“配方法”的八種應(yīng)用-中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題練習(xí)（教師版）

專題03“配方法”的八種應(yīng)用(解析版)

類型一判斷代數(shù)式的正負(fù)

1.(2021秋?牡丹江期末)已知X為任意實(shí)數(shù)，則x-l-#的值()

A.一定為負(fù)數(shù)B.不可能為正數(shù)

C.一定為正數(shù)D.可能為正數(shù)、負(fù)數(shù)或0

思路引領(lǐng)：先提出負(fù)號(hào)，運(yùn)用完全平方公式配方，根據(jù)平方的非負(fù)性即可作出判斷.

解：原式=-[1-χ+(∣x)2]

=-(1-∣χ)2,

,/(1-??)^^0,

-(1-)^≤0>

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查了配方法的應(yīng)用，平方的非負(fù)性，提出負(fù)號(hào)是解題的關(guān)鍵.

4.(2022秋?朝陽區(qū)校級(jí)期中)求證：關(guān)于X的方程(/M2-8∕M+17)x1+2mx+?=0,無論，〃取何值，該方程

都是一元二次方程.

思路引領(lǐng)：根據(jù)一元二次方程的定義只要說明二次項(xiàng)系數(shù)不為零即可證明結(jié)論成立，根據(jù)配方法可以說

明二次項(xiàng)系數(shù)不為零.

證明：(，/-8"i+17)x?+2〃Ir+1=0,

Vm2-8w+17=(Zn-4)2+1^1,

.?.無論m取何值，該方程都是一元二次方程.

總結(jié)提升：本題考查一元二次方程的定義，解答本題的關(guān)鍵是明確一元二次方程的定義.

類型二比較大小

7CW

2.(2021?濰坊一模)已知M=g-2,N=P-?C為任意實(shí)數(shù))，則M,N的大小關(guān)系為()

A.M>NB.M<NC.M=ND.不能確定

思路引領(lǐng)：利用配方法把N-M的代數(shù)式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性判斷即可.

解：VN-M=(∕2-∣r)-(4-2)=i2-2t+2=(r-1)2+l>0,

.,.M<N,

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查的是配方法的應(yīng)用和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題的

關(guān)鍵.

3.(2020?浙江自主招生)在平面直角坐標(biāo)系Xo)，中，滿足不等式，+)2W2x+2y的整數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)的

個(gè)數(shù)為.

思路引領(lǐng)：已知不等式變形后，利用完全平方公式化簡，根據(jù)X與y均為整數(shù)，確定出X與y的值，即

可得到結(jié)果.

解：由題設(shè)/+y2<2x+2y,得OW(X-I)2+(y-1)2≤2,

因?yàn)椤妇鶠檎麛?shù),所以有點(diǎn)二;仁:喉沈;或C喉沈;，

A,Λ(x=IT(%=IT(%=IT(X=OT(X=OT(X=OT(X=2-(%=2_^(x=2

解7得Θ“y=1或E=2或Iy=0或Iy=1或Iy=0或猿=2或Iy=1或Iy=0或Iy=2'

以上共計(jì)9對(duì)(X,y).

故答案為:9.

總結(jié)提升：此題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是

解本題的關(guān)鍵.

類型三配方變形

2

5.(2019春?西湖區(qū)校級(jí)期中)如果α√-2x+V=(3x-?)+m,那么”，〃?的值分別為(）

y?

818

A.3,0B.9,C.9,-D.一,9

939

思路引領(lǐng)：由(3x—4)2+m=9∕-2x+之+"?可知α=9,m=等

解：由OX2-2%+尋=（3x—g）2+m

=9/-2x+g+,TZ

1

得：α=9,—+"?=1

9

所以：m=5

故選：B.

總結(jié)提升：本題主要考查完全平方公式在配方法中的應(yīng)用.

6.??^±2ah+h2=(〃土〃)2,???我們把形如J±%?+序的式子稱為完全平方式.請(qǐng)解決下列問題:

(1)代數(shù)式/+6x+m中，當(dāng)機(jī)=時(shí)，代數(shù)式為完全平方式；

(2)代數(shù)式f+mx+25中，當(dāng)加=±10時(shí),代數(shù)式為完全平方式;

(3)代數(shù)式/+(∕π÷2)x+(4m-7)為完全平方式，求能的值.

思路引領(lǐng)：根據(jù)完全平方式的定義即可求解.

解：(1)代數(shù)式/+6用力中，當(dāng)m=9時(shí)，代數(shù)式為完全平方式；

故答案為：9；

(2)代數(shù)式/+如+25中，當(dāng)m=±10時(shí)，代數(shù)式為完全平方式；

故答案為：±10；

(3)Y代數(shù)式/+(zn+2)x+(4m-7)為完全平方式，

.*.∕Π2+4∕W÷4=I6∕w-28,

m2-12根+32=0,

m2-12^+36=4,

/.(〃2-6)2=4,

m-6=±2,

∕∏ι=8,ZH2=4.

總結(jié)提升：本題考查了完全平方式的定義，熟記完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵.

類型四用配方法求代數(shù)式的最值

7.(2014春?宜興市校級(jí)期中)甲、乙兩位同學(xué)對(duì)問題“求代數(shù)式y(tǒng)=χ2+晝的最小值”提出各自的想法.甲

說：“可以利用已經(jīng)學(xué)過的完全平方公式，把它配方成y=Q+1)2-2,所以代數(shù)式的最小值為-2”.乙

說：“我也用配方法，但我配成y=Q-1)2+2,最小值為2”.你認(rèn)為()

A.甲對(duì)B.乙對(duì)C.甲、乙都對(duì)D.甲乙都不對(duì)

思路引領(lǐng)：先用配方法得到y(tǒng)=(X—。)2+2和y=(χ-i)2+2,再根據(jù)X和L一定同號(hào)判斷出正確的解

析式.

解：因?yàn)閄和二一定同號(hào)，不可能出現(xiàn)X=-”的情況.

Xx

所以1+[≠0.

所以乙正確.

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查了配方法的應(yīng)用.此題注意X和2的關(guān)系：互為倒數(shù)，顯然它們的平方和只有在都是

X

1或-1時(shí)，有最小值.

8.(2021秋?臺(tái)江區(qū)期末)閱讀材料：數(shù)學(xué)課上，老師在求代數(shù)式Λ2-4x+5的最小值時(shí)，利用公式a1±2ab+b1

=(a+h)2,對(duì)式子作如下變形：X2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+l

因?yàn)?X-2)2三0,所以(X-2)2+l^l.

當(dāng)x=2時(shí)，(X-2)2+1=1,

因此(X-2)2+l有最小值1,即7-4x+5的最小值為1.

通過閱讀，解決下列問題：

(1)代數(shù)式/+IOx-6的最小值為；

(2)當(dāng)X取何值時(shí)，代數(shù)式-7+6x+8的值有最大值或最小值，并求出最大值或最小值；

(3)試比較代數(shù)式4x2-2x與2√+6χ-9的大小，并說明理由.

思路引領(lǐng)：(1)仿照閱讀材料中的方法把代數(shù)式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出最小值即可；

(2)代數(shù)式利用完全平方公式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷即可；

(3)利用作差法列出關(guān)系式，配方后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出大小即可.

解：⑴AlOx-6

=(JΓ+10X+25)-31

=(x+5)2-31,

,.?(x+5)2/0,

當(dāng)x+5=0,即X=-5時(shí)，代數(shù)式最小值為-31；

故答案為：-31；

(2)-X2+6X+8

=-(X2-6X+9)+17

=-(X-3)2+17,

,.?(X-3)2》0,

-(X-3)2≤0,

...當(dāng)》-3=0,即x=3時(shí)，代數(shù)式有最大值17；

(3)?/(X-2)220,

.?.(4X2-2x)-(2X2+6X-9)

=4Λ2-2Λ?-2Λ2-6x+9

=2X2-8x+9

=2(Λ2-4.v+4)+l

=2(X-2)2+l>l>O,

.?.4Λ2-2X>2X2+6X-9.

總結(jié)提升：此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

9.(2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末)已知實(shí)數(shù)機(jī)，〃滿足，"-/=],則代數(shù)式ZM2+2∕+4"LI的最小值等于？

思路引領(lǐng)：根據(jù)題意把原式變形，根據(jù)配方法把原式寫成含有完全平方的形式，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解

答.

解：O"-/=1,

Λn2-m-1?1,

則w2+2n2+4m-1

=nr+2m-2+4"?-1

=m~+6m-3

=TΠ2+6∕H+9-12

=(∕π÷3)2-12,

V∏2≥l,

Λ(m+3)2?1224,即代數(shù)式小2+2/4M-I的最小值等于4.

總結(jié)提升：本題考查的是配方法的應(yīng)用，配方法的理論依據(jù)是公式。2±2"+戶=(a±b)2.

10.(2020秋?句容市期中)已知X=W是一元二次方程/+2i+〃-3=0的一個(gè)根,則m+n的最大值等于()

131513

A.—B.4C.-≡D.-?

思路引領(lǐng)：根據(jù)一元二次方程的解的定義，將X="代入一元二次方程/+2x+〃-3=0,即可求得〃=-

ιn2-2∕π+3,然后代入所求的代數(shù)式，利用配方法〃?+〃的最大值.

解：W=m是一元二次方程x2+2x+"-3=0的一個(gè)根，

.?x=m滿足一元二次方程/+2x+〃-3=0,

Λm1+2m+n-3=0,

Λπ=-m-2加+3,

?,_2c“―/1、211313

.?∕W+Λ—/H-in~2λ∏+3-—(〃？—^)―~4^,

13

.*.w+∕7的最大值為一，

4

故選：A.

總結(jié)提升：本題主要考查了一元二次方程的解的定義，注意配方法在解題過程中的應(yīng)用.

類型五配方法在多元二次方程中的應(yīng)用

11.(2017秋?蓬溪縣期末)已知心b、C是4A8C的三邊，且滿足J-■+碇-*=0,則AABC的形狀是

()

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.無法確定

思路引領(lǐng)：先分解因式，即可得出”=從根據(jù)等腰三角形的判定得出即可.

解：a2-b2+ac-bc=0,

(tz+?)(a-b)+c(a-b)=0,

(a-h)(a+?+c)=0,

Ta、b、C是三角形的三邊，

.β.a+?+c≠0,

.?a-b=0,

即a=b,

????ABC的形狀是等腰三角形，

故選：C.

總結(jié)提升：本題考查等腰三角形的判定和分解因式，能正確分解因式是解此題的關(guān)鍵.

12.已知0,b,C滿足/+23=7,?2-4c=-7,c2-6a=-14,則α+b+c的值是()

A.2B.3C.4D.5

思路引領(lǐng)：將已知三個(gè)等式的左右分別相加，然后根據(jù)配方法將/+6b+■+8c+c2+24轉(zhuǎn)化為偶次方的和

的形式(?+1)2+(6+3)2+(c+4)2=0；最后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答即可.

解：'"a1+2b=l,tr-4c=-7,C2-6a=-14,

'.a1+2b+b1-4C+C2-6a=-14,

22

(a-6a+9)+(fe?+l)+(c-4c+4)=0,

即(a-3)2+(ZH-I>2+(C-2)2=0,

V(α-3)2≥0,(?+l)2^0,(c-2)220,

.?.α-3=0,?+l=0,c-2=0,

?h~~~1,c=2,

.*?π+?+c=3+(-1)+2=4.

故選：C.

總結(jié)提升：本題考查了配方法的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)完全平方和公式將代數(shù)式轉(zhuǎn)化

為偶次方的和的形式，求出mb,C的值.

13.(2020秋?犍為縣期末)已知實(shí)數(shù)x、y、Z滿足：(x+z)2-4(χ-γ)(>-+z)=0,下列式子一定成立的

是()

A.x+y-z=0B.x+y+2z=0C.y-z-2x=0D.-z+x-2y=0

思路引領(lǐng)：先將原式展開，然后重組后配方得到(X-Z-2y)2=0,從而得到正確的選項(xiàng).

解：根據(jù)題意

*.*(x+z)2-4(x-y)(j+z)=0,

.β.x2+z2+2xz-4xy-4xz+4y2÷4vz=0?

.,..r2+z2-2xz-4xy+4γ2+4vz=0,

.,.(X-Z)2-4yCx-z)+4)2=0,

/.(x-z-2y)2=o,

Λx-Z-2y=0.

故選：D.

總結(jié)提升：考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)⒃竭M(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，難度不大.

14.(2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考)已知3χ-y=3α2-6α+9,x+y=a2+6α-9,若XW?則實(shí)數(shù)〃的值為()

A.1B.2C.3D.4

思路引領(lǐng)：根據(jù)題意列出關(guān)于尤、y的方程組，然后求得小y的值，結(jié)合已知條件XWy來求。的取值.

解：依題意得：產(chǎn)7=產(chǎn)16a,9.

解得F=fq-

(y=6。-9

Vχ≤y,

Λα2≤6α-9,

整理，得(0-3)2≤0,

故α-3=0,

解得a=3.

故選：C.

總結(jié)提升：本題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及解二元一次方程組.配方法的理論依據(jù)是公式

a2±2ab+b2=(<z±?)2.

15.(2020?蜀山區(qū)校級(jí)模擬)已知α-b=2,"+2%-C2+2C=0,當(dāng)bNO,-2WCVl時(shí)，整數(shù)”的值是.

思路引領(lǐng)：由a-b=2,得出a=b+2,進(jìn)一步代入ab+2b-c2+2c≈0,進(jìn)一步利用完全平方公式得到(6+2)

2-(C-I)2-3=0,再根據(jù)已知條件得到6的值，進(jìn)一步求得整數(shù)。的值即可.

解：Va-b=2,

?"?α=b+2,

ab+2b-C2+2<?

=b(?+2)+2h-C2+2C

=b1+4b-(c2-2c)

=(?+2)2-(C-I)2-3

=0,

V?≥0,-2≤c<l,

.?.4W(?+2)2≤12,

?.z是整數(shù)，

.*.6=0或1,

.'.a—2或3.

故答案為：2或3.

總結(jié)提升：此題考查配方法的運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵.

類型六用配方法分解因式

16.(2022春?吉安期末)請(qǐng)看下面的問題：把/+4分解因式.

分析：這個(gè)二項(xiàng)式既無公因式可提，也不能直接利用公式，怎么辦呢？

19世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家蘇菲?熱門抓住了該式只有兩項(xiàng)，而且屬于平方和(7)2+22的形式，要使用公式就

必須添一項(xiàng)4/,隨即將此項(xiàng)4Λ2減去，即可得/+4=/+4/+4-4x2=(x2+2)2-4x1-(Λ2+2)2-(2x)

2=(√+2x+2)(√-2x+2)

人們?yōu)榱思o(jì)念蘇菲?熱門給出這一解法，就把它叫做'‘熱門定理"，請(qǐng)你依照蘇菲?熱門的做法，將下列各

式因式分解.

(1)4√l+),4;

(2)x2-2ax-Ir-2ab.

思路引領(lǐng)：(1)原式變形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可；

(2)原式變形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可.

解：(1)原式=4√*+y4+4Λ2y2-4χ2y2=(2χi+y2)2-4x2γ2=(2Λ2+y2+2x.y)(2X2+J2-2xy)；

(2)原式=X2-2Or+,P-a?-層-2“/?=(χ-α)2-(a+b)2=(X+6)(.x-2a-b).

總結(jié)提升：此題考查了因式分解-配方法，以及分組分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.

類型七用配方法化簡二次根式

17.化簡：(遍一1)2包M一4遍的結(jié)果是.

思路引領(lǐng)：利用完全平方公式以及二次根式的性質(zhì)化簡求出即可.

解：(√5-l)2+2√9-4√5

=5+1-2√5+2J(√5-2)z

=6-2√5+2(√5-2)

=6-2√5+2√5-4

=2.

故答案為：2.

總結(jié)提升：此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

類型八配方法與根的判別式綜合運(yùn)用

18.(2020?黃州區(qū)校級(jí)模擬)若方程/+2(l+4)x+3∕+4aH4屬+2=0有實(shí)根，則=

a

思路引領(lǐng)：由二次方程有實(shí)根，得到△》(),BP?=4(l+a)2-4(302+4α?+4?2+2)-0,通過代數(shù)式變

形可得兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和小于或等于0,從而得到α,b的方程組，解方程組即可求出它們的比.

解：???方程有實(shí)根，

Λ?>0,即A=4(l+α)2-4(3α2+4α