基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)

基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)：以銳角三角函數(shù)概念為例陳麗君龍敏敏摘要：APOS理論是近年來美國(guó)數(shù)學(xué)家杜賓斯基（Dubinsky）等人提出的一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論.他將數(shù)學(xué)概念的建立分為四個(gè)階段：Action,Process,Object,Scheme，并用于指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐.早期APOS理論只是被用在大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，現(xiàn)在該理論正逐步地滲透于我們的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中.本文首先談了對(duì)APOS理論的認(rèn)識(shí)，然后通過銳角三角函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)嘗試了一下APOS理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：APOS理論；數(shù)學(xué)概念；教學(xué)設(shè)計(jì)；銳角三角函數(shù)任何一個(gè)數(shù)學(xué)教育中的理論或模型都應(yīng)該致力于對(duì)“學(xué)生是如何學(xué)數(shù)學(xué)的”及“什么樣的教學(xué)計(jì)劃可以幫助這種學(xué)習(xí)”的理解，而不僅僅是陳述一些事實(shí).基于這樣的考慮，杜賓斯基等人建立了APOS理論—一個(gè)可以促進(jìn)我們有效教學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)理論.從20世紀(jì)90年代起，APOS理論就被介紹到我國(guó)的數(shù)學(xué)教育界，它是為數(shù)不多的依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)而建立的教學(xué)理論，因此，對(duì)這樣的理論進(jìn)行深入的研究是十分有意義的.我國(guó)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)大多采用“屬+種差”的概念同化方式進(jìn)行，這種教學(xué)過程雖然簡(jiǎn)明，但卻忽視了許多數(shù)學(xué)概念具有過程—對(duì)象的雙重性.近年來，相關(guān)學(xué)者的研究結(jié)果表明，將APOS理論應(yīng)用到我們的概念教學(xué)中可以彌補(bǔ)我們一以前那種概念教學(xué)方式的缺點(diǎn).什么是APOS理論？APOS理論是20世紀(jì)80年代末至90年代初由美國(guó)的杜賓斯基等人在數(shù)學(xué)教育研究實(shí)踐中發(fā)展起來的一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論.杜賓斯基認(rèn)為，一個(gè)人是不可能直接學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)概念的.更確切地說，人們透過心智結(jié)構(gòu)（mentalstructure）使所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生意義.如果一個(gè)人對(duì)于給予的數(shù)學(xué)概念擁有適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他幾乎自然就學(xué)到了這個(gè)概念.相反的，如果一個(gè)人無法建立起適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念幾乎是不可能的.因此，教學(xué)的目的就在于如何幫助學(xué)生建立適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu).杜賓斯基等人認(rèn)為，APOS理論可以看做是對(duì)皮亞杰的“反思性抽象（reflectiveabstraction）”的擴(kuò)展.APOS理論的一個(gè)基本假設(shè)是：數(shù)學(xué)知識(shí)是個(gè)體在解決所感知到的數(shù)學(xué)問題的過程中獲得的，在這個(gè)過程中，個(gè)體依序建構(gòu)了心理活動(dòng)（actions）、程序（processes）和對(duì)象（objects），最終組織成用以理解問題情境的圖式結(jié)構(gòu)（schemas）.根據(jù)APOS理論，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的心理建構(gòu)過程要經(jīng)歷以下的四個(gè)階段：活動(dòng)（actions）階段.“活動(dòng)”是指?jìng)€(gè)體通過一步一步的外顯性（或記憶性）指令去變換一個(gè)客觀的數(shù)學(xué)對(duì)象.例如在理解函數(shù)概念時(shí)需要活動(dòng)或操作，對(duì)于，需要用具體的數(shù)字構(gòu)造對(duì)應(yīng)：通過操作活動(dòng)理解函數(shù)的意義.程序（processes）階段.當(dāng)“活動(dòng)”經(jīng)過多次重復(fù)而被個(gè)體熟悉后，就可以內(nèi)化為一種稱之為“程序（processes）”的心理操作.有了這種“程序”，個(gè)體就可以想象這個(gè)“活動(dòng)”，而不需要通過外部的刺激；他可以在頭腦中實(shí)施這個(gè)程序，而不需要具體操作；進(jìn)而，他還可以對(duì)這個(gè)程序進(jìn)行逆轉(zhuǎn)以及與其他程序進(jìn)行組合.例如把上述例子中的操作活動(dòng)綜合為一個(gè)函數(shù)過程.一般地有其他的各種函數(shù)也可以概括為一般的對(duì)應(yīng)過程.對(duì)象（objects）階段.當(dāng)個(gè)體能夠把“程序”作為一個(gè)整體進(jìn)行操作時(shí)，這一程序就變成了一種心理“對(duì)象（objects）”.接著上面的例子，然后可以把函數(shù)過程當(dāng)作一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象來處理，比如函數(shù)的加減乘除、符合運(yùn)算等.在表達(dá)式中，函數(shù)都是作為一個(gè)整體對(duì)象出現(xiàn)的.最后是“圖式（或者說圖式結(jié)構(gòu)，schema）”.一個(gè)數(shù)學(xué)概念的“圖式”是指由相應(yīng)的“活動(dòng)”、“程序”、“對(duì)象”以及與某些一般原理相聯(lián)系的其他“圖式”所形成的一種個(gè)體頭腦中的認(rèn)知框架，它可以用以解決與這個(gè)概念相關(guān)的問題.按照杜賓斯基的解釋，上述四個(gè)成分中，“活動(dòng)”、“程序”和“對(duì)象”也可以看作是數(shù)學(xué)知識(shí)的三種狀態(tài)，而“圖式”則是由這三種知識(shí)構(gòu)成的一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)（cottrill,etal.,1996）.此外，上述四種成分的排列雖然在理論上具有一種等級(jí)結(jié)構(gòu)，也就是說，一般情況下前一成分的建構(gòu)是后一成分的基礎(chǔ)，但實(shí)際上，個(gè)體對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)概念的理解并不一定遵循這種線性的途徑.例如函數(shù)函數(shù)概念，學(xué)習(xí)者一開始的“活動(dòng)”是把函數(shù)看作一個(gè)簡(jiǎn)單的公式，其中含有一些可以運(yùn)算和賦值的字母變量；隨后，函數(shù)被看作是一種可以“輸入—輸出”的機(jī)器（函數(shù)機(jī)），于是得到了初步的“程序”.但是當(dāng)學(xué)生遇到更為復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式時(shí)，往往又回到了“活動(dòng)”階段，并在“活動(dòng)”的基礎(chǔ)上，又進(jìn)一步完善了函數(shù)“程序”.如此經(jīng)過多個(gè)循環(huán)之后，學(xué)生才最終形成明確而完整的函數(shù)“對(duì)象”.從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)角度分析，APOS理論的四個(gè)學(xué)習(xí)層次是合理的，反應(yīng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中真實(shí)的思維活動(dòng).其中的“活動(dòng)階段”是學(xué)生理解概念的一個(gè)必要條件，通過“活動(dòng)”讓學(xué)生親身體驗(yàn)、感受直觀背景和概念間的關(guān)系.“程序階段”是學(xué)生對(duì)“活動(dòng)”進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過程，學(xué)生在頭腦中對(duì)活動(dòng)進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì);“對(duì)象階段”是通過前面的抽象認(rèn)識(shí)到了概念本質(zhì)，對(duì)其賦予形式化的定義及符號(hào)，使其達(dá)到精致化，成為一個(gè)具體的對(duì)象，在以后的學(xué)習(xí)中一次為對(duì)象進(jìn)行新的活動(dòng)；“圖式階段”的形成是要經(jīng)過長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)一步完善，，起初的圖式包含反應(yīng)概念的特例、抽象過程、定義及符號(hào)，經(jīng)過學(xué)習(xí)，建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心智結(jié)構(gòu).銳角三角函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)上課開始，出示兩個(gè)傾斜角不同的