2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第四章第3節(jié)　第1課時(shí)　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

第3節(jié)三角恒等變換

考綱要求1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式；2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出

兩角差的正弦、正切公式；3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式,

導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；4.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的

恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對(duì)這三組公式不要求記憶）.

知識(shí)分類落實(shí)回扣知識(shí)?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

sin(0±6)=Sin/cos6±cosasin6.

cos(ct+￡)=CC)Sαcos6±sinasinB.

,~tana÷tanβ

tan(α±M=Ean蛔g

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2a=2sinαcosa

cos2α=cos2c-si∏2ɑ=2cos2c-1=1—Zsi/a

常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

Ltan?±tanβ=tan(α±^)(1+tanQtan￡).

??÷cos2α.1~cos2a

2.coso.2)siπ-9ct2`

3.1÷sin2α=(sinα÷cos?)2,1—sin2α=(sina—cosa)2,

sina÷cosa=6Sin(]±習(xí).

診斷自測(cè)

〉思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“或"X”)

⑴兩角和與差的正弦、余弦公式中的角。，夕是任意的.()

（2）存在實(shí)數(shù)0,β,使等式sin（α+夕）=sinα+sin夕成立.（）

八q.tanα÷tanp一…?療八，

(3)公式tan(α+Sλ)=-J■三可以變形為tancc÷tanβ

=tan(tt+/?)(1—tanɑtanβ),且對(duì)任意角ɑ,￡都成立.()

(4)存在實(shí)數(shù)a,使tan2a=2tanɑ.()

答案(I”(2)√(3)×(4)√

JT

解析（3）變形可以，但不是對(duì)任意的α,夕都成立，α,β,α+夕/爹+E（AdZ）.

〉教材衍化

4(3πλ則sin（α+目等于（）

2.已知cosa=~5fTj,

應(yīng)書

A-B巫D

a?10B10c?10

答案C

(兀，~2),且cosCf.—4..3

解析*.*a∈—亍??sina=一5，

3z

-

X√22+(-×√2

5?√2210

3.已知tan(α+j)=2,則tanq=()

；

A.B.-1C.,D.-τ

答案A

解析tanfcc+τ)=Jα=2,解得tana=?.

\4)1—tana3

＞考題體驗(yàn)

2

4.(2020-全國(guó)11卷)右sinx=—?,則cosIx=.

套口末案-9

21

解析因?yàn)閟inx=—?,所以cos2x=1—2sin2x=g.

5.(2020?江蘇卷)已知sin2^+α)=∣,則sin2a的值是.

答案3

解析因?yàn)椋?所以,2l÷sin2a21

sin20+a=],=3，0即rl---5-----=y所以sin2α=1.

3

-2平,則SinT)=

6.（2021?全國(guó)大聯(lián)考）己知

答案4

a=‰a-

解析?sin?-sinα

3

-

2SiIn

第1課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦?題型剖析

考點(diǎn)一公式的基本應(yīng)用自主演練

1.(2019?全國(guó)I卷)tan2550=()

A.-2-√3B.-2+小

C.2~?∣3D.2+√3

答案D

tan30o+tan45°

解析tan255o=tan(180o+75o)=tan75o=tan(30o+45o)=

1-tan30otan450

√I故選D.

2.（2021?銀川模擬）已知角α,少的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，若角ɑ,β

的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)AGI，BG2,|）.其中兌＜042，則COS（2α一4）=（）

答案C

解析由題意可知，Sina=g,Sin4=',由XlVoa2可知CoSa=-y∣1—si'ɑ=一駕^,cosβ

7∕

=MLSin2夕=卓所以COS2ct=(一自=iX所

一-

夕l

7小-8啦

以COS(2α一4)=cos2?cos夕+sin2ctsinβ=

27

3.(2021?北京西城區(qū)模才以)已知tanα=2,貝∣Jcos(2a+g)=.

答案-I

解析cos，。+?=-Sin2α=-2SinaCoSQ

-2SinHCoSa-2tana4

sin2α÷cos2atan2α÷15*

感悟升華1.使用兩角和與差的三南函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.

2.使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.

考點(diǎn)二公式的逆用及變形師生共研

【例1】(1)下列式子化簡(jiǎn)正確的是()

A.cos820sin52o-sin82ocos52°=g

B.sin150sin30osin750=∣

tan48°+tan72°∣-

c-l-tan48otan72O=^3

D.COS215O—sin215。=勺

⑵(2021?杭州模擬)函數(shù)火X)=CoSX—SinG+力Sin(X冷)在[0,捫的值域?yàn)?)

A.[-l,IJB.[-2,1]

C.[-2,2]D.[-∣,1

⑶(1+tan17o)?(l+tan28°)的值為.

答案(I)D(2)B(3)2

解析⑴選項(xiàng)A中，cos82osin52o-sin82°cos52°=sin(52°—82°)=Sin(—30°)=-Sin300=

故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B中，sin150sin30osin750=Isin15ocos15°=；Sin30°=1，故B錯(cuò)誤；

ZH-O

oo

._.tan48÷tan720,0or-.,

選項(xiàng)C中，1―一叫"o=tan(48+72)=tan120=-√3,故C錯(cuò)誤；

1-lα∏H-Olα∏/Z

H

選項(xiàng)D中,cos215o—sin2150=cos30°=考^,故D正確.

⑵∕ω=cosχ-Ain?-?ɑosχ-Ai∏x+'cosx=cosx-λHsinx=2cosfjc+^

\^14/v?ZɑosX2Sln?,cosΛ?Slnxι?eos??osx?siπ?∕cos1大∣?J?

,/0≤x≤π,/.^≤x÷^≤^,

JΓTETrTr

則當(dāng)x+^=π時(shí)，函數(shù)取得最小值2cos兀=—2,當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值2cos]=2

Xz=I,

即函數(shù)的值域?yàn)閇-2,1].故選B.

(3)原式=1+tan17o÷tan280+tan170?tan28°=1÷tan450(l-tan170?tan280)÷tan17o?tan

28o=l+l=2.

感悟升華運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟悉公式的正用，還要熟悉公式的逆

用及變形應(yīng)用，如tana÷tan^=tan(a÷y9)?(l-tan?tan/7)和二倍角的余弦公式的多種變形等.

公式的逆用和變形應(yīng)用更能拓展思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.

【訓(xùn)練1】(1)下列選項(xiàng)中，值為;的是()

Tt5TT12

A.2sinYJSin萬(wàn)B.^—^cos215°

CSin50。+CoyL。Dcos72°-cos36°

tan22.5°,,,,小

(2)1_lar?22.5。的值為---------

答案(I)D(2)|

解析(1)對(duì)于A,2sinγ^sinγ^=2sinγ^cosγ∣=sin^=^故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,∣COS215°=-∣(2COS215O-1)=-^cos30°=故B錯(cuò)誤;

COS500+√‰in50。

對(duì)于C,原式=

sin50ocos50°

2(冬in50。+JeOS50。).。

\22J2sιn802sιn80(I

=i=1=1=4故C錯(cuò)誤;

]sin100°2sin1000爹Sin80°

2sin36o?cos36o?cos7202sin72o<os72°_sin144°_1

對(duì)于D,cos36°?cos72o?o故D正確.

2sin36°4sin36-=4Sin36。=不

tan22.5o_12tan22.5。

(2)1-tan222.5o=2'1-tan?2.5o

=Itan45。=TX1=∣.

考點(diǎn)三角的變換師生共研

【例2】(1)(2020.全國(guó)川卷)已知Sin(9+sin(θ+號(hào)=1,則Sin(O+g=()

?lR近c(diǎn)2盅

(2)若0<α<會(huì)-^<yS<O,COSe+α)=g,COSe一亨)=坐,則CoSM+4等于()

A蛆B-近

/?.3D.39JL√.9

(3)(2021.長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè))若sin(。+T)=g,則sin(2。一：)=.

7

答案(I)B(2)C(3)一§

解析⑴因?yàn)閟ine+sin(θ+g)=sin(e+5一^+sin(e+*+9)=sin(e+5)cos季一cos(。+1

sin5+sin(8+§cos季+cos(d+意Sin1=2Sin(O+^cos1=小sin(θ+季)=1,所以Sin(O+1

=乎.故選B.

?"O<ct<^,貝!!睛+α尋,

2√2

?■Sir

3?

又一知<0,貝學(xué)彳一籍,二sin仔-f)=坐故COS(a+勻=/X乎+邛乎=可工故選C.

2

⑶法一因?yàn)镃oS(2e+g=cos[2(e+初=1—2Sin2。+W)=I—2x(，=,，cos(2(9+^)=

Sinlj-(2e+：)]=sin住一20)=-sin(26-L所以Sin(26-習(xí)=一卷

因?yàn)镃oS(26+彳)=Co12(。+期=1

法二

=￥(COS2J-sin2。)，sin(2。-?￡)=當(dāng)(Sin2。-COS29),所以sin(2。-々)=-COS(26+；

7

9-

感悟升華1.求角的三角函數(shù)值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示.

(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求南”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式;

(2)當(dāng)''已知角"有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)

用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.

2.常見(jiàn)的配角技巧：2a=(a+4)+(儀一份，a=(a+β)-β,Bw?二一.？￡因'

^=G÷O-g÷??

【訓(xùn)練2]⑴已知Sin(Q+§=坐，貝IJCoS停-2a)=.

4π

--且^<

543π4則cosa的值為.

答

案⑵√2

10

解析

=2sin2^a+^j-1=2X；-1=—

(2)?.?sin(a+g=*且％Q<尊

.πI兀,

??2<Q-4<兀,

z

兀

兀

兀

a4一?

+-s+-n

、44

34

-X√2十-×√2

=-525√2

10

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.已知α是第二象限角，且tana=一；,則sin2a=()

遍3√Io3

Bv

A.10-IO5

答案C

解析因?yàn)閍是第二象限角，且tana=-/

.遮3^∏0

所以Slna-彳萬(wàn)，COSa,

所以sin2a=2sinacos<?=2×故選C.

2.(2020?全國(guó)III卷)已知2tan。-tan(e+：)=7,則tanθ=()

A.-2B.-lC.ID.2

答案D

解析2tantanf0+7‰2tanΘ-?一到黑=7,解得tan0=2.故選D.

\4)1—tanθ

3.(2021.揭陽(yáng)一模)若Sin(F—2，=,,則sin%—cos%的值為()

4343

A.,B.,C.-?D.-?

答案D

解析Sine-2,=Cos2。=/貝Us*n4a-cos4a=sin2a—cos2a=-cos2a=-

4.(2020?貴陽(yáng)診斷)已知以￡(0,π),2sin2ɑ=cos2a—1,則COSa=()

A.乎BTC.平D「羋

答案B

解析V2sin2a=cos2a—1,/.4sinacosa=-2sin2a.*.βa∈(0,π),Λsin?>0,2cosa

*

=-sina9..cos?<0,結(jié)合sin%+cos%=1,得CoSa=一坐.

5.已知cos(0Y)+sin則sin(α+引的值是()

44

B-D-

55

答案C

π

解析?cosa÷sinα=cosoccosτ÷sinαsinτ÷sin

3

6.(2021?全國(guó)大聯(lián)考)已矢口sin(a+15o)=",貝IJCoS3—30。)=()

B.-/

A陪

D唔或Y

答案D

444

解

析---

T5

5-

+15o)-45ol=cos(cc+15o)cos450+sin(α+15o)sin45。=乎X嚅；當(dāng)cos(α+15o)

4

-eos(ɑ—30o)=eos[(ɑ+15°)—45°]=COSm+15o)cos45o+sin(α+15o)sin45°=乎X

5

.?.cos(α-30°)=唔或一率,故選D.

二、填空題

7.sin(α+4)cos(y一0-cos0+α)sin0-7)=.

答案sin(α+y)

解析sin(a÷jff)cos(y-jff)-cos(￡+。)sin0-7)

=Sin(Q+份CoS(β~~γ)-cos(α+β)sin(β一γ)

=sin[(α+β)-(β-γ)]=sin(α+γ).

8.(2021?北京東城區(qū)模擬)已知cos2Q=g,則COS26+G)—2COS2(兀一㈤的值為.

答案一1

,/兀I、0O1—cos2a

知*析rcosI?raj—2cos(π-?)=(-sin?)-—2(-cosa)~9=sin7?-2cos9-α=?-(1+

?-?z

、3(-1、

cos26z)=2-I1+?j~I.

9.tan20o+tan40o+√3tan20otan40°=.

答案√3

..,tan20o÷tan40o

解r析」an6"tan(20°+40°)=LR2(nan4a,

Λtan20o+tan40o=tan60o(l-tan20otan40o)

=小一小tan20otan40o,

二?原式=S-45tan20otan400+小tan20otan40°=小.

三、解答題

?0.（2021?合肥質(zhì)檢）已知函數(shù)fix）=cos2x÷sin（2x一季）.

⑴求函數(shù)7U）的最小正周期；

(2)若ie(θ,5)，y(a)=∣,求cos2α.

/??

解(l),.*y(x)=cos2x+2s^n2χ-2∞s2x

2x+^cos2x=sin

2TT

???函數(shù)段)的最小正周期T=號(hào)=兀.

(2)由|a)=g,可得π[1

+βr~3.

Va∈fθ,9,.?.2a+j∈

又?.?0<sin(2a+/=耳???2a+*∈管,J.

.,.cos(2a+*2√2

3.

2a=cosl^2?+^π)(看兀(卻兀襲π=1-2#

..coss2a+^cos+sin2a+Sin

66,66

I一上，sinl-Jl兀

11.己知CoSiae-。=|，且∕<av兀，0<夕<于求cos(a+4).

解由已知，得W<a-4<π,0<^-

=4^5

Λsin?一9,=%

??.coSWJoSl[(α-%g-初

=COS

√54√52=7s/5

3十93-27,

則CoS(a+份=2cos2^^-1=—

B級(jí)能力提升

12.(2021?昆明診斷)已知a,β,y∈O5sin6c÷siny=sin口,cos尸+cosy=cosa,則下列

說(shuō)法正確的是（）

A.