第01講 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義+導(dǎo)數(shù)運(yùn)算解析版

第01講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義+導(dǎo)數(shù)運(yùn)算目錄TOC\o"1-1"\h\u第01講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義+導(dǎo)數(shù)運(yùn)算 1題型一：重點(diǎn)考查平均變化率 1題型二：重點(diǎn)考查瞬時(shí)變化率 2題型三：重點(diǎn)考查利用定義法求某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù) 4題型四：重點(diǎn)考查求在型切線 6題型五：重點(diǎn)考查過型切線 7題型六：重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 11題型七：重點(diǎn)考查求某點(diǎn)處到處值 14題型一：重點(diǎn)考查平均變化率典型例題例題1．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為3，則m等于．【答案】2【詳解】由題意得，所以，或（舍去）．故答案為：2例題2．（2023上·江蘇·高二專題練習(xí)）已知某物體運(yùn)動(dòng)的位移s是時(shí)間t的函數(shù)，且.(1)求這個(gè)物體t從3秒到3.1秒的平均速度；(2)求這個(gè)物體t從3秒到3.01秒的平均速度.【答案】(1)30.5(m/s)(2)30.05(m/s)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∵，∴.（2）當(dāng)時(shí)，，∵，∴.精練核心考點(diǎn)1．（2023上·江蘇·高二專題練習(xí)）在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度(單位：)與起跳后的時(shí)間(單位：)之間的函數(shù)關(guān)系式為.(1)求運(yùn)動(dòng)員在第一個(gè)內(nèi)的平均速度；(2)求運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度.【答案】(1)(2)【詳解】（1）運(yùn)動(dòng)員在第一個(gè)內(nèi)的平均速度即高度在區(qū)間上的平均變化率，即，故運(yùn)動(dòng)員在第一個(gè)內(nèi)的平均速度為.（2）運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度即高度在區(qū)間上的平均變化率，即，故運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為.題型二：重點(diǎn)考查瞬時(shí)變化率典型例題例題1．（2023上·全國·高二期末）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時(shí)的瞬時(shí)變化率，則（）A． B．1 C．2 D．【答案】B【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于，由，得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時(shí)的瞬時(shí)變化率，所以，解得.故選：B例題2．（2023上·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移方程為，當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.故選：C.例題3．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從固定點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)，時(shí)間t的位移（單位：m）函數(shù)為，求當(dāng)s時(shí)的瞬時(shí)速度．【答案】.【詳解】因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)在s到s的位移改變量，所以該時(shí)間段內(nèi)的平均速度，所以質(zhì)點(diǎn)在s時(shí)的瞬時(shí)速度為.精練核心考點(diǎn)1．（2023上·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）節(jié)日里，人們常用放氣球的形式慶祝，已知?dú)馇虻捏w積（單位：與半徑（單位：）的關(guān)系為，則時(shí)體積關(guān)于半徑的瞬時(shí)變化率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，求導(dǎo)得，所以時(shí)體積關(guān)于半徑的瞬時(shí)變化率為.故選：B.2．（2023上·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）一質(zhì)點(diǎn)做垂直向上運(yùn)動(dòng)，該質(zhì)點(diǎn)上升高度（單位：）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間（單位：）的關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)上升高度的瞬時(shí)變化率為.【答案】【詳解】由，求導(dǎo)得，因此，所以當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)上升高度的瞬時(shí)變化率為.故答案為：3．（2023上·上?！じ呷？计谥校┪矬w位移s和時(shí)間t滿足函數(shù)關(guān)系，則當(dāng)時(shí)，物體的瞬時(shí)速度為．【答案】80【詳解】因?yàn)?所以該物體時(shí)，物體的瞬時(shí)速度為.故答案為：80題型三：重點(diǎn)考查利用定義法求某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)典型例題例題1．（2023上·湖北武漢·高二武漢市東湖中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)在處可導(dǎo)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)在處可導(dǎo)，.故選：C.例題2．（2022上·陜西咸陽·高二咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，故A項(xiàng)正確.故選：A.例題3．（2023上·全國·高二期末）已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且則＝．【答案】【詳解】根據(jù)題意，，變形可得，又由函數(shù)在處可導(dǎo)，則.故答案為：.精練核心考點(diǎn)1．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么＝（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：A.2．（2020下·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由函數(shù)，則，所以，解得.故選：B.3．（2023上·陜西咸陽·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則．【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，即，所以.故答案為：.題型四：重點(diǎn)考查求在型切線典型例題例題1．（2023·青?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)榍芯€與垂直，所以，所以，故選：A.例題2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【詳解】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，，所以，而，故切線方程為，即．故答案為：例題3．（2023上·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；【答案】(1)【詳解】（1）因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以所求切線方程為，即.精練核心考點(diǎn)1．（2022上·四川綿陽·高三綿陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程【答案】(1).【詳解】（1），，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的圖像在點(diǎn)處的切線方程；【答案】(1)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，所以，所以切線方程為，即．3．（2023上·內(nèi)蒙古赤峰·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；【答案】(1)【詳解】（1），，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，切線斜率，則切線方程為，即：；題型五：重點(diǎn)考查過型切線典型例題例題1．（多選）（2023下·湖南·高二期中）過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程可能是（

）A．B．C．D．【答案】AB【詳解】∵.設(shè)曲線的切點(diǎn)為，則，.∴切線方程為.又切線經(jīng)過點(diǎn)，則，解得或，∴切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為；切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為.故選：AB.例題2．（2024上·重慶·高二重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┮阎€，(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，可得，即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為，所以，所以切線方程為，又因?yàn)樵谥本€上，所以，即，解得或.當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為；當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線的斜率為，此時(shí)切線方程為，綜上所述，過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為：或.例題3．（2022上·山西忻州·高一?？计谀┮阎€，求(1)曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)曲線過點(diǎn)的切線方程；(3)曲線平行于直線的切線方程.【答案】(1)(2)或(3)或【詳解】（1）由得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即.（2）因?yàn)榍悬c(diǎn)在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為，則，則切線方程為，因?yàn)榍芯€過，代入切向方程得：化簡得，則或所以曲線過點(diǎn)的切線方程為：或.（3）直線的斜率為，設(shè)切點(diǎn)為，則由（2）知切線方程為，則由切線與直線平行得，即或，所以切線方程為或，即或精練核心考點(diǎn)1．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）過點(diǎn)作曲線的切線，請(qǐng)寫出切線的方程.【答案】或【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，而，所以切線的斜率，故切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，，化簡可得或，則切點(diǎn)為或，則代入得切線方程為：或，故答案為：或.2．（2023上·江蘇·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，點(diǎn)在曲線上．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(3)求曲線過點(diǎn)的切線方程．【答案】(1)(2)(3)或【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以（2）由（1）可知：，則點(diǎn)處的切線的斜率為，所以切線方程為：，即；（3）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率為，所以切線方程為：，將點(diǎn)代入切線方程得：，則，解得或，所以切線方程為：或.3．（2023上·湖北武漢·高二武漢市東湖中學(xué)?？计谥校┮阎€.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求曲線過點(diǎn)的切線方程.【答案】(1)(2)和【詳解】（1）由題意得，則在點(diǎn)處的切線的斜率，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）設(shè)曲線與過點(diǎn)的切線相切于點(diǎn)，設(shè)切線的斜率為，則由點(diǎn)斜式得直線方程為，又因?yàn)榍悬c(diǎn)為，則，解得或，則曲線過點(diǎn)處的切線方程為和.題型六：重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算典型例題例題1．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以D正確．故選：D.例題2．（多選）（2023上·江蘇徐州·高二校考階段練習(xí)）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【詳解】對(duì)于A，，故A不正確；對(duì)于B，，故B不正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，故D正確.故選：CD例題3．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)【答案】(1)(2)．(3)．(4)(5)．(6)【詳解】（1）（2）（3）（4）,（5）（6）精練核心考點(diǎn)1．（多選）（2024上·寧夏銀川·高二?？计谀┫铝杏嘘P(guān)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：AC2．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(2)(3)(4)(5)；(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【詳解】（1）.（2）.（3）因?yàn)?，所?（4）.（5）.（6）因?yàn)?，所?3．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)．(3)(4)【詳解】（1）.（2）.（3）因?yàn)椋?（4）因?yàn)?，所?題型七：重點(diǎn)考查求某點(diǎn)處到處值典型例題例題1．（2023上·湖北·高二期末）已知函數(shù)，則在處的導(dǎo)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由已知可得，所以，所以故選：A.例題2．（2023下·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則f（e）＝（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)，則,解得，所以，所以，所以，解得，所以，所以.故選：D．例題3．（多選）（2023下·甘肅酒泉·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)