2023-2024學(xué)年山東省德州市陵城區(qū)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省德州市陵城區(qū)八年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試

卷

一、選擇題（每小題4分，共48分）

1.2023年9.23-10.8日，19屆亞運會在杭州如火如荼地進(jìn)行，運動健兒們摘金奪銀，全國

人民感受到一波強烈的民族自豪感.下列圖案表示的運動項目標(biāo)志中，是軸對稱圖形的

2.如圖，小軍任意剪了一張鈍角三角形紙片（/A是鈍角）,他打算用折疊的方法折出/C

的角平分線、邊上的中線和高線，他能成功折出的是（）

A.NC的角平分線和邊上的中線

B.NC的角平分線和邊上的高線

C.AB邊上的中線和高線

D.NC的角平分線、邊上的中線和高線

3.將一副直角三角板如圖放置，使兩直角邊重合，則Na的度數(shù)為（）

4.如圖，AABC冬ADEC,B、C、。在同一直線上，且CE=5,AC=7,貝I8。長（）

E

BCD

A.12B.7C.2D.14

5.為估計池塘兩岸A、8間的距離，如圖，小明在池塘一側(cè)選取了一點O,測得04=16%,

0B=12m,那么A3的距離不可能是（）

6.已知點A(a,4)與點B(-2,b)關(guān)于無軸對稱，貝Ua+b=()

A.-6B.6C.2D.-2

7.如圖，8P是△ABC中NABC的平分線，CP是NACB的外角的平分線，如果NA8P=20°,

ZACP=50°,則NA+/P=()

8.如圖，AABCAB=4,AC=3,為BC邊中線，若△AC。的周長為8,則△A3。

的周長是（）

9.如圖，在3X3的正方形方格中，每個小正方形方格的邊長都為1,則N1和N2的關(guān)系

是（）

B.N2=2N1

C.Z2=90°+Z1D.Zl+Z2=180°

10.如圖，在△ABC中，BD,C￡＞分別是/ABC和NACB的角平分線，過點。作DELBC

于點￡.已知OE=1,△ABC的周長為14,則△ABC的面積為（）

11.如圖，CA±AB,垂足為點A,AB24cm,AC^Ucm,射線垂足為點8,一

動點E從A點出發(fā)以3cm/s沿射線AN運動，點。為射線上一動點，隨著E點運動

而運動，且始終保持ED=CB,當(dāng)點E經(jīng)過（）秒時，ADEB與ABCA全等.（注:

A.4B.4、12C.4、8、12D.4、12、16

12.如圖，在等邊△尸。8中，點A為尸。上一動點（不與P,。重合），再以為邊作等

邊△ABC,連接尸C.有以下結(jié)論：①尸3平分NABC；②AQ=CP；?PC//QB-,?PB=

PA+PC；⑤當(dāng)BC,8Q時，△ABC的周長最小.其中一定正確的有（）

A.①②③B.②③④C.③④⑤D.②③④⑤

二、填空題(每小題4分，共24分)

13.一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的4倍，則這個多邊形的邊數(shù)是.

14.如圖，桌球的桌面上有M,N兩個球，若要將M球射向桌面的一邊，反彈一次后擊中

N球，則A,B,C,D,4個點中，可以反彈擊中N球的是點.

15.如圖所示，AB^AC,AD=AE,NBAC=NDAE,Nl=25°,N2=30°,則N3

16.已知a,6是等腰三角形的兩邊長，且a,6滿足4K石+(a+6-13)2=0,則此等腰

三角形的周長為.

17.“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角

儀”能三等分任一角.這個三等分角儀由兩根有槽的棒。8組成，兩根棒在。點相

連并可繞O轉(zhuǎn)動，C點固定，OC=CD=DE,點、D、E可在槽中滑動.若/BDE=75°,

則的度數(shù)是.

圖①圖②

18.如圖，四邊形ABCD中，AB=BC,ZABC=90°,對角線CD,若2。=14,則

△ABD的面積為.

A

三、解答題(7小題，共78分)

19.在△ABC中，ZA=—ZB=—ZACB,CD是△ABC的高，CE是/AC3的角平分線,

23

求/。CE的度數(shù).

20.如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格紙中，點A、B、C在小正

方形的頂點上.

(1)在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線/成軸對稱的△A'3'C；

(2)在I上找一點P,使得PA=PB；

21.如圖，在△ABC中，AD是8C邊上的中線，于點E,。尸_LAC于點尸，且。E

=DF.

求證：(1)ABDE^ACDF；

(2)AD1.BC.

A

22.如圖，ZVIBC中，AZ)J_8C于點。，跖垂直平分AC,交AC于點孔交BC于點E,

5.BD^DE,連接AE.

(1)若N8AE=30°,求NC的度數(shù)；

(2)若△ABC的周長為13c〃z,AC^6cm,求。C的長.

23.如圖在和△CE8中，點A、E、F、C在同一條直線上.有下面四個論斷：(1)

AD=CB,(2)AE=CF,(3)/B=ND,(4)AD//BC.

請用其中三個作為條件，余下一個作為結(jié)論，進(jìn)行證明.

條件是：;

結(jié)論是：;

證明：.

24.如圖①，在等邊AASC中，M是BC邊上一點(不含端點8,C),N是AABC的外角

NACH的平分線上一點，且AM=MN.

(1)尺規(guī)作圖：在直線BC的下方，過點2作/CBE=/C84,作NC的延長線，與BE

相交于點E.

(2)求證：△BEC是等邊△BEC；

(3)求證：ZAMN^60°.

25.在RtZ\A8C中，ZACB=90°,ZA=30°，8。是△ABC的角平分線，于點

E.

(1)如圖1,連接EC,求證：△EBC是等邊三角形；

(2)點M是線段CD上的一點(不與點C,。重合)，以5M為一邊，在的下方作

ZBMG=6Q°,MG交DE延長線于點G.請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD,

OG與之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖3,點N是線段上的一點，以BN為一邊,在的下方作/8NG=60°,

NG交。E延長線于點G.試探究沏，OG與數(shù)量之間的關(guān)系，并說明理由.

參考答案

一、選擇題（每小題4分，共48分）

1.2023年9.23-10.8日，19屆亞運會在杭州如火如荼地進(jìn)行，運動健兒們摘金奪銀，全國

人民感受到一波強烈的民族自豪感.下列圖案表示的運動項目標(biāo)志中，是軸對稱圖形的

c（^）D

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念判斷即可.

解：4不是軸對稱圖形，不符合題意；

8、是軸對稱圖形，符合題意；

C、不是軸對稱圖形，不符合題意；

。、不是軸對稱圖形，不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查的是軸對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能

夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.

2.如圖，小軍任意剪了一張鈍角三角形紙片（/A是鈍角），他打算用折疊的方法折出/C

的角平分線、邊上的中線和高線，他能成功折出的是（）

A.NC的角平分線和AB邊上的中線

B./C的角平分線和A8邊上的高線

C.邊上的中線和高線

D./C的角平分線、AB邊上的中線和高線

【分析】由折疊的性質(zhì)可求解.

解：當(dāng)AC與8c重合時，折痕是NC的角平分線；

當(dāng)點A與點8重合時，折疊是的中垂線，

故選：A.

【點評】本題考查了翻折變換，掌握折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

3.將一副直角三角板如圖放置，使兩直角邊重合，則Na的度數(shù)為()

【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、鄰補角的概念計算，得到答案.

解：ZAOC=ZDAB-ZC=15°,

/.Za=180°-15°=165°,

故選：D.

【點評】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩

個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，AABC^^DEC,B、C、。在同一直線上，且CE=5,AC=7,貝U8。長()

A.12B.7C.2D.14

【分析】由全等三角形的性質(zhì)得到AC=OC=7,CB=CE=5,再根據(jù)8O=DC+C8即可

得解.

解：:AABCqADEC,

：.AC^DC,CB=CE,

：CE=5,AC=7,

：.CB=5,DC=1,

：.BD=DC+CB=l+5=n.

故選：A.

【點評】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟記全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.

5.為估計池塘兩岸A、8間的距離，如圖，小明在池塘一側(cè)選取了一點。，測得OA=16:w,

OB—12m,那么45的距離不可能是()

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小

于第三邊可得16-12<AB<16+12,再解即可.

解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：16-12<A8<16+12,

即4cAe<28,

30m不可能.

故選：D.

【點評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的

兩邊的差，而小于兩邊的和.

6.已知點A(a,4)與點B(-2,b)關(guān)于x軸對稱，貝l]a+b=()

A.-6B.6C.2D.-2

【分析】根據(jù)關(guān)于無軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).即點尸(尤,

y)關(guān)于無軸的對稱點P的坐標(biāo)是(尤，-y),進(jìn)而得出a,6的值即可.

解：?.?點A(G,4)與點、B(-2,b)關(guān)于x軸對稱，

.".a=-2,b=-4,

貝!Ja+b=-2-4=-6.

故選：A.

【點評】此題主要考查了關(guān)于無軸對稱點的坐標(biāo)性質(zhì)，正確記憶關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的坐標(biāo)

性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.如圖，5尸是△A3C中NA5C的平分線，C尸是NAC3的外角的平分線，如果乙45尸=20°,

ZACP=50°，則NA+NP=()

A.70°B.80°C.90°D.100°

【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，可

求出NA的度數(shù)，根據(jù)補角的定義求出NAC5的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出/尸

的度數(shù)，即可求出結(jié)果.

解：???8尸是△ABC中NA8C的平分線，CP是NACB的外角的平分線，

又???NA8P=20°,ZACP=50°,

AZABC=2ZABP=4Q°,ZACM=2ZACP=100°,

：.ZA=ZACM-ZABC=60°,

ZACB=180°-ZACM=S0°,

AZBCP=ZACB+ZACP=130°,

9：ZPBC=20°,

AZP=180°-ZPBC-ZBCP=30°,

ZA+ZP=90°,

故選：C.

【點評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是明確：一

個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和以及補角的定義以及三角形的內(nèi)角和為

180°.

8.如圖，△A3C中，A8=4,AC=3,A。為3C邊中線，若△AC。的周長為8,則△A3。

的周長是()

BD

A.8B.9C.10D.12

【分析】根據(jù)三角形的中線的概念得到BD=DC,根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答

案.

解：為8c邊中線，

：.BD=DC,

的周長為8,

：.AC+CD+AD=8,

：.BD+AD^8-3=5,

AABZ）的周長=AB+8￡>+4O=5+4=9,

故選：B.

【點評】本題考查的是三角形的中線的概念，三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線

叫做三角形的中線.

9.如圖，在3X3的正方形方格中，每個小正方形方格的邊長都為1,則N1和/2的關(guān)系

是（）

A.Z1=Z2B.Z2=2Z1

C.N2=90°+Z1D.Zl+Z2=180°

【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

解：如圖，

在△ABC與中，

'BC=DE

<NC=NDFE，

AC=EF

.,.△ABC名AEDF(SAS),

：.Z1=ZABC.

VZABC+Z2=180°,

.?.Zl+Z2=180°.

故選：D.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題

的關(guān)鍵.

10.如圖，在△ABC中，BD,分別是NABC和的角平分線，過點。作。EL2C

于點E.己知。E=l,△ABC的周長為14,則AABC的面積為（）

【分析】過。點作。尸，于尸，OHLAC于H,連接A。，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)

得至I]DF=DE=1,DH=DE=1,再根據(jù)三角形的面積公式得到SAA5C=^-（AB+BC+AC）.

解：過。點作于凡ZJHLAC于H,連接A。，如圖，

:BD,CD分別是NABC和/ACB的角平分線，DE±BC,

：.DF=DE=1,DH=DE=1,

SAABC=5AABD+5'ABCD+5'AACD=—"XABX1+—XBCX1+—XACX1=—（AB+BC+AC^=

2222

—X14=7.

2

故選：A.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

11.如圖，CA±AB,垂足為點A,AB=24cm,AC=ncm,射線垂足為點8,一

動點E從A點出發(fā)以3cmis沿射線AN運動，點。為射線BM上一動點,隨著E點運動

而運動，且始終保持即=CB,當(dāng)點E經(jīng)過（）秒時，ADEB與ABCA全等.（注:

點E與A不重合）

M

A.4B.4、12C.4、8、12D.4、12、16

【分析】設(shè)點E經(jīng)過t秒時，ADEB與ABCA全等;由斜邊ED=C2,分類討論BE=AC

或BE=AB時的情況，求出f的值即可.

解：設(shè)點E經(jīng)過/秒時，4DEB與LBCA全等;此時

分情況討論：

（1）當(dāng)點E在點2的左側(cè)時，4DEB義ABCA,則BE=AC,

A24-3r=12,

；，=4；

（2）當(dāng)點E在點8的右側(cè)時，

①△DEB"LBCA,3E=AC時，3f=24+12,

.*"=12；

②AEDB會ABCA,3E=A3時，3f=24+24,

綜上所述，點E經(jīng)過4、12、16秒時，ADEB與ABCA全等.

故選：D.

【點評】本題考查了全等三角形的判定方法；分類討論各種情況下的三角形全等是解決

問題的關(guān)鍵.

12.如圖，在等邊△PQB中，點A為P。上一動點（不與P,。重合），再以A8為邊作等

邊△ABC,連接PC.有以下結(jié)論：①尸8平分NABC；②AQ=CP；③尸C〃Q8；④PB=

PA+PC-⑤當(dāng)8CL8。時，AABC的周長最小.其中一定正確的有（）

B

A.①②③B.②③④C.③④⑤D.②③④⑤

【分析】根據(jù)點A為PQ上一動點（不與P,Q重合），ZABC=60°,可知/A2P與/

PCQ不一定相等，可判斷①；證明出△QBAgAPBC（SAS）,可得PC〃QB,PB=PQ

^PA+AQ^PA+PC,即可判斷出②③④，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)BALP。時，AB最小，

即可判斷⑤.

解：；點A為尸。上一動點（不與P,。重合），ZABC=60°,

.?.NABP與/PC。不一定相等，故①不正確；

?/4PQB和△ABC都為等邊三角形，

：.PQ=QB=PB,AB=CB=AC,ZQ=ZQBP=ZABC=Z60°,

ZQBA+ZABP=ZPBC+/ABP=60°,

：.ZQBA=ZPBC,

；.4QBA必PBC（SAS）,

：.AQ=PC,ZQ=ZBPC=ZQBP=60°,

：.PC//QB,PB^PQ^PA+AQ^PA+PC,

...②③④都正確，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)BA_LP。時，最小，

.。.當(dāng)時，△ABC的周長最小，故⑤正確.

故選：D.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和最短路線問題，判

斷出是解本題的關(guān)鍵.

二、填空題（每小題4分，共24分）

13.一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的4倍，則這個多邊形的邊數(shù)是10.

【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為〃，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和外角和定理，列出方程求解

即可.

解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為〃，

（71-2）*180°=4X360°,

解得n=10,

故答案為：10.

【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式與

外角和定理.

14.如圖，桌球的桌面上有M,N兩個球，若要將M球射向桌面的一邊，反彈一次后擊中

N球，則A,B,C,D,4個點中，可以反彈擊中N球的是點、D點.

ABCD

【分析】要擊中點M則需要滿足點M反彈后經(jīng)過的直線過N點，畫出反射路線即可得

出答案.

ABCD

可以瞄準(zhǔn)點。擊球.

故答案為：點D

【點評】本題考查了軸對稱的知識，注意結(jié)合圖形解答，不要憑空想象，實際操作一下.

15.如圖所示,4B=AC,A￡)=AE,/1=25°,N2=30°，則N3=55°.

BC

【分析】求出證△54。名△(7&￡：,推出N2=NABO=30°,根據(jù)三角

形的外角性質(zhì)求出即可.

解：VZBAC=ZDAE,

：.ZBAC-NDAC=ZDAE-ZDAC,

J.Zl^ZEAC,

在和△CAE1中，

，AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD=AE

:.ABA%△CAE(SAS),

N2=NA3￡)=30°,

VZ1=25°,

.?.Z3=Z1+ZABD=25°+30°=55°,

故答案為：55°.

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)

鍵是推出g△CAE.

16.已知m6是等腰三角形的兩邊長，且m。滿足式m號+Q+6-13）2=0,則此等腰

三角形的周長為18或21.

【分析】根據(jù)Va-b+3+（a+b-13）2=0,可得a-b+3—0,a+b-13=0,求出。和萬

的值，再確定等腰三角形的三邊長，進(jìn)■步即可求出等腰三角形的周長.

解：,,,Va_b+3+（。+》-13）2—0,

.'.a-b+3—0,a+b-13=0,

.'.a—5,6=8,

Va,b是等腰三角形的兩邊長，

.?.等腰三角形的三邊長為5,5,8或5,8,8,

；.5+5+8=18或5+8+8=21,

等腰三角形的周長為18或21,

故答案為：18或21.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握等

腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角

儀”能三等分任一角.這個三等分角儀由兩根有槽的棒08組成，兩根棒在。點相

連并可繞。轉(zhuǎn)動，C點固定，OC=CD=DE,點、D、E可在槽中滑動.若NBDE=I5°,

則/CDE的度數(shù)是80°.

圖①圖②

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得NO=/C。。，NDCE=/DEC,由外角性質(zhì)可得/。

=25°,即可求解.

解：VOC^CD^DE,

：.ZO=ZCDO,/DCE=/DEC,

■:NDCE=N0+NCD0=2/0,

：.ZDEC=2ZO,

：.NBDE=NO+/DEC=3NO=15°,

：.ZO=25°,

:./DCE=/DEC=50°,

：.ZCDE=80°,

故答案為：80°.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練運用這些性質(zhì)進(jìn)行推

理是本題關(guān)鍵.

18.如圖，四邊形中，AB=BC,ZABC=90°,對角線BZ)_LCD,若3。=14,則

AABD的面積為98.

【分析】過點A作2D垂足為E,根據(jù)垂直定義可得,從而

可得/BAE+NABE=90°,再利用同角的余角相等可得然后利用AAS

證明△ABE絲△2C。，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得AE=3D=14,最后利用三角形的

面積公式進(jìn)行計算，即可解答.

'：AE±BD,CD1BD,

AZAEB=ZCDB=90°,

ZBAE+ZABE=90°,

VZABC=90°,

ZABD+ZDBC=90°,

：.ZBAE=ZDBC,

9

：AB=BCf

:.XABE經(jīng)XBCD(AAS),

：.AE=BD=14,

：.AABD的面積=』BZ)?AE=2X14X14=98,

22

故答案為：98.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適

當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(7小題，共78分)

19.在△ABC中，ZA=—ZB=—ZACB,CD是△ABC的高，CE是/AC8的角平分線，

23

求/。CE的度數(shù).

【分析】用NA表示出NB、ZACB,然后利用三角形的內(nèi)角和等于180。列方程求出NA,

再求出/ACB,然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出/ACZ),根據(jù)角平分線的定義求出

ZACE,再根據(jù)NOCE=NAC。-NACE計算即可得解.

解：VZA=—ZB=—ZACB,

23

：.ZB^2ZA,NAC8=3NA,

VZA+ZB+ZACB^180°,

：.ZA+2ZA+3ZA=180°,

解得NA=30°,

/.ZACB=9Q°,

：C￡）是△ABC的高,

/.ZACD=90°-30°=60°，

是/ACB的角平分線，

AZACE=-X90°=45°,

2

/.ZDCE=ZACD-ZAC￡=60°-45°=15°.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，

熟記概念并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格紙中，點48、C在小正

方形的頂點上.

(1)在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線/成軸對稱的△A9C；

(2)在/上找一點P,使得PA=PB；

【分析】(1)直接利用對稱點的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進(jìn)而得出答案；

(2)利用線段垂直平分線的判定可得出答案；

(3)利用軸對稱求最短路線的方法得出答案.

解：(1)如圖，根據(jù)題意，可得：

點A、B、C關(guān)于直線/對稱的點分別為點4、B\C,連接AE、AC、B'C,

則△ABC即為所作.

:點B和點8關(guān)于直線/對稱,

...直線/垂直平分

：.BQ=B'Q,

：.QB+QC=QB'+QC=B'C,

這時QB+QC的長最短，

點。即為所求.

【點評】本題考查作圖一軸對稱變換，軸對稱一最短路線.解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的

定義作出變換后的對應(yīng)點及割補法求三角形的面積.

21.如圖，在AABC中，AO是8c邊上的中線，OELA8于點E,于點尸，且。E

=DF.

求證：(1)ABDE冬4CDF；

(2)AD±BC.

【分析】(1)根據(jù)中點的定義得到8。=。，利用乩證明會RtZXCOF；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到N8=/C,則A8=AC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得

解.

【解答】證明：(1)是BC邊上的中線，

：.BD=CD,

'：DE±AB于點E,DF±AC于點F,

：.ZDEB=ZDFC=90°,

在RtABDE和RtACDF中，

(BD=CD

IDE=DF'

.?.RtABDE^RtACOF(HL)；

(2),?RtABDE^RtACDF,

：.ZB=ZC,

：.AB^AC,

是8c邊上的中線，

：.AD±BC.

【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用RtABDEgRtZkC。尸是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，△ABC中，AOLBC于點Z),所垂直平分AC,交AC于點R交BC于點E,

且連接AE.

(1)若/BAE=30°,求/C的度數(shù)；

(2)若△ABC的周長為13c%,AC^6cm,求。C的長.

【分析】(1)根據(jù)已知可得AD是BE的垂直平分線，從而可得A8=AE,進(jìn)而利用等腰

三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得NB=/AE2=75°,然后利用三角形的外角性

質(zhì)可得NC+/E4c=75°,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得E4=EC,從而可得/C=

NEAC=37.5°,即可解答;

(2)根據(jù)已知可得AB+8C=7c/w,再根據(jù)(1)的結(jié)論可得AB=EC,從而可得AB+AD

=EC+DE=?思+B[=3.5cm,即可解答.

2

解：⑴'：AD1BC,BD=DE,

是BE的垂直平分線，

：.AB=AE,

VZBAE=30°,

：.ZB=ZAEB=-—々BAE=75。,

2

ZAEB是△AEC的一個外角，

:./AEB=NC+NEAC=75°,

垂直平分AC,

：.EA=EC,

.-.ZC=ZEAC=Z-AE，B=37.5°,

2

；.NC的度數(shù)為37.5°；

(2);△ABC的周長為13c7w,AC=6cm,

.\AB+BC=13-6=7(cm),

U：AB=AE,EA=EC,

：.AB=ECf

?；BD=DE,

AB+BD=EC+DE==3.5(m),

2C

'.DC=DE+CE=3.5cm,

：.DC的長為35cm.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，線段垂直平分線的

性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.如圖在△AFQ和△CE8中，點A、E、F、C在同一條直線上.有下面四個論斷：(1)

AD=CB,(2)AE=CF,(3)/B=ND,(4)AD//BC.

請用其中三個作為條件，余下一個作為結(jié)論，進(jìn)行證明.

條件是：(1)(2)(4)；

結(jié)論是：⑶；

證明：?:BC,；.NA=NC,

-CE

：.AE+EF=CF+EF,

在△EBC和△力?中，

'CB=AD

"NC=NA-

CE=AF

:.△EBgAFDA(SAS),

；.NB=ND.

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理選出條件，結(jié)論，并證明即可.

解：條件：(D(2)(4)；

結(jié)論：(3)；

證明：\AD//BC,

ZA=ZC,

'：AE^CF,

：.AE+EF=CF+EF,

：.AF^CE,

在△EBC和△FDA中，

'CB=AD

，NC=NA，

CE=AF

.?.△EBC0&DA(SAS),

:.NB=ND.

故答案為：(1)(2)(4)；

(3)\"AD//BC,

：.ZA^ZC,

'JAE^CF,

:.AE+EF=CF+EF,

：.AF^CE,

在△EBC和△尸D4中，

'CB=AD

"NC=NA，

CE=AF

:.△EBC空△FDA(SAS),

:./B=ND.

【點評】本題考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.本題

是一道開放題，除去(1)(2)(3)不能推出(4),其他的組合都可以.

24.如圖①，在等邊AABC中，M是BC邊上一點(不含端點8,C),N是△ABC的外角

/AC8的平分線上一點，且AM=MN.

(1)尺規(guī)作圖：在直線BC的下方，過點8作/C8E=/CA4,作NC的延長線，與BE

相交于點E.

(2)求證：ABEC是等邊ABEC；

(3)求證：ZAMN^60°.

BYCH

【分析】(1)以8為圓心，以任意長為半徑畫弧，交AB、8C兩邊為。和凡以產(chǎn)為

圓心，以。尸為半徑畫弧，交前弧于G,作射線BG,交NC的延長線于E,則NC8E=

ZCBA；

(2)證明△BCE三個角都是60°,可得結(jié)論；

(3)作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明(SAS),得ZBAM

=/BEM,證明根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論.

解：(1)如圖所示：

(2)證明：：△ABC是等邊三角形,

ZABC^ZACB=60°,

ZACH=120°,

：CN平分/ACH,

:./HCN=/BCE=60°,

VZCB￡=ZCBA=60°,

NEBC=/BCE=NBEC=6Q°,

/.AB￡C是等邊△BEC；

(3)證明：連接ME,

?/AABC和△BCE是等邊三角形，

:.AB=BC=BE,

在△ABM和中，

'AB=BE

V-ZABM=ZEBH-

BM=BM

AABM^/\EBM(SAS),

：.AM=EM,ZBAM=ZBEM,

；AM=MN,

：.MN=EM,

：./N=NCEM,

VZHCN=Z'N+ZCMN=60°,

ZBEC^ZBEM+ZCEM=60°,