培優(yōu)專題22巧用“基本模型”探索三角形相似-2022-2023學(xué)年八年級(jí)（五四制）下冊(cè)初三數(shù)學(xué)學(xué)練測(cè)(魯教版)

培優(yōu)專題22巧用“基本模型”探索三角形相似適用年級(jí)：2022-2023學(xué)年八年級(jí)（五四制）下冊(cè)教材版本：魯教版引言在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了三角形的基本概念和性質(zhì)，例如角的概念、三角形的分類、三角形內(nèi)角和為180度等。而三角形的相似性質(zhì)是我們進(jìn)一步研究和探索三角形的重要內(nèi)容之一。在本文檔中，我們將重點(diǎn)介紹如何巧用“基本模型”來(lái)探索三角形的相似性質(zhì)，以培優(yōu)專題22為基礎(chǔ)，幫助學(xué)生提高三角形的相似性質(zhì)的運(yùn)用能力。一、基本模型的思路在使用“基本模型”探索三角形相似性質(zhì)時(shí)，我們需要學(xué)習(xí)基本模型的思路和方法。下面是我們常用的三個(gè)基本模型：1.模型1：增加一個(gè)相等角這個(gè)模型的思路是，在一個(gè)已知的三角形ABC中，再構(gòu)造一個(gè)與其相似的三角形A’B’C’，并且在兩個(gè)三角形中增加一個(gè)相等的角。步驟1：已知三角形ABC，根據(jù)題目要求，畫出三角形A’B’C’，保證A、B、C和A’、B’、C’的對(duì)應(yīng)角是相等的。步驟2：通過(guò)觀察和分析，找出相似的條件和結(jié)論，并進(jìn)行證明。2.模型2：減少一個(gè)角相等的條件這個(gè)模型的思路是，在一個(gè)已知的三角形ABC中，再構(gòu)造一個(gè)與其相似的三角形A’B’C’，并且在兩個(gè)三角形中減少一個(gè)角相等的條件。步驟1：已知三角形ABC，根據(jù)題目要求，畫出三角形A’B’C’，構(gòu)造一個(gè)與原三角形相似但減少一個(gè)角相等的三角形。步驟2：通過(guò)觀察和分析，找出相似的條件和結(jié)論，并進(jìn)行證明。3.模型3：構(gòu)造相似比相等的條件這個(gè)模型的思路是，在一個(gè)已知的三角形ABC中，再構(gòu)造一個(gè)與其相似的三角形A’B’C’，并且在兩個(gè)三角形中構(gòu)造相似比相等的條件。步驟1：已知三角形ABC，根據(jù)題目要求，畫出三角形A’B’C’，構(gòu)造一個(gè)與原三角形相似并且構(gòu)造相似比相等的三角形。步驟2：通過(guò)觀察和分析，找出相似的條件和結(jié)論，并進(jìn)行證明。二、巧用“基本模型”探索三角形相似性質(zhì)在我們學(xué)習(xí)了基本模型的思路和方法后，接下來(lái)我們將具體應(yīng)用這些模型來(lái)解決一些與三角形相似性質(zhì)相關(guān)的問(wèn)題。例題1已知等腰三角形ABC中，AD是底邊BC的中線，DE⊥BC。若AB:DE=3:1，則三角形ADE與三角形ABC相似，請(qǐng)證明。解答：根據(jù)已知，已知等腰三角形ABC，AD是底邊BC的中線，DE⊥BC，且AB:DE=3:1。根據(jù)模型3的思路，我們構(gòu)造相似比相等的條件：連接AC、AE，再連接A’C’。由于AD是底邊BC的中線，因此AD=DC，所以A’D=DC’。根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，我們知道，若兩個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)三角形相似。因此，我們只需要證明∠EDA=∠C’BA即可。由于DE⊥BC，所以∠EDA=∠DBA。又因?yàn)锳’D=DC’，所以∠C’BA=∠DBA。所以，∠EDA=∠C’BA，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，三角形ADE與三角形ABC相似。證畢。例題2已知三角形ABC的內(nèi)角A、B、C分別是120°、30°、30°，三角形A’B’C’中，∠A’=∠B’，∠B’=∠C’。請(qǐng)問(wèn)三角形ABC與三角形A’B’C’相似嗎？為什么？解答：根據(jù)已知，∠A=120°，∠B=30°，∠C=30°，三角形A’B’C’中，∠A’=∠B’，∠B’=∠C’。根據(jù)模型1的思路，我們?cè)黾右粋€(gè)相等角：在三角形ABC的BC邊上構(gòu)造一個(gè)點(diǎn)D，使得∠D=30°。根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，我們可以得到∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A+∠C=120°。因此，∠ADC=120°。由于∠D=∠C，所以∠ADC=∠C。因此，∠A’=∠C。所以，在三角形ABC與三角形A’B’C’中，∠A’