6.2.2 空間向量的坐標表示（解析版）

6.2.2空間向量的坐標表示一、空間直角坐標系在空間選定點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：軸.軸、軸，它們都叫作坐標軸。這時我們就建立了一個空間直角坐標系，叫作原點，都叫作坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫作坐標平面，空間直角坐標系通常使用的都是右手直角坐標系.二、空間一點的坐標表示1、空間點的表示：在空間直角坐標系中為坐標向量。給定任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作。也叫點在空間直角坐標系中的坐標，記作.2、空間點對稱的特點：空間的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準確求解。對稱點問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰就保持不變，其余坐標相反”這個結(jié)論。三、空間向量的坐標運算1、空間兩點的距離公式若,，則①即：一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。②，或2、向量加減法、數(shù)乘的坐標運算若，，則：①；②；③；3、向量數(shù)量積的坐標運算若，，則：；即：空間兩個向量的數(shù)量積等于他們的對應(yīng)坐標的乘積之和。4、空間向量長度及兩向量夾角的坐標計算公式若，，則①，．②．【注意】（1）夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：，其中θ的范圍是（2）（3）用此公式求異面直線所成角等角度時，要注意所求角度與θ的關(guān)系（相等，互余，互補）。5、空間向量平行和垂直的條件若，，則①，，②規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直作用：證明線線平行、線線垂直.題型一空間向量的坐標表示【例1】如圖，正方體的棱長為2，是上的點，且，則點的坐標為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于平面，，故設(shè)．因為，所以，故．【變式1-1】如圖，直三棱柱的所有棱長都是，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則頂點的坐標是__________．【答案】【解析】，即頂點的坐標是【變式1-2】已知點，向量，則點坐標是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)點，則向量，所以，所以點.故選：D【變式1-3】已知點，，點滿足，則點的坐標是________.【答案】【解析】設(shè)，為坐標原點.由點滿足，得，可得，則點的坐標是.題型二空間點的對稱問題【例2】在空間直角坐標系中，點關(guān)于原點的對稱點坐標為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在空間直角坐標系中，點關(guān)于原點的對稱點坐標為．故選：C．【變式2-1】已知點，點A關(guān)于x軸的對稱點的坐標為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】空間點關(guān)于軸對稱，橫坐標不變，另外兩個坐標相反，所以關(guān)于軸的對稱點為.故選：B【變式2-2】在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面對稱的點的坐標是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】點關(guān)于平面對稱的點的橫，豎坐標不變，縱坐標為相反數(shù)，因此對稱點的坐標是．故選：D．【變式2-3】在空間直角坐標系中，已知點．給出下列命題：①點關(guān)于軸的對稱點的坐標為；②點關(guān)于平面的對稱點的坐標為；③點關(guān)于軸的對稱點的坐標為；④點關(guān)于原點的對稱點的坐標為．其中真命題的個數(shù)是．A．B．C．D．【答案】D【解析】①點關(guān)于軸的對稱點的坐標為，故錯誤；②點關(guān)于平面的對稱點的坐標為，故錯誤；③點關(guān)于軸的對稱點的坐標為，故錯誤；④點關(guān)于原點的對稱點的坐標為，故錯誤．故選D.題型三空間坐標的基本運算【例3】若，，，則的值為（）A．B．5C．7D．36【答案】B【解析】，.故選：B【變式3-1】（多選）對于任意非零向量，，以下說法錯誤的有()A．若，則B．若，則C．D．若，則為單位向量【答案】BD【解析】對于A選項，因為，則，A選項正確；對于B選項，若，且，，若，但分式無意義，B選項錯誤；對于C選項，由空間向量數(shù)量積的坐標運算可知，C選項正確；對于D選項，若，則，此時，不是單位向量，D選項錯誤.故選：BD.【變式3-2】已知向量，，若，則k的值等于（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】由已知得=，2，且，所以得，即2k+8k=2，解得k=.故選：D【變式3-3】已知，，且，則向量與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，解得，所以，，所以，因為，所以.題型四空間向量平行的坐標表示【例4】若向量，，且，則的值為（）A．B．0C．6D．8【答案】D【解析】依題意，向量，，且，通過觀察橫坐標可知，所以，所以.故選：D【變式4-1】已知向量與共線，則實數(shù)（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】因為向量與共線，所以，即，解得或，所以實數(shù)的值為或.故選：D.【變式4-2】空間向量，若，則__．【答案】2【解析】若，則，則，所以．【變式4-3】已知，，且，則（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】，，則，由，可得，解之得，故選：B題型五空間向量垂直的坐標表示【例5】已知向量，若，（）A．1B．2C．4D．6【答案】C【解析】∵，若，則，即．故選：C【變式5-1】已知空間向量，，若與垂直，則等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，與垂直，則,，解得，，，故選：C．【變式5-2】三個頂點的坐標分別為，則的形狀為（）A．鈍角三角形B．銳角三角形C．正三角形D．直角三角形【答案】D【解析】由題得，則，，，因為，所以為直角三角形，故選：D【變式5-3】如圖，在棱長為的正方體中，是底面正方形的中心，點在上，點在上，若，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、，設(shè)點，，其中，，，，因為，則，解得，故.故選：D.題型六利用坐標求空間線段長度【例6】在空間直角坐標系中，點關(guān)于y軸的對稱點為B，則（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】點關(guān)于軸的對稱點為，所以；故選：C【變式6-1】如圖，在棱長為1的正方體中，M為的中點，，分別在棱，上，，．求的長．【答案】【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則點的坐標為，點的坐標為．于是．【變式6-2】在直三棱柱中，，，已知和分別為和的中點，與分別為線段和上的動點（不包括端點），若，則線段的長度的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在直三棱柱中，底面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、，設(shè)點、，，，由于，則，可得，，則，，故選：A．【變式6-3】如圖，棱長為3的正方體中，為面內(nèi)的一個動點，、分別為的三等分點，則的周長的最小值為（）A．