（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 圓錐曲線與方程 第64課 直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

第64課直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題(本課時(shí)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第頁(yè))自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(選修2-1P27習(xí)題4改編)曲線-x=0上一點(diǎn)P到直線y=x+3的最短距離為.【答案】【解析】設(shè)P(x，y)，由點(diǎn)到直線的距離公式得d===，所以dmin=.2.(選修2-1P44習(xí)題6改編)若橢圓+=1中過(guò)點(diǎn)P(1，1)的弦恰好被點(diǎn)P平分，則此弦所在直線的方程是.【答案】x+2y-3=0【解析】設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，代入橢圓方程并作差得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)·(y1-y2)=0.又x1+x2=2，y1+y2=2，代入得=-.故所求直線的方程為y-1=-(x-1)，即x+2y-3=0.3.(選修2-1P63習(xí)題4改編)已知拋物線y2=2px(p>0)有一個(gè)內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，斜邊長(zhǎng)是5，一條直角邊所在的直線方程是y=2x，那么拋物線的方程為.【答案】y2=x【解析】由于一條直角邊所在直線方程是y=2x，那么另一條直角邊所在直線方程是y=-x，它們與拋物線的交點(diǎn)(非原點(diǎn))坐標(biāo)為，(8p，-4p)，由題意知=5，解得p=，所以拋物線方程為y2=x.4.(選修2-1P66復(fù)習(xí)題15改編)若斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A，B兩點(diǎn)，則AB的最大值為.【答案】【解析】設(shè)直線l的方程為y=x+t，代入+y2=1，消去y，得x2+2tx+t2-1=0，由題意得Δ=(2t)2-5(t2-1)>0，即t2<5，弦長(zhǎng)AB=4×≤.1.直線與圓錐曲線有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為它們所對(duì)應(yīng)的方程構(gòu)成的方程組是否有解或解的個(gè)數(shù)問(wèn)題.2.直線與圓錐曲線相交弦的問(wèn)題弦所在直線的方程問(wèn)題，可以利用“設(shè)點(diǎn)代點(diǎn)，設(shè)而不求”的方法(設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，并不具體求出坐標(biāo)，而是利用坐標(biāo)應(yīng)滿足的關(guān)系直接求解).3.點(diǎn)差法設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓+=1上不同的兩點(diǎn)，且x1≠x2，x1+x2≠0，M(x0，y0)為AB的中點(diǎn)，則兩式相減可得·=-，即kAB·=-，對(duì)于雙曲線、拋物線，可得類似的結(jié)論kAB·kOM=-.4.弦長(zhǎng)公式若直線y=kx+b與圓錐曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)為AB==·.若直線x=my+t與圓錐曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)為AB=.【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破中點(diǎn)弦問(wèn)題例1過(guò)點(diǎn)P(-1，1)作直線交橢圓+=1于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)恰為P，求AB所在直線的方程和線段AB的長(zhǎng)度.【思維引導(dǎo)】中點(diǎn)弦問(wèn)題一般應(yīng)用點(diǎn)差法處理較好.【解答】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0，顯然x1≠x2，所以(x1+x2)+2(y1+y2)kAB=0.因?yàn)閤1+x2=-2，y1+y2=2，所以kAB=，從而直線AB的方程為y-1=(x+1)，即x-2y+3=0.由得3x2+6x+1=0，解得x1=，x2=，所以AB=|x1-x2|=·=.【精要點(diǎn)評(píng)】點(diǎn)差法一般適用于求解弦的中點(diǎn)和弦的斜率之間的關(guān)系的問(wèn)題.變式在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓M：+=1(a>b>0)右焦點(diǎn)的直線x+y-=0交橢圓M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為，求橢圓M的方程.【解答】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則+=1，+=1，=-1，由此可得=-=1.因?yàn)閤1+x2=2x0，y1+y2=2y0，=，所以a2=2b2.又由題意知，M的右焦點(diǎn)為(，0)，故a2-b2=3，因此a2=6，b2=3.所以橢圓M的方程為+=1.定值問(wèn)題例2(2015·陜西卷改編)如圖，橢圓E：+=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，-1)，且離心率為.(例2)(1)求橢圓E的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A)，求證：直線AP與AQ的斜率之和為2.【思維引導(dǎo)】問(wèn)題(1)構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組求解即可；對(duì)于問(wèn)題(2)，構(gòu)造關(guān)于x的方程，結(jié)合兩直線的斜率式子與方程的韋達(dá)關(guān)系進(jìn)行代換化簡(jiǎn).【解答】(1)由題意知=，b=1，又a2=b2+c2，解得a=，所以橢圓的方程為+y2=1.(2)由題設(shè)知，直線PQ的方程為y=k(x-1)+1(k≠2)，代入+y2=1，得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0，由已知Δ>0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，則x1+x2=，x1x2=，從而直線AP與AQ的斜率之和kAP+kAQ=+=+=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-(2k-2)=2.【精要點(diǎn)評(píng)】定值問(wèn)題常見(jiàn)于直線、圓及圓錐曲線的相關(guān)問(wèn)題中.解決此類問(wèn)題主要利用換元與化歸的思想方法，有時(shí)還需要結(jié)合繁雜的運(yùn)算進(jìn)行必要的化簡(jiǎn).變式(2015·全國(guó)卷)已知橢圓C：+=1(a>b>0)的離心率為，點(diǎn)(2，)在橢圓C上.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且不平行于坐標(biāo)軸，直線l與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，求證：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.【解答】(1)由題意有=+=1，解得a2=8，b2=4，所以橢圓C的方程為+=1.(2)設(shè)直線l：y=kx+b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，把y=kx+b代入+=1，得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM==，yM=kxM+b=，于是直線OM的斜率kOM==-，即kOM·k=-，所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.定點(diǎn)問(wèn)題例3已知橢圓+y2=1的左頂點(diǎn)為A，過(guò)A作兩條互相垂直的弦AM，AN交橢圓于M，N兩點(diǎn).(1)當(dāng)直線AM的斜率為1時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).(2)當(dāng)直線AM的斜率變化時(shí)，直線MN是否過(guò)x軸上的一定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出該定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【思維引導(dǎo)】直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，可以求出直線方程，運(yùn)用直線方程求解；也可以用三點(diǎn)共線來(lái)轉(zhuǎn)化.【解答】(1)直線AM的斜率為1時(shí)，直線AM：y=x+2，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得5x2+16x+12=0，解得x1=-2，x2=-，所以M.(2)設(shè)直線AM的斜率為k，則AM：y=k(x+2)，則化簡(jiǎn)得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.因?yàn)榇朔匠逃幸桓鶠?2，所以xM=.同理可得xN=.由(1)知若存在定點(diǎn)，則此點(diǎn)必為P.因?yàn)閗MP===，同理可得kPN=，所以直線MN過(guò)x軸上的一定點(diǎn)P(-，0).【精要點(diǎn)評(píng)】本題在論證直線過(guò)定點(diǎn)時(shí)，利用了第(1)問(wèn)的特征，從而得到了定點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用k1=k2進(jìn)行論證.本題也可以根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的方程，再根據(jù)所得直線方程求出定點(diǎn)坐標(biāo).變式(2015·泰州期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，離心率為的橢圓C：+=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，過(guò)原點(diǎn)O的直線(與坐標(biāo)軸不重合)與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA，QA分別與y軸交于M，N兩點(diǎn).若直線PQ的斜率為時(shí)，PQ=2.(變式)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)試問(wèn)以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(與直線PQ的斜率無(wú)關(guān))?請(qǐng)證明你的結(jié)論.【解答】(1)設(shè)P.因?yàn)橹本€PQ的斜率為時(shí)，PQ=2，所以+=3，即=2，所以+=1.因?yàn)閑===，所以a2=4，b2=2.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)方法一：以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)(±，0).理由如下：設(shè)P(x0，y0)，則Q(-x0，-y0)，且+=1，即+2=4.因?yàn)锳(-2，0)，所以直線PA的方程為y=(x+2)，所以M，直線QA的方程為y=(x+2)，所以N.以MN為直徑的圓為(x-0)(x-0)+=0，即x2+y2-y+=0.因?yàn)?4=-2，所以x2+y2+y-2=0.令y=0，解得x=±，所以以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)(±，0).方法二：設(shè)P(x，y)，Q(-x，-y)，A(-2，0)，則kAP·kAQ=·==-.設(shè)直線AP的斜率為k，則直線AQ的斜率為-，則直線AP的方程為y=k(x+2).令x=0，y=2k，所以M(0，2k).同理可得N.則以MN為直徑的圓為x2+(y-2k)·=0，即x2+y2+y-2=0.令y=0，解得x=±，所以以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)(±，0).圓錐曲線的綜合問(wèn)題例4(2015·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.(例4)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.【思維引導(dǎo)】(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，只需知兩個(gè)獨(dú)立條件即可，一是離心率為，二是右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3，解方程組即得.(2)因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)F，所以求直線AB的方程就是確定其斜率，本題關(guān)鍵就是根據(jù)PC=2AB列出關(guān)于斜率的等量關(guān)系.【解答】(1)由題意得=且c+=3，解得a=，c=1，則b=1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，AB=，又CP=3，不合題意.當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將AB的方程代入橢圓方程，得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0，則x1，2=，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且AB===.若k=0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意.從而k≠0，故直線PC的方程為y+=-，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，從而PC=.因?yàn)镻C=2AB，所以=，解得k=±1.此時(shí)直線AB的方程為y=x-1或y=-x+1.【精要點(diǎn)評(píng)】這是一道看似簡(jiǎn)單，實(shí)則充分體現(xiàn)出解析幾何運(yùn)算量較大的特點(diǎn)的題目.第(1)小題實(shí)屬簡(jiǎn)單，第(2)小題中由參數(shù)k貫穿整個(gè)解答過(guò)程.在解題過(guò)程中，需要時(shí)刻注意斜率的存在性與參數(shù)k是否為0的細(xì)節(jié)，否則問(wèn)題的解答可能不全面.變式(2015·常州期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：+=1(a>b>0)的離心率e=，直線l：x-my-1=0(m∈R)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知點(diǎn)D，連接BD，過(guò)點(diǎn)A作垂直于y軸的直線l1，設(shè)直線l1與直線BD交于點(diǎn)P，試探索當(dāng)m變化時(shí)，是否存在一條定直線l2，使得點(diǎn)P恒在直線l2上?若存在，請(qǐng)求出直線l2的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】(1)在x-my-1=0中，令y=0，得x=1，所以F(1，0).由題設(shè)得解得從而b2=a2-c2=3，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)令m=0，則A，B或A，B.當(dāng)A，B時(shí)，P；當(dāng)A，B時(shí)，P，所以若滿足題意的直線存在，則定直線l2只能是x=4.下面證明點(diǎn)P恒在直線x=4上.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).由于PA垂直于y軸，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y1，從而只要證明P(4，y1)在直線BD上即可.由消去x，得(4+3m2)y2+6my-9=0.因?yàn)棣?144(1+m2)>0，所以y1+y2=，y1y2=.①因?yàn)閗DB-kDP=-=-==.將①式代入上式，得kDB-kDP=0，所以kDB=kDP.所以點(diǎn)P(4，y1)恒在直線BD上，從而直線l1，直線BD與直線l2：x=4三線恒過(guò)同一點(diǎn)P，所以存在一條定直線l2：x=4，使得點(diǎn)P恒在直線l2上.1.(2015·南京、鹽城一模)若雙曲線x2-y2=a2(a>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)a=.【答案】【解析】已知拋物線y2=4x，所以2p=4，則焦點(diǎn)為(1，0)，其為雙曲線右焦點(diǎn)，所以c2=a2+a2=1，所以a2=，即a=.2.若雙曲線-=1與橢圓+=1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3，2)，則雙曲線的離心率為.【答案】【解析】方法一：設(shè)雙曲線的半焦距為c，則c2=20，所以b2=c2-a2=20-a2①，又點(diǎn)(3，2)在雙曲線上，故-=1，即18b2-4a2=a2b2②.聯(lián)立①②解得a2=12，b2=8，故a=2，c=2，離心率e===.方法二：同方法一易得c2=20.又點(diǎn)(3，2)在雙曲線上得且雙曲線的焦點(diǎn)為(-2，0)，(2，0)，由雙曲線定義得2a=|-|=-，則4a2=(-)2=48，化簡(jiǎn)得a2=12，所以a=2，c=2，離心率e==.3.(2015·蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知A為橢圓+=1上的動(dòng)點(diǎn)，MN為圓C：(x-1)2+y2=1的一條直徑，則·的最大值為.【答案】15【解析】因?yàn)椤?(-)·(-)=·+||2=-1，設(shè)A(x，y)，所以·=(x-1)2+y2-1=x2-2x+y2，又+=1，即·=x2-2x+5(-3≤x≤3)，又該二次函數(shù)為開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=，故x=-3時(shí)，有最大值為15.4.(2015·北京卷)已知橢圓C：x2+3y2=3，過(guò)點(diǎn)D(1，0)且不過(guò)點(diǎn)E(2，1)的直線與橢圓C交于Α，Β兩點(diǎn)，直線ΑΕ與直線x=3交于點(diǎn)Μ.(1)求橢圓C的離心率；(2)若ΑΒ垂直于x軸，求直線ΒΜ的斜率；(3)試判斷直線ΒΜ與直線DΕ的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.【解答】(1)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1，所以a=，b=1，c=.所以橢圓C的離心率e==.(2)因?yàn)锳B過(guò)點(diǎn)D(1，0)且垂直于x軸，所以可設(shè)A(1，y1)，B(1，-y1).直線AE的方程為y-1=(1-y1)(x-2).令x=3，得M(3，2-y1).所以直線BM的斜率kBM==1.(3)直線BM與直線DE平行.證明如下：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由(2)可知kBM=1.又因?yàn)橹本€DE的斜率kDE==1，所以BM∥DE.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k(x-1)(k≠1).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線AE的方程為y-1=(x-2).令x=3，得點(diǎn)M.由得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0.所以x1+x2=，x1x2=.直線BM的斜率kBM=.因?yàn)閗BM-1= ===0，所以kBM=1=kDE，所以BM∥DE.綜上可知，直線BM與直線DE平行.【融會(huì)貫通】融會(huì)貫通能力提升(2015·南京、鹽城、徐州二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：+=1(a>b>0)的離心率為，直線l：y=x與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，AB=2，C，D是橢圓E上異于A，B的任意兩點(diǎn)，且直線AC，BD相交于點(diǎn)M，直線AD，BC相交于點(diǎn)N，連接MN.(1)求a，b的值；(2)求證：直線MN的斜率為定值.【思維引導(dǎo)】(1)(2)方法一：方法二：【規(guī)范解答】(1)因?yàn)閑==，所以c2=a2，即a2-b2=a2，所以a2=2b2…………2分所以橢圓的方程為+=1.由題意，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第三象限.由解得A.又AB=2，所以O(shè)A=，即b2+b2=5，解得b2=3.故a=，b=………5分(2)方法一：由(1)知橢圓E的方程為+=1，從而A(2，1)，B(-2，-1).①當(dāng)AC，BC，AD，BD斜率都存在時(shí)，設(shè)直線AC，AD的斜率分別為k1，k2，C(x0，y0)，顯然k1≠k2.從而k1·kBC=·====-.所以kBC=-.同理kBD=-…………8分于是直線AD的方程為y-1=k2(x-2)，直線BC的方程為y+1=-(x+2).由解得從而點(diǎn)N的坐標(biāo)為…………10分同理，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為………12分所以kMN===-1.即直線MN的斜率為定值-1……………14分②當(dāng)AC，BC，AD，BD中，有直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)題設(shè)要求，至多有一條直線斜率不存在.故不妨設(shè)直線AC的斜率不存在，從而C(2，-1).仍然設(shè)AD的斜率為k2，由①知kBD=-.此時(shí)AC：x=2，BD：y+1=-(x+2)，它們的交點(diǎn)M.BC：y=-1，AD：y-1=k2(x-2)，它們的交點(diǎn)N，從而kMN=-1也成立.由①②可知直線MN的斜率為定值-1…………………16分方法二：由(1)知A(2，1)，B(-2，-1)，橢圓E：+=1，即x2+2y2=6.①當(dāng)直線AC，BD，AD，BC的斜率均存在時(shí)，設(shè)C(x1，y1)，則+2=6，變形得-4=-2(-1)，即·=-.即kAC·kBC=-，從而kMA·kNB=-………………8分設(shè)M(xm，ym)，N(xn，yn)，則·=-，即ymyn+ym-yn-1=-xmxn-xm+xn+2……………10分同理，由kMB·kNA=-，得ymyn-ym+yn-1=-xmxn+xm-xn+2.兩式相減，得2(ym-yn)=-2(xm-xn)，所以kMN=-1………14分②當(dāng)直線AC，BD，AD，BC中有斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)D(-2，1)，C(x1，y1)，x1≠±2.設(shè)M(-2，ym)，N(xn，1)，仍然有kMA·kNB=-，得·=-，即kMN=-1.綜上所述，直線MN的斜率為定值-1……16分【精要點(diǎn)評(píng)】(1)處理圓錐曲線的問(wèn)題有兩種常見(jiàn)的方法：其一，直接法，即直接求解相關(guān)量，一般運(yùn)算量較大；其二，努力探求解決問(wèn)題的技巧，比如題中的設(shè)而不求等，使得一定程度上降低運(yùn)算量.(2)本題的本質(zhì)是下列圓中的問(wèn)題在圓錐曲線中的推廣.如圖，已知AB是圓O的直徑，C，D是圓上異于A，B的兩點(diǎn)，且AC，BD相交于點(diǎn)M，BC，AD相交于點(diǎn)N，所以AB⊥MN.由三角形的三條高交于一點(diǎn)立即可得.趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測(cè)與評(píng)估》中的練習(xí)第127~128頁(yè).【檢測(cè)與評(píng)估】第64課直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題一、填空題1.(2015·蘇州調(diào)查)已知雙曲線-=1的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的漸近線方程為.2.(2015·南通、揚(yáng)州、泰州、淮安三調(diào))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F為拋物線x2=8y的焦點(diǎn)，則F到雙曲線x2-=1的漸近線的距離為.3.(2015·鹽城三模)若拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F與雙曲線-=1的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)n的值為.4.(2015·全國(guó)卷)若一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓+=1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.5.(2015·湖南卷)設(shè)F是雙曲線C：-=1的一個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線C上存在點(diǎn)P，使線段PF的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為.6.(2015·福建卷改編)已知橢圓E：+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x-4y=0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若AF+BF=4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是.7.已知m∈R，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量a=(mx，y+1)，且向量b=(x，y-1)，a⊥b.若m>0，則動(dòng)點(diǎn)M(x，y)的軌跡為.8.(2015·山東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：-=1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線C2：x2=2py(p>0)交于點(diǎn)O，A，B，若△OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則雙曲線C1的離心率為.二、解答題9.(2015·安徽卷)設(shè)橢圓E的方程為+=1(a>b>0)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，點(diǎn)M在線段AB上，且滿足BM=2MA，直線OM的斜率為.(1)求橢圓E的離心率e；(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，-b)，N為線段AC的中點(diǎn)，求證：MN⊥AB.10.(2015·泰州二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：+=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，與x軸平行的直線與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)，過(guò)B，C兩點(diǎn)且分別與直線AB，AC垂直的直線相交于點(diǎn)D.已知橢圓E的離心率為，右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：點(diǎn)D在一條定直線上運(yùn)動(dòng)，并求出該直線的方程；(3)求△BCD面積的最大值.(第10題)11.(2015·南京三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右準(zhǔn)線l：x=m+1與x軸的交點(diǎn)為B，BF2=m.(1)已知點(diǎn)在橢圓C上，求實(shí)數(shù)m的值；(2)已知定點(diǎn)A(-2，0).①若橢圓C上存在點(diǎn)T，使得=，求橢圓C的離心率的取值范圍；②當(dāng)m=1時(shí)，記M為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，直線AM，BM分別與橢圓C交于另一點(diǎn)P，Q，若=λ=μ，求證：λ+μ為定值.(第11題)三、選做題(不要求解題過(guò)程，直接給出最終結(jié)果)12.已知雙曲線-=1(a>0，b>0)的離心率為2，F(xiàn)(2，0)是右焦點(diǎn).若A，B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且·=0，則直線AB的斜率是.13.已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率是，過(guò)橢圓上一點(diǎn)M作直線MA，MB分別交橢圓于點(diǎn)A，B，且斜率分別為k1，k2.若點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則k1·k2=.【檢測(cè)與評(píng)估答案】第64課直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題1.y=±x【解析】由題意得=3，所以m=4.而雙曲線的漸近線方程為y=±x，即y=±x.2.【解析】由題可知，點(diǎn)F(0，2)，雙曲線的漸近線方程為y=±3x，所以點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離d==.3.1【解析】因?yàn)閽佄锞€y2=8x的焦點(diǎn)為F(2，0)，又在-=1中，c=，根據(jù)它們有相同的焦點(diǎn)，得=2，解得n=1.4.+y2=【解析】設(shè)圓心為(a，0)，則半徑為4-|a|，則(4-|a|)2=|a|2+22，解得a=±，故圓的方程為+y2=.5.【解析】根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)F(c，0)，虛軸端點(diǎn)為(0，b)，從而可知點(diǎn)(-c，2b)在雙曲線上，所以-=1e==.6.【解析】設(shè)左焦點(diǎn)為F1，連接AF1，BF1，則四邊形BF1AF是平行四邊形，故AF1=BF，所以AF+AF1=4=2a，所以a=2，設(shè)M(0，b)，則≥，故b≥1，從而a2-c2≥1，0<c2≤3，0<c≤，所以橢圓E的離心率的取值范圍是.7.圓或橢圓【解析】因?yàn)閍⊥b，a=(mx，y+1)，b=(x，y-1)，所以a·b=mx2+y2-1=0，即mx2+y2=1.當(dāng)m>0且m≠1時(shí)，方程表示的是橢圓；當(dāng)m=1時(shí)，方程表示的是圓x2+y2=1.8.【解析】雙曲線C1：-=1(a>0，b>0)的漸近線方程為y=±x，則A，B，拋物線C2：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F，則kAF==，即=，所以==，e==.9.(1)因?yàn)锽M=2MA且A(a，0)，B(0，b)，所以M，又因?yàn)镺M的斜率為，所以===，所以=，所以e=.(2)由題意可知點(diǎn)N的坐標(biāo)為，所以kMN===，kAB=，所以kMN·kAB=-=-1，所以MN⊥AB.10.(1)由題意得=-c=，解得a=3，c=，所以b==2，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)設(shè)B(x0，y0)，C(-x0，y0