第01講 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義+導(dǎo)數(shù)運(yùn)算解析版

第01講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義+導(dǎo)數(shù)運(yùn)算目錄TOC\o"1-1"\h\u第01講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義+導(dǎo)數(shù)運(yùn)算 1題型一：重點考查平均變化率 1題型二：重點考查瞬時變化率 2題型三：重點考查利用定義法求某點處導(dǎo)數(shù) 4題型四：重點考查求在型切線 6題型五：重點考查過型切線 7題型六：重點考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 11題型七：重點考查求某點處到處值 14題型一：重點考查平均變化率典型例題例題1．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為3，則m等于．【答案】2【詳解】由題意得，所以，或（舍去）．故答案為：2例題2．（2023上·江蘇·高二專題練習(xí)）已知某物體運(yùn)動的位移s是時間t的函數(shù)，且.(1)求這個物體t從3秒到3.1秒的平均速度；(2)求這個物體t從3秒到3.01秒的平均速度.【答案】(1)30.5(m/s)(2)30.05(m/s)【詳解】（1）當(dāng)時，，∵，∴.（2）當(dāng)時，，∵，∴.精練核心考點1．（2023上·江蘇·高二專題練習(xí)）在高臺跳水運(yùn)動中，運(yùn)動員相對于水面的高度(單位：)與起跳后的時間(單位：)之間的函數(shù)關(guān)系式為.(1)求運(yùn)動員在第一個內(nèi)的平均速度；(2)求運(yùn)動員在這段時間內(nèi)的平均速度.【答案】(1)(2)【詳解】（1）運(yùn)動員在第一個內(nèi)的平均速度即高度在區(qū)間上的平均變化率，即，故運(yùn)動員在第一個內(nèi)的平均速度為.（2）運(yùn)動員在這段時間內(nèi)的平均速度即高度在區(qū)間上的平均變化率，即，故運(yùn)動員在這段時間內(nèi)的平均速度為.題型二：重點考查瞬時變化率典型例題例題1．（2023上·全國·高二期末）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時的瞬時變化率，則（）A． B．1 C．2 D．【答案】B【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于，由，得，所以，因為函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時的瞬時變化率，所以，解得.故選：B例題2．（2023上·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）一質(zhì)點運(yùn)動的位移方程為，當(dāng)時，該質(zhì)點的瞬時速度為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以當(dāng)時，.故選：C.例題3．（2023下·高二課時練習(xí)）如果一個質(zhì)點從固定點A開始運(yùn)動，時間t的位移（單位：m）函數(shù)為，求當(dāng)s時的瞬時速度．【答案】.【詳解】因為質(zhì)點在s到s的位移改變量，所以該時間段內(nèi)的平均速度，所以質(zhì)點在s時的瞬時速度為.精練核心考點1．（2023上·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）節(jié)日里，人們常用放氣球的形式慶祝，已知?dú)馇虻捏w積（單位：與半徑（單位：）的關(guān)系為，則時體積關(guān)于半徑的瞬時變化率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，求導(dǎo)得，所以時體積關(guān)于半徑的瞬時變化率為.故選：B.2．（2023上·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）一質(zhì)點做垂直向上運(yùn)動，該質(zhì)點上升高度（單位：）與運(yùn)動時間（單位：）的關(guān)系式為，當(dāng)時，該質(zhì)點上升高度的瞬時變化率為.【答案】【詳解】由，求導(dǎo)得，因此，所以當(dāng)時，該質(zhì)點上升高度的瞬時變化率為.故答案為：3．（2023上·上?！じ呷？计谥校┪矬w位移s和時間t滿足函數(shù)關(guān)系，則當(dāng)時，物體的瞬時速度為．【答案】80【詳解】因為.所以該物體時，物體的瞬時速度為.故答案為：80題型三：重點考查利用定義法求某點處導(dǎo)數(shù)典型例題例題1．（2023上·湖北武漢·高二武漢市東湖中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)在處可導(dǎo)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)在處可導(dǎo)，.故選：C.例題2．（2022上·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，故A項正確.故選：A.例題3．（2023上·全國·高二期末）已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且則＝．【答案】【詳解】根據(jù)題意，，變形可得，又由函數(shù)在處可導(dǎo)，則.故答案為：.精練核心考點1．（2023下·高二課時練習(xí)）如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么＝（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【詳解】因為，所以，所以.故選：A.2．（2020下·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由函數(shù)，則，所以，解得.故選：B.3．（2023上·陜西咸陽·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則．【答案】【詳解】因為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，即，所以.故答案為：.題型四：重點考查求在型切線典型例題例題1．（2023·青海·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【詳解】因為，所以，又因為切線與垂直，所以，所以，故選：A.例題2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則曲線在點處的切線方程為．【答案】【詳解】由題設(shè)，當(dāng)時，，故時，，所以，而，故切線方程為，即．故答案為：例題3．（2023上·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；【答案】(1)【詳解】（1）因為，所以.因為，所以所求切線方程為，即.精練核心考點1．（2022上·四川綿陽·高三綿陽中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程【答案】(1).【詳解】（1），，曲線在點處的切線方程為，即.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的圖像在點處的切線方程；【答案】(1)【詳解】（1）當(dāng)時，，，，所以，所以切線方程為，即．3．（2023上·內(nèi)蒙古赤峰·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；【答案】(1)【詳解】（1），，即切點坐標(biāo)為，又，切線斜率，則切線方程為，即：；題型五：重點考查過型切線典型例題例題1．（多選）（2023下·湖南·高二期中）過點作曲線的切線，則切線方程可能是（

）A．B．C．D．【答案】AB【詳解】∵.設(shè)曲線的切點為，則，.∴切線方程為.又切線經(jīng)過點，則，解得或，∴切點為時，切線方程為；切點為時，切線方程為.故選：AB.例題2．（2024上·重慶·高二重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┮阎€，(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求過點且與曲線相切的直線方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，可得，即曲線在點處的切線斜率為，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）解：因為點不在曲線上，設(shè)切點為，所以，所以切線方程為，又因為在直線上，所以，即，解得或.當(dāng)切點為時，切線方程為；當(dāng)切點為時，切線的斜率為，此時切線方程為，綜上所述，過點且與曲線相切的直線方程為：或.例題3．（2022上·山西忻州·高一?？计谀┮阎€，求(1)曲線在點處的切線方程；(2)曲線過點的切線方程；(3)曲線平行于直線的切線方程.【答案】(1)(2)或(3)或【詳解】（1）由得，則，所以曲線在點處的切線方程為：，即.（2）因為切點在曲線上，所以可設(shè)切點為，則，則切線方程為，因為切線過，代入切向方程得：化簡得，則或所以曲線過點的切線方程為：或.（3）直線的斜率為，設(shè)切點為，則由（2）知切線方程為，則由切線與直線平行得，即或，所以切線方程為或，即或精練核心考點1．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）過點作曲線的切線，請寫出切線的方程.【答案】或【詳解】設(shè)切點為，而，所以切線的斜率，故切線方程為，因為切線過點，，化簡可得或，則切點為或，則代入得切線方程為：或，故答案為：或.2．（2023上·江蘇·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，點在曲線上．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求曲線在點處的切線方程；(3)求曲線過點的切線方程．【答案】(1)(2)(3)或【詳解】（1）當(dāng)時，，所以（2）由（1）可知：，則點處的切線的斜率為，所以切線方程為：，即；（3）設(shè)切點坐標(biāo)為，切線的斜率為，所以切線方程為：，將點代入切線方程得：，則，解得或，所以切線方程為：或.3．（2023上·湖北武漢·高二武漢市東湖中學(xué)?？计谥校┮阎€.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求曲線過點的切線方程.【答案】(1)(2)和【詳解】（1）由題意得，則在點處的切線的斜率，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）設(shè)曲線與過點的切線相切于點，設(shè)切線的斜率為，則由點斜式得直線方程為，又因為切點為，則，解得或，則曲線過點處的切線方程為和.題型六：重點考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算典型例題例題1．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A，因為，所以A錯誤；對于B，因為，所以B錯誤；對于C，因為，所以C錯誤；對于D，因為，所以D正確．故選：D.例題2．（多選）（2023上·江蘇徐州·高二?？茧A段練習(xí)）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【詳解】對于A，，故A不正確；對于B，，故B不正確；對于C，，故C正確；對于D，故D正確.故選：CD例題3．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)【答案】(1)(2)．(3)．(4)(5)．(6)【詳解】（1）（2）（3）（4）,（5）（6）精練核心考點1．（多選）（2024上·寧夏銀川·高二?？计谀┫铝杏嘘P(guān)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】對于選項A，因為，故A正確；對于選項B，因為，故B錯誤；對于選項C，因為，故C正確；對于選項D，因為，故D錯誤.故選：AC2．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(2)(3)(4)(5)；(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【詳解】（1）.（2）.（3）因為，所以.（4）.（5）.（6）因為，所以.3．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)．(3)(4)【詳解】（1）.（2）.（3）因為，所以.（4）因為，所以.題型七：重點考查求某點處到處值典型例題例題1．（2023上·湖北·高二期末）已知函數(shù)，則在處的導(dǎo)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由已知可得，所以，所以故選：A.例題2．（2023下·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則f（e）＝（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)，則,解得，所以，所以，所以，解得，所以，所以.故選：D．例題3．（多選）（2023下·甘肅酒泉·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)