7.1 兩個基本計數(shù)原理（原卷版）

7.1兩個基本計數(shù)原理一、分類加法計數(shù)原理1、定義：完成一件事情有類不同的方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，…，在第類方案中有種不同的方法，則完成這件事共有種不同的方法?！咀⒁狻客瓿蛇@件事的類方案是相互獨立的，無論哪種方案中的哪種方法都可以獨立完成這件事，而不需要在用其他的方法。2、解題思路：（1）分類：將完成這件事的方法分成若干類；（2）計數(shù)：求出每一類的方法數(shù)；（3）結(jié)論：將每一類的方法數(shù)相加得出結(jié)果。3、應(yīng)用分類加法計數(shù)原理的注意事項：（1）根據(jù)題目特點恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準；（2）分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)；（3）分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏。二、分步乘法計數(shù)原理1、定義：完成一件事需要個步驟，做第1步有中不同的方法，做第2步有中不同的方法，…，做第步有種不同的方法，則完成這件事共有種不同的方法。【注意】完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就不能完成。2、解題思路：（1）分步：將完成這件事的過程分成若干步；（2）計數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；（3）結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果。三、兩種計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點都是完成一件事的不同方法的種數(shù)問題不同點1完成一件事有類不同方案，關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事需要個步驟，關(guān)鍵詞是“分步”不同點2每類方案都能獨立完成這件事情，且每種方法得到的最后結(jié)果，只需一種方法就可以完成這件事任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事不同點3各類方案之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的，“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏，“獨立”確保不重復(fù)四、兩種計數(shù)原理綜合應(yīng)用1、用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在最開始計算之前進行仔細分析—需要分類還是需要分步；2、分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)；3、分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨立，分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)。五、解決計數(shù)問題常用的方法1、枚舉法：將各種情況通過樹形圖法、列表法意義列舉出來，適用于計數(shù)種數(shù)較少的情況；2、間接法：若計數(shù)時分類較多或無法直接計數(shù)時，可先求出沒有限制條件的種數(shù)，再減去不滿足條件的種數(shù)；3、字典排序法：（1）字典排序法就是把所有字母分前后次序，先排前面的字母，前面的字母排完后再依次排后面的字母，最后的字母排完，則排列結(jié)束。（2）利用字典排序法并結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可以解決與排列順序有關(guān)的計數(shù)問題，利用字典排序法還可以把這些排雷不重不漏地一一列舉出來。4、模型法：通過構(gòu)造圖形，利用形象、直觀的圖形幫助分析和解決問題。題型一分類加法計數(shù)原理【例1】（2022秋·遼寧葫蘆島·高二校聯(lián)考期中）某學(xué)校開設(shè)4門球類運動課程、5門田徑類運動課程和2門水上運動課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門課程學(xué)習(xí)，則不同的選法共有（）A．40種B．20種C．15種D．11種【變式1-1】（2022·高二課時練習(xí)）為了方便廣大市民接種新冠疫苗，提高新冠疫苗接種率，某區(qū)衛(wèi)健委在城區(qū)設(shè)立了11個接種點，在鄉(xiāng)鎮(zhèn)設(shè)立了19個接種點．某市民為了在同一接種點順利完成新冠疫苗接種，則不同接種點的選法共有（）A．11種B．19種C．30種D．209種【變式1-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”（如2130是“六合數(shù)”），則其中首位為2的“六合數(shù)”共有（）．A．18個B．15個C．12個D．9個【變式1-3】（2022春·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某高中為高一學(xué)生提供四門課外選修課：數(shù)學(xué)史?物理模型化思維?英語經(jīng)典閱讀?《紅樓夢》人物角色分析.要求每個學(xué)生選且只能選一門課程.若甲只選英語經(jīng)典閱讀，乙只選數(shù)學(xué)史或物理模型化思維，學(xué)生丙?丁任意選，這四名學(xué)生選擇后，恰好選了其中三門課程，則他們選課方式的可能情況有___________種.題型二分步乘法計數(shù)原理【例2】（2022秋·河南駐馬店·高二確山縣第一高級中學(xué)?？计谀?位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，如果規(guī)定每位同學(xué)必須報名，則不同的報名方法共有（）A．10種B．20種C．25種D．32種【變式2-1】（2022秋·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，節(jié)約糧食是我國的傳統(tǒng)美德．已知學(xué)校食堂中午有2種主食、6種素菜、5種葷菜，小華準備從中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為午飯，并全部吃完，則不同的選取方法有（）A．13種B．22種C．30種D．60種【變式2-2】（2022春·廣東佛山·高二?？茧A段練習(xí)）在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（）種A．B．C．D．【變式2-3】（2022春·江蘇鹽城·高二?？计谥校┯?名同學(xué)報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法？（不一定6名同學(xué)都參加）（1）每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限；（2）每項限報一人，但每人參加的項目不限.題型三兩種計數(shù)原理綜合【例3】（2022春·湖北十堰·高二十堰東風(fēng)高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校高二年級舉行健康杯籃球賽，共20個班級，其中1、3、4班組成聯(lián)盟隊，2、5、6班組成聯(lián)盟隊，一共有16支籃球隊伍，先分成4個小組進行循環(huán)賽，決出8強（每隊與本組其他隊賽一場），即每個組取前兩名（按獲勝場次排名，如果獲勝場次相同的就按凈勝分排名）；然后晉級的8支隊伍按照確定的程序進行淘汰賽，淘汰賽第一輪先決出4強，晉級的4支隊伍要決出冠亞軍和第三、四名，同時后面的4支隊伍要決出第五至八名，則總共要進行籃球賽的場次為（）A．32B．34C．36D．38【變式3-1】（2022春·廣東佛山·高二順德一中?？计谥校ǘ噙x）現(xiàn)有3名老師，8名男生和5名女生共16人，有一項活動需派人參加，則下列命題中正確的是（）A．只需1人參加，有16種不同選法B．若需老師、男生、女生各1人參加，則有120種不同選法C．若需1名老師和1名學(xué)生參加，則有39種不同選法D．若需3名老師和1名學(xué)生參加，則有56種不同選法【變式3-2】（2022春·福建泉州·高二福建省德化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨特的烹飪方式.九宮格下面是相通的，實現(xiàn)了“底同火不同，湯通油不通”它把火鍋分為三個層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象成數(shù)學(xué)形狀如圖（同一類格子形狀相同）：“中間格”火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長時間加熱以鎖住食材原香；“四角格”屬文火，火力溫和，適合燜菜，讓食物軟糯入味.現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格.現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同時可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（）A．36B．18C．9D．6【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.（1）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？（2）從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？題型四代數(shù)中的計數(shù)問題【例4】（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)集合，選擇的兩個非空子集和，要使中最小的數(shù)大于中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有________種（用數(shù)字作答）【變式4-1】（2022秋·浙江杭州·高三統(tǒng)考期中）正整數(shù)2160的不同正因數(shù)的個數(shù)為（）A．20B．28C．40D．50【變式4-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如果正整數(shù)a的各位數(shù)字之和等于6，那么稱a為“好數(shù)”(如：6，24，2013等均為“好數(shù)”)，將所有“好數(shù)”從小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2013，則n＝（）A．50B．51C．52D．53【變式4-3】（2023·高二課時練習(xí)）已知集合，點在直角坐標(biāo)平面上，且．（1）平面上共有多少個滿足條件的點P？（2）有多少個點P在第二象限內(nèi)？（3）有多少個點P不在直線上？題型五數(shù)字排列計數(shù)問題【例5】（2022春·湖南長沙·高二長沙縣實驗中學(xué)統(tǒng)考期末）從數(shù)字1，2，3，4中取出3個數(shù)字（允許重復(fù)），組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為（）A．7B．9C．10D．13【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知數(shù)字，由它們組成四位數(shù)，下列說法正確的有（）A．組成可以有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個B．組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有96個C．組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有66個D．組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)有28個【變式5-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）由數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則能被5整除的三位數(shù)共有__________個.【變式5-3】（2022秋·廣西欽州·高二浦北中學(xué)統(tǒng)考期末）用0，1，2，3，，9這十個數(shù)字.（1）可組成多少個三位數(shù)？（2）可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（3）可組成多少個小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？題型六涂色計數(shù)問題【例6】如圖，湖北省分別與湖南、安徽、陜西、江西四省交界，且湘、皖、陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案數(shù)為（）A．B．C．D．【變式6-1】（2022·高二課時練習(xí)）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分，如圖所示．現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有（）．A．80種B．120種C．160種D．240種【變式6-2】（2022春·江蘇徐州·高