2023年高考數(shù)學(xué)客觀題五 立體幾何

專題五立體幾何

【考試內(nèi)容】空間幾何體的三視圖;空間幾何體的表面積及體積;

線與線、線與面、面與面之間的平行關(guān)系及垂直關(guān)系;點(diǎn)到平面

【近7年全國(guó)卷考點(diǎn)統(tǒng)計(jì)】

試卷類型2016201720182019202020212022

全國(guó)卷（甲卷）10101010101015

全國(guó)卷（乙卷）1010155151010

新高考全國(guó)IK1015

新高考全國(guó)∏卷1510

重要考點(diǎn)回顧

一、簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積的計(jì)算公式

L圓柱、圓錐、球、圓臺(tái)的表面積（C是底面周長(zhǎng)』為母線長(zhǎng)）■

圓柱的側(cè)面積S=C/=2?！?表面積3=2兀〃+2兀廠2=2兀r（r+/）;

圓錐的側(cè)面積S=；c/=7uV,表面積3=兀/+兀”二?！丁?/）；

的表面積S=4兀甯,

圓臺(tái)的表面積S圓臺(tái)=TG2+2+/7+〃）&7分別為上、下底面半徑,/為

母線長(zhǎng)）.

2.簡(jiǎn)單幾何體的體積

棱柱和圓柱的體積V=S底X∕z（S底為底面積為高）；

棱錐和圓錐的體積V=；S底X∕z（S底為底面積也為高）；

棱臺(tái)的體積V棱臺(tái)=∕（S+√^+S）（S;S分別為上、下底面面積也為

圓臺(tái)的體積V圓臺(tái)=∣π∕z（產(chǎn)+r/+產(chǎn)）（r7分別為上、下底面半徑,Zz為

球的體積V=—π7?3.

3

特殊的正四面體：

對(duì)于棱長(zhǎng)為。的正四面體的問(wèn)題可將它補(bǔ)成一個(gè)邊長(zhǎng)為學(xué)〃的正

2

方體問(wèn)題.

對(duì)棱間的距離為√三2。（正方體的邊長(zhǎng)）

62

正四面體的∣?號(hào)-，（二§/正方體體對(duì)角線）

λ∕2R

正四面體的體積為^j^g"（V正方體-4V小三棱錐二-§V正方體）

正四面體的中心到底面與頂點(diǎn)的距離之比為1：3

1J

（二7,正方體體對(duì)角線?J,正方體體對(duì)角線）

二、空間幾何體的三視圖和直觀圖

投影:把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投

影線交于-點(diǎn)；

■把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影,平行投影的投

影線是平行的.

正視圖:光線從幾何體的前面向后面正投影,得到的投影圖.

側(cè)視圖:光線從幾何體的左邊向右邊正投影,得到的投影圖.

俯視圖:光線從幾何體的上面向下面正投影,得到的投影圖.

★畫(huà)三視圖的原則:

正俯長(zhǎng)相等、正側(cè)高相同、俯側(cè)寬一樣

注:球的三視圖都是圓;長(zhǎng)方體的三視圖都是矩形

三、點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

L空間圖形的公理

公理1文字語(yǔ)言:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直

線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)）.

符號(hào)語(yǔ)言:A￡l,B∈Z,A∈a,B∈a=IUa.

■應(yīng)用:證明或說(shuō)明點(diǎn)在平面內(nèi),線在平面內(nèi).

公理2文字語(yǔ)言:經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面

（即可以確定一個(gè)平面）,

符號(hào)語(yǔ)言:若點(diǎn)CE直線A氏則點(diǎn)A、B、C確定一個(gè)平面％又

可記作:平面ABe

推論1經(jīng)過(guò)直線和直線外的一點(diǎn),確定一個(gè)平面；

推論2經(jīng)過(guò)兩相交直線確定-個(gè)平面；

推論3經(jīng)過(guò)兩平行直線確定-個(gè)平面.

應(yīng)用:證明點(diǎn)或線共面,確定平面.

公理3文字語(yǔ)言:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們

■有且只有一條經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線.

符號(hào)語(yǔ)言:A∈aΠβ=^aΓ?β^a,A∈a.

■應(yīng)用:證明多點(diǎn)共線,多線共點(diǎn),判定兩平面相交.

公理4文字語(yǔ)言:平行于同一直線的兩條直線平行,

符號(hào)語(yǔ)言:〃〃b,b//c=^a∕/c.

應(yīng)用:證明線線平行.

2.直線、平面之間的位置關(guān)系

⑴空間兩條直線

相交:有一個(gè)公共點(diǎn)［在同一平面內(nèi)I

平行:沒(méi)有公共點(diǎn)J

異面:沒(méi)有公共點(diǎn),不同在任何一個(gè)平面內(nèi)

（2）空間角

■①異面直線所成角:已知兩條異面直線〃力,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)。

作直線優(yōu)〃d>〃"我們把所成的銳角（或直角）叫做異面直線

。與6所成的角（或夾角）.如果兩條異面直線所成的角是直角,那么

就說(shuō)兩條異面直線互相垂直.異面直線所成的角的范圍為■

（0°,90°].

I②直線與平面所成角:直線與平面斜交時(shí),直線與其在平面內(nèi)

的射影所夾的銳角叫做直線與平面的夾角.直線與平面平行或在

平面內(nèi)時(shí),直線與平面的夾角為0。.直線與平面垂直時(shí),直線與平

面的夾角為90°.直線與平面夾角的范圍為[0°,90°].

(3)線面關(guān)系網(wǎng)絡(luò)圖

(4)線面關(guān)系判定與性質(zhì)

結(jié)論線線平行線面平行面面平行垂直關(guān)系

如果I如果I

線線［如果ɑ〃人

a//a,au∕3,

平行Ia//b,b//c,Pna=A廓么aΓ?γ^a,βC?γ=b,aA-a,bA-a,

那么Q〃c如么〃〃b那么〃〃b

a//b

I如果I

線面I如果〃〃b,

平行Iga,bua,------a//B,aua,

那么Q〃aH那么Q〃萬(wàn)

如果αugbuα,如果1u%0uα,I如果I如果I

面面

CUAdU夕,〃〃c,aΓ?b=P,a∕/β,

平

行a//ββ//γ,_1_4

b//d,aΓ?b=P,b∕∕β.

那么口〃γ那么Q〃夕

那么G〃夕那么α〃夕

結(jié)論線線垂直線面垂直面面垂直平行關(guān)系

I如果I如果三個(gè)平如果I

勾股定理；

線線面兩兩垂直，

■兩線夾角a_La,Z?Uaa//b,a,Lc,

垂直那么它們交

■90oIH那么Lb那么LC

線兩兩垂直

如果〃_L6,如果Q，A

如果

線面〃_Lc/uα,aCβ=b,aua,

αJLa力〃a,

垂直CUα,OPlc=P,Q_L6,

那么La

那么〃_La那么S

面面定義（二面角w

〃JLa,QU^

垂直等于90°）

那么夕J_a

3.距離的求法

I點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面距離:點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離就是兩點(diǎn)之間線

段的長(zhǎng);點(diǎn)與線、面間的距離是點(diǎn)到線、面垂足間線段的長(zhǎng).求它

們首先要找到表示距離的線段然后再計(jì)算.mm

I注意:求點(diǎn)到面的距離的方法：

I⑴直接法:直接確定點(diǎn)到平面的垂線段長(zhǎng):

I（2）轉(zhuǎn)移法:轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到該平面的距離（利用線面平行的性

I⑶體積法:利用三棱錐體積公式,

（4）向量法:利用空間向量中點(diǎn)到平面的距離公式.

考點(diǎn)訓(xùn)練

L一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形,這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)

面積的比是（）

A1+2Tr1+2Tr

B

AF4TTπD等

【答案】A

【解析】設(shè)圓柱底面的半徑為匕則高為2兀八

全面積：側(cè)面積=［（2兀r）2+2兀產(chǎn)I：（2兀r）2=氾F.故選A.

2JL

2.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如

下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺,問(wèn):積及為米幾何?”

其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之

一）,米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問(wèn)米堆的體積和堆放

的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,

估算出堆放的米約有（）

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

【答案】B

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為匕則由%=8,解得片竺，C

22πQ

故米堆的體積為:X（X兀X（爭(zhēng)×5W2.囂，J

??T斛米的體積約為L(zhǎng)62立族，

???等÷1.62≈22（斛）.故選B.

3.正三棱柱ABCA向G的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為√‰D為5C中點(diǎn),

則三棱錐A-為。G的體積為（）

A.3B.-C.lDz

22

【答案】C

【解析】???正三棱柱A3C-4B1G的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為舊,[

。為BC中點(diǎn)，

J底面與。G的面積為1×2×√3=√3?

乙

點(diǎn)A到底面與。G的距離就是底面正三角形的高∕ι=√^?

則三棱錐A-BQG的體積為"舊XB=L故選C.

4.已知圓錐的底面半徑為遮,其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓,則該圓錐

A.2B.2√2C.4D.4√2

【答案】B

［解析］由題意,設(shè)母線長(zhǎng)為

因?yàn)閳A錐底面周長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖半圓的弧長(zhǎng),圓錐的母線長(zhǎng)即

為側(cè)面展開(kāi)圖半圓的半徑，m

則由2兀?魚(yú)二兀?/,解得/=2三所以該圓錐的母線長(zhǎng)為2匹故選B

5.已知圓柱的上、下底面的中心分別為。1，。2,過(guò)直線。1。2的平面

截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為

A.12近兀B.12τιC.8j^7iD.10兀

【答案】B

【解析】設(shè)圓柱的底面直徑為2尺則高為2凡

圓柱的上、下底面的中心分別為01,。2,過(guò)直線0］。2的平面截該圓

柱所得的截面是面積為8的正方形，

可得4R2=8,解得e=魚(yú).

則該圓柱的表面積為兀%(√2)2×2+2√2πX2近二12兀.故選B.

6.正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則其體積

為（）

A,20+12√3B.28√2C.yD.2

【答案】D?

【解析】如圖45。。/向。13為正四棱臺(tái)/3=2,4g=444]=2.

在等腰梯形4山氏4中,過(guò)A作可得AlE=一=1,

2=

AE=JAA∕—A1EV4—i??/?-

連接AC√?ιG,則AC=λ∕4+4=2?∕^,A]G=Λ∕16+16=Z?5

限作AG_LAIG,AIG=^∣^=√‰4G=JA4/—4G2=√4—2=√Σ

則正四棱臺(tái)的體積為V=S上+s下+J上$下力=22+42+標(biāo)正義魚(yú)=變

----------3----------33

故選D.

6.正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則其體積

為()

A.20+12√3B.28√2C.yD.2

［答案］D

析】作出圖形,連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心,如圖.

???該四棱臺(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,

22

???該棱臺(tái)的高∕z=y∣2-(2√2-√2)=√2?

下底面面積Sι=16,上底面面積$2=4,

則該棱臺(tái)的體積為

V=∣∕ι(Sl+52+λ∕?)=∣×√2×(16+4+√64)=^.故選D.

??3

7.在長(zhǎng)方體ABCD-A向。］。1中,AB=2,5C=1,直線A。與直線BG所

成的角為60。，則該長(zhǎng)方體的體積為

A.2√2B.√2C.2√3D.√3

【答案】C

【解析】???3。〃4。,直線4。與直線6。1所成的角為60°,

???NCpBC即為AO與Bg所成的角.

??.NG3C=60°,且BC=I,可得CG=V^

???該長(zhǎng)方體的體積V=2X1*b二2月故選C

8.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一

個(gè)正四棱錐,以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐

一個(gè)側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方

形的邊長(zhǎng)的比值為（）

A.且B.旦

42

CVs+ιDVs+ι

42

［答案］C

析】設(shè)正四棱錐的高為九底面邊長(zhǎng)為〃,側(cè)面三角形底邊上的

高為h；

2r

（h=-ahf2

則依題意有《2/、2因此有i-（4=Sk

W=小_S,W2

即哨2喏）-1=0,解得詈等（負(fù)值舍去）.故選C.

9.設(shè)/,見(jiàn)〃表示直線,ɑ/表示平面,使“/_La”成立的充分條件是（

A.a邛,1〃BB.aLβ,luβ

CjnUa,nua,lLm,lJLnD.I//La

【答案】D

【解析】:由/〃_La,可得/_La,

???“/〃凡〃，α''是"/_La”的充分條件.

???選項(xiàng)D滿足題意,其他選項(xiàng)都不能推出/,很

故選D.

10.已知兩條直線77Vl和平面氏則m_L〃的一個(gè)充分條件是（）

A.M_La且〃J_aB.m∕/。且〃Ua

C.m_L。且D.m∕/1且〃〃α

【答案】C

【解析】,**由_。且〃Ua,可推出加_L〃，

"加_La且〃Ua”是“根_1九”的一個(gè)充分條件.

而其他選項(xiàng)都不能推出根故選C.

π.如圖,在正方體ABCD-A向GA中，￡/分別為CGQIG的中點(diǎn),

則下列直線中與直線相交的是（）D、n年T

A.直線AljFB.直線ADl

C.直線GQD.直線AAl

【答案】A/今分弋二,夕

【解析】對(duì)于A,&F分別為CG,G3的中點(diǎn)，徑/_替?

所以EF//CQ,即所〃Al民所以JFA乃四點(diǎn)共面，

因?yàn)槁椤貯∕,所以與AIb相交,故A正確；

對(duì)于B,因%A3〃平面5CG與,5￡u平面5。。避1，

所以AQ與房沒(méi)有公共點(diǎn),故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)镚QjL平面5CG當(dāng)乃E不過(guò)點(diǎn)G，所以5E?GQ異面,

故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)锳AI〃平面5CG5ι,3Eu平面JBCCPB],所以AAl與JBE沒(méi)

有公共點(diǎn),故D錯(cuò)誤.故選A.

12.已知ɑ/是兩個(gè)不同平面,/是空間中的直線,若La,則"〃尸是

IA.充分不必要條件B.必要不充分條件

C充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】???命題“若小,/〃以則α”為真命題;

若則/〃￡或/u￡,

故命題“若L%0”則///夕'為假命題，

???若/1_g則“〃夕，是％_1廠的充分不必要條件.故選人.

13.如圖,正方體A5CD-4區(qū)GDI中是的中點(diǎn),則

A.直線與直線HQi相交,直線MBU平面A5G

B.直線與直線。C平行,直線〃平面與。IC

C.直線與直線A1。垂直,直線〃平面為DlC

D.直線與直線AC異面,直線，平面AOGBi

【答案】C

【解析】對(duì)于A,由于與出湘交,而與坊。1平行，

可得直線M3與直線為Ql異面,直線Affiu平面A5C],故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,直線與Ad相交,而A田與。IC平行，

所以與直線QC異面，_____

平面與平面BlOlC平行，

可得直線與平面修。C平行,故B錯(cuò)誤；法｛'

【解析】對(duì)于C,不妨設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1,則3。=近,必）=等

因?yàn)锳5JL平面√4Mu平面A[ADD],所以AB_LAM

所以BΛ∕二，4§2+4河2=1+1Ve

22

2

所以BM+"。2=5。2.所以JgM_LMD,即JBM_LA]D

由上面的分析可得直線與平面與。IC平行,故C正確；A

對(duì)于D,由M不在平面A5C內(nèi)f不在直線AC上，'

B,

可得直線與直線AC異面.

若平面ADGBl,可得MB-LAD,MB~L2G?

而5C〃A。,可得_L5C,進(jìn)而得到MBl.平面3CG5I?FR

而AB，平面BCG修,所以"5與AB重合,矛盾,故D錯(cuò)誤.

故選C.

14.如圖,正方體ABCD-AvBIGDI的棱長(zhǎng)為1。是底面APBIGDI的

5

中心,則OllJFffiABC1Di的距離為（）

A,-2B成

4

C.五D組

22

【答案】B

【解析】過(guò)。作All的平行線,交當(dāng)G于瓦

則。到平面A5G3的距離即為E到平面A5C。的距離.

作￡FJ_JBG于/,易證EbJL平面ABGQ,

可求得封二工0C二0故選B.

414

15.已知直二面角a-/￡點(diǎn)A∈a,ACL,C為垂足乃∈KBΓɑ∕，。為垂

足,若AB=2AC=BD=1,貝U。至IJ平面A5C的距離等于()

AEB.更C空D.1

333

【答案】C

【解析】由題意畫(huà)出圖形(如圖所示).■

直二面角q-//中,點(diǎn)A￡“LC_L/,C為垂足;5∈P,3OJJQ為垂足.

^AB=2,AC=BD=I,Γ^5-----------1

則。到平面ABC的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐D-ABC的高為九,

.w——

所IUAD≡√3,CD=√2,BC≡√3.^

由LACD=匕"可知:×ICCDBDwXIeBC九解得Zz哼

故選C.

16.如圖,已知四棱錐尸-A5CO中,以，平^ABCDABCD^直角梯

形,AO〃5CNA4O=90°,5C=2,7?=A5=1.則點(diǎn)。到平面尸5C的距

離為（）

??由%-30C=VQ-P30即,s?goe,必=WS△尸BC也解得"=f?故選A?

??Z

17.如圖,已知正方體AgCD-APBIGaI的棱長(zhǎng)為1，則線段A3上的

動(dòng)點(diǎn)尸到直線AlG的距離的最小值為（）

A.1B*C.亞DZ

243

D、___

【答案】D

【解析】線段AQ上的動(dòng)點(diǎn)尸到直線AC1的距做最小值等價(jià)于

異面直線ADlAG間的距離α

因?yàn)锳lCl與平面A。IC平行,故d等于A］到平面I

由可得，

∣×^×（√2W=j×j×l×1×1,B?

解得d二旦故選D.

3

R

18.在正方體人38-43。1。1中，異面直線45與當(dāng)。所成的角

A.30oB.45oC.60oD.90o

【答案】C

【解析】連接則A］?！˙le

則異面直線ApB與修C所成的角的平面角為NA40（或其補(bǔ)角）,

XAQ=5。=AId則NBA]Q=60°.故選C.

R

19.若正四面體A-Be。中分別為ABQC的中點(diǎn),則異面直線”

與CE所成角的余弦值為（）

A.-B.-Cw

332

【答案】B

【解析】?AB=2,KUF=CE=√3,

^AF'EC=^AC+AD>^CA+CB^

-1/→2→T→→I→T?

-^'AC-CACB'AC'AD^AD'CB)

=-×(-4-2x2x工一2x2x9=2

4\2→2/→

設(shè)酢，命所成角為仇則CoS。=2與=W

zirnc?AF??EC?3

即異面直線AF?CE所成角的余弦值為I.故選B.

20.如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A向GB中,HN,￡/分別是

ADQDI招CCB的中點(diǎn),則異面直線MN與臣所成的角為（）

TlC冗C冗

Aλ，2BqCi

［答案］c;一L

【解析】取CG的中點(diǎn)H,連接FW,EH?彳?！狶

由MN〃9則異面直線MN與所斯成的角的書(shū)面角為

∕FWH(或

其補(bǔ)角）./IQ.

Λ

又AB=2,則EH=FH=迎,FE=b2+(√2)2-Ve,aH

則COSNb￡H二空巴空士空■二包,貝IJ∕FEH=2故選C/U

2?EH?EF26T

A3

21.在三棱錐P-AiSC中,B4，平面ABcB4=43,Z?43C是正三角形，

M,N分別是A氏PC的中點(diǎn),則直線MN,PB所成角的余弦值為（）

A.qB.CcD

34?τI

【答案】D

【解析】取出的中點(diǎn)￡,AC的中點(diǎn)E連接￡N,NE

由題意有EA/〃尸叢

則直線MN所成角的平面角為NEMN（或其補(bǔ)角）.

設(shè)必=2,

1_________

W?EM=fB=a,MN='MF2+NF2∏,EN=1,

EM2+MN2-EN22+2-1_3

則COSNEA/V=

2?EM?MN2×√2×√24,

即直線MN所成角的余弦值為J.故選D.

22.如圖,在正四棱柱AiSCD-A向GD中,底面邊長(zhǎng)為2,直線CG與

平面ACB所成角的正弦值為右則正四棱柱的高為（）

KJ

R

【答案】C

【解析】以。為原點(diǎn),以DAQCQB為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系(如

圖所示)設(shè)DDl=〃,則4(2,0,0),C(0,2,0),3(0,0,a),G(0

則G=（-22。）,ABl=（-2,0,。）,CZI=（0,0,〃）.

設(shè)平面ACDl的法向量為〃=(X,y,2),

則Irι,絲二。即廣子[2y=：令E可得於

[n?AD1=0fl-2%+αz=0,

→T2

故COS<%匕1>/薩=善京有市

IZIll511?αz

???直線CCl與平面ACD1所成角的正弦值為"

**?由行芻=="解得。=4.故選C.

√2αz+43

23.正方體A5C0-A∕IGQ中，A為與平面A5CQι所成的角為()

A.30oB.45oC.60oD.90o

【答案】A

【解析】如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.

取平面A8CQ1的法向量〃=f?=(IQI),

則直線A3］與平面ABG3所成的角的正弦值為

→

—>^?ABn?1?l

ICoS<4v=

?AB1??n?魚(yú)X近2

則直線A5］與平面A3G3所成的角為30°.故選A.

24.在所有棱長(zhǎng)均相等的直三棱柱A3CApBιG中，。，￡分別為棱

55*C的中點(diǎn),則直線APBl與平面ApDE所成角的正弦值為（I

?√30g√30ɑ√370?√70

*IO*2020*10

【答案】B

【解析】如圖所示,取A3的中點(diǎn)。以。為原點(diǎn),以。氏OC和平面ABC過(guò)

點(diǎn)。的垂線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系.

II->—>—>3√3

片(1,0,2),則為a二(2,0,0)4。=(2,0,/)4￡?=

2'2

設(shè)平面AQE的法向量為〃=(X,y,z),

(2x—z=0,

n?AD—0,

則1%+42z=0,

n?A1E—0,

_n-A1B1_,,√30

Vcos<π,i41β1?∏??AM2j1+T+420

?,?直線A向與平面AQE所成角的正弦值為ICOs</力">1=回.故選B.

2O

25.已知直四棱柱ABCD-A向GDI的所有棱長(zhǎng)相等,NA5C=60°,

則直線BG與平面A5%Aι所成角的余弦值等于（)

A.西B?巫CED0

4422

【答案】B

【解析】如圖所示,取AB中點(diǎn)￡,以A為原點(diǎn),AE為X軸AD為y軸,AAl

為Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)A5=2,則5（遮,-1,0）,。］（遮，1,2）40,0,0）4（0,0,2）,族廣（。22）,

荒二（舊,-1,0）,。1二。0,2）.設(shè)平面4%4的法向量為〃=（1火）,

n?AB=V3x-V=OgT/口TLe

→取X=1,得"=（I,√3,θ）,

n?AA=2Z=0,

{1

設(shè)直線BG與平面A5&A1所成角為θ,

則Sin^二漁.?.?cosθ=1_d

IBQHnl屈XVi4N

???直線BG與平面A8B［A］所成角的余弦值等于邛.故選B.

26.如圖,正方體ABCQ-A向GDl的棱A5和AQl的中點(diǎn)分別為EF

則直線EF與平面A所成角的正弦值為（）

A.—B,回C.-D.—

5665

KR

【答案】C

【解析】如圖所示,以。為原點(diǎn)QA為X軸,。。為y軸為Z軸,建

立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體A5CD-ApBιGQ的棱長(zhǎng)為2,

則￡(2,1,0)F(1,0,2),扇=(-1,-1,2).

平面AAiQ。的法向量〃二(0』,0),

設(shè)直線E5與平面AAQQ所成角為“

—>

則Sine=M?二二匹

∣EF∣?∣n∣766

則直線M與平面AAA。所成角的正弦值為當(dāng)故選C.

27.在正方體ABCD-A乃ιG3中，￡為棱CD上一點(diǎn),且C為

棱AAl的中點(diǎn),且平面5￡/與。。1交于點(diǎn)G,則與G與平面ABC。所成

角的正切值為B()

AEB.叱C.這D.也

126126

【答案】C

【解析】如圖所示,以。為原點(diǎn)QAQCOQ所在直線分別為MyZ

軸,建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體ABCZ?-A[5]G3的棱長(zhǎng)為6.

???石為棱CD上一點(diǎn),且C為棱AAl的中點(diǎn),且平面JBER與

DDl交于點(diǎn)G,

???5ι(6,6,6),G(OOl)RjG=(-6,-6,-5),

平面ABCD的法向量九二(0,0,1),

設(shè)與G與平面ABC。所成角為仇

貝IJSin0=J?dL=焉可得tanθ=-,

同GH川盾712

則與G與平面Ms所成角的正切值為號(hào).故選C.

28.已知A,5是球O的球面上兩點(diǎn),/405=90。，C為該球面上的動(dòng)

點(diǎn),若三棱錐O-A3C體積的最大值為36,則球。的表面積為（H）

A.36τιB.64兀C.144πD.256π

【答案】C

【解析】如圖所示,當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于平面A03的直徑端點(diǎn)時(shí),三

棱錐0-A5C的體積最大.

設(shè)球。的半徑為員

止匕時(shí)％/Bc=VaA0B=!><*R2.R=5R=36,故H=6,

則球。的表面積為4兀7?2=144兀故選C.

29.已知底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為魚(yú)的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一

球面上,則該球的體積為,()

A.—B.4πC.2πD.?

33

【答案】D

【解析】Y正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為√Σ,

???正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)為√1+1+2=2.

又...正四棱柱的頂點(diǎn)在同一球面上，

???正四棱柱的體對(duì)角線恰好是球的一條直徑,得球的半徑H=Ll

根據(jù)球的體積公式,得該球的體積為Vw兀N=?.故選D.

?KJ

30.平面。截球。的球面所得圓的半徑為1,球心。到平面α的距離為

√Σ則該球的體積為()

A.√^兀B.4√^兀C.4√^兀D.6√^兀

【答案】B

【解析】因?yàn)槠矫姒两厍颉５那蛎嫠脠A的半徑為1,球心O到平面

a的距離為√∑

所以球的半徑為J(√2)2+l=√3.

所以球的體積為日×(√3)3=4b兀.故選B.

?

31.已知A,氏。為球。的球面上的三個(gè)點(diǎn),Θ0]為AABC的外接圓.

若Ool的面積為4兀,48=3C=AC=OOp則球。的表面積為（）

A.64兀B.48πC.36πD.32兀

【答案】A

【解析】由題意可知圖形如圖所示.

由O01的面積為4兀,可得OIA=2.

o

V∣A01=ABsin60~AB,

：.AB=BC=AC=OO]=2√3?

2

.，?球。的半徑為R=J/θj+oo1=4,

則球。的表面積為4XTIX42=64兀故選A.

32.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上,BL=PH=PC,

△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,瓦尸分別是B4,A5的中點(diǎn),NCM二

90。，則球。的體積為（）■

A.8j^兀B.4j^兀C.2j^7iD.yJ~^τι

【答案】D

[解析】如圖,由B4=P5=PGZ?A5C是邊長(zhǎng)為2的正三角形,可知

三棱錐P-A5C為正三棱錐.則頂點(diǎn)尸在底面的射影Oi為底面三角形

的中心,連接BO1并延長(zhǎng),交AC于G.

則ACLBG,又尸0]±AC,P0]∩BG=0l,

可得ACJ_平面P5G,則P8±AC.

【解析】???瓦尸分別是RUL3的中點(diǎn),???￡尸〃尸B

又NaEF=90°,即￡7LLC瓦???尸5_1_?！?得尸5_1_平面朋C

則尸5，外,尸5,Pc又三棱錐尸-A3C是正三棱錐，

???正三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直.

把三棱錐補(bǔ)形為正方體,則正方體外接球即為三棱錐的，卜接球,

其直徑為D=√P42+PB2+pc2Λκ

二I-(PA2+PB2+PB2+PC2+PA2+PC2)∕?'??

1________________/.舉A

——(√4B2+BC2-∣-AC2J—-×(22+22+22)~Vδ?

33.兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面,頂點(diǎn)均在球面上,若球

的體積為了,兩個(gè)圓錐的高之比為1：3,則這兩個(gè)圓錐的體積之

?

和為()

A.3兀B.4兀C.9兀D.12兀

【答案】B

【解析】如圖,設(shè)球O的半徑為民由題意與ιR二子，

??

可得H=2,則球。的直徑為4.

???兩個(gè)圓錐的高之比為1：3,ΛAO1≡1,BO1=3.

由直角三角形中的射影定理可得r2=1X3,即片火.

???這兩個(gè)圓錐的體積之和為V=、×(√3)2×(1+3)=4兀.故選B.

34.已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的

球的體積為.

【答案】3

3

【解析】因?yàn)閳A錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)該為該圓錐的內(nèi)切球.

如圖,圓錐母線55=3,底面半徑3C=1,

則其?SC='BS?_BC2=2yf^.

不妨設(shè)該內(nèi)切球與母線5S切于點(diǎn)。，■

令OO=OC=廠,由叢SODSz?s5C,則黑二黑,

即忌4,解得得

則球的體積為片刎=爭(zhēng).故答案為爭(zhēng).

35.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上,SC是球。的

直徑若平面SCA，平面SC5,SA=AC,S5=5C,三棱錐S-ABC的體積

為9,則球。的表面積為.

【答案】36π

【解析】由題可知與ASAC都是等腰直角三角形,設(shè)球的

半徑為A

可得:×}?2r∕?r=9,解得r=3.

則球。的表面積為4兀廠2二36兀.

故答案為36兀.

36.（多選題）在圓錐So中C是母線SA上靠近點(diǎn)S的三等分點(diǎn),SA=/,底面

圓的半徑為廠,圓錐So的側(cè)面積為3兀,則

A.當(dāng)/=3時(shí),從點(diǎn)A到點(diǎn)。繞圓錐側(cè)面一周的最小長(zhǎng)度為√j?I

B.當(dāng)尸:時(shí),過(guò)頂點(diǎn)S和兩母線的截面三角形的最大面積為空

Z4

C.當(dāng)/=3時(shí),圓錐So的外接球表面積為手

O

■D.當(dāng)/=3時(shí),棱長(zhǎng)為竽的正四面體在圓錐S。內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)］

【答案】ACD

【解析】圓錐SO的側(cè)面積為?！?3兀,則〃二3.

對(duì)于A,

當(dāng)/=3時(shí)/=1,將圓錐So的側(cè)面沿著母線SA展開(kāi)如下圖1所示,

則圓錐So的底面周長(zhǎng)為2兀,NASC=(,

在ASAC中,SA=3,SC=1,

由余弦定理可得

AC=JS42+SC2-2SA?SC-cosy=√13,

故A正確；

【解析】對(duì)于B,

當(dāng)小時(shí),/=2,設(shè)圓錐軸截面等腰三角形的頂角為火

則CoSa='+2-3<0,則α為鈍角,

2×2×2

在圓。上任取兩點(diǎn)M,N,則0<NMSNSg

1

SAMSN二；X22?sin∕MSN≤2,

當(dāng)且僅當(dāng)SM_LSNB寸,等號(hào)成立，

故頂點(diǎn)和兩母線的截面三角形的最大面積為2,故B錯(cuò)誤;

【解析】對(duì)于C,

/=3時(shí)片1,此時(shí)外接球球心位于So上,設(shè)為點(diǎn)M

如圖2,So=2/,SM=BM=H,

22

由勾股定理OM+05=5M,得(2√1-H)2+12=R2,解得尺二壁,

8

則外接球表面積為4兀X呼j二等,故C正確;

BOΛ

【解析】對(duì)于D,∕=3時(shí)片1,

如圖3為圓錐底面和內(nèi)接正三角形,

設(shè)三角形邊長(zhǎng)為。，

則〃=Vl2+I2—2×cosl20o×1×1=V3）與^,

So>2,如圖4,

3

故正四面體可在圓錐內(nèi)放下并任意轉(zhuǎn)動(dòng),故D正確.

故選ACD.」......一

37.（多選題）在正三棱柱ABcAPBlG中4B=AA]=1,點(diǎn)P滿足

薪=X盛+〃8%1，其中2≡[O,1],4≡[。，口，則（）

A.當(dāng)丸=1時(shí)小當(dāng)尸的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí),三棱錐P-ArBC的體積為定值

C.當(dāng)見(jiàn)三時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得AIPJLBP

乙j

D.當(dāng)〃=刎,有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得AIBJL平面A&P

乙

【答案】BD

【解析】對(duì)于A,

當(dāng)41時(shí),薪=薪+48%即（?=4B%

故點(diǎn)尸在線段CG上（如圖1）,

此時(shí)的周長(zhǎng)為+5∕+AP

當(dāng)點(diǎn)P為CG的中點(diǎn)時(shí),A45ι尸的周長(zhǎng)為迷+魚(yú);

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)G處時(shí),Zvk5rP的周長(zhǎng)為2迎+1,■

故周長(zhǎng)不為定值,故A錯(cuò)誤；

【解析】對(duì)于B,

當(dāng)〃=1時(shí),薪=2品+BBr即BιP=y?∕，所以BI尸〃BC-

故點(diǎn)P在線段與。上（如圖2）.

因?yàn)楫?dāng)G〃平面APBe

所以直線占G上的點(diǎn)到平面C的距離相等.

又AAiHC的面積為定值，

所以三棱錐尸-45C的體積為定值,故B正確；

【解析】對(duì)于C,

當(dāng)時(shí),取線段的中點(diǎn)分別為,連結(jié)

Aq乙5C,BCMM

因?yàn)樾饺蠹处?=4B%r所以加〃B?ι?

則點(diǎn)尸在線段上（如圖3）.

當(dāng)點(diǎn)尸在Ml處時(shí),A]MJ5IGAM，坊反

又BGrwrB=B,

所以AlMI_L平面GC

又BMIU平面BBIGc

所以AlMJ_切%,即A尸JL5P

同理,當(dāng)點(diǎn)尸在M處APLBR故C錯(cuò)誤；

【解析】對(duì)于D,當(dāng)〃W時(shí),取CCl的中點(diǎn)。1，明的中點(diǎn)。，

乙

因BP^BC+jβBr艮口DP后，

所以而〃品.

則點(diǎn)P在線段。。]上（如圖4）.

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)。1處時(shí),取AC的中點(diǎn)及連結(jié)AJBE

因?yàn)锽EJL平