq\f(1,x＋1)的定義域是{x|x≤2且x≠－1}．[解析]由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－2x≥0,x＋1≠0))，解得x≤2且x≠－1，∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≤2且x≠－1}．14．已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,f（x＋1），x≤0，))則f(－eq\f(4,3))＋f(eq\f(4,3))等于4．[解析]∵f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,f（x＋1），x≤0，))∴f(－eq\f(4,3))＝f(－eq\f(4,3)＋1)＝f(－eq\f(1,3))＝f(－eq\f(1,3)＋1)＝f(eq\f(2,3))＝eq\f(2,3)×2＝eq\f(4,3)，f(eq\f(4,3))＝2×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，∴f(－eq\f(4,3))＋f(eq\f(4,3))＝eq\f(4,3)＋eq\f(8,3)＝4.15．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)(9，3)，則f(eq\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2)，函數(shù)f(eq\f(1,x)－1)的定義域?yàn)?0，1]．[解析]冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(9，3)，所以3＝9α，所以α＝eq\f(1,2)，所以冪函數(shù)f(x)＝eq\r(x)，故f(eq\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2)，故eq\f(1,x)－1≥0，解得0<x≤1.16．符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定義函數(shù)：f(x)＝x－[x]，則下列說法正確的是①②③．①f(－0.8)＝0.2；②當(dāng)1≤x<2時(shí)，f(x)＝x－1；③函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，1)；④函數(shù)f(x)是增函數(shù)，奇函數(shù)．[解析]①f(－0.8)＝－0.8－[－0.8]＝－0.8＋1＝0.2，正確．②當(dāng)1≤x<2時(shí)，f(x)＝x－[x]＝x－1.故B正確．③函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)＝x－[x]表示x的小數(shù)部分，所以值域?yàn)閇0，1)，正確．④x＝0.5時(shí)，f(0.5)＝0.5，x＝1.5時(shí)，f(1.5)＝0.5，所以f(x)不是增函數(shù)；且f(－1.5)＝f(1.5)，所以f(x)也不是奇函數(shù)．故填①②③.四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)＝ax＋b，且f(1)＝2，f(2)＝－1.(1)求f(m＋1)的值；(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并用定義證明．[解析](1)由f(1)＝2，f(2)＝－1，得a＋b＝2，2a＋b＝－1，即a＝－3，b＝5，故f(x)＝－3x＋5，f(m＋1)＝－3(m＋1)＋5＝－3m＋2.(2)f(x)在R上是減函數(shù)．證明：任取x1<x2(x1，x2∈R)，則f(x2)－f(x1)＝(－3x2＋5)－(－3x1＋5)＝3x1－3x2＝3(x1－x2)，因?yàn)閤1<x2，所以f(x2)－f(x1)<0，即函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減．18．(本小題滿分12分)已知f(x)在R上是單調(diào)遞減的一次函數(shù)，且f[f(x)]＝9x－2.(1)求f(x)；(2)求函數(shù)y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值．[解析](1)由題意可設(shè)f(x)＝kx＋b(k<0)，由于f[f(x)]＝9x－2，則k2x＋kb＋b＝9x－2，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝9，,kb＋b＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3，,b＝1，))故f(x)＝－3x＋1.(2)由(1)知，函數(shù)y＝－3x＋1＋x2－x＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，故函數(shù)y＝x2－4x＋1的圖象開口向上，對稱軸為x＝2，當(dāng)－1<a≤5時(shí)，y的最大值是f(－1)＝6，當(dāng)a>5時(shí)，y的最大值是f(a)＝a2－4a＋1，綜上，ymax＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6（－1<a≤5），,a2－4a＋1（a>5）.))19．(本小題滿分12分)某商品在近30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P(元)和時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系為P＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＋20，0<t<25，,－t＋100，25≤t≤30))(t∈N*)．設(shè)商品的日銷售量Q(件)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系為Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求這種商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大時(shí)是第幾天．[解析]設(shè)日銷售金額為y元，則y＝PQ，所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－t2＋20t＋800（0<t<25，t∈N*），,t2－140t＋4000（25≤t≤30，t∈N*）.))當(dāng)0<t<25且t∈N*時(shí)，y＝－(t－10)2＋900，所以當(dāng)t＝10時(shí)，ymax＝900. ①當(dāng)25≤t≤30且t∈N*時(shí)，y＝(t－70)2－900，所以當(dāng)t＝25時(shí)，ymax＝1125. ②結(jié)合①②得ymax＝1125.因此這種商品日銷售金額的最大值為1125元，且在第25天日銷售金額最大．20．(本小題滿分12分)函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋a,x2＋bx＋1)是定義在[－1，1]上的奇函數(shù)．(1)確定函數(shù)f(x)的解析式；(2)用定義證明f(x)的單調(diào)性；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.[解析](1)因?yàn)閒(x)是定義在[－1，1]上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，f(x)＝－f(－x)，即eq\f(x＋a,x2＋bx＋1)＝－eq\f(－x＋a,x2－bx＋1)，所以a＝0，b＝0，所以f(x)＝eq\f(x,x2＋1).(2)取－1≤x1<x2≤1，則x1x2<1，f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,xeq\o\al(2,1)＋1)－eq\f(x2,xeq\o\al(2,2)＋1)＝eq\f(（x1－x2）（1－x1x2）,（xeq\o\al(2,1)＋1）（xeq\o\al(2,2)＋1）)<0，所以f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞增．(3)因?yàn)閒(t－1)＋f(t)<0，所以f(t－1)<f(－t)．因?yàn)閒(x)在[－1，1]上單調(diào)遞增，所以－1≤t－1<－t≤1，解得0≤t<eq\f(1,2).所以不等式的解集為{t|0≤t<eq\f(1,2)}．21．(本小題滿分12分)如果函數(shù)y＝f(x)(x∈D)滿足：①f(x)在D上是單調(diào)函數(shù)；②存在閉區(qū)間[a，b]?D，使f(x)在區(qū)間[a，b]上的值域也是[a，b]．那么就稱函數(shù)y＝f(x)為閉函數(shù)．試判斷函數(shù)y＝x2＋2x在[－1，＋∞)內(nèi)是否為閉函數(shù)．如果是閉函數(shù)，那么求出符合條件的區(qū)間[a，b]；如果不是閉函數(shù)，請說明理由．[解析]設(shè)x1，x2是[－1，＋∞)內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且－1≤x1<x2，則有f(x2)－f(x1)＝(xeq\o\al(2,2)＋2x2)－(xeq\o\al(2,1)＋2x1)＝(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))＋2(x2－x1)＝(x2－x1)(x1＋x2＋2)．∵－1≤x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋x2＋2>0.∴(x2－x1)(x1＋x2＋2)>0.∴f(x2)>f(x1)．∴函數(shù)y＝x2＋2x在[－1，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)．假設(shè)存在符合條件的區(qū)間[a，b]，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（a）＝a,f（b）＝b))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋2a＝a,b2＋2b＝b)).解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0,b＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0,b＝－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝－1)).又∵－1≤a<b，∴eq\b\lc\{(